Grundvorstellungen zu Multiplikation und Division

Grundvorstellungen zu Multiplikation und Division Dr. Elke Warmuth Wintersemester 2017/18 1 / 29

Modell Mengenvereinigung Quelle: Zahlenbuch 2, S. 64 2 / 29

Modell Mengenvereinigung Multiplikation als wiederholte Addition gleicher Summanden: zeitlich nacheinander/dynamisch: Greife zweimal in den Schrank und nimm jedes Mal fünf Teller: 2 5 = 5 + 5 = 10. Das ergibt insgesamt 10 Teller. räumlich simultan/statisch: Das Gewürzregal hat 3 Reihen, in jeder Reihe stehen 6 Gewürzdosen: 3 6 = 6 + 6 + 6 = 18. Das ergibt insgesamt 18 Gewürzdosen. 3 / 29

Modell Mengenvereinigung Vorteil: intuitive Vorstellungen werden in vertrauten Situationen aufgegriffen Nachteile: 1. Aus der Situation erschließt sich die Kommutativität der Multiplikation nicht von selbst. Bei der Auffassung von 3 6 als 6 + 6 + 6 haben die beiden Faktoren 3 und 6 unterschiedliche Bedeutung: 3 ist der Multiplikator, 6 der Multiplikand. 2. Multiplikation erscheint nur als verkürzende Schreibweise und nicht als eigenständige Rechenoperation. Dennoch ist es die übliche Herangehensweise. 4 / 29

Modell Mengenvereinigung Nachteil 1 wird durch (schnellen) Übergang zu Punktmustern gemildert. Quelle: https://kira.dzlm.de/arithmetik-bis-zum-2-schuljahr/ 5 / 29

Modell Mengenvereinigung zum mündlichen und halbschriftlichen Rechnen: Wir wollen kein Normalverfahren den Kindern aufnötigen. Nicht darauf kommt es an, dass das Kind einen be- stimmten Weg mit Sicherheit gehen lernt das streben wir an bei der Gewöhnung der Pferde, sondern dass es seinen Weg allein zu suchen und zu finden weiß. Quelle: J. Kühnel: Neubau des Rechenunterrichts, 10. Aufl. Bad Heilbrunn: Klinkhardt, 1959. Verschiedene Wege der Kinder sind Anlass zur Kommunikation. Kinder begründen ihren Weg. Nicht jeder Weg ist gut für jede Aufgabe. 8 / 29

Modell Mengenvereinigung Beispiel für schriftlich-reflektierendes Mathematiklernen: Quelle: P. Gallin, U. Ruf: Sprache und Mathematik. 1. bis 3. Schuljahr. Zürich: Lehrmittelverlag des Kantons Zürich, 1995 10 / 29

Modelle/Grundvorstellungen fu r die Multiplikation Modelle/Grundvorstellungen fu r die Division Modell Mengenvereinigung Quelle: P. Gallin, U. Ruf: Sprache und Mathematik. 1. bis 3. Schuljahr. Zu rich: Lehrmittelverlag des Kantons Zu rich, 1995 11 / 29

Modell Mengenvereinigung Videos aus https://kira.dzlm.de/arithmetik-bis-zum-2-schuljahr/multiplikationund-division-lernstaende-und-entwicklungen 4. Lernentwicklungen 12 / 29

Modell Kartesisches Produkt 13 / 29

Modell Kartesisches Produkt nicht als Einführung, aber später: Quelle: Zahlenbuch 2, S. 127 14 / 29

Modell Kartesisches Produkt Quelle: Zahlenbuch 2, S. 127 15 / 29

Operatorenmodell 16 / 29

Modell Verteilen Quelle: Matheprofis 2, S. 90 17 / 29

Modell Verteilen Quelle: Matheprofis 2, S. 90 18 / 29

Modell Aufteilen Quelle: Matheprofis 2, S. 91 19 / 29

Modell Aufteilen Quelle: Matheprofis 2, S. 91 20 / 29

Modelle Aufteilen und Verteilen 21 / 29

Modelle Aufteilen und Verteilen Quelle: https://www.rinkens-hd.de/de/skripte/didaktik-arithmetik 22 / 29

Modelle Aufteilen und Verteilen Videos aus https://kira.dzlm.de/node/190 Yazid Elternabend Yucel Kartenspiel Stelian Elternabend Die Modelle Verteilen und Aufteilen sind kein Lehrstoff! 23 / 29

Modelle Aufteilen und Verteilen Videos aus https://kira.dzlm.de/node/190 Stelian - Sportfest Zahlenwerte suggerieren Verteilansatz. Umdeutung auf den Sachverhalt gelingt nicht. 24 / 29

Modelle Subtraktion und Umkehroperation Subtraktion Beispiel: 12 Quadrate werden in Zweierreihen aufgeteilt: 12 2 2 2 2 2 2 = 0 12 : 2 = 6 Es ergibt 6 Zweierreihen. Umkehroperation Beispiel: Mit 20 : 5 bezeichnen wir die Zahl, die mit 5 multipliziert 20 ergibt. 20 : 5 = x x 5 = 20 25 / 29

Modelle Subtraktion und Umkehroperation Missverständnisse: Lina wurde zu Beginn des 3. Schuljahrs die kontextfrei dargebotene Aufgabe 60:4 gestellt. Ihr Lösungsansatz bestand zunächst darin, die Zahl zu suchen, deren Vierfaches 60 ergibt: Sie begann mit 20, probierte es dann mit 18 und 21 und versuchte es anschließend mit 16. An dieser Stelle setzt der folgende Gesprächsausschnitt ein. L: Ähm, 16 mal... äh, 16 mal 4 ist... 4 Zehner sind erst mal wieder 40, dann 46 und plus 4... 50... 52 plus 6 sind 58... passt auch nicht. I: Wieso hast du gerade plus 6 gesagt? L: Was, wo? I: Du hast gerade plus 6 gesagt. 52 plus 6 sind 58. L: Ja. I: Wieso 6? 26 / 29

Modelle Subtraktion und Umkehroperation L: Weil ich da noch einmal... ich hatte ja 16 mal 4 gerechnet. Da muss ich noch eine 6 dazurechnen. Weil ich erst die ganzen vier Zehner gemacht habe und denn die Sechser. I: Aber wenn du 16 mal 4 rechnest, sind es ja nicht 4 Sechser, sondern 6 Vierer, ne, die du dazurechnen musst. Aber du weißt ja, dass zehnmal 4 vierzig ist, hast du eben gesagt, ne? L: Ja. I: Und wievielmal 4 sind 20? (Lina überlegt, lacht) Hilft dir das vielleicht? L: Wievielmal 4 Zehner oder...? I: Zehnmal 4 sind 40. L: Ja. I: Und wie viel fehlen dann noch bis 60? L: 20. I: Und wievielmal 4 sind 20? 27 / 29

Modelle Subtraktion und Umkehroperation L: Was? Wievielmal 4 sind 20? (leise) 8... 12... 16... 20. (laut) Ah, jetzt hab ich nicht mitgezählt, ich Doofi, ähm, mal eben zählen. Also 4, 8, 12, 16, 20 (zählt mit den Fingern die einzelnen Vierer mit)... 5. I: Hm, und wenn du jetzt weißt, dass zehnmal 4 vierzig sind und fünfmal 4 zwanzig ist? L: (nach 24 Sekunden, unsicher) 5? Nee... oder doch... (nach 25 Sekunden) I: Die 4 passt zehnmal in die 40 und fünfmal in die 20. Und 40 und 20 ist ja 60. Wie oft passt sie dann in die 60? L: Die 4... I: Wenn sie zehnmal in die 40 passt und dann noch fünfmal dazu... L: 15. I: 15, ne. L: Hm. Quelle: C. Selter, H. Spiegel: Wie Kinder rechnen. Leipzig: Klett, 1997. 28 / 29

Modelle Subtraktion und Umkehroperation Aufgabe Wieso (und an welchen Stellen) reden Lina und die Interviewerin aneinander vorbei? Welchen Rechenweg schlägt Lina ein? Welchen die Interviewerin? Lina verteilt die 60 an vier gleich große Teilmengen. 4 x = 60 Sie löst die Aufgabe durch Probieren und prüft mit Hilfe der Umkehroperation. Die Interviewerin denkt, dass Lina herausfinden will, wie oft die 4 in die 60 passt. x 4 = 60 Sie interpretiert also die Divisionsaufgabe als Aufteilen. 29 / 29