Projekt Sonnenuhr Version 1. - 1-12.1.9
1 INHALTVERZEICHNIS 1 Inhaltverzeichnis...2 1.1 Versionsverwaltung...2 2 Thema...3 2.1 Pflichtenheft...3 3 Astronomische Hintergründe...4 3.1 Nummer des Tages im Jahr...4 3.2 Modellierung...5 3.3 Äquatoriale Koordinaten...6 3.3.1 Deklination...6 3.3.2 Sonnenortszeiten...7 3.3.3 Effekt der elliptischen Bahn...7 3.3.4 Effekt der schiefen Erdachse...8 3.3.5 Die Zeitgleichung...8 3.3.6 Zeitmessung...8 3.3.7 Sonnenzeit bzw. -winkel...9 3.4 Horizontale Koordinaten...1 3.4.1 Sonnenhöhe γ...1 3.4.2 Sonnenazimut α...1 3.5 Sonnenauf- und -untergang...11 4 Katalogisierung der Sonnenuhren...12 4.1 Nicht einstellbare Sonnenuhren...12 4.1.1 Messung der Sonnenhöhe (Deklination)...12 4.1.2 Messung der Sonnenazimut...12 4.1.3 Messung von Sonnenazimut und -höhe...12 4.2 Einstellbare Uhren...12 5 Wahl der Lösung...13 5.1 Diskussion...13 5.2 Konzept...13 6 Berechnung und konstruktion...15 6.1 Tabelle 1_Eingaben...15 6.2 Tabelle 2_ND...15 6.3 Tabelle 3_Analemma...15 6.4 Tabelle 4_Simulation...15 6.5 Tabelle 5_Konstruktion...15 6.5.1 Eingabe...15 6.5.2 Darstellungen...15 6.5.3 Die Skala...16 7 Bibliographie...17 7.1 Buch...17 7.2 Web-Seiten...17 1.1 Versionsverwaltung Version Datum Aenderungen 1. 11.8.9 Ursprung - 2-12.1.9
2 THEMA 2.1 Pflichtenheft Im Hinblick auf die zukünftige Gestaltung der Erholungsfläche im FH-Campus Brugg- Windisch ist eine Sonnenuhr zu entwerfen. Die Realisierungsart und die Wahl der Materialien sind frei. Die mittlere europäische Zeit (MEZ) soll direkt, ohne Berechnung auf höchstens 2 Skalen (Sommer- und Winterzeit) ablesbar sein. Der Anzeigefehler soll kleiner als +/- 5 min sein. Die Sonnenuhr wird ins Freie gestellt und der Witterung überlassen. Sie soll also feuchte- und temperaturresistent sein oder entsprechend geschützt sein. Die Funktionsfähigkeit der erarbeiteten Lösung wird mittels eines mathematischen Modells belegt. Ein Muster oder Modell kann hergestellt werden, ist aber nicht verlangt. - 3-12.1.9
3 ASTRONOMISCHE HINTERGRÜNDE Anhand von: Datum: Tag, Monat, Jahr Zeit: Uhrzeit und Sommerzeit (ja/nein) Zeitzone Standortkoordinaten: Längengrad, Breitengrad φ Astronomische Kenndaten werden die Horizontalkoordinaten berechnet: α = Azimutwinkel gegenüber Süden γ = Sonnenhöhe über dem Horizont 3.1 Nummer des Tages im Jahr Da die Sonnenposition jedes Jahr um die gleiche Zeit gleich ist, muss die Anzahl Tage vom 1.Januar bis zum jeweiligen Tag bekannt sein. Das Jahr ist ein Schaltjahr wenn durch 1 und 4 teilbar wenn durch 4 aber nicht durch 1 teilbar Anzahl Tage bis Monat M: Wenn M <3 Wenn Schaltjahr 62 NM = INT (( M 1) ) 2 sonst 63 NM = INT (( M 1) ) 2 Wenn M>=3 Wenn Schaltjahr NM = INT (( M + 1)3.6) 62 sonst NM = INT (( M + 1)3.6) 63 Anzahl Tage: ND= Tag + NM Datum ND 2.6 171 1.7 182 1.7 191 2.7 21 1.8 213 1.8 222 2.8 232 1.9 244 1.9 253 2.9 263 1.1 274 1.1 283 2.1 293 1.11 35 1.11 314 2.11 324-4 - 12.1.9
1.12 335 1.12 344 2.12 354 3.2 Modellierung Für die Berechnung der Sonnenkoordinaten benutzt man folgendes Modell: 1) Die Sonne dreht um die Erde 2) Die Berechnungen erfolgen in der Äquatorebene statt in der Ekliptikebene 3) Die Sonne bewegt sich auf einem Kreis statt auf einer Ellipse zeclip zequat = Nordpol yeclip γ lon RA Decl oblecl yequat xeclip = xequat Abbildung 1: Äquatorebene Die Koordinatenachsen xeclip und xequat sind identisch. Dadurch bilden sich zwei gemeinsame Punkte (Knoten) auf der Sonnenbahn. Der eine ist der Frühlingsknoten γ. Er dient als Referenz für die Berechnung der Sonnenbahn. Die Sonne bewegt sich in der Ekliptikebene. Zu einer bestimmten Zeit ist sie um den Winkel lon vom Knoten γ entfernt. Dies entspricht einem Winkel RA und einer Höhe Decl in der Äquatorebene - 5-12.1.9
3.3 Äquatoriale Koordinaten Lage der Erde bei der Sommer-Sonnenwende (Summer solstice) Abbildung 2: Deklination im Laufe des Jahres 3.3.1 Deklination Anstatt aus den Ekliptik- und Äquatorialkoordinaten (lon. RA Decl) die Sonnenposition genau zu berechnen, wird eine Näherung benutzt. Die Deklination δ wird nach Bourges (1985) am Tag ( ND 79.346) w = 2π 365.25 wie folgt berechnet: δ =.3723 + 23.2567 sin( w) 758 cos( w) +.1149 sin(2w) +.3656 cos(2w).1712 sin(3w) +.21cos(3w) - 6-12.1.9
3.3.2 Sonnenortszeiten Die Wahre OrtsZeit WOZ ist die wahre Sonnenzeit am Beobachtungsort. Um WOZ=12: ist der Sonnenstand am höchsten (Zenit). Gegenüber einer regelmässigen Bewegung einer idealen Sonne, geht die wahre Sonne manchmal vor, manchmal nach. Die Mittlere OrtsZeit MOZ ist Sonnenzeit der regelmässigen Sonne. Die mittlere, imaginäre Sonne ist um MOZ=WOZ-E am Zenit. E = Zeiteffekte (siehe 3.3.3 und 3.3.4) oder E = WOZ MOZ (> wenn Sonne vorgeht) 3.3.3 Effekt der elliptischen Bahn Die wahre Sonne bewegt sich auf einer Ellipse, die mittlere Sonne auf einem Kreis. 2. Januar = = 3. Juli Abbildung 3: elliptische Bahn Der Fehler entspricht der grünen Kurve auf der nächsten Abbildung Wahre Sonne geht vor Wahre Sonne geht nach Abbildung 4: Zeitgleichung - 7-12.1.9
3.3.4 Effekt der schiefen Erdachse Drehung der Himmelskugel Abbildung 5: Schiefe Achse Da die wahre Sonne sich auf der Ekliptik statt auf dem Äquator bewegt entsteht einen Fehler, welcher der roten Kurve in Abbildung 4 entspricht. 3.3.5 Die Zeitgleichung Die Zeitgleichung ist die Summe beider oben erwähnten Effekte. (schwarze Kurve in Abbildung 4): E [Min] = WOZ MOZ Nährung der Zeitgleichung durch eine Fourier-Serie nach Spencer in Minuten: 72 E := (.75 +.1868 cos( B).3277 sin( B).14615 cos( 2 B).489 sin( 2 B) ) π mit B = 2π ND 365 3.3.6 Zeitmessung Die Universale Zeit UT Sie ist die regelmässige Zeit (Uhrzeit) beim Greenwich-Meridian ohne Berücksichtigung der Sommerzeit. Die Mittlere Europäische Zeit MEZ Sie ist die regelmässige Zeit (Uhrzeit) in Europa (beim Görlitz-Meridian= 15 östlich von Greenwich) Mit der Sonnengeschwindigkeit (Erddrehgeschwindigkeit) von 4min/Grad und Berücksichtigung der Sommerzeit (1h oder ) ist: UT = MEZ - 4min*15 - Sommerzeit = MEZ - 1[h] - Sommerzeit - 8-12.1.9
UT MEZ Abbildung 6: Zeitzonen Zusammenhang MEZ = f( MOZ ) Per Definition wird die geographische: Länge Östlich von Greenwich positiv gerechnet: Westlich von 15 (Länge < 15 ) finden die Himmelsereignisse Δt=4*(15-Länge) später als die MOZ (Dt>) Östlich von 15 (Länge > 15 ) finden die Himmelsereignisse Δt=4*(15-Länge) früher als die MOZ (Dt<) Also MEZ = MOZ + Δt = MOZ - 4min*(15 - Länge[ ]) 3.3.7 Sonnenzeit bzw. -winkel MEZ = MOZ + 4min*(15 - Länge[ ]) mit MOZ = WOZ - E (Zeitgleichung) und Berücksichtigung der Sommerzeit MEZ Sommerzeit = WOZ E + 4min*(15 Länge) WOZ = MEZ + E + 4min*(15 - Länge) - Sommerzeit Die Sonnenzeit ts ist der Stundenwinkel der wahre Sonnenposition (WOZ = wahre Ortszeit) westlich von 12: am Beobachtungsort (westlich ts >, östlich ts < ) ts = WOZ 12 Der entsprechende Sonnenwinkel ω [grad] gegenüber 12: oder Süden (ω> westlich, ω< östlich) ist: 36 ϖ = ts 24-9 - 12.1.9
3.4 Horizontale Koordinaten Abbildung 7: Umwandlung der Koordinaten ω = Sonnenwinkel δ = Deklination Φ = Geographische Breite des Beobachtungsortes γ = gesuchte Sonnenhöhe über das Horizont 3.4.1 Sonnenhöhe γ Der Seitencosinussatz wird am gelben sphäris chen Dreieck (Abbildung 7) angewendet cos(9 - γ ) = cos(9 - Φ )cos(9 - δ ) + sin(9 - Φ)sin(9 -δ )cosϖ sin γ = sin Φ sinδ + cos Φ cosδ cosϖ γ = arcsin(sin Φ sin δ + cos Φ cosδ cosϖ ) 3.4.2 Sonnenazimut α Der Seitencosinussatz wird am gelben sphärischen Dreieck angewendet cos(9 δ ) = cos(9 φ)cos(9 γ ) + sin(9 φ)sin(9 γ )cos(9 α) sinδ = sinφ sin γ cosφ cosγ cosα sinφ sin γ sinδ cosα = cosφcoxγ 18 sinφ sinγ sinδ α = arccos π cosφ cosγ 18 sinφ sin γ sinδ α = arccos π cosφ cosγ wenn ϖ < sonst - 1-12.1.9
3.5 Sonnenauf- und -untergang Bei Sonnenauf- bzw. -untergang ist die Sonnenhöhe γ null. Die Sonne steht am Horizont. Der Azimut α ist dann: 18 sinδ α = arccos π cosφ 18 sinδ α = arccos π cosφ wenn ϖ < sonst Zur Darstellung braucht man ω: Aus 3.4.1 : sinγ = sin Φsinδ + cosφ cosδ cosϖ = sin Φ sinδ cosω = cosφ cosδ ω = ± arccos( tgφtgδ ) 24* ω ts = 36 WOZ = 12 ts WOZ = 12 + ts E[min] + 4[min]*(15 Länge) MEZ = WOZ + Sommerzeit 6 E[min] + 4[min]*(15 Länge) MEZ = WOZ + Sommerzeit 6 Für einen bestimmten Standort kann die Zeit von Sonnenaufgang und Sonnenuntergang dargestellt werden. Pro Standort wird das Design der Skala jedoch anders aussehen. - 11-12.1.9
4 KATALOGISIERUNG DER SONNENUHREN 4.1 Nicht einstellbare Sonnenuhren 4.1.1 Messung der Sonnenhöhe (Deklination) Der Gnomon kann horizontal bzw. vertikal, die Skala vertikal bzw. horizontal sein Vorteile: einfach Nachteile: Um Mittag sehr unpräzis, da die Sonnenhöhe während zwei Stunden annähernd gleich bleibt. Am Abend auch unpräzis, da die Luftrefraktion die Sonnenhöhe verändert. Nur für einen Standort gültig. 4.1.2 Messung der Sonnenazimut Der Gnomon ist parallel zur Erdachse. Die Skala ist vertikal, senkrecht zum Gnomon oder horizontal. Der Gnomon kann auch horizontal bzw. vertikal, die Skala vertikal bzw. horizontal sein Vorteile: einfach Ist die Skala senkrecht zum nach dem Nordpol gerichteten Gnomon, ist die Zeitskala regelmässig Nachteile Nur für einen Standort gültig Geringe Präzision 4.1.3 Messung von Sonnenazimut und -höhe Um die Präzision der Anzeige zu erhöhen, wird die Sonnenhöhe zusätzlich zum Azimut berücksichtigt. Vorteile: Das Datum kann angezeigt werden. Präzisere Zeitmessung Die Korrektur der Zeitgleichung kann in der Skala oder im Gnomon integriert sein. Nachteile: Komplizierte Ablesung der Zeit auf Kurvenschar (eine Kurve pro Tag). Nur für einen Standort gültig 4.2 Einstellbare Uhren Zur zusätzlichen Erhöhung der Präzision kann die Uhr einstellbar gestaltet werden. Damit die Sonnenuhr überall auf der Welt brauchbar wird, muss die Skala oder der Gnomon In Abhängigkeit der geographischen Breite und der Zeitzone einstellbar sein. (einmalige Einstellung) Die Berücksichtigung des Datums kann mittels Einstellung der Skala oder des Gnomons erfolgen. Damit die Skala nicht zu kompliziert wird, kann die Korrektur der Zeitgleichung in Abhängigkeit des Datums mechanisch erfolgen. - 12-12.1.9
5 WAHL DER LÖSUNG 5.1 Diskussion Die verlangte Präzision und einfache Ablesung der Zeit kann nur mit einer einstellbaren Uhr realisiert werden. Die Zeitkorrektur (Analemma) muss in die Konstruktion integriert sein. Zudem bietet ein parallel zur Erdachse gerichteter Gnomon mit einer dazu senkrechte Skala (äquatoriale Sonnenuhr) eine bequeme Ablesung der Zeit. Je eine regelmässige Skala für Winter- und Sommerzeit genügt. 5.2 Konzept Der Uhrentyp, welcher alle diese Kriterien erfüllt, sieht wie folgt aus. Abbildung 8: Konzept Es handelt sich um eine äquatoriale Uhr: Der Gnomon (hier ein Lochgnomon) ist parallel zur Erdachse. Die Skala ist senkrecht zum Gnomon in der äquatorialen Ebene. Die Einteilung ist demzufolge regelmässig. Die Uhr muss genau auf die Achse Nord-Süd gerichtet sein. Die geographische Breite ϕ wird mit der Neigung der Skala gegenüber dem Horizont berücksichtigt (einmalige Einstellung). Die geographische Länge und der Zeitzone wird dank Drehung der Skala berücksichtigt (einmalige Einstellung). Um die Zeitgleichung zu berücksichtigen wird das Gnomonsystems soweit gedreht, bis der Sonnenstrahl aus dem Lochgnomon auf eine Korrekturkurve auf die Auffangfläche trifft. - 13-12.1.9
Die Korrekturkurve (das Analemma) ist die Zeitgleichung als Funktion der Sonnenhöhe: Δω = f(-δ) Das Minuszeichen kommt daher, dass es um eine Projektion handelt: Oben ist unten und links ist rechts. 25 Aequatoriale Sonnenuhr Analemma 2 15 1 Winter Herbst Sonnenhöhe δ [ ] 5-5 -1-15 -2 Sommer Frühling -25-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 ω [ ] Sonne nach geht vor Abbildung 9: Analemma - 14-12.1.9
6 BERECHNUNG UND KONSTRUKTION Alle Berechnungen und die Konstruktion sind in einer Excel-Datei ersichtlich. 6.1 Tabelle 1_Eingaben Das Programm benötigt folgende Eingaben (gelbe Felder): Geographische Länge Geographische Breite Zeitzone in Grad:15 Grad = 1 Stunde östlich / -15 Grad = 1 Stunde westlich von Greenwich Tag, Monat, Jahr als Testdatum Stunde, Minute als Test Zeit muss zwischen Sonnenaufgang und -untergang sein. Berechnet werden: ND = Anzahl Tage seit dem 1 Januar Horizontale Sonnenkoordinaten γ und α 6.2 Tabelle 2_ND Berechnet werden: Winter () oder Sommerzeit (1) Daten der Zeitumstellung 6.3 Tabelle 3_Analemma Berechnet wird: Das Analemma so, wie sie auf dem Auffangfläche aussieht. Der Spot des Sonnenstrahls auf die Kurve nach Einstellung des Gnomonsystems. Skala des Sonnenaufgangs und des Sonnenuntergangs Zeit des Sonnenaufgangs und des Sonnenuntergangs 6.4 Tabelle 4_Simulation Berechnet und dargestellt werden: Der Sonnenstrahl (gelb) Die Einstellung des Gnomonsystems (rot) Die Skala mit Raster à 5 Minuten Die Stellung der Skala auf der Achse Nord-Süd (Berücksichtigung der geographischen Länge und Zeitzone) durch Angabe der korrigierten Zeiten für Sommer- und Winterzeit für die Südrichtung Die vom Bediener abgelesene Zeit Zusätzlich, aber nur für eine fixe Standortsbreite, kann dargestellt werden: die Sonnenauf- bzw. -untergangszeit während des Jahres. 6.5 Tabelle 5_Konstruktion 6.5.1 Eingabe Eine Eingabe ist notwendig, um die Grösse der Uhr zu definieren. Gewählt wurde die Höhe des Analemmas. Alle anderen Massen werden aus dieser Grösse abgeleitet. 6.5.2 Darstellungen Dargestellt wir ein Schnitt der Uhr durch die Achse Nord-Süd mit Abmessungen Um die Uhr zu richten kann der Polarstern (Polaris) benutzt werden. - 15-12.1.9
Da der Nordpol leicht daneben (.76 = 3MIn) ist, muss abgewartet werden, bis die Linie Polaris-Kochab vertikal ist. In dieser Position ist der Horizontalabsatz des Nordpols zu Polaris null und die Linie zeigt genau die Nordrichtung. Eine Skizze des Loches zeigt der Halbschatten. Für eine optimale Schärfe gibt die Optiktheorie (Lochkamera) die folgende Formel: d[mm ] = Feld C8[ m] wo Feld C8 = die (Fokal-) Distanz zwischen Loch und Projektionsfläche Das resultierende Loch ist meistens zu klein, so dass seine Dimension für einen Spotdurchmesser von 1 Minuten aus der Analemma gewählt wird. 6.5.3 Die Skala Damit kein Fehler bei der Umrechnung der Sommer- bzw. Winterzeit sind zwei Skalen vorhanden. 11 1 12 11 13 12 14 13 15 14 15 16 9 1 16 17 8 9 17 18 7 8 18 19 7 6 19 2 6 5 2 21 5 4 21 22 Die Skala wird nach Angaben des Abschnittes 6.4 gerichtet (gedreht). - 16-12.1.9
7 BIBLIOGRAPHIE 7.1 Buch Zenkert Arnold: Faszination Sonnenuhren 4.Auflage. Frankfurt am Main. Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch Gmbh 7.2 Web-Seiten http://www.zum.de/faecher/materialien/gebhardt/astronomie/zeitgle i.html http://www.mysundial.ca/tsp/tsp_index.html http://www.infraroth.de/cgi-bin/slinks.pl http://www.hartrao.ac.za/other/sundial/sundial.html - 17-12.1.9