Höhr Mthmtk Kptl Lr lgr Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus
Höhr Mthmtk Kptl Ihltsvrzhs Lr lgr...-. Vktor m...-.. ddto vo Vktor...-.. Multplzr s Vktors mt m Sklr...-.. Btrg s Vktors...-6.. Vktor m Koordtsystm...-7.. Wkl zwsh Vktor...-..6 Sklrprodukt...-..7 Vktorprodukt...-..8 Sptprodukt...-9. Lr Räum...-. Mtrz...-.. ddto Sutrkto Multplkto mt m Sklr...-6.. Mtrzmultplkto...-.. rsport Mtr...-6.. Ivrs Mtr...-9.. Symmtrsh shfsymmtrsh orthogol Mtrz...-6. Lr ldug...-66.. Kostrukto dr zur lr ldug ghörd Mtr...-7.. Shmdtshs Orthogolsrugsvrfhr...-7.. Koordttrsformto...-77. Lr Glhugssystm...-8.. Gußshs Elmtosvrfhr...-8.. Gomtrsh Dutug...-9.. Numrsh Fhlr...-9.. Shlht kodtort Mtr...-9.. Brhug dr vrs Mtr...-97..6 Lösrkt lrr Glhugssystm...-99.6 Dtrmt...-.7 Egwrt Egvktor...-6.8 Qudrtsh Form qudrtsh Polyom...-
Lr lgr. Vktor m Zu zw Pukt P ud Q ds Rums gt s gu Prlllvrshug d P h Q ürführt. Ds Vrshug wrd mt PQ zht ud hßt "Vktor vo P h Q". Dr Vktor PQ wrd durh vo P h Q zgd Pfl drgstllt. S Q PQ R PQ RS P Wrd utr PQ drr Pukt R h S vrsho so ht offr RS dsl Wrkug w PQ d.h. PQ RS Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Zw glh lg ud glh grhtt Pfl m Rum stll folglh dsl Vktor dr. D.h. Vktor k m Rum fr prlll vrsho wrd. Er st k fst fgspukt gud. Es s PQ d wrd dr glh lg tgggstzt grhtt Vktor mt zht. PQ Q P Dr Vktor PP für d Pukt P zht d Nullvktor d Vrshug ds Rums dr gr hts wgt wrd. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
.. ddto vo Vktor Zw hdr usgführt Prlllvrshug PQ ud QR rg sgsmt d Prlllvrshug PR. M t d Vktor d Summ vo ud P PQ Q QR PR R PQ QR PR Prlllogrmmrgl Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Rhrgl: Kommuttvgstz ssoztvgstz D Summ st dr Vktor s dr vom fgspukt s zum Edpukt E r us gldt Vktorktt zgt. s s E Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
D Dffrz vo Vktor rgt sh us Vktordffrz.. Multplzr s Vktors mt m Sklr Zhl Zu ud m Vktor zht d Vktor dr dsl > odr d tgggstzt < Rhtug w ht ud d - fh Läg vo stzt. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - 7 Rhrgl: ssoztvgstz Dstrutvgstz Dstrutvgstz.. Btrg s Vktors D Läg s Vktors d.h. für PQ d Läg dr Strk PQ t m s Btrg ud shrt dfür. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6
Rhrgl: ssodr Drksuglhug Dr Nullvktor ht k postv Läg d.h.. E Vktor vom Btrg hßt Ehtsvktor. Zu dm Vktor ghört Rhtug dr Ehtsvktor.. Vktor m Koordtsystm Wr lg m Rum krtsshs Koordtsystm mt m Ursprug O fst. I Rhtug dr postv - y- ud z-hs sd ddurh d glhztg d Ehtsvktor zw. y z odr k gg. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 Bzhug : krtssh Bss O; : Koordtsystm Ortsvktor Dr Ortsvktor O hßt Ortsvktor ds Pukts. Er st dutg ls Summ drstllr. kürzd shrt m fstm Koordtsystm Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8
Bzhug : Kompot vo Rhtug : Koordt ds Vktors zgl. O; z O O y Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Vktor llgmr Lg Für PQ mt P p p p ud Q q q q glt PQ OQ OP q q q p p p q p q p q p ud Koordtdrstllug q p PQ q p für P p p p Q q q q q p ddto vo Vktor ud Multplkto s Vktors mt m Sklr Koordtdrstllug us Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - folgt mt Koordtdrstllug Btrg s Koordtdrstllug gg Vktors Mt dm Stz ds Pythgors folgt für Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: 6 6 6 6 6
6 6 7.. Wkl zwsh Vktor rägt m zw Vktor ud vo m Pukt p us d zht m d klr dr d postv gmss Wkl zwsh ud ls Wkl zwsh ud ud shrt mt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Rhrgl: d Bspl: d Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
M t d Vktor orthogol skrht zu ud shrt w. Für d Nullvktor dfrt m für ll Vktor d.h. dr Nullvktor st orthogol zu dm lg Vktor...6 Sklrprodukt Dfto -: Sklrprodukt Ds Sklrprodukt dr Vktor ud rs Produkt st dfrt durh : os ltrtv Shrws für sd odr Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: Für d Vktor r krtssh Bss glt d Ehtsvktor d prws orthogol Rhrgl: Kommuttvgstz für Dstrutvgstz d Orthogoltätstst Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6
wdug: Bws ds Kosus-Stzs Im Drk glt: C B BC BC C C B C B Kosus-Stz: os C B B BC Bws: BC C B C B C B C B C B C B C B os B C os Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 D Koordtdrstllug dr Vktor ud zgl. r krtssh Bss d.h. rmöglht d fh Brhug ud : os folgt mt us h umform Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 für os D Koordtdrstllug dr Bssvktor lutt Für lg Vktor glt stts os Dmt rhält m Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - D Fktor os t m Rhtugskosus vo ssodr glt os os os wdug: Orthogol Zrlgug vo lägs mt d Kompot
Rhtug : orthogol zu : Bspl: I dr krtssh Bss glt für fh Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
..7 Vktorprodukt Dfto -: Vktorprodukt Ds Vktorprodukt dr Vktor ud äußrs Produkt gt st dfrt ls drg Vktor dr skrht uf ud stht d.h. dr mt ud Rhtssystm drstllt d.h. ld Rhtssystm Rhthd- zw. Rhtsshrurgl dss Btrg glh dm Flähhlt ds vo ud ufgspt Prlllogrmms st. F s Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - mt F F s Rhthdrgl Zgfgr Mttlfgr Dum Rhtsshrurgl ür d klr Wkl gmäß r Rhtsshru h drh. zgt d Rhtug dr Shruwgug. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: Für d Vktor r krtssh Bss glt ud flls Rhrgl: ssodr Dstrutvgstz Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 d Prllltätskrtrum I r krtssh Bss rgt sh für ud ds Vktorprodukt zu ud Koordtdrstllug
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 ls Gdähtsstütz shrt m ds Vktorprodukt Form r rhg Dtrmt d d h dr Srrus-Rgl uszuwrt st d.h. dt Srrus-Rgl + + + Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 llgm Dtrmtrhug Bspl: Flähhlt s Drks Ds Drk s durh d Ekpukt = B = ud C = gg. O OC O OB C B F dt dt dt dt + + + + +
F dt 9..8 Sptprodukt Dfto -: Sptprodukt Ds Sptprodukt [ ] dr Vktor ud st dfrt durh [ ] Stz -: Dr vo d Vktor ud ufgspt Prlllppd uh Spt gt ht ds Volum V [ ] Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Bws: D Grudfläh mt d Kt ud ht d Flähhlt F D Höh h ds Prlllppds zgl. dr Grudfläh st gg durh h F d.h. Kompot vo Rhtug ds skrht uf dr Grudfläh sthd Vktors. Mt h Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - s. orthogol Zrlgug uf h gwdt folgt h ud shlßlh für ds Volum h F V Für ud krtssh Koordt d.h. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - rht sh ds Sptprodukt zu ] [ Bspl: ] [ 6 6 ] [ V Spt
Ds Sptprodukt st dr Wrt r drrhg Dtrmt d.h. Srrus-Rgl + + + [ ] dt llgm Dtrmtrhug + + dt dt dt dt + + + Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -. Lr Räum I dr Mthmtk trfft m häufg uf Mg dr Elmt m ddr ud mt m Sklr multplzr k so z.b. d Mg llr Polyom d Mg llr uf m Itrvll I dfrt Fukto odr d Mg llr -dmsol Vktor. D glt für d ddto ud Sklrmultplkto dsl Grudrgl w für ds Rh mt Vktor ds shulh Rums. Zur htlh Bshrug dr sh drus rgd Kosquz wurd dr Bgrff ds lr Rums odr Vktorrums gführt. Dfto -: Vktorrum E htlr Mg V hßt -Vktorrum Vktorrum ür zw. lrr Rum ür w d folgd Vktorrum-om glt. Zwsh d Elmt vo V st ddto rklärt mt Mt y V st uh y V Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
y y y V Kommuttvgstz y z y z y z V ssoztvgstz d Es strt gu Nulllmt V mt V Zu dm V strt gu gtvs Elmt V mt Zwsh d Elmt vo V ud d rll Zhl st Multplkto rklärt mt Mt V st uh V y y ud y V Dstrutvgstz ud V Dstrutvgstz d ud V ssoztvgstz V D Elmt vo V t m Vktor Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: D Mg llr -upl mt dfrt d -dmsol Eukldsh Vktorrum V = wo d ddto ud d Multplkto mt Sklr koordtws rklärt sd d.h. y y y : Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 für : mrkug: Mt dm Ürgg vom shulh Vktorrum dm zum strktr -dmsol Vktorrum dm h wr d Bzhugsws dr Vktor dhghd gädrt dss Vktor ht mhr durh Pfl ür dm Kluhst sodr durh htkursv fttgdrukt Kluhst gkzht wrd.
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 Dfto - D Vktor k hß lr hägg w s rll Zhl k gt d ht ll Null sd so dss glt k k k D Vktor k hß lr uhägg w s ht lr hägg sd d.h. k k k k D Summ k k k hßt Lrkomto dr Vktor k Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 Bspl: d sd lr hägg 6 d sd lr uhägg d sd lr hägg 9 8 7 6 z.b. für 9 6 8 7
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 st uf lr Uhäggkt D Vktor ud sd lr hägg gu d w. ] [ Bws: V Spt = [ ] = Volum ds vo ud ufgspt Spts muss s ud sd lr hägg. sd lr hägg 9 6 6 8 9 8 7 6 sd lr uhägg 88 7 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - sd lr uhägg m d sd lr uhägg... mrkug: Zw lr hägg Vktor sd kollr. Zw lr uhägg Vktor sp E uf d.h. dr dr E lgd Vktor k ls Lrkomto vo ud drgstllt wrd. Dr lr hägg Vktor hß komplr.
Dfto -6: Es s V Vktorrum. Ist k d Mmlzhl uhäggr Vktor V so hßt k d Dmso vo V lso dmv = k ud k lr uhägg Vktor us V ld Bss vo V d.h. sd k V lr uhägg d st { k } Bss vo V ud für ll V strt k mt k lso ds Elmt us V lässt sh ls Lrkomto dr Bsslmt shr. Bspl: ldt Bss ds türlh Bss Für... glt : Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - sd lr uhägg d lso ld ud Bss ds. ud sd orthogol Bss d r ht orthoorml d ud. Dfto -7: Utrrum Es s V Vktorrum ud W V. Glt für ll y W ud y W ud W d.h. W st gshloss zgl. ddto ud Sklrmultplkto d hßt W lrr Utrrum vo V. Ist r d Mmlzhl lr uhäggr Vktor us W so hßt r d Dmso vo W dmw = r. J r lr uhägg Vktor ds Utrrums W ld d Bss vo W. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
Bspl: Jd Grd durh O st dmsolr Utrrum ds d für G : r mt r glt {r} st Bss vo G r = r r r G ud r G r r G lso st G dmsolr Utrrum ds. Jd E durh O st dmsolr Utrrum ds d E : u v mt u v lr uhägg {u v} st Bss vo E. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -. Mtrz Dfto -8: Für mt m ud m hßt Zhlshm dr Form m m m m Mtr. Kurzshrws: m Hr hßt ds -t Elmt vo z dr -t Zlvktor vo : Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
s : dr -t Spltvktor vo m Bspl: st qudrtsh Mtr Mtr Mtr Mtr Mtr Jdr Spltvktor st m Mtr dr Zlvktor Mtr. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -.. ddto Sutrkto Multplkto mt m Sklr Dfto -9: Es s B m zw m Mtrz ud d st B : C mt d ddto ud : D d mt d = d Sklrmultplkto. Bspl: m m m m m m Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6
m m Zhlspl: m m m m m m m m m m Zhlspl: 8 6 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 Zu dr Mtr zht m = mt ud rklärt dmt d Dffrz zwr m Mtrz d.h. B + = B Dfto -: : hßt m Nullmtr m Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8
Rhrgl: B B B m B C B C BC m ud m d m ud m f m g ud m h B B ud B m mrkug D Mg V m dr ddto ud Sklrmultplkto gmäß dr og Rhrgl rklärt sd st Vktorrum. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9.. Mtrzmultplkto Dfto -: Es s m Mtr ud B p Mtr d st B : C d Mtr ds Produkts vo ud B. D Ergsmtr C st d m p Mtr. Bspl: Hrus folgt dss d Mtrzmultplkto ht kommuttv st lso m llgm B B glt. mt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - k k k
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Sklrprodukt dydshs Produkt Produkt dydshs Mtr 9 6 6 Sklrprodukt Mtr B C mt s z wo z d -t Zl vo ud s d -t Splt vo B zht lso st ds Sklrprodukt us dm -t Zlvktor vo ud dm -t Spltvktor vo B d.h. p m m m p p s z s z s z s z s z s z s z s z s z B C Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - p m s s s s B z z z z ud k k k s z
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: 7 6 Rhshm : 7 6 Rhshm : Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Dfto -: : E hßt Ehtsmtr s ht d Spltdrstllug E mt d Vktor - t Stll dr mt r dr türlh Bss ds.
Rhrgl: Für ll Mtrz m BB B p ud C pr glt B B B B B B B B B B BC B C d E m E E E für m = B B m llgm Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -.. rsport Mtr Dfto -: Es s rllwrtg m Mtr d hßt : mt für l m; k kl kl d trsport Mtr vo. st d m Mtr. lk Bspl: Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 m m m m m m Rhrgl: B B d B B Dfto -: Es s komplwrtg m Mtr d hßt k m l lk kl kl H ; für mt : d trsport kougrt Mtr vo. H st d m Mtr. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 Bspl: H H m m m H m m m
.. Ivrs Mtr Dfto -: Es s rllwrtg Mtr. Estrt Mtr X mt X E d hßt rgulär vrtrr ud X = d vrs Mtr vo. Estrt k vrs Mtr so hßt sgulär. Stz -: Für ll rgulär Mtrz B glt: E B B d mt st uh rgulär ud s glt ht lr uhägg Spltvktor f ht lr uhägg Zlvktor Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Bws: Mt B rgulär B sd rgulär Bws spätr mt Dtrmt. X E X E EX X E E X E E E BX E BX E BX B BX B X B B B d X E X E E X X E X E X X S s = d Spltvktor vo ud s d.h. mt λ glt s λ Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 = E s s s lr uhägg f D d Zlvktor vo d tsprhd Spltvktor vo sd ud mt uh rgulär st sd uh d Zlvktor vo lr uhägg.
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 Dfto -6: D Mmlzhl lr uhäggr Zlvktor dr m Mtr hßt Rg dr Mtr rg. mrkug: D Mmlzhl lr uhäggr Spltvktor st glh dr Mmlzhl lr uhäggr Zlvktor. Bspl: st rgulär rg d E Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 st rgulär rg d E sgulär ht rgulär rg.. Symmtrsh shfsymmtrsh orthogol Mtrz Dfto -7: Es s rllwrtg Mtr. hßt symmtrsh gu d w hßt shfsymmtrsh gu d w hßt orthogol gu d w Bspl: st symmtrsh
st shfsymmtrsh os s s os st orthogol d Stz -: Für orthogol Mtrz glt: st orthogol gu d w d Zlvktor vo Orthoormlsystm ld d.h. ll Zlvktor sth prws skrht ufdr ud h d Läg. st orthogol gu d w d Spltvktor vo Orthoormlsystm ld d.h. ll Spltvktor sth prws skrht ufdr ud h d Läg. st orthogol gu d w d.h. lägtru d ud B st orthogol B st orthogol Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 Bws: z z z mt z z z z z flls E flls st uh orthogol d d Spltvktor vo ld uh Orthoormlsystm "" E "" s d Spltvktor h d Läg s s s s s s s s s s s s s s für d s s ud d B B B B Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6
Dfto -8: Es s komplwrtg Mtr. hßt hrmtsh gu d w H hßt utär gu d w H Bspl: st hrmtsh p p st utär d p H mrkug: D ussg vo Stz - kö uf utär Mtrz tsprhd vrllgmrt wrd. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6. Lr ldug Dfto -9: Es s V W lr Räum. E ldug : V W hßt lr w für ll v w V ud glt: v v Homogtät v w v w ddtvtät D Bldmg { v : v V } W vo zht m ls Bld. D Mg {v V : v W } hßt Kr dr ldug vo ud wrd mt Kr zht. mrkug: E lr ldug : V W ldt d Nullvktor vo V uf d Nullvktor vo W. Ist : V W lr d sd Kr zw. Bld ht ur lmg sodr sogr Utrräum vo V zw. vo W. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -66
v v v w w w v w v v v v Bspl: ldug vo Drhug um Grd durh O z.b. y odr z-hs st lr ldug Spglug r E durh O z.b. y- z- odr yz-e st lr ldug rslto : mt fstm \ {} st k lr ldug Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -67 Stz -: E lr ldug : m st rts d dutg dfrt w d Bldr dr Bssvktor fstglgt sd lso durh d g dr Vktor m für Für v v v v glt w v v v v v v v. Stz - Es s : m gmäß Stz - dfrt lr ldug ud r d Mmlzhl lr uhäggr Vktor utr d d glt dmbld r ud dmkr r lso dmbld dmkr Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -68
mrkug: Jd m Mtr duzrt lr ldug ds d m vrmög m : Umgkhrt strt zu dr lr ldug : m m Mtr mt für ll mrkug: D lr ldug : V W st gu d ktv w Kr ur us dm Nullvktor stht. S st gu d surktv w Bld W glt. Ist ktv d.h. ktv ud surktv d strt d Umkhrldug : W V ud ds st wdr lr. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -69.. Kostrukto dr zur lr ldug ghörd Mtr Es s : m lr ldug. Gsuht: m m Mtr mt für ll. D Mtr st dutg fstglgt durh d Bldr dr Ehtsvktor ds d s glt m m m m d.h. dr -t Spltvktor vo st glh dm Bld vo. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7
Ist s für ll d glt s s s ud s wo. Bspl: Drhug um d z-hs um d Wkl Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 os s os s s os s os Drhug um d z-hs um d Wkl os s os s B s os s os Frr muss glt B d.h. os s os s s os s os B Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7
Spglug dr y-e D d Spglug vo wdr rgt glt hr mrkug: Mtrz d Drhug um Grd durh O odr Spglug r E durh O rzug ghör zu d orthogol Mtrz. Für ds glt: für ll. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7.. Shmdtshs Orthoormlsrugsvrfhr Gg s k lr uhägg Vktor k. Gsuht wrd k orthorml Vktor k d d glh Utrvktorrum ufsp w k. Es muss lso glt: flls flls Rhvorshrft: usw. mt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 llgm folgt shlßlh für k mt d für r < glt für für ud für d r r r r r r r r r r r Bspl: dt d lr uhägg Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -76 6 ld Orthoormlsystm lso st d Mtr 6 orthogol.
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -77.. Koordttrformto { } s d ülh Bss ud {' ' ' } dr Bss ds lso ' ' ' sd lr uhägg. ' lässt sh ls Bld vo uffss: ' mt ' dr -t Splt vo d.h. ' ' ' ud E. Für glt somt wo d lt ud ' ' d u Koordt zht. I Mtrzshrws lutt ds Glhug E Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -78 Hrus folgt ud Bld d u Bssvktor Orthoormlsystm so st d Mtr orthogol ud s glt: Bspl: 7 7 8 lr uhägg
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -79 S D Lösug dss Glhugssystms lfrt z.b. ür d Ivrs 9 9 9 9 7 7 8 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 ld Orthoormlsystm d.h. dmt st orthogol d.h.. E Für rhält m shlßlh
. Lr Glhugssystm Es s m ud m. Gsuht st mt hßt Koffztmtr hßt "rht St" L { : } hßt Lösugsmg ds lr Glhugssystms GLS. Sodrfll: m ud rgulär rg Ist rgulär Mtr so st ds lr Glhugssystm = dutg lösr mt =. Bstmmug dr vrs Mtr S rgulär s strt mt E. Mt s s s Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 wo s d -t Spltvktor vo zht glt lso s s s s für. Um d vrs Mtr s s s zu stmm müss lso lr Glhugssystm s mt glhr Koffztmtr r utrshdlh rht St glöst wrd... Gußshs Elmtosvrfhr Gg s ds lr GLS mt dr Koffztmtr m m m Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 ud dr rwtrt Mtr Stz -6: Guß lgorthmus E lrs Glhugssystm k durh d Oprto Glhug vrtush d.h. Zl vrtush zu r Glhug ds Vlfh r dr Glhug ddr d.h. zu r Zl ds Vlfh r dr Zl ddr Ukt vrtush d.h. Splt vrtush äquvlts lrs Glhugssystm mt folgdr rwtrtr Mtr umgwdlt wrd. m m m m Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 mt für r lso C d. Hr vrädrt sh d Lösugsmg ud dr Rg dr Koffztmtr zw. rwtrt Mtr ht. Dr Rg dr Mtr st r. Ds lr Glhugssystm st lösr d r+ d m rg rg r m r r r r r rr r r r r d d d d d d C
I dsm Fll sd r Ukt fr wählr ud d dr r Ukt lss sh us d rst r Glhug stmm. Bws: D s ufgführt Oprto vrädr ht d Lösugsmg L ud uh ht d Räg dr Mtrz d.h. d zhl lr uhäggr Zlvktor. Es s hßt Pvotlmt. Ist so muss vorhr Zltush odr flls m Splttush durhgführt wrd. t Zl t Zl für... m - m m m m Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 Nu s ã hßt d Pvotlmt. Ist ã so muss vorhr Zltush odr flls ã ã ã m Splttush durhgführt wrd. -t Zl t Zl für... m ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ m m m Fortstz dsr Prozdur lfrt shlßlh d rwtrt Mtr C d mt für r. Ist rg rg r so sd r Ukt d.h. r sofr k Splttush stttgfud ht fr wählr. D rstlh Ukt kö us d rst r Glhug durh "Rükwärtsstz" stmmt wrd. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -86
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -87... für r r k d k k k kk k mrkug: dr Mtr C rkt m dss d Mmlzhl lr uhäggr Zlvktor vo glh dr Mmlzhl lr uhäggr Spltvktor vo st d d Mtr ht r lr uhägg Zl- ud uh r lr uhägg Spltvktor ud somt ht uh d Mtr r lr uhägg Zl- ud Spltvktor. r r m r r m r r r r r rr r r C Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -88 Bspl: 8 9 7 Mtrshrws 8 9 7 rwtrt Mtr t Zl t Zl t Zl t Zl t Zl t Zl 8 9 7
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -89 rg rg Ukt fr wählr ud mt Lösugsmg L Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Mtrshrws rwtrt Mtr M k hr uh oh wtr Shrtt mh um vor Ehtsmtr zu rzug. t Zl t Zl Zltush t Zl t Zl
t Zl t Zl t Zl t Zl t Zl st dutg Lösug rg.. Gomtrsh Dutug Im t Bspl stll d Glhug E ds dr. D Lösugsmg st lso d vo d E gldt Shttmg. Es rg sh dr Möglhkt dutg lösr gu Shttpukt mhrdutg lösr Shttgrd odr Shtt ht lösr Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 D Normlvktor d Skrht uf d E sth sd lr uhägg d.h. rg = lr hägg d.h. rg < ud s glt rg = rg lr hägg d.h. rg < ud s glt rg rg.. Numrsh Fhlr B dr Brhug dr Lösug s lr Glhugssystms kö Rhfhlr durh Rudug shrhr ud Computr führ Brhug ur mt dlhr Stllzhl/Gugkt us tsth. Bspl: kt Lösug Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9
Rhug mt füfstllgr Gugkt 86 t Zl t Zl 9 87 86 d.h. shr ugus Ergs 9996 6 t Zl t Zl 9 6 9996 d.h. ssrs/gurs Ergs Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 llgm: Durh Zltush wählt m ds Elmt ls Pvotlmt us ds dm Dgollmt ds trglh größt dr Splt st dr m Null rzug wll... Shlht kodtort Mtr rotz optmlr "Pvotstrtg" kö gwss lr Glhugssystm groß Rhfhlr uftrt. Bspl: 8 9 9 8 9 9 8 9 8 t Zl 8 t Zl 9 9 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9
9 8 9 8 9 9 8 9 7 8 9 Rhug mt drstllgr Gugkt t Zl 78 t Zl 78 869 67 kt Lösug ugus Ergs Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 D Koffztmtr 8 9 9 st dsm Bspl shlht kodtort. Brht m d Dtrmt vo 8 9 dt dt 9 8 9 9 8 8 so sht m dss dsr Wrt shr kl st. Wär dt = so wär ds lr GLS ht lösr ud d Mtr sgulär. Hr st lso d Mtr "fst sgulär". I solh Fäll muss d Rhug mt möglhst hohr Rhgugkt/Stllzhl durhgführt wrd. D d Glhug dut Grd m gut kodtort: shlht kodtort: Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -96
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -97.. Brhug dr vrs Mtr Vorusstzug: rgulär lso X E Gsuht: X M muss lr Glhugssystm lös d.h. s für ud s s s Shrt m sofort ll rht St zusmm uf so rhält m d rwtrt Mtr E. Führt m u Guß-Shrtt so lg us s m E X rhält so glt X Bspl:? Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -98 rwtrt Mtr Zl t 6 6 Zl t Zl t Zl t Zl t Zl t Zl t Zl t Zl t Zl t
6..6 Lösrkt lrr Glhugssystm Folgrug us dm Stz zum Guß-lgorthmus lösr rg rg Ist qudrtsh Mtr Mtr d glt dutg lösr rg rgulär strt Dfto -: Es s rll m Mtr ud. hßt lrs homogs Glhugssystm mt hßt lrs homogs Glhugssystm Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -99 Stz -7: st Lösug trvl Lösug ds lr homog Glhugssystms D Lösugsmg L h ds lr homog Glhugssystms st lrr Utrrum ds mt dm L h r flls rg r D llgm Lösug ds lr homog Glhugssystms lässt sh drstll durh d llgm Lösug ds lr homog Glhugssystms plus prtkulär Lösug ds lr homog Glhugssystms d.h. h p mt h p hr st h d llgm Lösug ds lr homog Glhugssystms ud p prtkulär Lösug ds lr homog Glhugssystms. L h { h p } Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bws: klr Mt ud glt uh mt glt uh ud. D rg r r Ukt sd fr wählr. S r fr wählr mt r r d st d llgm Lösug ds lr homog Glhugssystms r L r h : ud d Vktor Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - ld Bss vo L h. Ds sd r lr uhägg Vktor dm L h r. S h p h p st Lösug vo S umgkhrt Lösug vo ud p prtkulär Lösug vo p = p = h h p Bspl: homogs Glhugssystm Mtrshrws
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - homogs Glhugssystm Rhtug d.h.grd durh : st prtkulär Lösug h p L dm Grd durh : rg t Zl t Zl t Zl t Zl Zltush h L h O L Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -.6 Dtrmt Motvto: Gg s ds lr Glhugssystm lso d Koffztmtr ud rht St Durh Umform rhlt wr
t Zl t Zl t Zl t Zl lso st ds Glhugssystm gu d dutg lösr w Dfto -: Es s Mtr d hßt dt : d Dtrmt vo. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Stz -8: Es s ud d st ds lr Glhugssystm gu d dutg lösr w dt. I dsm Fll st dt dt dt dt d dutg Lösug. Vrllgmrug uf > Dfto -: Es s qudrtsh Mtr. Frr s Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 d Mtr d sh us durh Strh dr -t Zl ud -t Splt rgt. D hßt dt : dt d Dtrmt dr Mtr. Bspl: dt dt dt dt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8 Dfto -: E Mtr k hßt or zw. utr Drksmtr w k für > k zw. < k glt. Bspl: utr Drksmtr or Drksmtr. Stz -9: Es s s s s
wo s d -t Spltvktor vo zht d glt dt s s s dt s s s E gmsmr Fktor r Splt k vor d Dtrmt gzog wrd dt s t t s dt s t s dt s t s dt s s s s dt s s s s B Splttush khrt sh ds Vorzh um. d dt s s s s B zw glh Splt st dt dt s s s s dt s s s Dr Wrt vo dt ädrt sh ht w zu r Splt ds Vlfh r dr Splt ddrt wrd. f or zw. utr Drksmtr dt dt E Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Bws: mttls Idukto Bsplhft wrd dr Bws für durhgführt. dt dt dt dt dt dt dt d dt s s s s dt s s s s h durh vrtush vo s ud s dt s s s s Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - dt dt dt dt s s s s s s s s s s s s s s s s s h d d t Dtrmt zw glh Splt thält f Iduktosws : dt dt : dt dt dt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - g f h dt dt E mrkug: Im og Stz sg ud dss dt zgl. dr Splt lr d.h. Multlrform st. Stz -: Es s B zw Mtrz d glt B B dt dt dt dt dt dt dt Bws: mttls Idukto
Bsplhft wrd dr Bws für durhgführt. Es s f g f h B B d g h dg f dh dt B g f dh f h dg f dh gf gdh f fdg h hdg dh fg dfg h d h fg dt dt B dt d dt d dt dt dt dt E dt dt Folgrug: ll Rgl ds ltzt Stzs glt uh für d Zlvktor vo d dt dt ud d Zlvktor vo sd d Spltvktor vo. dt st lso uh lr zgl. llr Zlvktor Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - B dr Brhug r Dtrmt k h dr Zl odr Splt twklt wrd. Etwklug h dr -t Zl: dt dt Etwklug h dr -t Splt: dt dt D st d durh + duzrt ud m folgd vrshulht Vorzhrgl zu ht Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
Bspl: dt dt dt dt Etwklug h dr t Splt dt dt dt dt Etwklug h dr t Zl dt dt dt dt Etwklug h dr t Splt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - dt dt dt dt dt t Zlt Zl Fktor us tr Splt vorgzog dt dt Zl vrtusht 6 dt glh Zl Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6
Folgrug: Ist orthogol Mtr dt d E dt dt = dt E = dt dt dt dt mrkug: M rhält dt r r Drhug dt r Drh-Spglug. Folgrug: Für B glt dt dt B dt D C D wo B r r Mtr D s s Mtr ud C r s Mtr zht d Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 E C B D EB C E B D E EC B DE dt dt E B D B C dt D E dt dt C D Bspl: dt 6 7 8 dt dt dt dt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8
wdug uf lr Glhugssystm Stz -: Crmr-Rgl Es s s s s Mtr d glt: Ds lr Glhugssystm st dutg lösr rgulär strt s s sd lr uhägg dt I dsm Fll st d dutg Lösug. Ds Lösug k mt Hlf dr Crmr-Rgl w folgt rht wrd. dts s s s dt für =. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Bws: us vorggg Sätz st rts kt GLS dutg lösr rgulär strt s s sd lr uhägg Ist u rgulär E dt dt dt Umgkhrt st dt mt s s s dts s dts... s s s dts...s s dts...s s dts...s s = dt dts s /dt dutg lösr Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: st dutg Lösug dt dt dt dt dt dt 6 dt dt dt dt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Brhug dr vrs Mtr mt Hlf dr Crmr-Rgl: Stz -: Es s rgulär Mtr ud d zu rhd vrs Mtr vo d glt dt dt mt
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - wo sh us durh Strhug dr -t Zl ud dr -t Splt rgt. Bws: E =... t...t s wo t...t d Splt vo ud s d -t Splt vo zht. Nh dr Crmr-Rgl glt s = dtt t /dt mt dr -t Splt. Etwkl h dr -t Splt lfrt + dt /dt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: d d d dt rgulär lso dt Bspl vorhrgs s. dt 7 dt dt dt dt dt dt 6 dt dt dt
6 7 mrkug: us d Sätz - ud - folgt: Mt ud B sd uh B ud rgulär. Frr glt rg r gu d w d größt vo Null vrshd Utrdrtrmt vo d Dtrmt r r r Utrmtr st. Bspl: dt dt rg Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -.7 Egwrt ud Egvktor Im folgd führ wr Egwrt ud Egvktor qudrtshr Mtrz. D st s zwkmäßg sofort vo kompl Zhl ls Sklr sow Vktor ud Mtrz mt kompl Eträg uszugh. Dfto -: Es s. Estrt Vktor z mt z ud mt z z so hßt Egwrt ud z dr zu zughörg Egvktor vo. Bspl: stzt EW ud EV z d z z Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6
ud z \ {} sd Egwrt ud zughörgr Egvktor vo gu d w für z glt zzzz E zdt E wo p dt E Polyom vom grd p st. Ds Polyom p t m hrktrstshs Polyom vo. Stz -: Gu d für d dt E st sd Egwrt dr Mtr. Ist Egwrt vo so sd ll httrvl Lösug ds homog lr Glhugssystms E z zughörg Egvktor vo. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 D Lösugsmg ds homog lr Glhugssystms E z st dr zu ghörd Egrum. D Dmso dr Lösugsmg st d Dmso ds Egrums. d Ist rll Egwrt ud z \{} zughörgr Egvktor vo d st uh Egwrt ud z zughörgr Egvktor vo. Bws: zu d z z z = z z = z d rll Bspl: Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Brhug dr Egwrt E Egwrt vo sd fh dt dt Brhug dr Egvktor zu = : z z z Guß-lgorthmus lfrt z z z Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - st Egvktor zu mt Egrum zu = : E zu : z z z Guß-lgorthmus lfrt z z z
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - mt \{} sd Egvktor zu Egrum zu : E zu : mt \{} sd Egvktor zu Egrum zu : E Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Brhug dr Egwrt dt dt dt dt E fhr Egwrt fhr Egwrt Brhug dr Egvktor zu :
z z z Guß-lgorthmus lfrt z z z sd Eg- mt \{ } vktor zu Egrum zu E st Egrum zu : mt dm E Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - zu : z z z z z z Guß-lgorthmus lfrt z z z mt st Egvktor zu Egrum zu Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
E st Egrum zu : mt dm E I dsm Fll glt: E E d Im folgd wrd g Egshft vo Mtrz ud dr Egwrt ud Egvktor zusmmgstllt. Stz -: h d Egwrt mt dm zughörg Egvktor z. D glt ht d Egwrt ud d glh Egvktor z. mt ht d Egwrt ud d glh Egvktor z. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - E mt ht d Egwrt ud d glh Egvktor z. d Flls rgulär ht d Egwrt ud d glh Egvktor z. st rgulär gu d w ll Egwrt vo uglh ull. Bws: z z z z z pr Idukto z z. z z z z. z z z E z z z E z z. d z z z z z z. rgulär dt dt E für Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6
Dfto -: Zw Mtrz ud B hß ählh w s vrtrr Mtr C gt so dss glt B C C. Stz -: h d Egwrt mt dm zughörg Egvktor z. D ht d zu ählh Mtr B C C d glh Egwrt mt dm zughörg Egvktor C z. Bws: z z C z C z mt z C w C C w w. mrkug: D Mtrz ud B C C stz glh hrktrstsh Polyom ud folglh d glh Egwrt d Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 dt C C E dt C C C C E dt C E C = dt C dt E dt C dt E. Stz -6: D Egwrt r Drksmtr sd d Elmt dr Huptdgol vo. Bws: dt E dt dt E sd d Egwrt vo Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8
r Dr- mrkug: M k zg Stz vo Shur dss d Mtr ksmtr ählh st. Stz -7: Es s ht otwdg vrshd Egwrt vo k. D glt ud Sp dt mrkug: D Summ dr Dgollmt r Mtr hßt Spur dr Mtr d.h. Sp. Für d Spur ds Produkts zwr Mtrz ud B k m zg dss SpB SpB glt. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Stz -8: S Mtr. ht höhsts vrshd Egwrt. D Egvktor zu vrshd Egwrt sd lr uhägg. h vrshd Egwrt mt d zughörg Egvktor s s s. S C s s s d glt DC C mt D ud m zht ls dgolählh odr dgolsrr. d Flls mhrfh Egwrt stzt glt ussg ur d w für ll mhrfh Egwrt d Dmso ds Egrums glh dr Vlfhht ds zughörg Egwrts st. I dsm Fll müss C tsprhd dr wlg Egrumdmso vl lr uhägg Egvktor sth. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
Jd rll symmtrsh zw. kompl hrmtsh Mtr st dgolählh odr dgolsrr. f Ist rll symmtrsh zw. kompl hrmtsh so sd ll Egwrt rll ud d Egvktor zu vrshd Egwrt sth skrht ufdr. lso k m d Mtr C orthogol zw. utär wähl mt D C C zw. D C H C g Ist orthogol zw. utär so h ll Egwrt d Btrg s. Bws: dt E st Polyom vom grd höhsts vrshd Nullstll us z z z folgt durh Multplkto mt vo lks z z z. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bd Glhug lfr z z z z z z z + + z log rhält m us z + + z = z z z z z z Durh Wdrhol glgt m shlßlh zu z worus = folgt. Ds lfrt rükwärts gstzt h vrshd Egwrt mt d zughörg Egvktor s s s. Nh sd d Egvktor lr uhägg ud somt d Mtr C s s s rgulär. D s s für C CD C C = D dgolsrr Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
d Ist k-fhr Egwrt ud glt dm E k m k k lr uhägg Egvktor z z k zum Egwrt wähl C rgulär ud s glt C C D Ist rll symmtrsh zw. kompl hrmtsh ud st k- fhr Egwrt dm E k Bws s. Ltrtur f us z z H ud dmt z H z z H H z z H z H folgt z H z z H z H * z H z * Sd Egwrt vo mt ud z z d zughörg Egvktor d lfrt z H z H z H z z H z shlßlh z H z z H z z H z z z Ist k-fhr Egwrt vo so k m orthoorml Bss ds zughörg Egrums wähl d.h. z z k mt z z für ud z für k C st orthogol ud s glt D C H C g orthogol zw. utär z z z z z z Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: 6 Brhug dr Egwrt dt E dt 6 6 6 6 9 Brhug dr Egvktor zu : sd fh Egwrt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - st Egvktor zu z z zu : st Egvktor zu z z zu : st Egvktor zu z z lso glt 6 6 C C C C Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 Brhug dr Egwrt s. Bspl uf S. fhr Egwrt fhr Egwrt Brhug dr Egvktor s. Bspl uf S. zu : } \{ mt zu : mt Nu wähl wr zw orthogol Egvktor zu = mt für d zwt Egvktor muss glt mt
ormr lfrt z z 6 orthoorml Bss ds Egrums zu. Dr ormrt Egvktor zu lutt z. Er stht gmäß Stz -8 skrht uf dm Egrum zu. Somt glt C C C C C 6 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 Brhug dr Egwrt E fhr Egwrt fhr Egwrt dt dt Brhug dr Egvktor zu : z z st Egvktor zu z dm Vlfhht ds Egwrts E st ht dgolsrr Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8
Brhug höhrr Potz dgolsrrr Mtrz Es s dgolsrr d.h. s strt rgulär Mtr C mt C C D. k C CD k k CD C CDC mttls Idukto CDC CDC CD C lässt sh u fh rh d für Dgolmtr D rgt sh dr k-t Potz zu k k k D k Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 Bspl: s. Bspl uf St -6 C D C 6 k k k k CD C 6 k k k k k k 6 k k k k k k k k k k k k k k k 6 k k k k k k C Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -.8 Qudrtsh Form qudrtsh Polyom Dfto -6: Es s symmtrsh Mtr ud so hßt q qudrtsh Form. usgshr lutt d qudrtsh Form q Bspl: 6 q Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - q Dfto -7: Es s q qudrtsh Form. q zw. hßt postv dft gu d w q > für ll \ {} q zw. hßt gtv dft gu d w q < für ll \ {} q zw. hßt dft gu d w q mmt postv ud gtv Wrt d q zw. hßt postv smdft gu d w q für ll q zw. hßt gtv smdft gu d w q für ll
Stz -9: Es s q qudrtsh Form. D glt q > für ll \ {} ll Egwrt vo sd > q < für ll \ {} ll Egwrt vo sd < q mmt postv ud gtv Wrt ht postv ud gtv Egwrt d q für ll ll Egwrt vo sd q für ll ll Egwrt vo sd Bws: D symmtrsh strt orthogol Mtr C mt C C = D CDC CDC u Du u mt u C lso glt d wg u C für uh u folgt. ll dr Äquvlz rg sh log. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Bspl: dt E dt Sp S d Egwrt vo so glt ud dmt dt E Sp dt Ds vorhrg Bspl motvrt d folgd Stz. Stz -: Für symmtrsh Mtr = glt: postv dft > ud > > ud dt > gtv dft < ud < < ud dt > dft h vrshd Vorzh dt < dt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -
Bws: dt Sp dt stz glh Vorzh. S d dt. Ist umgkhrt dt stz glh Vorzh d. D d dr Fäll kö log ws wrd. Bspl: dt st postv dft ht ur postv Egwrt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus - Stz -: Es s symmtrsh Mtr. Frr s D dt d führd Huptshttsdtrmt dr Ordug mm mm mm m m m m m m dt m m m m m m m lg Huptshttsdtrmt dr Ordug ud dr -t Egwrt vo. D glt Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6
st postv dft st gtv dft D > für =... > für =... D > für =... < für =... st postv dft st postv smdft D ud ll für =... für... wo mdsts st st gtv smdft D ud ll für =... für =... wo mdsts st st postv smdft st dft D h dr Vorzh ls o s str > ud < Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -7 Stz -: Es s symmtrsh Mtr. Frr s dr größt Egwrt vo mt dm zughörg Egvktor ud dr klst Egwrt vo mt dm zughörg Egvktor d glt m mt rg m ud m mt rg m Bws: D symmtrsh strt orthogol Mtr C mt C C D CDC CDC C DC u Du mt u C ud s glt u u u Du u u u Du d u. Ist Egvktor zu mt = so glt. lso glt m log für Mmum. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -8
Bspl: mt dt E dt m m Egvktor zu / sd ud mt Btrg. dsr Stll wrd ds Mmum gomm. Egvktor zu / sd ud mt Btrg. dsr Stll wrd ds Mmum gomm. Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -9 mrkug: Ist hrmtsh Mtr ud z so t m qz z H z flls qudrtsh Form. Dfto -8: E Fukto dr Form p mt ud = hßt qudrtshs Polyom d Vrl. Bspl: 8 mt 8 Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 Egwrt vo : E sd d Egwrt vo 6 6 6 7 dt dt Egvktor vo : zu = : st Egvktor zu zu = 6: st Egvktor zu Normr dr Egvktor lfrt d orthogol rsformtosmtr 6 D C C Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 D rsformtosmtr C rzugt Drhug um mt os ud s lso 6 CDC CC C u Du u u C mt durh d rsformto u C wrd Hupthstrsformto durhgführt dmt d u Koordths prlll zu d hs ds Kglshtts vrluf 8 6 6 6 8 6 6 8 u u u u u u u u u u u u u u u u qudrtsh Ergäzug lfrt
Hohshul Brm Höhr Mthmtk / Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus -6 6 96 9 6 u u 6 6 u u u u u u Ellps mt Mttlpukt ud Hlhs 6 ud. mrkug: E qudrtsh Form ght durh rslto ds Koordtsystms w folgt qudrtshs Polyom ür p q E qudrtshs Polyom k umgkhrt ht mmr durh Koordttrsformto qudrtsh Form ürgführt wrd.
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Üug zur Höhr Mthmtk / Kptl Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus ufg -: Brh S für d Vktor d orthogol Zrlgug vo lägs d usdruk. ufg -6: Utrsuh S d folgd Vktortrpl uf lr häggkt. Im Fll lrr häggkt stmm m so dss glt ufg -7: Zg S dss d Vktor lr uhägg sd ud stll S d Vktor d ls Lrkomto vo dr. ufg -8: Gg s d Mtrz D C B. Brh S flls möglh D B D D C D BD D B C C.
Üug zur Höhr Mthmtk / Kptl Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus ufg -9: Bstmm S d Lösugsmg dr Glhugssystm ud 6 6 mt Hlf ds Guß-lgorthmus ud g S wls d Rg dr Koffztmtr ud dr rwtrt Mtr. ufg -: Es s. Brh S dt dt dt ud rg. ufg -: Gg s mt d Mtr. Brh S dt. ufg -: Brh S mt Hlf ds Guß-lgorthmus d Ivrs dr Mtr 6 6. dr Crmr-Rgl d Ivrs dr Mtr.
Üug zur Höhr Mthmtk / Kptl Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus ufg -: Bstmm S vo d folgd Mtrz wls d Egwrt ud mmls Systm lr uhäggr Egvktor.. ufg -: Gg s d symmtrsh Mtrz d f g h. Utrsuh S mt Hlf dr sog. Huptshttsdtrmt wlh dr og Mtrz postv dft sd. ufg -: Wlh dr folgd qudrtsh Form q sd postv dft? d 6 6.