5.10.301 ****** 1 Motiation Beugung am Gitter: Wellen breiten sich nach dem Huygensschen Prinzip aus; ihre Amplituden werden superponiert (überlagert). Die Beugung am Gitter erzeugt ein schönes Beugungsbild mit mehreren punktförmigen Intensitätmaxima. 2 Experiment Laser Blende Gitter Abbildung 1: Experimenteller Aufbau zur licht Abb. 1 zeigt den experimentellen Aufbau. Ein Laserstrahl gelangt durch eine Lochblende auf ein Streifengitter, an dem das Licht gebeugt wird, so dass auf der Hörsaalwand eine Anzahl schöner Intensitätsmaxima zu sehen ist (siehe Abb. 2). 3 Theorie der Beugung 3.1 Das Prinzip on Huygens Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfläche wird als Zentrum einer neuen kugelförmigen Elementarwelle aufgefasst. Die Umhüllende dieser Elementarwellen ergibt dann die Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt. 1
Abbildung 2: Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 2008 1 Eine Wellenfläche wird folgendermassen definiert. Alle Punkte der Wellenfläche genügen der Beziehung: k r ωt = ϕ, (1) wobei k den Wellenzahlektor ( k = 1/λ), ω die Kreisfrequenz und ϕ eine beliebige, aber fest orgegebene Phase bedeuten. Abb. 3 und Abb. 4 zeigen diese Elementarwellen für eine ebene bzw. eine Kugelwelle. 3.2 Beugung Falls sich beim Übertritt einer Welle in ein anderes Medium die Phasengeschwindigkeit = ω/k ändert, ändert sich entsprechend auch der Radius r = t der sich in der Zeit t neu ausbreitenden Kugelwellen. Das Huygensche Prinzip ist über 300 Jahre alt. Heute wissen wir, dass die Atome der Materie die Quellen darstellen. Im Fall on Licht beispielsweise absorbieren die Photonen, schwingen eine gewisse Zeit als harmonische Oszillatoren und emittieren wieder Licht als Kugelwelle. t = 6 t t = 4 t t = 2 t t = 0 Abbildung 6.1: 3: Huygenssches Prinzip bei bei einer ebenen Wellenfront. 2
Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 2008 Beugung am Gitter mit1 Laser Q Abbildung 6.1: 4: Huygenssches Prinzip bei bei einer Kugelwelle (Quelle Q). Q). Die Phasenbeziehung der einzelnen Punktquellen bewirkt, dass sich die Welle weiterhin in der ursprünglichen Richtung bewegt. Bei elektromagnetischen Wellen im Vakuum sind die Quellen abwechselnd die elektrischen und magnetischen Felder der Welle. Es seien Q 1,...,Q n in einer Reihe angeordnete Quellen kohärenter Kugelwellen gleicher Amplitude a und im Abstand δ oneinander (siehe Abb. 5). Die Phasendifferenz ϕ zweier benachbarter Quellen in Richtung α ist gleich ϕ = 2π λ s = kδ sin α für δ r (2) Ferner sei auch d (N 1)δ r, (3) wobei r der Abstand des Punktes P om Mittelpunkt der Anordnung ist, an dem die Interferenz aller on den N Quellen ausgehenden Kugelwellen berechnet werden soll (siehe Abb. 6). Die Überlagerung dieser Wellen im Punkt P ergibt die Amplitude: ξ(α) = N n=1 a r ei(krn ωt) (4) Ohne Verlust der Allgemeinheit wählen wir N ungerade, also N = 2M + 1. Damit gilt r n = r + (M + 1 n) s (5) kr n = kr + (M + 1) ϕ n ϕ (6) { ξ(α) = a 2M+1 r ei(m+1) ϕ n=1 e in ϕ } e i(kr ωt) (7) 3
Ebene Welle y s = δ sin α Q 5 Q 4 Wellenfront Q 3 Q 2 δ Q 1 α s α x Abbildung Abbildung 5: Überlagerung 6.1: Überlagerung der on Nder Quellen on Nauslaufenden Quellen auslaufenden Kugelwellen Kugelwellen in Richtung des in Winkels α. Richtung des Winkels α. Die Summe der Exponentialfunktionen können wir umformen, da sie eine endliche geometrische Reihe in x = e i ϕ darstellt. Aus der Identität folgt nämlich 2M+1 n=1 x + x 2 +... + x k = xk+1 x x 1 e in ϕ = e i ϕ(2m+2) e i ϕ e i ϕ 1 = e i ϕ/2 e i ϕ(m+1) e i ϕ(m+1) e i ϕm e i ϕ/2 e i ϕ/2 (10) = e i ϕ(m+1) e in ϕ/2 e in ϕ/2 e i ϕ/2 e i ϕ/2 (11) = e i ϕ(m+1) sin N ϕ/2 sin ϕ/2 (8) (9) (12) 4
y Q 2M+1 r 2M+1 P Q 2M 1 r Q M α r 1 Q 3 2δ Q 1 x Abbildung 6.1: Zur Berechnung der Interferenz im Punkte P. Abbildung 6: Zur Berechnung der Interferenz im Punkte P. Damit ergibt sich für die Amplitude: ξ(α) = a r sin N ϕ/2 sin ϕ/2 ei(kr ωt) (13) und für die Intensität I = a2 r 2 sin2 N ϕ/2 sin 2 ϕ/2 (14) Abb. 7 zeigt erschiedene Intensitätserteilungen. Bei Abb. 7 a) und b) ist die gesamte Breite d gleich gross, aber die Zahl der Quellen unterscheidet sich um einen Faktor 10. Man beachte den unterschiedlichen Winkelmassstab! Bei Abb. 7 b) und c) ist dagegen die Zahl N der Quellen gleich gross, dafür ist der Abstand δ und damit die gesamte Breite d bei c) erdoppelt. Wir halten fest: a) Bei α = 0 liegt ein Maximum der Intensität, welche für grosse α stark abfällt. Die Breite des Maximums ist proportional zu 1/N. 5
Physik II, Prof. W. Fetscher, FS 2008 1 V0510301 c) I (α) N = 10 δ = 5λ α/mrad 1200 800 400 0 400 800 1200 I (α) N = 10 b) δ = 5λ 2 a) I (α) α/mrad 1200 800 400 0 400 800 1200 N = 100 δ = λ/4 α/mrad 200 100 0 100 200 Abbildung Abbildung 7: Intensität 6.1: Intensität im Punkte imppunkte als Funktion P als Funktion des Winkels desα. Winkels Eine ebene α. Eine Welle ebene fällt ein, und NWelle kohärente fällt ein, Quellen undim N gleichmässigen kohärente Quellen Abstand im gleichmässigen δ oneienander Abstand emittierenδ Kugelwellen, onei- in grossem emittieren AbstandKugelwellen, r interferieren. welche in grossem Abstand r welcheenander interferieren. 6
V05100801 Intensitätserteilung der Beugung am Spalt b) Für δ > λ gibt es mehrere Maxima, und zwar für die Winkel sin α n = n λ δ, Entscheidend ist also das Verhältnis δ/λ! n = 0, 1, 2,..., p < δ λ (15) c) Man beachte: Es gilt stets: r d. Deshalb spielt der r 1 -Term der Kugelwelle keine Rolle, da er für alle Punktquellen gleich gross ist. Wenn man nun bei konstantem Abstand r die Breite d ergrössert, tragen zunehmend mehr Quellen zur Amplitude am, allerdings mit kleinerer Amplitude wegen des r 1 -Terms der Kugelwelle. Für d erschwindet die Interferenzerscheinung. 7