Brüche und Bruchrechnung

Transkript

1 Brüche und Bruchrechnung Annäherungen an ein schwieriges Thema Matthias Römer UdS & LPM

2 2 Wir sind uns einig: 1 3 > 1 4

3 3 Unsere Erfahrungen und die Erfahrungen der Schülerinnen und Schüler mit Brüchen: Probleme im Begreifen von Brüchen Probleme mit dem Rechnen mit Brüchen Probleme im Umwandeln von Brüchen Probleme... Probleme mit Brüchen!

4 4 Für Schüler/innen sind Brüche unter anderem mit folgenden Assoziationen verknüpft: Erzählungen der Eltern, Bekannten mit Betonung der Schwierigkeiten. Ferne von der eigenen Lebenswelt und somit Uneinsichtigkeit über das Behandeln des Themas Unklar, weil es oft formelhaft in den Köpfen verankert wird. (Ein Bruch wird dividiert...) Unlogisch, weil andere Eigenschaften vorhanden sind als bei anderen Zahlen. Unfassbar, weil keine anschauliche Verknüpfung erfolgt.

5 5 Was ist eigentlich ein Bruch? Wie stelle ich ihn mir vor, 17 wie sieht er aus, was kann er und was tut er? 59

6 6 Was ist eigentlich ein Bruch? Arbeitsauftrag 1: Notieren Sie die Antwort, die sie einem Grundschüler der zweiten Klassenstufe geben würden und die Antwort, die sie einer Kollegin/einem Kollegen geben würden.

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9 9 Matthias Römer - Universität des Saarlandes & Landesinstitut für Pädagogik und Medien Brüche und Bruchrechnung Berlin 2011

10 10 Beispiele zum Bruch 3 4 : (nach Heinrich Winter 2006)

11 11 oder:

12 12 Es existieren zwei Ebenen der Behandlung: Inhaltlich- anschauliche Phase Formal- regelhafte Phase Die erste Phase ist die entscheidende Phase für das Verstehen der Brüche und der Bruchrechnung!

13 13 Grundvorstellungen zu Bruchzahlen: (nach Malle 2004) Teil (eines Ganzen): 3 4 (von 1) Resultat einer Division: 3 4 = 3 : 4 Relativer Anteil: 3 4 von Verhältnis: 3 = 3 : 4 (3 zu 4) 4 Vergleichsoperator: 3 4 mal so viele wie... Quasikardinalzahl: 3 4 = 3 Viertel Absoluter Anteil: drei von vier Quasiordinalzahl: jeder Vierte

14 14 Beispiel: Die Pizzateilung (nach Heinrich Winter 2006) Arbeitsauftrag 2: Nennen Sie mindestens drei verschiedene Möglichkeiten, wie sie drei Pizzen an vier Kinder verteilen können.

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17 17 Die Herausforderung liegt darin, die verschiedenen Bedeutungen von Brüchen deutlich werden zu lassen. Der Anteilsbegriff darf nicht alleine stehen und er muss vielfältige Verwendung finden.

18 18 Arbeitsauftrag 3: Ein Stab wird im Verhältnis 2:5 zerschnitten. Was hat das mit 2 5 zu tun? Hertha BSC gegen FC Kaiserslautern spielt 1:3. Wieso ist das 1? 3 Mischung und Verdünnung 1:10 - ist das das Gleiche?

19 19 Arbeitsauftrag 4:

20 20 Anteile sind nicht immer gleichmäßig:

21 21 Nicht nur in eine Richtung fragen:

22 22 Arbeitsauftrag 5: Ideen mit dem Geobrett

23 23 Bruchrechnung: Es ist zentral diejenigen Stellen, in denen die Bruchrechnung im direkten Widerspruch zu der bisherigen (mathematischen) Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler steht, zu thematisieren und auch auf einer Metaebene zu besprechen. Nur wer die Bruchstellen der Bruchrechnung zur bisherigen Mathematik versteht, kann auch den Schülern helfen, diese Bruchstellen zu überwinden.

24 24 Bruchstellen zur bisherigen Vorstellung (nach Prediger 2004): Eine Zahl und eine Rechenaufgabe beantworten eine Frage nach wie viele?. Eineindeutigkeit zwischen Zahl und Zahlzeichen Jede Zahl hat einen Nachfolger und einen Vorgänger. Jede Rechenoperation liefert ein Ergebnis in der üblichen Ziffernsprache. Die Division ist nicht immer restlos möglich. Das Ergebnis ist immer kleiner als die geteilte Zahl (wenn sie möglich ist). Multipliziert man zwei Zahlen. miteinander, die größer als 1 sind, dann ist das Ergebnis größer als jede der beiden Zahlen.

25 25 Ideen zum Umgang damit: Brüche in der Vorstellung thematisieren und erklären. Kinder die Vorstellungen verbalisieren lassen. Kinder nach Erklärungen für die Brüche suchen lassen Verwendung von Modellen...

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27 27 Arbeitsauftrag 6: Vergleichen Sie die folgenden Brüche mit dem Bruchteil 1 2. Stellen Sie den Unterschied fest, indem Sie den Bruchteil zeichnen. 2 3 ; 1 8 ; 1 10

28 28 Grundvorstellungen zum Rechnen mit Bruchzahlen: (nach Malle 2004) Erweitern und Kürzen 1 2 Verfeinerung der Einteilung Vergröberung der Einteilung 2 4 Addition und Subtraktion von Bruchzahlen Zusammenfügen, Hinzufügen Addieren Subtrahieren Wegnehmen Vorwärtsbewegen, Vorwärtsschreiten (z.b. in Fünftelschritten) Rückwärtsbewegen, Rückwärts- schreiten (z.b. in Fünftelschritten)

29 29 Grundvorstellungen zum Rechnen mit Bruchzahlen: (nach Malle 2004) Multiplikation einer natürlichen Zahl mit einer Bruchzahl Abgekürzte Addition: " 3# " 3 # Von- Deutung: 4 5 von 3 Multiplikation von Bruchzahlen Division von Bruchzahlen Von- Deutung: 2 3 " 5 7 = 2 3 von : : 7 10 Teilen (Verteilen) Messen (Aufteilen)

30 30 von nach Hischer Nimm 1 5 von 10 Äpfeln. Nimm 2 5 von 10 Äpfeln. Nimm 10 5 von 10 Äpfeln. Nimm das Doppelte von 10 Äpfeln. Nimm 2 von 10 Äpfeln.

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32 32 Arbeitsaufträge 6:

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37 37 Arbeitsauftrag 7: Weinschorle In einem Weinglas ist Wein zu Sprudel im Verhältnis 1:4 gemischt. Es enthält 500 ml. In einem anderen Weinglas ist Wein zu Sprudel im Verhältnis 1:3 gemischt. Es enthält 400 ml. Sie schütten beide Gläser zusammen. Wie ist das Mischungsverhältnis im neuen, 900 ml fassenden, Glas? Warum?

38 38 Arbeitsauftrag 8 (zu guter Letzt): Ein Glas mit Wasser, ein Glas mit Sirup. Beide mit dem gleichen Fassungsvermögen. Aus dem einen nehmen Sie eine Menge Sirup heraus und machen ihn ins Wasser. Nun wird gemischt. Nun nehmen Sie aus der Mischung die gleiche Menge heraus und machen es wieder in den Sirup. Die Mischungsverhältnisse sind nun in beiden Gläsern gleich. Warum? Tipp: Nutzen Sie konkrete Zahlen.