Kapitel 3 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

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1 Kapitel 3 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN Fassung vom 7. Juni 005 Mathematik II 69

2 3. Stetigkeit 3. Stetigkeit Die Untersuchung von stetigen Funktionen (Abbildungen) in der Analysis entspricht der von linearen Abbildungen in der linearen Algebra. DEFINITION Seien D R a D. Eine Funktion f : D K heißt stetig in a, wenn lim x a f (x) f (a). Sie heißt stetig auf D,wenndiesfürallea D gilt. BEMERKUNG Nach Definition.. ist f genau dann stetig in a, wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, so daß für alle x D aus x a 6 δ folgt f (x) f (a) 6 ε, d.h. kleine Änderungen des Arguments bewirken kleine Änderungen des Funktionswertes. Nach Hauptsatz. gilt HAUPTSATZ Seien D R, a D, f,g : D K α K. (i) Sind f,g stetig in a,sosind α f, f + g, f g f, falls g (x) 6 0für alle x D, g stetige Funktionen in a. (ii) Ist C R, c C h : C R stetig in c,sodaßh(c) D h (c) a,soist f h stetig in c. (iii) Global formuliert : Summen, Produkten, Quotienten, Verkettungen Einchränkungen von stetigen Funktionen sind stetig. Beweis von (i) Z.B. schreibt man i lim x a (f + g)(x) lim x a hf (x)+g(x) lim x a f (x) + lim x a g (x) 70 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

3 Stetigkeit 3. f (a)+g(a) (f + g)(a). Beweis von (ii) Es ist lim u c f h (u) lim u c f (h (u)) lim x a f (x) f (a) f (h (c)) f h (c), mit der Variablenänderung x h (u),dalim u c h (u) h (c) a gilt. DEFINITION Seien D R, a D f : D K. Man schreibt lim x a f (x) : lim a>x a f (x) lim x a+ f (x) :lim a<x a f (x) nennt diese linksseitigen Grenzwert bzw. rechtsseitigen Grenzwert. Z.B. ist lim x 0 x lim x 0+ x. SATZ (Kriterien für Stetigkeit) Eigenschaften sind äquivalent : (i) f ist stetig in a. (ii) Es gilt (iii) Seien D R, f : D K a D. Die folgenden lim x a f (x) f (a) lim x a+ f (x). f ist in a folgenstetig, d.h. für alle Folgen (x k ) k N D mit lim k x k a gilt lim k f (x k )f (a). (i) (ii) Ist V eine Umgebung von f (a), so existiert nach (i) eine Umgebung U von a mit f (D U) V. Es gilt also trivialerweise somit (ii). (ii) (iii) f (D ],a[ U) V f (D ]a, [ U) V Zu ε > 0 existieren nach (ii) Umgebungen U ± von a mit f (D ],a[ U ) U ε (f (a)) f (D ]a, [ U + ) U ε (f (a)). Da U : U U + auch eine Umgebung von a ist (Beispiel..) lim k x k a,existiert ein N ε N, so daß für alle k N mit k > N ε gilt h i h i x k U D ],a[ U {a} D ]a, [ U, also f (x k ) U ε (f (a)). (iii) (i) Wir beweisen die Kontraposition (i) (iii) : Istf in a unstetig, so existiert ein ε > 0 ohne passendes δ > 0,d.h.fürjedesk N gilt ³ f D U (a) k 6 U ε (f (a)), somit gibt es ein x k D mit x k a 6 f (x k k) f (a) > ε. Daraus folgt aber lim k x k a (f (x k )) k N konvergiert nicht gegen f (a),d.h. (iii). STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 7

4 3. Stetigkeit BEISPIEL Jedes Polynom nx p a j id j : D R : x 7 j0 ist auf jeder Teilmenge D R stetig. nx a j x j Nach den Beispielen aus. sind die konstanten die identischen Funktionen stetig. Die Behauptung folgt somit aus dem Hauptsatz. j0 BEISPIEL Die Funktion R+ : R R ist in 0 unstetig. Dies folgt aus Satz (ii), da trivialerweise gilt lim x 0 R+ (x) 0 lim x 0+ R+ (x), ³ sowohl auch aus (iii) mit Hilfe der Folge ( ) k, die gegen 0 konvergiert, aber k k N Ã! ( ) k k gerade R+ falls k 0 k ungerade divergiert. BEISPIEL 3 Die Betragsfunktion id : R R ist stetig. Konvergiert (x k ) k N gegen a R,sokonvergiert( x k ) k N gegen a mithilfedeslemmas.3, da nach der Vierecksungleichung (Satz.4) gilt x k a 6 x k a. BEISPIEL 4 Funktionen. Sind f,g : D R stetig, so sind f, max (f,g) min (f,g) stetige Als Verkettung f id f ist diese Funktion stetig. Da max (f,g) ³ f + g + f g min (f,g) ³ f + g f g (Bemerkung.7.) sind diese Funktionen auch stetig. 7 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

5 Stetige Funktionen auf einem Intervall Stetige Funktionen auf einem Intervall Seien J ein Intervall in R f : J R eine stetige Funk- SATZ (Zwischenwertsatz) tion. (i) Ist a, b J, a < b γ zwischen f (a) f (b), so existiert ein ξ [a, b] mit f (ξ) γ. (ii) f (J) ist ein Intervall. Beweis von (i) Ohne Eischränkung kann mann f (a) < γ < f(b) annehmen. Durch Induktion Intervallhalbierung konstruiert man mit [a k,b k ] [a, b] [a 0 b 0 ]:[a, b], b k a k b a k f (a k ) < γ 6 f (b k ). ( ) Es genügt beim Induktionsschritt [a k+,b k+ ]: ak, a k+b k ak +b k,b k falls f a k +b k > γ f a k +b k < γ zu wählen. Die Folgen (a k ) k N (b k ) k N sind monoton wachsend bzw. fallend beschränkt, also nach Hauptsatz.3 konvergent. Es folgt b a lim k b k lim k a k lim k (b k a k )lim k 0 k wir definieren ξ : lim k a k lim k b k. Da f stetig ist folgt aus ( ) f (ξ) lim k f (a k ) 6 γ f (ξ) lim k f (b k ) > γ mit Hilfe des Satzes.3.ii, d.h. f (ξ) γ. Beweis von (ii) Nach (i) enthält f (J) mit je zwei Punkten auch alle Zwischenpunkte, ist also nach Definition.4. ein Intervall. BEMERKUNG Der Beweis aus (i) ist konstruktiv, liefert somit ein Berechnungsverfahren. BEISPIEL Sei p N mit p >. Die Funktion id p : R + R + STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 73

6 3. Stetige Funktionen auf einem Intervall ist streng monoton wachsend, da aus 0 6 x<yfolgt durch Induktion x p x x p 6 y x p <y y p y p. Sie ist stetig nach Hauptsatz 3..i, also ist id p (R + ) ein Intervall in R +.Daaberlim x x p (lim x x) p,istid p (R + ) nach oben unbeschränkt, also ist id p (R + )R + somit id p bijektiv. Die Umkehrfunktion ist die p-te Wurzelfunktion p id : id p : R + R +. Dies ist die dritte natürliche Methode zur Definition dieser Funktion. Ist p id stetig? Dazu HAUPTSATZ (über die Umkehrfunktion) Seien J ein Intervall in R f : J R eine stetig streng monoton wachsende bzw. fallende Funktion. Dann ist f (J) ein Intervall mit Endpunkten lim x inf J+ f (x) lim x sup J f (x), die Umkehrfunktion f : f (J) J R ist ebenfalls stetig streng monoton wachsend bzw. fallend. Sei f streng monoton wachsend. Um zu zeigen, daß f auch streng monoton wachsend ist, seien u, v f (J). Es gibt eindeutig bestimmte x, y J,sodaßu f (x) v f (y).da durch Kontraposition bekommt man x > y u f (x) > f (y) v, u<v f (u) x<y f (v). Um die Stetigkeit von f in b f (a) zu zeigen, sei ε > 0 gegeben. Das folgende Bild verdeutlicht den Sachverhalt. 74 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

7 Stetige Funktionen auf einem Intervall 3. Da f (a ε) <f(a) u<f(a + ε), existiert ein δ > 0 mit somit gilt f (a ε) 6 b δ <f(a) b<b+ δ 6 f (a + ε) f ([b δ,b+ δ]) f ([f (a ε),f(a + ε)]) [a ε,a+ ε], was zu beweisen war. BEISPIEL Die p-te Wurzelfunktion ist stetig streng monoton wachsend. BEISPIEL 3 Die Funktion id 5 +id:r R ist stetig, streng monoton wachsend surjektiv, da lim x x 5 + x lim x x 5 + x. Ihre Umkehrfunktion ist also auch stetig streng monoton wachsend. Sie kann nicht mit Hilfe von elementaren Funktionen ausgedrückt werden. Z.B. kann man nachweisen, daß gilt id 5 +id () die einzige reelle Lösung id 5 +id () von (x x +)(x 3 + x ) x 5 + x 0ist die einzige reelle Lösung von x 3 + x 0,daid id + > 0 überall ( c b 3 ). 4a 4 4 Nach der Cardano-Formel bekommt man id 5 +id () 6 3 q p Aber die einzige reelle Lösung id 5 +id (3) von x 5 + x 30kann man explizit berechnen. Mit Hilfe des Newton-Verfahrens (siehe 4.6) bekommt man id 5 +id (3) Der dritte wichtige Satz ist HAUPTSATZ (Annahme von Maximum Minimum) f :[a, b] R stetig. Dann gilt Seien a, b R mit a 6 b (i) (ii) f ist beschränkt. Es existieren ξ, η [a, b] mit f (ξ) 6 f (x) 6 f (η) für alle x [a, b]. STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 75

8 3. Stetige Funktionen auf einem Intervall Beweis von (i). Wir zeigen zuerst, daß f nach oben beschränkt ist. Ist dies nicht der Fall, so ist für jedes k N die Menge M k : {x [a, b] f (x) > k} [a, b] nicht leer, also existiert nach dem Satz von Dedekind (Hauptsatz.5.ii) sup M k [a, b]. Da M k+ M k,gilta 6 sup M k+ 6 sup M k somit ist die monoton fallende Folge (sup M k ) k N in [a, b] (Satz.3.ii) konvergent (Hauptsatz.3). Da f stetig ist bekommt man >f(lim k sup M k )lim k f (sup M k ) > lim k k, ein Widerspruch. Analog beweist man, daß f nach unten beschränkt ist. Beweis von (ii). Mit (i) dem Satz von Dedekind existiert s : sup f ([a, b]).istf (x) <s für alle x [a, b], so ist nach Hauptsatz 3..i die Funktion s f :[a, b] R : x 7 s f (x) stetig. Nach (i) ist sie beschränkt, d.h. es gibt M R + mit 6 M für alle x [a, b],d.h. s f(x) f (x) 6 s, ein Widerspruch zur Approximationseigenschaft (Hauptsatz.5.i). Dies zeigt, M daß ein η [a, b] existiert mit f (η) s > f (x) für alle x [a, b],alsonimmtf ihr Maximum an. Analog beweist man, daß f ihr Minimum annimmt. BEMERKUNG Wir haben sehr viel benutzt : die Vollständigkeit von R, die Stetigkeit von f, die Beschränktheit die Abgeschlossenheit von [a, b]. BEMERKUNG Mit Hilfe der Differentialrechnung (siehe 4.3) kann man diese Stellen in vielen Situationen bestimmen. BEMERKUNG 3 Einen anderen Beweis mit Intervallhalbierung : Es gilt µ µ sup f ([a, b]) max sup f a, a + b µ a + b,f,b R. Durch Induktion bekommt man eine fallende Folge ([a k,b k ]) k N,sodaß sup f ([a, b]) sup f ([a k,b k ]) für alle k N. Nach der Approximationseigenschaft (Hauptsatz.5.i) existiert x k [a k,b k ] mit sup f ([a, b]) sup f ([a, b]) R k f (x k ) > falls. k sup f ([a, b]) Wie beim Beweis des Zwischenwertsatzes existiert ξ [a, b] mit lim k a k ξ lim k b k. Da a k 6 x k 6 b k für alle k N gilt auch lim k x k ξ es folgt sup f ([a, b]) > f (ξ) lim k f (x k ) > sup f ([a, b]), d.h. sup f ([a, b]) f (ξ) R. 76 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

9 Stetige Funktionen auf einem Intervall 3. BEISPIEL 4 Ein Polynom p nx c k id k : R R vom Grade n : grad p,d.h.c n 60, ist stetig nach Hauptsatz 3..i (a) lim x ± p (x) c n (±) n. (b) Ist n ungerade, so ist p (R) R, insbesondere besitzt jedes Polynom mit ungeradem Grads eine reelle Nullstelle. (c) Ist n gerade c n > 0, so existiert min p (R),d.h.p(R) [min p (R), [. Beweis von (a) Es gilt lim x ± p (x) lim x ± Ãx n! nx c k id k n (lim x ± x n ) c n (±) n. nx c k lim x ± id k n Beweis von (b) Ist c n > 0, so ist lim x ± p (x) ±, also p (R) R nach dem Zwischenwertsatz, also wird jeder Wert, insbesondere 0, angenommen. Beweis von (c) Da lim x ± p (x),existiertr R + mit p (x) > p (0) für alle x R mit x > R. Nach obigem Hauptsatz nimmt die stetige Funktion p [ R,R] ihr Minimum in ξ an es gilt d.h. p (ξ) minp ([ R, R]) 6 p (0) 6 p (x) falls x > R, p (ξ) minp (R). Die Behauptung folgt aus dem Zwischenwertsatz. Ist p a id +b id +c mit a>0, b 4ac > 0 b 4ac 0 b 4ac < 0 so gibt es bzw. zwei, eine doppelte keine Nullstelle. STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 77

10 3. Stetige Funktionen auf einem Intervall Ist grad p 3, so gibt es maximal drei Nullstellen bzw. drei, zwei mit einer doppelten eine Nullstelle. 78 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

11 Stetige Funktionen auf Teilmengen von C Stetige Funktionen auf Teilmengen von C Genau so wie in R definiert man Umgebungen Grenzwerte in C (vgl.., Definitionen ). DEFINITION Für w C ε > 0 sei U ε (w) :{z C z w 6 ε}. Eine Menge V C heißt Umgebung von w,fallseinε > 0 existiert, so daß V U ε (w). Sind D C, w D, f : D C γ C,soheißtγ Grenzwerte von f für z gegen w man schreibt lim z w f (z) γ, falls für jede Umgebung V von γ eine Umgebung U von w existiert mit f (D U) V. BEMERKUNG Analog zur Definition.3.3 der Konvergenz von reellen Folgen kann man die Konvergenz einer Folge (z k ) k N in C gegen lim k z k definieren : Für jedes ε > 0 existiert ein N ε N mit z k lim k z k 6 ε für alle k N mit k > N ε. Diese stimmt nach Lemma.3.ii mit der in Definition.3.3, die mit Hilfe des reellen imaginären Teil formuliert wurde. Die Stetigkeit von Funktionen wird wie in 3. definiert. DEFINITION Die Funktion f : D C heißt in w stetig, falls lim z w f (z) f (a). BEMERKUNG Wie in 3. gelten entspechend folgende Resultate : Die Bemerkung über die ε-δ-charakterisierung der Stetigkeit, der Hauptsatz über die Stabilitätseigenschaften von stetigen Funktionen der Satz Kriterien für Stetigkeit. BEISPIEL Die folgenden Funktionen c : C C : z 7 c für ein c C, id : C C : z 7 z, STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 79

12 3.3 Stetige Funktionen auf Teilmengen von C sind stetig. id : C C : z 7 z, Re : C R : z 7 Re z, Im : C R : z 7 Im z id : C R + : z 7 z Für die ersten zwei ist es einfach. Für die letzten drei folgt es z.b. für w C aus den Ungleichungen z w, Re z Re w, Im z Im w, z w 6 z w die ε-δ-charakterisierung der Stetigkeit. BEMERKUNG 3 Die Stetigkeit von Re Im bedeutet für eine konvergente Folge (z k ) k N, daß Re (lim k z k ) lim k Re z k Im (lim k z k )lim k Im z k ; dies ist die Definition.3.3 der Konvergenz von (z k ) k N! Man beachte die obige Bemerkung! Ist insbesondere P z k eine konvergente Reihe, so gilt Ã! Ã X! X Re z k Re z k Im z k Im z k. BEISPIEL Polynome p nx c k id k : C C : z 7 allgemeiner rationale Funktionen wobei p q Polynome sind, sind stetig. p q nx c k z k : {q 6 0} C : z 7 p (z) q (z), Als nächstes Beispiel untersuchen wir Funktionen, die mit Potenzreihen definiert sind. Sei D R : {z C z <R} die offene Kreisscheiben in C mit Radius R Zentrum 0. SATZ (i) Ist P c k id k eine Potenzreihe mit Koeffizienten in C Konvergenzradius R,soist die Funktion f : D R K : x 7 c k z k 80 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

13 Stetige Funktionen auf Teilmengen von C 3.3 stetig. (ii) Identitätssatz für Potenzreihen Stimmen zwei Potenzreihen c k id k d k id k auf einer gegen 0 konvergente Folge (z l ) l N C überein, so gilt c k d k für alle k N. Beweis von (i). Für jedes w D R existiert ρ R + mit w < ρ <R für jedes z U ρ a (a) D R gilt Xk z k w k (z w) z k j w j durch Ausmultiplizieren, also somit z k w k z w j0 kx z k j w j 6 k ρ k z w j0 f (z) f (w) c k z k c k w k 6 c k z k w k 6 k Ã! X 6 c k k ρ k z w. k Nach Hauptsatz.6.i ist P k c k k ρ k konvergent, also konvergiert die rechte Seite gegen 0 somit f (z) gegen f (w) falls z gegen w konvergiert, was zu beweisen war. Beweis von (ii). Durch Substraktion sei ohne Einschränkung P c k zl k 0für alle l N k 0 das kleinste k N mit c k 60.Da c k z k z k0 c k0 +j z j f : z 7 P j0 c k 0 +j z j nach (i) stetig mit f (0) c k0 60ist, existiert δ > 0,sodaß f (z) 6 0für alle z U δ (0). Daraus folgt P c k z k 60für alle z U ε (0) r {0}.Diesist ein Widerspruch, da ein l N mit z l U ε (0) r {0} existiert. j0 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 8

14 3.4 Die Exponentialfunktion 3.4 Die Exponentialfunktion Nach Beispiel.6. wissen wir, daß der Konvergenzradius der Exponentialreihe ist. DEFINITION Die Funktion exp : C C : z 7 heißt die Exponentialfunktion (oder e-funktion ). heißt die Eulersche Zahl. e : exp () Sie ist die wichtigste Funktion der Mathematik der Naturwissenschaften. Ihre wichtigste Eigenschaft ist k! z k k! Die Exponentialfunk- HAUPTSATZ (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion) tion ist stetig für alle z,w C gilt exp (z + w) exp(z) exp (w). Die Stetigkeit von exp folgt aus dem Satz 3.3.i., da die Exponentialreihe absolut konvergent ist (vgl. Beispiel.6. Hauptsatz.6), gilt nach dem Cauchy-Produktsatz.5 der binomischen Formel (Beispiel.3.3) : Ã X exp (z) exp (w) Ã kx! z k j (k j)! wj j! j0! Ã z k X k! Ã k! kx j0! w k k! µ! k z k j w j j (z + w) k exp(z + w), k! da k j k!. (k j)! j! Die weiteren Eigenschaften folgen im Wesentlichen aus der Funktionalgleichung : KOROLLAR Die reelle Exponentialfunktion exp : R R + : x 7 ist eine stetige, bijektive, streng monoton wachsende Funktion. x k k! 8 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

15 Die Exponentialfunktion 3.4 Präziser gilt lim x exp (x) lim x exp (x) 0 sowie exp ( x) exp (q x) exp(x) q für alle x R q Q. exp (x) Diese Funktion ist stetig nach dem Satz. Es gilt exp (x) x k k! + X für alle x R +, aus der Funktionalgleichung folgt d.h. exp ( x) exp(x) mit x<ybekommt man exp (y) exp (x) exp(x) k x k k! > exp(0)exp(x x) exp(x) exp ( x), ; insbesondere ergibt sich exp (x) > 0 für alle x R. Für alle y R d.h. exp ist streng monoton wachsend somit injektiv. Für alle x R + gilt ³ ³ exp (y) exp ( x) exp(x) exp (y x) > 0, exp (x) x k k! +x + X k x k k! > x, also folgt lim x exp (x), durch die Variablenänderung y x auch lim x exp (x) lim y exp ( y) lim y exp (y) 0; insbesondere ist das Intervall exp (R) R +,d.h.exp ist bijektiv. Schließlich liefert für m N wiederum die Funktionalgleichung exp (m x) exp(x x) {z } m-mal exp(x)... exp (x) exp(x) m, {z } m-mal also exp ( m x) exp (m x) exp (x) m exp(x) m ; für alle m Z n N erhält man exp ³ m n x n exp(m x) exp(x) m, d.h. exp m n x np exp (x) m exp(x) m n. BEMERKUNG Dem raschen Anwachsen von exp (x) für große x entspricht wegen exp ( x) exp (x) STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 83

16 3.4 Die Exponentialfunktion die schnelle Annäherung an 0 für kleine, d.h. betragsmäßig große negative x Exponentialfunktion x e x x 9 63 exp (x) exp (x) 0 cm fast zum Mond weiter als die Sonne doppelten Durchmesser des Universums Nimmt man 0 cm als Einheit, so entspricht exp () ungefähr m. Die Distanz Erde-Mond ist m bzw m, die Distanz Erde-Sonne.47 0 m bzw..5 0 m. Das Durchmesser des Universums, der ungefähr 0 0 Lichtjahre beträgt, Lichtjahr ist km ' 0 6 m, ist also ungefähr 0 6 m. 84 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

17 Der Logarithmus allgemeine Potenzen Der Logarithmus allgemeine Potenzen Da nach Korollar 3.3 exp : R R + : x 7 e x eine stetige bijektive streng monoton wachsende Funktion ist, erlaubt der Hauptsatz über die Umkehrfunktion 3. folgende DEFINITION Die Funktion heißt der (natürliche) Logarithmus. ln : exp : R + R : y 7 ln y exp : R R + ln : R + R SATZ Der Logarithmus ln ist eine stetige bijektive streng monoton wachsende Funktion mit lim y ln y lim y 0+ ln y. Es erfüllt die folgende Funktionalgleichung :Füralleu, v R + gilt ln (u v) lnu +lnv. Die ersten Aussagen folgen aus dem Korollar 3.3 die Äquivalenz y exp(x) ln y x. Für die Funktionalgleichung genügt es zu bemerken, daß exp (ln u +lnv) exp(lnu) exp (ln v) u v, STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 85

18 3.5 Der Logarithmus allgemeine Potenzen woraus folgt ³ ln u +lnv ln exp (ln u +lnv) ln(u v). BEMERKUNG Da exp sehr schnell wächst, wächst ln sehr langsam. Es ist ln ln (exp (0)) 0 ln ' ln (exp (0)) 0, ln ' ln (exp (63)) 63. BEMERKUNG Nach Korollar 3.4 gilt für a R + q Q a q (exp(lna)) q exp(q ln a). Da für jedes x R eine Folge (q k ) k N Q mit x lim k q k existiert exp stetig ist, folgt exp (x ln a) exp(lim k q k ln a) lim k exp (q k ln a) lim k a q k. Deshalb folgende DEFINITION Für alle a R + x R definiert man a x : exp (x ln a) für alle x R. Insbesondere ist e x exp(x) man nennt die Funktion a id : R R + : x 7 a x e x ln a die Exponentialfunktion zur Basis a. BEMERKUNG 3 Für jedes p N mit p > gilt µ p a a p exp p ln a, die vierte Möglichkeit p id zu definieren! BEMERKUNG 4 Die Exponentialfunktion a id zur Basis a R + erfüllt die gleiche Funktionalgleichung wie exp :Fürallex, y R gilt a x+y a x a y sie ist stetige bijektive, streng monoton, falls a 6, wachsend, falls a >, fallend, falls a<. In der Tat a x+y e (x+y) ln a e x ln a+y ln a e x ln a e y ln a a x a y. Für die Monotonie beachtet man, daß ln a>0, falls a> ln a<0,fallsa<. 86 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

19 Der Logarithmus allgemeine Potenzen 3.5 DEFINITION 3 Die Logarithmusfunktion zur Basis a R + ist definiert durch Man schreibt üblicherweise log a : a id. log : log 0, die Logarithmusfunktion zur Basis 0. Für Informatiker (Komplexitätstheorie) ist auch log von Bedeutung. Für alle x R y R + ist log a y x äquivalent zu also zu ln y ln e x ln a x ln a,d.h. y a x e x ln a, log a y x ln y ln a. Früher waren die Logarithmen Grlage für numerisches Rechnen : Logarithmentafeln Rechenstäbe. STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 87

20 3.6 Die trigonometrischen Funktionen 3.6 Die trigonometrischen Funktionen DEFINITION die Kreislinie in C. Sei U : {u C u } LEMMA Es gilt e z e z für alle z C e i t U für alle t R, sowie e i t lim t 0 t Mit Hilfe des Beispiels 3.3. folgt somit e z d.h. e i t. Für alle t [0, ] bekommt man e i t (i t) i t k k! 6 i. z k k! X z k k! ez e i t e i t e i t e i t e i t e i t+i t e 0, k k t k k! t t k (k +)! 6 t k! e t, also e i t i t 6 e t e somit lim i t t 0 i. t DEFINITION Eine stetige Funktion γ :[a, b] C heißt parametrisierte Kurve in C. Sie heißt rektifizierbar, falls der Grenzwert Xn L (γ) : lim (tj ) j0,...,n γ (t j+ ) γ (t j ) existiert, wobei (t j ) j0,...,n die Unterteilung (t j ) j0,...,n von [a, b],d.h. j0 a t 0 <t <...<t n <t n b, durchläuft, deren Feinheit max j0,...,n t j+ t j gegen 0 strebt. L (γ) heißt dann die Bogenlänge von γ. 88 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

21 Die trigonometrischen Funktionen 3.6 HAUPTSATZ Für alle b R + ist die Bogenlänge von γ :[0,b] U : t 7 e i t gleich b. Wir beweisen nicht die Rektifizierbarkeit von γ,daderobigegrenzwertbegriff nicht explizit definiert ist. Für jedes k N betrachten wir die gleichmäßige Unterteilung j b von k j0,...,k [0,b] berechnen lediglich den folgenden Grenzwert mit Hilfe des Lemmas : Xk µ L (γ) :lim k γ (j +) b µ γ j b Xk k k lim k e i (j+) b k e i j b k X j0 k lim k e i j b k j0 e i b k limk k b lim k e i b j0 e i b k b limk k b i b, b k e i b k da lim k b k 0. b k DEFINITION 3 d.h. Es sei cos : R R : t 7 Re e i t sin : R R : t 7 Im e i t, e i t cost + i sin t (Cosinus-Funktion) (Sinus-Funktion) (Eulersche Formel) i sin t exp ( i t) exp( i ) 3 t exp ( i ) 3 t 0 cos t BEMERKUNG Obiger Hauptsatz gibt den Zusammenhang mit der geometrischen Definition aus der Schule. Wir werden im nächsten Satz sehen, daß das Rechnen in C viel einfacher ist! STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 89

22 3.6 Die trigonometrischen Funktionen SATZ (i) Die Funktionen cos sin sind stetig für alle s, t R gilt cos t e i t + e i t sin t i e i t e i t. (ii) cos sin sind eine gerade bzw. eine ungerade Funktion : cos ( t) cost sin ( t) sin t. (iii) (iv) (v) (vi) Additionssätze Summen als Produkt cos s +cost cos s + t sin s +sint sin s + t Reihenentwicklung cos t cos t +sin t cos t, sin t 6. cos (s + t) coss cos t sin s sin t sin (s + t) coss sin t +sins cos t. cos s t cos s t cos s cos t sin s + t sin s sin t cos s + t ( ) k t k (k)! t + t4 4! t6 6! ±... sin s t sin s t. sin t ( ) k t k+ (k +)! t t3 3! + t5 5! t7 7! ±.... Die Stetigkeit von cos sin folgt aus dem Hauptsatz 3.4 dem Beispiel Beweis von (i). Nach Satz.4 gilt cos t Re e i t ³e i t i t + e e i t + e i t sin t Im e i t ³e i t i i t e i e i t e i t. Beweis von (ii). Dies folgt sofort aus (i). Beweis von (iii). Es ist somit cos t, sin t 6. e i t Re e i t + Im e i t cos t +sin t 90 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

23 Die trigonometrischen Funktionen 3.6 Beweis von (iv). Es gilt cos (s + t)+i sin (s + t) e i (s+t) e i s e i t h i h i cos s + i sin s cos t + i sin t h i h i cos s cos t sin s sin t + i cos s sin t +sins cos t. Beweis von (v). h cos s +cost Da s s+t + s t t s+t s t i i + i h sin s +sint, folgt e i s + e i t e s+t e s t + e s+t e s t h i e s+t e s t + e s t cos s + t cos s + t cos s t + i + i sin s + t cos s t sin s + t cos s t h i h i cos s cos t + i sin s sin t e i s e i t e s+t e s t e s+t e s t. h i e s+t e s t e s t cos s + t sin s + t sin s t + i + i sin s + t i sin s t cos s + t Beweis von (vi). Dies ergibt sich aus folgenden Formeln : Ã! X (i t) k Re h(i t) ki cos t Re k! k! sowie Ã! X (i t) k sin t Im k! i k i i falls Im h(i t) ki k! k 0mod4 k mod4 k mod4 k 3mod4 sin s t,. Re i k tk k! Im i k tk k!, da i 4,d.h. Re i k ( ) k ( ) j k j gerade für 0 k ungerade STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 9

24 3.6 Die trigonometrischen Funktionen Im i k 0 k gerade für ( ) k ( ) j k j +ungerade. Beweis von (vii). 9 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

25 Die Zahl π Die Zahl π Diese Zahl wird geometrisch als das Verhältnis des Kreisumfang zur Kreisdurchmesser definiert. Also ist der Umfang des Einheitskreises, dessen Durchmesser ist, gleich π. Wegen Symmetrien ist also die Länge des Kreisbogen von bis i gleich π ist gleichzeitig die erste Nullstelle von cos in R +.Deshalb SATZ (i) Es gilt sin 0 0 sin > 0 auf ]0, ]. (ii) cos 0 cos ist auf [0, ] streng monoton fallend. (iii) Es gibt genau eine Nullstelle von cos in ]0, [. Beweis von (i). Es gilt Für alle t ]0, ] alle k N gilt sin 0 Im e 0 Im0. t k+ (k +)! 6 tk (k )!, da t (k +) k,alsofolgt lx ( ) k k t k+ (k +)! ³ t 5 5! t7 7! ³ t 5 t ! 6! ³ ³ t l (j )! tl+ (l+)! t l 3 (l 3)! tl (l )! + tl+ (l+)! l ungerade l gerade > 0 somit sin t t t3 3! + X ( ) k da 3! 3 <. k t k+ (k +)! t > t µ t +lim l 3! µ t > 0, 3! lx ( ) k t k+ (k +)! > k Beweis von (ii). Es gilt cos 0 Re e 0 Re. Für alle s, t [0, ] mit s>tist nach Satz 3.6.v (i) cos s cos t sin s + t da s+t, s t ]0, ],alsocos s<cos t. sin s t < 0, STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 93

26 3.7 Die Zahl π Beweis von (iii). Für alle k N mit k > gilt k (k)! 6 k (k )!, da 4 6 k (k ), also folgt lx ( ) k k3 somit t k (k)! ³ t6 6! + t8 8! cos! + 4 4! + lim l ³ tl + tl (j )! (l)! ³ ³ t6 + t tl 4 + tl tl 6! 8! (l 4)! (l )! (l)! k3 l gerade l ungerade lx ( ) k t k (k)! < 0. Da cos 0, existiert nach dem Zwischenwertsatz 3. eine Nullstelle von cos in ]0, [.Sieist eindeutig weil cos streng monoton fällt. 6 0 DEFINITION Die einzige Nullstelle von cos in ]0, [ wird mit π bezeichnet. KOROLLAR (i) Es gilt cos > 0 auf 0, π sin ist auf 0, π streng monoton wachsend. (ii) Einfachste Werte insbesondere gilt (iii) (iv) t 0 π π 3π π e i t i i cos t 0 0 sin t e i π. Die Funktionen e i id, cos sin sind π-periodisch, d.h. für alle t R k Z gilt e i t e i (t+k π), cos t cos(t + k π) sin t sin(t + k π). Für alle t R gilt ³ cos t π sint, cos (t π) cos t, ³ sin t π cos t, sin (t π) sin t. 94 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

27 Die Zahl π 3.7 Beweis von (i). Für alle s, t 0, π mit s<tist nach Satz 3.6.v sin s sin t cos s + t sin s t cos s + t sin t s da s+t, t s 0, π somit cos s+t, sin t s > 0. < 0, Beweis von (ii). Die erste Spalte folgt aus dem Satz, (i) (ii). Aus cos π 0, cos π + sin π sin π > 0,bekommtmansin π somit die zweite Spalte. Für die nächsten genügt es zu bemerken, daß Beweis von (iii). Aus (ii) folgt e i k π e i π k i k i i falls k 0mod4 k mod4 k mod4 k 3mod4 e i (t+k π) e i t e i k π e i t e i π k e i t. Beweis von (iv). Dies folgt sofort aus den Additionssätze 3.6.ii., BEMERKUNG Im nächsten Paragraph werden wir sehen (Hauptsatz 3.8), daß e i id :[0, π[ U : t 7 e i t eine Bijektion ist. Wenn t das Intervall [0, π[ durchläuft, so wird U mit e i t im positiven (mathematischen) Umlaufsinn (negativer Uhrzeigersinn) durchgelaufen. Die Koordinatenfunktion dieser Punkt sind cos sin : STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 95

28 3.7 Die Zahl π BEMERKUNG Archimedes hat mit regulären ein- ausgeschriebenen Polygonen mit 96 Ecken gezeigt, daß < π < , wobei Heute ist es leicht, viele Dezimalstellen von π zu bekommen : π BEMERKUNG Als Eselsbrücke kann man folgender Satz benutzen : wie, o dies π macht ernstlich so vielen viele Müh 3, DEFINITION die Tangensfunktion. Sei ³ π Z tan : Rr + π R : t 7 tan t : sin t cos t Es gilt lim t π + tan t lim t π tan t tan ist auf π, π streng monoton wachsend. 96 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

29 Polarkoordinaten Polarkoordinaten Mit Hilfe des Satzes des Korollars 3.7 sieht man, daß die Funktionen h cos [0,π] :[0, π] [, ] sin [ π, π ] : π, π i [, ] stetig streng monoton fallend bzw. wachsend sind. Nach dem Satz über die Umkehrfunktion 3. ergibt sich die DEFINITION Die stetigen Funktionen arccos : cos [0,π] :[, ] [0, π] R arcsin : h sin [ π, π ] [, ] π, π i R heißen Arcus-Cosinus- Arcus-Sinus-Funktionen. HAUPTSATZ Die Funktion ist bijektiv, ihre Umkehrfunktion e i id :[0, π[ U : t 7 e i t arg : e i id : U [0, π[ ist für u α + i β U mit α, β R durch arccos α β > 0 arg u falls π arccos α β < 0. gegeben. Sei u α + i β U mit α, β R. Die Gleichung d.h. das System cos t + i sin t e i t u α + i β, cos t α sin t β ist in [0, π[ eindeutig lösbar : Aus α + β,folgtα [, ], man sieht aus der Symmetrie den Periodizitätseigenschaften von cos, daß alle Lösungen von cos t α der Gestalt ± arccos α + k π für ein k Z STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 97

30 3.8 Polarkoordinaten sind. Da arccos α [0, π],kommennurarccos α π arccos α in Frage. Wegen sin t signum(sint) cos t sin (arccos α) > 0 folgt sin (arccos α) p cos (arccos α) β sin (π arccos α) sin (arccos α) p cos (arccos α) β somit die Behauptung. DEFINITION Die Funktion arg : C [0, π[ :z 7 arg z : arg z z nennt man Argumentfunktion. KOROLLAR Jedes z C hat eine eindeutige Darstellung in Polarkoordinaten : es gilt Man schreibt auch z r e i ϕ mit r R + ϕ [0, π[ ; r z ϕ argz. z z signum z z e i arg z. Die Existenz ergibt sich aus dem Hauptsatz obiger Zeile, da signum z : z z U. Ist z r e i ϕ,soistr r e i ϕ z somit e i ϕ signumz e i arg z,alsoϕ argz, d.h. es folgt die Eindeutigkeit. DEFINITION 3 Für z C heißt arg z der Winkel zu z im Bogenmaß.DieZahl 360 arg z π heißt Winkel zu z im Gradmaß. Damit entsprechen die Winkel im Bogenmaß π, π 3π 90, bzw. die Winkel im Gradmaß BEMERKUNG Statt [0, π[ für die Werte der Argumentfunktion kann man z.b. auch ] π, π] oder π, 3π wählen. Dann gilt arccos α β > 0 arcsin β α > 0 arg u si bzw. arg u si. arccos α β < 0 π arcsin β α < 0 98 STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN

31 Polarkoordinaten 3.8 BEMERKUNG Schreibt man x + i y z r e i ϕ, so ist x r cos ϕ y r sin ϕ. Man spricht von den Polarkoordinaten in R r {0}. Interpretation der Multiplikation in C Für alle z,w C gilt z w z e i arg z w e i arg w z w e i (arg z+arg w), d.h die Multiplikation komplexer Zahlen entspricht der Multiplikation der Beträge der Addition der Argumente. Aber es gilt nur arg (z w) arg z +argw mod π! SATZ Für alle w C sind die komplexen Zahlen w (arg w+π k) n e i n für k 0,...,n die Lösungen von z n w. Insbesondere sind wobei ± w, w : w e i arg w. die Lösungen von z w. Der Beweis wird dem Leser überlassen. Ob man [0, π[ oder ] π, π] benutzt, so gilt i. BEMERKUNG 3 Achtung! mit der Benutzung von.fürallea, b R + gilt a b a b, aber nicht i Der Fehler hängt an folgende Tatsache : d.h. q ( ). arg ( ) arg()06 π arg( ) + arg ( ), 6 q ( ). STETIGKEIT UND STANDARDFUNKTIONEN 99