Automatentheorie und Formale Sprachen

Automatentheorie und Formale Sprachen ÜBUNGEN Kathrin Hoffmann SoSe 2012 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 1

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Vorstellungsrunde: Dr. Kathrin Hoffmann Diplom-Studium Informatik Technische Universität Berlin Studentische Hilfskraft Promotions- und Forschungsstipendien Wissenschaftliche Mitarbeiterin Formal Approach and Applications of Algebraic Higher-Order Nets (Promotion) Wissenschaftliche Mitarbeiterin und Leiterin im DFG-Projekt Formale Modellierung und Analyse von flexiblen Prozessen in mobilen Ad-hoc Netzwerken und kommunikationsbasierten Systemen Wissenschaftliche Mitarbeiterin und Leiterin im BMBF-Projekt Fit für Soziale Netzwerke - Weiterbildungsmaster Medieninformatik Lehraufträge TU Berlin und HAW Hamburg Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 1

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Vorstellungsrunde!!! Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 2

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Gleichheit von Mengen Definition Zwei Mengen A und B heißen gleich A = B genau dann, wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist und umgekehrt: für alle a A gilt auch a B und für alle b B gilt auch b A Sonst sind die Mengen ungleich A B. Es ist also A B genau dann, wenn: ein a A existiert, so dass a B oder ein b B existiert, so dass b A Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 3

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Gleichheit von Mengen Definition Zwei Mengen A und B heißen gleich A = B genau dann, wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist und umgekehrt: für alle a A gilt auch a B und für alle b B gilt auch b A Sonst sind die Mengen ungleich A B. Es ist also A B genau dann, wenn: ein a A existiert, so dass a B oder ein b B existiert, so dass b A Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 3

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Gleichheit von Mengen Definition Zwei Mengen A und B heißen gleich A = B genau dann, wenn jedes Element aus A auch ein Element aus B ist und umgekehrt: für alle a A gilt auch a B und für alle b B gilt auch b A Sonst sind die Mengen ungleich A B. Es ist also A B genau dann, wenn: ein a A existiert, so dass a B oder ein b B existiert, so dass b A WICHTIG Daraus folgt, dass Reihenfolge und Wiederholungen von Elementen unwesentlich sind. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 3

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Teilmenge Definition Eine Menge A heißt Teilmenge A B einer Menge B genau dann, wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist: aus (A B) folgt für alle a A, dass a B) Eine A heißt echte Teilmenge A B von B genau dann, wenn gilt: A B und A B Die Menge aller Teilmengen von A heißt P(A) Potenzmenge von A: P(A) := {X X A} A B ist gleichbedeutend mit B A, dann heißt B Obermenge von A. Genauso ist A B gleichbedeutend mit B A, dann ist B echte Obermenge von A. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 4

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Mengenoperationen Definition Seien A und B Mengen. Die Vereinigungsmenge ist definiert durch A B := {x x A oder x B} (sprich: A vereinigt B) Die Schnittmenge ist definiert durch A B := {x x A und x B} (sprich: A geschnitten B) Die Differenz ist definiert durch A \ B := {x x A und x B} (sprich: A ohne B, A minus B) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 5

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Venn-Diagramme Venn-Diagramme illustrieren anschaulich die Mengenoperationen: B A A B A B A \ B Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 6

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Beispiele P( ) = { } (A B) \ (A B) (A B C) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 7

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Grundmenge, Komplement Definition Die Menge, die, alle betrachteten Mengen umfasst, heißt Grundmenge G. Ist die Grundmenge G gegeben, dann ist das Komplement einer Menge A definiert durch A := G \ A (sprich: A-Komplement ) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 8

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Grundmenge, Komplement Definition Die Menge, die, alle betrachteten Mengen umfasst, heißt Grundmenge G. Ist die Grundmenge G gegeben, dann ist das Komplement einer Menge A definiert durch A := G \ A (sprich: A-Komplement ) BSP: Venn-Diagramm mit Komplement und Grundmenge (aus http://commons.wikimedia.org/wiki/file:karnaugh_map_kv_venn_diagramm.svg) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 8

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Rechenregeln für Mengenoperationen Es gelten folgende Rechenregeln: Seien A, B, C Mengen. Dann gelten Die Assoziativgesetze (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Die Kommutativgesetze A B = B A A B = B A Die Distributivgesetze (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 9

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Rechenregeln für Mengenoperationen (ff) Die de-morganschen Gesetze (für die Differenz) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) Die Absorptionsgesetze A (A B) = A A (A B) = A Die Idempotenzgesetze A A = A A A = A Die Komplementgesetze für Grundmenge G A A = A A = G Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 10

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Mehr Mengenoperationen Definition Seien A und B Mengen. Das kartesisches Produkt (oder auch Kreuzprodukt) von A und B ist definiert durch A B := {(a, b) a A und b B} (sprich: A kreuz B) Die disjunkte Vereinigung von A und B ist definiert durch A B := (A {0}) (B {1}) (sprich: A disjunkt vereinigt B) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 11

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Beispiele BSP: Kartesisches Produkt BSP: Disjunkte Vereinigung oder die kartesischen Koordinaten R 2 := R R Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 12

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA BSP: {a, b, c} {a, b, c} = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)} {a, b, c} {a, b, c} = {(a, 0), (a, 1), (b, 0), (b, 1), (c, 0), (c, 1)} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 13

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Rechenregeln (a, b) = (c, d) genau dann, wenn a = c und b = d A = A = A B B A aber A B = B A dabei heißt = isomorph, anders gesagt in einer eins-zu-eins -Beziehung A = A A B B A aber A B = B A A B = A B falls A B = Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 14

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Beispiele BSP: (a, b) = (c, d) genau dann, wenn a = c und b = d (16, {Budapest}) = (4 2, A), wobei A = { Menge der Städte, die auf den Koordinaten 47 30 N, 19 3 O liegen } A = A = {a, b, c} {} = {(x, y) x A und y } = {} A B B A aber A B = B A {a} {b} = {(a, b)} {(b, a)} = B A aber {(a, b)} = {(b, a)}, denn (a, b) (b, a) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 15

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 1: Berechnen Sie bitte: 1 {a, b, c} P({a, b}) 2 ({a, b} \ P({a, b})) P({a, b}) 3 {a, b} P({a, b}) 4 {{a, b}} P({a, b}) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 16

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 1: Berechnen Sie bitte: 1 {a, b, c} P({a, b}) 2 ({a, b} \ P({a, b})) P({a, b}) 3 {a, b} P({a, b}) 4 {{a, b}} P({a, b}) Lösung 1 {a, b} P({a, b}) = {(a, ), (a, {a}), (a, {b}), (a, {a, b}), (b, ), (b, {a}), (b, {b}), (b, {a, b})} 2 ({a, b} \ P({a, b})) P({a, b}) = 3 {a, b} P({a, b}) = {({a, 0), (b, 0), (, 1), ({a}, 1), ({b}, 1), ({a, b}, 1)} 4 {{a, b}} P({a, b}) = {({a, b}, 0), (, 1), ({a}, 1), ({b}, 1), ({a, b}, 1)} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 16

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Mengenfamilien Definition Gegeben seien Mengen M i für I I, dann ist (M i ) i I eine Mengenfamilie über der Indexmenge I, wobei I N. Definition Durchschnitt der Mengenfamilie i I M i := {x für alle i I : x M i } Vereinigung der Familie i I M i := {x es existiert i I : x M i } Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 17

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 2: Gegeben sei M = {1, 2, a, c} und (A m ) m (M {0}) eine Mengenfamilie mit A i := {i}. Geben Sie die folgenden Mengen bitte explizit an: A 0 A a m M A m Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 18

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 2: Gegeben sei M = {1, 2, a, c} und (A m ) m (M {0}) eine Mengenfamilie mit A i := {i}. Geben Sie die folgenden Mengen bitte explizit an: A 0 A a m M A m Lösung A 0 = {0} A a = {a} m M A m = M = {1, 2, a, c} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 18

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Vollständige Induktion Vollständige Induktion beweist Aussagen über natürlichen Zahlen: Definition Ist A(n) eine von n N abhängige Aussage, so sind dazu die folgenden beiden Beweisschritte 1 und 3 durchzuführen: Induktionsanfang (IA): Man zeigt, dass A(1) richtig ist. Induktionsbehauptung (IB): Annahme, dass A(n) richtig ist Induktionsschluss (IS): Man zeigt, dass aus der Annahme, dass A(n) richtig ist (Induktionsanker), folgt, dass auch A(n + 1) richtig ist, d.h. A(n) = A(n + 1) Dann ist gewährleistet, dass A(n) für alle n N gilt. Wird der Induktionsanfang nicht für n 0 = 1, sondern für ein n 0 > 1 durchgeführt, so gilt die Aussage nur für alle n n 0. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 19

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 3: Alphabet, Wörter und Sprachen 1 Die Länge eines Wortes : Σ N 0 lässt sich rekursiv definieren: ɛ = 0 x w = w + 1 für jedes x Σ 1 Berechnen Sie für A = {a, b, abc} bitte aba und ababc. 2 Versuchen Sie bitte Folgendes zu beweisen: v w = v + w Machen sie sich zunächst klar, (ob und) wieso das so ist. Beweistechnik: Induktion über die Anzahl der Zeichen von v. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 20

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Lösung von Aufgabe 3 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 21

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Lösung von Aufgabe 3 Lösung Zu zeigen ist vw = v + w durch vollständige Induktion über die Anzahl der Zeichen von v IA n = 0 also v = ɛ: IB für ein bel. n sei: ɛ w = w = 0 + w = ɛ + w vw = v + w IS (n n + 1) also ZZ: xvw = xv + w xvw = vw + 1 = v + w + 1 = v + 1 + w = xv + w Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 21

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 4: Induktionen Die Transposition oder Spiegelung eines Wortes über Σ ist seine zeichenweise Umkehrung definiert durch Abbildung trans : Σ Σ mit trans(ɛ) = ɛ und trans(xv) = trans(v) x für alle x Σ und v Σ Zeigen Sie bitte für trans, dass trans 2 (w) = w. Palindrome Ein Palindrom ist ein Wort w mit trans(w) = w. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 22

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 4: Induktionen Die Transposition oder Spiegelung eines Wortes über Σ ist seine zeichenweise Umkehrung definiert durch Abbildung trans : Σ Σ mit trans(ɛ) = ɛ und trans(xv) = trans(v) x für alle x Σ und v Σ Zeigen Sie bitte für trans, dass trans 2 (w) = w. Bemerkungen trans 2 (w) := trans(trans(w)) doppelte Induktion Palindrome Ein Palindrom ist ein Wort w mit trans(w) = w. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 22

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Lösung von Aufgabe 4 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 23

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Lösung von Aufgabe 4 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 23

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 5: 1 Sei Σ = {f, g, 3, 7}. Geben Sie bitte die folgenden Sprachen an (verbal oder besser formal): {gg} + = L 1 = Σ \ {vgv v, v Σ } = L 1 = 2 Gilt {w trans(w) = w; w Σ } = {w trans(w) w Σ }? Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 24

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 5: 1 Sei Σ = {f, g, 3, 7}. Geben Sie bitte die folgenden Sprachen an (verbal oder besser formal): {gg} + = {g n n = 2m für m N + } L 1 = Σ \ {vgv v, v Σ } = {f, 3, 7} L 1 = {f, 3, 7} 2 Gilt {w trans(w) = w; w Σ } = {w trans(w) w Σ }? Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 24

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 5: 1 Sei Σ = {f, g, 3, 7}. Geben Sie bitte die folgenden Sprachen an (verbal oder besser formal): {gg} + = {g n n = 2m für m N + } L 1 = Σ \ {vgv v, v Σ } = {f, 3, 7} L 1 = {f, 3, 7} 2 Gilt {w trans(w) = w; w Σ } = {w trans(w) w Σ }? Nein, denn {w trans(w) = w; w Σ } enthält Wörter mit ungerader Länge, aber {w trans(w); w Σ } nicht. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 24

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Beispiel: Zustandsgraphen endlicher Automaten DEA, der alle Zeichenreihen akzeptiert, die die Teilzeichenreihe 01 enthalten. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 25

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 6: Konstruieren Sie bitte einen DEA, der alle Zeichenketten aus {0, 1} akzeptiert, die mit 00 beginnen und bei denen auf jede 1 unmittelbar mindestens eine 0 folgt. 1 Beginnen Sie mit einem Automaten, der das kürzeste Wort der Sprache akzeptiert. 2 Erweitern Sie den Automaten danach. 3 Wie lautet das 5-Tupel, das Ihren Automaten beschreibt? Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 26

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 7: Konstruieren Sie bitte einen DEA, der alle Wörter aus {a, b} akzeptiert, die höchstens 4 a s oder eine ungerade Anzahl von a s haben. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 27

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 7: Konstruieren Sie bitte einen DEA, der alle Wörter aus {a, b} akzeptiert, die höchstens 4 a s oder eine ungerade Anzahl von a s haben. Lösung Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 27

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 8: Konstruieren Sie bitte einen DEA, der alle Wörter aus {a, b} akzeptiert, die bbbb enthalten. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 28

Übung Ü1 Vorstellungsrunde Mengenoperationen Mengenfamilien Formale Sprachen DEA Übungsaufgabe 8: Konstruieren Sie bitte einen DEA, der alle Wörter aus {a, b} akzeptiert, die bbbb enthalten. Lösung Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 28

Übung Ü2 Übungsaufgabe 9: Konstruieren Sie bitte einen DEA, der alle Wörter aus {0, 1, 2} + akzeptiert, so dass jeder 2 direkt das Wort 10 folgt. Geben Sie bitte Diagramm und Übergangstabelle an. Geben Sie die Anfangskonfiguration für das Wort 0210. Führen Sie für 0210 die Berechnung durch. Wird das Wort akzeptiert? Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 29

Übung Ü2 Übungsaufgabe 10: Zeigen Sie bitte, dass gilt: (q, v) (p, ɛ) und (p, w) (r, ɛ) gdw (q, vw) (r, ɛ) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 30

Übung Ü2 Übungsaufgabe 10: Zeigen Sie bitte, dass gilt: (q, v) (p, ɛ) und (p, w) (r, ɛ) gdw (q, vw) (r, ɛ) Induktion über v: IA Für v = 0 gilt: (q, ɛ) (p, ɛ) und (p, w) (r, ɛ) gdw q = p und (p, w) (r, ɛ) gdw (q, ɛ w) (r, ɛ) IB Für v n gelte: (q, v) (p, ɛ) und (p, w) (r, ɛ) gdw (q, vw) (r, ɛ) IS (q, xv) (p, ɛ) und (p, w) (r, ɛ) gdw (q, x) (q, ɛ) und (q, v) (p, ɛ) und (p, w) (r, ɛ) gdw (q, x) (q, ɛ) und (q, vw) (r, ɛ) gdw (q, xvw) (r, ɛ) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 30

Übung Ü2 Übungsaufgabe 11: Betrachten Sie den DEA A mit der folgenden Übergangstabelle. 0 1 A B A B C A C C C Beschreiben Sie informell die Sprache, die dieser DEA akzeptiert. (Zeichnen Sie zur Veranschaulichung den DEA.) Beschreiben Sie L(A) formal. Beweisen Sie das! Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 31

Übung Ü2 Übungsaufgabe 11: Betrachten Sie den DEA A mit der folgenden Übergangstabelle. 0 1 A B A B C A C C C Beschreiben Sie informell die Sprache, die dieser DEA akzeptiert. (Zeichnen Sie zur Veranschaulichung den DEA.) Beschreiben Sie L(A) formal. Beweisen Sie das! Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 31

Übung Ü2 Übungsaufgabe 11: Betrachten Sie den DEA A mit der folgenden Übergangstabelle. 0 1 A B A B C A C C C Beschreiben Sie informell die Sprache, die dieser DEA akzeptiert. (Zeichnen Sie zur Veranschaulichung den DEA.) Beschreiben Sie L(A) formal. L(A) = Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } Beweisen Sie das! Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 31

Übung Ü2 Lösung von Aufgabe 11 ZZ L(A) = Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 32

Übung Ü2 Lösung von Aufgabe 11 ZZ L(A) = Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } 1 ZZ Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } L(A): IA ɛ L(A), denn (A, ɛ) (A, ɛ) uns A F IB Für w n gilt: w Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } = w L(A) IS Sei vxv = n + 1 und vxv Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ }. Dann gibt es zwei Fälle, wobei Y {A, B}: x = 1 dann (A, v1v) IB (Y, 1v ) (A, v ) IB (Y, ɛ) x = 0 und v = u1 und v = 1u dann (A, u101u ) IB (Y, 101u ) (A, 01u ) (B, 1u ) (A, u ) IB (Y, ɛ) x = 0 und v = ɛ und v = 1u dann (A, 01u ) (B, 1u ) (A, u ) IB (Y, ɛ) x = 0 und v = u1 und v = ɛ dann (A, u101u ) IB (Y, 101u ) (A, 01u ) (B, ɛ) Da in Y F bzw. B F ist, ist also vxv L(A). Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 32

Übung Ü2 Lösung von Aufgabe 11 ZZ L(A) = Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 33

Übung Ü2 Lösung von Aufgabe 11 ZZ L(A) = Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } 2 L(A) Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } gdw x / Σ \ {v0 n v n > 1 und v, v Σ } = x / L(A) gdw x {v0 n v n > 1 und v, v Σ } = x / L(A) Sei x = v0 n v mit n > 1 und v, v Σ und Y {A, B, C} Dann ist (A, v0 n v ) (Y, 0 n v ), danach gibt es drei Fälle: Y = A dann (A, 0 n v ) (B, 0 n 1 v ) (C, 0 n 2 v ) (C, ɛ) Y = B dann (B, 0 n v ) (C, 0 n 1 v ) (C, ɛ) Y = C dann (C, 0 n v ) (C, ɛ) Da aber in allen drei Fällen C / F ist also x = v0 n v / L(A) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 33

Übung Ü2 Übungsaufgabe 12: Mehr... 1 Konstruieren Sie einen DEA, der alle Zeichenketten aus {0, 1} akzeptiert, die mit 00 beginnen und nicht mehrere 1 en hintereinander enthält. 2 Sei L = {w w beginnt mit dem Prefix baba oder w beinhaltet mindestens vier b s} über Σ = {a, b}. Konstruieren Sie bitte einen DEA, der L erkennt. Berechnen Sie bitte (q0, ba) und (q0, abbbb). Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 34

Übung Ü2 Lösung von Aufgabe 12 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 35

Übung Ü2 Lösung von Aufgabe 12 2 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 35

Übung Ü2 Übungsaufgabe 13: Gegeben der DEA Zeigen Sie bitte mit Hilfe der erweiterten Übergangsfunktion, dass 1010 L(A) ist. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 36

Übung Ü2 Übungsaufgabe 13: Gegeben der DEA Zeigen Sie bitte mit Hilfe der erweiterten Übergangsfunktion, dass 1010 L(A) ist. Lösung δ(a, 1010) = δ( δ(a, 101), 0) = δ(δ( δ(a, 10), 1), 0) = δ(δ(δ( δ(a, 1), 0), 1), 0) = δ(δ(δ(δ( δ(a, ɛ), 1), 0), 1), 0) = δ(δ(δ(δ(a, 1), 0), 1), 0) = δ(δ(δ(a, 0), 1), 0) = δ(δ(b, 1), 0) = δ(a, 0) = B Da B F, ist also 1010 L(A). Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 36

Übung Ü2 Übungsaufgabe 14: Bilden Sie bitte die Tabelle der unterscheidbaren Zustände und konstruieren Sie den minimalen DEA für Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 37

Übung Ü2 Übungsaufgabe 14: Bilden Sie bitte die Tabelle der unterscheidbaren Zustände und konstruieren Sie den minimalen DEA für Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 37

Übung Ü2 Übungsaufgabe 15: Bitte zeigen Sie, dass die beiden DEAs, dieselbe Sprache erkennen. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 38

Übung Ü2 Lösung von Aufgabe 15 q1 X q2 X X q3 X X q4 X X X X q5 X X X X p0 X X X X p1 X X X X X X p2 X X X X X X X p3 X X X X X X X q0 q1 q2 q3 q4 q5 p0 p1 p2 Da p0 und q0 äquivalent sind, erkennen die beiden DEAs dieselbe Sprache. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 39

Übung Ü3 Übungsaufgabe 16: Geben Sie für diesen NEA bitte die Übergangstabelle an: Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 40

Übung Ü3 Übungsaufgabe 16: Geben Sie für diesen NEA bitte die Übergangstabelle an: Lösung 0 1 q0 {q1, q2, q3} {q2} q1 {q1} q2 {q2} q3 {q4} q4 {q2, q3} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 40

Übung Ü3 Übungsaufgabe 17: Sei L = {w zwischen zwei a s in w sind mindestens drei b s und w hat Länge zwei modulo drei } über Σ = {a, b} Konstruieren Sie bitte einen NEA, der L erkennt. (w hat also die Länge 2, 5, 8, 11, 14,...) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 41

Übung Ü3 Lösung von Aufgabe 17 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 42

Übung Ü3 Lösung von Aufgabe 17 Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 42

Übung Ü3 Übungsaufgabe 18: Zeigen Sie mit Hilfe von Konfigurationen, dass dieser NEA 011 und 000 erkennt. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 43

Übung Ü3 Übungsaufgabe 18: Zeigen Sie mit Hilfe von Konfigurationen, dass dieser NEA 011 und 000 erkennt. Lösung (q0, 011) (q1, 11) (q1, 1) (q1, ɛ) da q1 F, also 011 L(A) (q0, 000) (q2, 00) (q2, 0) (q2, ɛ) da q2 F, also 000 L(A) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 43

Übung Ü3 Übungsaufgabe 19: Zeigen Sie mit Hilfe der erweiterten Übergangsfunktion, dass dieser NEA 010 erkennt. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 44

Übung Ü3 Übungsaufgabe 19: Zeigen Sie mit Hilfe der erweiterten Übergangsfunktion, dass dieser NEA 010 erkennt. δ(q0, ɛ) = {q0} δ(q0, 0) = δ(q, 0) = {q1, q2, q3} δ(q0, 01) = δ(q0, 010) = q δ(q0,ɛ) q δ(q0,0) q δ(q0,01) {q2, q3} F also 010 L(A) δ(q, 1) = δ(q1, 1) δ(q2, 1) δ(q3, 1) = {q1, q4} δ(q, 0) = δ(q1, 0) δ(q4, 0) = {q2, q3} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 44

Übung Ü3 Übungsaufgabe 20: Berechnen Sie bitte zu diesem NEA den äquivalenten DEA mit Hilfe der Teilmengenkonstruktion. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 45

Übung Ü3 Übungsaufgabe 20: Berechnen Sie bitte zu diesem NEA den äquivalenten DEA mit Hilfe der Teilmengenkonstruktion. 0 1 {q0} {q1, q2, q3} {q2} {q1, q2, q3} {q2} {q1, q4} {q2} {q2} {q1, q4} {q2, q3} {q1} {q1} {q1} {q4} {q2, q3} {q2, q3} {q2} {q4} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 45

Übung Ü3 Lösung von Aufgabe 20 0 1 {q0} {q1, q2, q3} {q2} {q1, q2, q3} {q2} {q1, q4} {q2} {q2} {q1, q4} {q2, q3} {q1} {q1} {q1} {q4} {q2, q3} {q2, q3} {q2} {q4} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 45

Übung Ü3 Übungsaufgabe 21: 1 Bestimmen Sie für den folgenden nichtdeterministischen, endlichen Automaten δ(p, 010). Wird das Wort akzeptiert? 2 Wandeln Sie den NEA in einen DEA um (Tabelle genügt). 0 1 p {q, s} {q} q {r} {q, r} r {s} {p} s {p} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 46

Übung Ü3 Lösung von Aufgabe 21 1 δ(p, ɛ) = δ(p, 0) = δ(x, 0) = δ(p, 0) = {p, q} x δ(p,ɛ) δ(p, 01) = δ(x, 0) = δ(p, 1) δ(q, 1) = {q, r} x δ(p,0) δ(p, 010) = δ(x, 0) = δ(q, 0) δ(r, 0) = {s, r} x δ(p,01) da {s, r} F = {s}, wird also 010 akzeptiert. NEA 0 1 p {q, s} {q} q {r} {q, r} r {s} {p} s {p} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 47

Übung Ü3 Lösung von Aufgabe 21 2 DEA 0 1 {p} {q, s} {q} {q, s} {r} {p, q, r} {q} {r} {q, r} {r} {s} {p} {p, q, r} {q, r, s} {p, q, r} {q, r} {r, s} {p, q, r} {s} {p} {q, r, s} {r, s} {p, q, r} {r, s} {s} {p} NEA 0 1 p {q, s} {q} q {r} {q, r} r {s} {p} s {p} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 48

Übung Ü3 Übungsaufgabe 22: Gegeben der folgende ɛ-nea. Berechnen Sie bitte δ(q0, abaa) Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 49

Übung Ü3 Übungsaufgabe 22: Gegeben der folgende ɛ-nea. Berechnen Sie bitte δ(q0, abaa) δ(q0, ɛ) = ɛ-hülle({q0}) = {q0, q1, q3} δ(q0, a) = ɛ-hülle( q δ(q0,ɛ) δ(q, a)) = ɛ-hülle(δ(q0, a) δ(q1, a) δ(q3, a)) = ɛ-hülle({q2}) = {q1, q2, q3} δ(q0, ab) = ɛ-hülle( q δ(q0,a) δ(q, b)) = ɛ-hülle(δ(q1, b) δ(q2, b) δ(q3, b)) = ɛ-hülle({q1}) = {q1, q3} δ(q0, aba) = ɛ-hülle( q δ(q0,ab) δ(q, a)) = ɛ-hülle(δ(q1, a) δ(q3, a)) = ɛ-hülle({q2}) = {q1, q2, q3} δ(q0, abaa) = ɛ-hülle( q δ(q0,aba) δ(q, a)) = ɛ-hülle(δ(q1, a) δ(q2, a) δ(q3, a)) = ɛ-hülle({q2}) = {q1, q2, q3} da {q1, q2, q3} F = {q1}, also wird abaa akzeptiert. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 49

Übung Ü3 Übungsaufgabe 23: Gegeben die Sprache über dem Alphabet Σ = {a, b, c} mit L = {w Σ w v 1 aaa v 2 für beliebige v 1, v 2 Σ } {w Σ w = 3} Beschreiben Sie bitte die Sprache informell. Geben Sie bitte einen ɛ-nea an, der L erkennt. Begründen Sie, warum Ihr Automat L erkennt. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 50

Übung Ü3 Lösung von Aufgabe 23 L enthält nur Wörter, die keine drei a s in Folge enthalten oder solche die höchstens 3 Zeichen lang sind, siehe Diagramm. Zwei Teilautomaten, die nichtdeterministisch ausgewählt werden, der eine (obere) kann nur zwei a s in Folge lesen, sonst stoppt er, also liest der {w Σ w v 1 aaa v 2 für beliebige v 1, v 2 Σ } und der andere kann nach 3 Zeichen nicht mehr weiter, erkennt also {w Σ w = 3}. Durch die Auswahl wird die Vereinigung der Teilsprachen erreicht. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 51

Übung Ü3 Übungsaufgabe 24: Konstruieren Sie bitte einen äquivalenten DEA ohne Epsilon-Übergänge: Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 52

Übung Ü3 Übungsaufgabe 24: Konstruieren Sie bitte einen äquivalenten DEA ohne Epsilon-Übergänge: a b ɛ-hülle({q0}) ɛ-hülle({q1}) = {q0, q1, q2} ɛ-hülle({q3, q4}) = {q3, q4} {q0, q1, q2} ɛ-hülle({q1}) = {q0, q1, q2} ɛ-hülle({q3, q4}) = {q3, q4} {q3, q4} ɛ-hülle({q0}) = {q0} Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 52

Übung Ü3 Übungsaufgabe 25: Gegeben zwei beliebige ɛ-neas A und B über einem Alphabet Σ. 1 Überlegen Sie bitte, wie man eine Automaten C konstruieren kann, der die Sprache L(C) = L(A) L(B) erkennt. Benutzen Sie dafür die ɛ-neas A und B. 2 Überlegen Sie bitte, wie man eine Automaten D konstruieren kann, der die Sprache L(D) = L(A) L(B) erkennt. Benutzen Sie dafür die ɛ-neas A und B. Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 53

Übung Ü3 Lösung von Aufgabe 25 Sei A = (Q A, Σ, δ A, q A, F A ) und B = (Q B, Σ, δ B, q B, F B ) dann ist 1 C = (Q A Q B, Σ, δ C, q A, F B ) mit δ A (q, x) ; fallsq Q A \ F A δ C (q, x) = δ A (q, x) {q B } ; fallsq F A undx = ɛ δ B (q, x) ; fallsq Q B 2 D = (Q A Q B {q D }, Σ, δ D, q D, F A F B ) mit δ A (q, x) ; fallsq Q A δ B (q, x) ; fallsq Q B δ D (q, x) = {q A, q B } ; fallsq = q D und x = ɛ ; sonst Hausaufgabe: Beweisen Sie bitte, dass 1 L(C) = L(A) L(B). 2 L(D) = L(A) L(B). Hoffmann (HAW Hamburg) AF SoSe 2012 54