Kapitel 4: Beugung. Institut für Optik, Information und Photonik. Wellenoptik. N. Lindlein

Kaptl 4: Bgg Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 6

Bgg W cht adrs aggb glt m Folgd jwls: Dr skalar Fall mt Bschrbg drch kompl Ampltd wrd btrachtt d.h. r Kompot ds lktrsch/magtsch Flds d moochromatschs d kohärts Lcht dr Wllläg. D Asbrtg dr Wll/kompl Ampltd gschht m homog Mdm dr Brchahl (mst = d.h. Vakm odr Lt (m S dr Tchsch Optk st da = b Normalbdgg)). Für d Bgg a m Schrm glt d Krchho sch Radwrtbdgg. Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 7

Bgg Krchho sch Radwrtbdgg: Umttlbar htr m Schrm mt lchtdrchlässg d lchtdrchlässg Stll st d kompl Ampltd a d lchtdrchlässg Stll + = d vrädrt a d lchtdrchlässg Stll + = -. + : kompl Ampltd mttlbar htr dm Schrm/dr Eb - : kompl Ampltd mttlbar vor dm Schrm/dr Eb Vrallgmrt kö wr r Eb mt r kompl Trasmssoskto t schrb: t A p mt A t t t t A: Btrag dr Trasmssoskto (spll: a kompltt lchtdrchlässg Stll; a vollstädg traspart Stll) : Phaskto dr Trasmssoskto so dass hrmt m Rahm dr sogat Dü-Elmt-Nährg.B. Ls bschrbbar sd. Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 8

9 N. Ldl Isttt ür Optk Iormato d Photok Wlloptk Bgg: Wklspktrm br Wll Eb Wll mt Asbrtgsrchtg paralll m Wllvktor k: skalar Hlmholt-Glchg rüllt w glt: r k r k k k k k k Vktor dr Ortsrq wrd drt als: k Damt lässt sch b Wll schrb als: r r

Bgg: Wklspktrm br Wll Jd kompl Ampltd ka als Übrlagrg br Wll mt vrschd Asbrtgsrchtg gschrb wrd. Solag r Plawll mt Asbrtg Halbram btrachtt wrd güg w Kompot vo r dtg Bschrbg allr Plawll mt trschdlch Rchtg. O.B.d.A.: Wähl Koordatsstm so dass d Ortsrq d d abhägg Varabl sd. Wr btracht r kompl Ampltd d r Eb drt sd d trssr s ür d kompl Ampltd r da paralll Eb. Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl

Bgg: Wklspktrm br Wll Wklspktrm br Wll: Asgagsb b =: ( ) ~ ( ) ~ ( ) ( Wlloptk ) ~ ~ ( ) ( ) ( ) π π Zlb paralll da b = : mt π π d d d d d d π d d () ( ) Isttt ür Optk Iormato d Photok Mathmatsch/ mrsch: Forr-Traos t FFT (ast Forr trasormato) N. Ldl

N. Ldl Isttt ür Optk Iormato d Photok Wlloptk Bgg: Wklspktrm br Wll D komplwrtg Fkto hat Btrag d Phas (= Argmt Arg dr Fkto): Btrag bstmmt d Stärk dr jwlg Plawll mt Ortsrqvktor Phas bschrbt d rlatv Phaslag dr Plawll adr ) ( ~ Arg ) ( ~ ) ( ~ / Für d -Kompot ds Ortsrqvktors müss w Fäll trschd wrd: Hrb st bd Fäll das Argmt dr Wrl postv Fkto so dass d Wrl slbst rll Wrt rgbt! Asbrtgsähg Wll: Evast Wll (vrschwdt m Frld):

Bgg: Wklspktrm br Wll Tradtoll wrd b Bggsrchg das Itgralthorm vo Hlmholt d Krchho r Hrltg btt odr aschalch das Hgsch Prp (Zrlgg Kglwll als Elmtarwll). Daras wrd da das Frsl-Krchho Bggstgral abgltt. Wr hab abr mt dm aschalch Wklspktrm br Wll bgo (Etwcklg ach b Wll als Elmtarwll) d kö daras ach das Frsl-Krchho Bggstgral (d all Nährg davo) ablt. Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 3

Bgg: Abltg Ralgh-Sommrld Thor Äqval Wklspktrm br Wll d Ralgh-Sommrld Bggsthor: ~ v H mt H v dv dv H: Übrtraggskto ds r Rams st d vrs Forr-Trasormrt ds Prodkts dr bd Fkto d H. ~ Faltgsthorm ka als Faltg dr vrs Forr-Trasormrt vo ~ d H asgdrückt wrd. Ivrs Forr-Trasormrt vo ~ st ach: FT ~ Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 4

Bgg: Abltg Ralgh-Sommrld Thor Ivrs Forr-Trasormrt vo H: kr kr H d d k : h r r r r mt k d r kl o k dd l l l Wlloptk h dd kr o mt l d h k r r r Ds st dr allgm Bggsormalsms vo Ralgh-Sommrld: Kompl Ampltd b = st d Faltg dr kompl Ampltd b = d r sphärsch Hgs-Wll h. h hßt Implsatwort da s d kompl Ampltd b Alg r -Fkto (=pktörmg Argg) st. h Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 5

Bgg: Abltg Frsl-Krchho Bggstgral Wg k>>/r (Wllläg.a. kl ggübr Etrg r): h k r r r kr r Frsl-Krchho Bggstgral (Itgrato r übr dlch Aprtr A Bgrg ormal thalt): r kr D P P l l dd mt l Wlloptk kl l l Koss ds Wkls wsch optschr Achs d Strck P P Kglwll vo P (Ursprg) ach P Abstad wsch P am Ort ( ) (Aprtrb) d Zlpkt P am Ort ( ) Dtg: Übrlagrg allr Kglwll mt Gwchtg d Faktor cos d vo Aprtr m Zlpkt P gh mathmatsch Fassg ds Hgs sch Prps Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 6

Bgg: Abltg Frsl-Krchho Bggstgral Amrkg: E Gralsrg ür blbg Aprtrläch A (statt r Eb) a dr drt st d ür blbg Pkt r m Ram a d brcht wrd st möglch: r Aprtr A kl N r r r k ds mt l : r r l l l N: Ehtsvktor skrcht A am Ort r ; ds bcht D-Itgrato übr r. Im Folgd wrd abr wtrh d Asbrtg wsch w paralll Eb trscht da ds dr trssatst Fall st d ach mrsch t Vrahr w FFTs möglch sd. Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 7

Frsl schs Bggstgral Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 8

9 N. Ldl Isttt ür Optk Iormato d Photok Wlloptk D P P l l A A d d d d Frsl Bggstgral (paraal Nährg): 4 d 4 l D D Bgg: Frsl schs Bggstgral Im Nr dr Kglwll ds Frsl-Krchho Bggstgrals dar l sogar drch rstt wrd (Varato dr Ampltd dr Kglwll vrachlässgbar) d dr Kossaktor wrd /l= / =!

Bgg: Frsl schs Bggstgral Bdgg ür Gültgkt ds Frsl sch Bggstgrals: Wrt ächst Trm vo l as dr b Rhtwcklg vrachlässgt wrd d st ür d Koordat d mamal rlabt Wrt (Rads D/): l rror Wlloptk 4 D / D / Q Frsl 3 kl rror D / F 3 4 3 4 Frsl-Zahl: F Frsl schs Bggstgral st r paraalr Nährg gültg. Hrchd Bdgg ür Gültgkt st: Q Frsl << Bspl: = =.5 µm D= mm = m F=5 Q Frsl =.5<< Abr ür =. m F=5 Q Frsl =.5 d.h. Frsl-Itgral r och mt schlchtr Nährg bw. gar cht mhr gültg (hägt m Elall vom ga Problm d.h. vo ab). Isttt ür Optk Iormato d Photok D / N. Ldl 3

Bgg: Frsl schs Bggstgral Das ltt Bspl gt dass das Frsl sch Bggstgral m Nahld cht mhr gültg st. Dort mss ma das Wklspktrm br Wll vrwd odr das Frsl-Krchho Bggstgral komplttr Form (wob lttrs mrsch awädg st). Im Frld glt das Frsl sch Bggstgral war solag + cht groß wrd (wr hatt s ja hr a (D/) bgrt was abr m Frld dr Pras kl s ka) dort gbt s abr shr vl svollr Nährg das Frahor Bggstgral (sh spätr). Das Frsl sch Bggstgral glt also m Zwschbrch wsch Nahd Frld. A jd Fall st s paraal Nährg d.h. groß Wkl dr Wll mt dr optsch Achs sd cht rlabt. Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 3

3 N. Ldl Isttt ür Optk Iormato d Photok Wlloptk Das Frsl sch Bggstgral ka als Forr-Trasormrt agasst wrd (d.h. mrsch FFT vrwdbar) odr als Faltg wr Fkto: Bgg: Frsl schs Bggstgral d wsch Faltg vo Trao Forr d d d d A A

33 N. Ldl Isttt ür Optk Iormato d Photok Wlloptk Frsl schs Bggstgral ormlrt m Forr-Ram: A d d ~ FT FT FT d d ~ Faltg wr Fkto Faltgsthorm awdbar: Bgg: Frsl schs Bggstgral

34 N. Ldl Isttt ür Optk Iormato d Photok Wlloptk Frsl schs Bggstgral m Forr-Ram ka ach as Wklspktrm br Wll lcht abgltt wrd. Etwckl da Wrl m Epot dr Übrtraggskto H ds r Rams: v v v H Höchstr vrachlässgtr Trm dr Etwcklg mss Bdgg rüll: 3 3 Bgg: Frsl schs Bggstgral v v v v v v H d d ~ d d ~

Bgg: Frsl schs Bggstgral Für sphärsch Wll mt halbm Aprtrwkl d NA= s d.h. mamal Ortsrq ma =NA/ bdtt ds: Q Frsl Wlloptk 4 D / Forr NA Q 3 3 Frsl 4 D Bdggstrm Q FrslForr d Q Frsl sd also m Grd dtsch. Allrdgs gbt s b mrschr Brchg ds Frsl sch Bggstgrals m Orts- d Forr-Ram Utrschd dr Flddrchmssr d vrschd Eb! Bd Formlrg ds Frsl sch Bggstgrals kö mrsch mt Hl vo FFTs brcht wrd: Ortsram-Formlrg r FFT Forr-Ram-Formlrg w FFTs Forr-Ram-Formlrg hat abr mrsch kam Vortl ggübr dr akt Vrwdg ds Wklspktrms br Wll! Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 35

Frahor Bggstgral Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 36

37 N. Ldl Isttt ür Optk Iormato d Photok Wlloptk Frahor Bggstgral (gültg m Frld): - odr l l l l l ; mt Rchtgskoss d d d d l l l l l l A l A l l D P P l l Bgg: Frahor Bggstgral

Bgg: Frahor Bggstgral W Bobachtgspkt P cht Eb lg sodr a Kglschal m das Ztrm dr Aprtr mt Rads so glt: l = Trm vor dm Itgral st ür all Pkt P kostat: Wlloptk dd A kostat ~ Für kl Wrt d kö d Rchtgskoss atürlch ach als d Wkl slbst agasst wrd bw. akt glt ür d Ortsrq: =/ =/ Das Frahor Bggstgral lrt also lttdlch r das Wklspktrm br Wll da ma sch aschalch vorstll ka dass d Plawll j ach Wkl m Frld sparr. (Vorstllg hkt atürlch da Plawll pr Dto dlch asgdht) Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 38

Bgg: Frahor Bggstgral Gültgktsbdgg ür Frahor Bggstgral: Wrt wdr höchst vrachlässgt Trm dr Rhtwcklg vo l as d st d mamal Wrt ür + l rror D / D / l Q Frahor kl rror D / D / l l F Frahor Bggstgral st m Frld gültg w ür d Frsl-Zahl F glt: Q Frahor =F<< Bspl: = =.5 µm D= mm >>5 m Abr: Frahor Bggstgral st ach dr Brb r Ls gültg spll w d Ls d Ss-Bdgg rüllt (=aplaatsch Ls)! Db Itgral Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 39

Db-Itgral (skalar) Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 4

Bgg: Frahor Bggstgral/Db Itgral Kompl Ampltd dr Brb r Ls: Aschalch Btrachtg: Fällt b Wll a bgd Bld so bldt sch das Frahor Bggsbld m Frld d.h. m Etrmall m Udlch. E Ls okssrt abr d Strahl r b Wll dr Brb Bggsbld wrd d Brb trasormrt wob d latral Koordat ach das Prodkt as Brwt d Frld-Bggswkl sd. D kompl Ampltd Foks dr Brb st da: Foks A dd Hrb ka d kompl Ampltd dr Aprtrb b dr Iormato dr Aprtrorm bw. dr Ampltdvrtlg A dr Aprtr.B. ach Phastrm w Wllabrrato W (klsv Doks) thalt: A pw wob A d rll W (Db-Itgral) Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 4

Bgg: Frahor Bggstgral/Db Itgral Aschalch Dtg ds Db-Itgrals: Ampltd Brb = kohärt Übrlagrg vo Plawll d lägs dr gomtrsch optsch Strahl vo dr Astrttsppll/Aprtr dr Ls m Foks la. Foks ormal b (===) so dass Plawll Brb (=) d Form p / ahm. Vorch - drch Pktspglg ach bw. ach asglchbar. Jd Plawll hat Ampltd d Phas gmäß a dr jwlg Koordat dr Astrttsppll a dr ghörgr gomtrsch optschr Strahl startt. Db-Itgral gültg w ür Frsl-Zahl dr Ls glt: F=r /( )>> (Aprtrrads r) d r>>. Wtr Bggskt aßr dr Bschdg ds Wklspktrms drch d Lsaprtr spl k Roll. NA dr Ls dar b skalarr Formlrg ach cht groß wrd da sost Polarsatoskt brückschtgt wrd müss (sh spätr). Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 4

Bgg: Frahor Bggstgral/Db Itgral Itstätsvrtlg I Foks m Foks r Ls mt Brwt d mt r b Wll blchtt wrd: W I Foks Foks d d A Pktbldkto PSF (pot sprad cto) m gr S wrd mt dm Mamm dr Itstätsvrtlg r dal Ls (d.h. W( )=) glchr Ampltdkto A ormrt. Mamm vo I Foks r dal Ls lgt abr am Ort (= =) vor da da d Wrt dr Ampltdkto A btragsmäßg (A ) tgrrt wrd. Für ormrt PSF glt also: Wlloptk PSF I I Foks Foks A A A W A A dd Isttt ür Optk Iormato d Photok dd Mamm dr PSF (Ma(PSF) ) hßt Strhl sch Dtoshllgkt (Strhl rato). N. Ldl 43

Bgg: Frahor Bggstgral/Db Itgral Itstät m Foks r homog blchtt dal Ls mt Krsaprtr: dal W= homog blchtt A=A =kostat mt Itstät dr alld b Wll I =A. Rads dr Krsaprtr s a. Wg Krssmmtr wrd Polarkoordat Brb d Aprtrb gührt: cos s cos s cos a a P a I Foks I A dd I a cos dd I a cos dd Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 44

45 N. Ldl Isttt ür Optk Iormato d Photok Wlloptk Bgg: Frahor Bggstgral/Db Itgral Zr Lösg wrd g Egschat dr Bssl-Fkto rstr Art J m () bötgt (m: Ordg): m m m J J J J cos cos d d d Utr Astg bdr Egschat olgt ür d Itstät dr Brb: / / : cos d 4 d d d a a J a I J I J I I I J J a a a Foks

Bgg: Frahor Bggstgral/Db Itgral Mt dr dmsoslos Varabl ˆ lässt sch d Itstät schrb als: a a ˆ : NA mt NA.9 I I Foks F Wlloptk ˆ I J ˆ a ˆ J ˆ ˆ D rst Nllstll dsr sogat Ar-Fkto st b: ˆ. r Ar.6.6 a NA [J ( ^ )/( ^ )].8.7.6.5.4.3.. -3 - - 3 Amrkg: D Bhg NA=a/ glt b r aplaatsch Ls sogar akt. ^ Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 46

Bgg: Frahor Bggstgral/Db Itgral Wtr wchtg Mma/Mama dr Ar-Fkto: Ztrals Mamm. Mmm. Nbmamm. Mmm. Nbmamm ˆ NA / J ˆ / ˆ..635.75.33.679.4 Itrssat st ach das Vrhälts wsch dr Itstät m tral Mamm dr Ar-Vrtlg d dr Itstät I dr alld b Wll: I Foks a I F D Itstät rhöht sch also m Mamm proportoal m Qadrat dr Frsl- Zahl. Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 47

Bgg: Frahor Bggstgral/Db Itgral Amrkg r aschalch Dtg dr Frsl-Zahl F a F. Aahl dr Frsl sch Zo Astrttsppll (Wglägdr / wsch w Frsl sch Zo): a OPD a a Wlloptk F. Vrhälts wsch Rads a dr Astrttsppll d Drchmssr r Ar ds Bldpkts: a a NA a a F r.. Ar r Ar Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 48

49 N. Ldl Isttt ür Optk Iormato d Photok Wlloptk Bgg: Frahor Bggstgral/Db Itgral Itstät m Foks r homog blchtt dal Ls mt rchtckgr Aprtr: dal W= homog blchtt A=A =kostat mt Itstät dr alld b Wll I =A. Katläg dr Aprtr a d b. d d d d b b a a A Foks I I I a b a b s s s d Wg b b a a b a a I I Foks a a a a

Bgg: Frahor Bggstgral/Db Itgral Mt Hl dr dmsoslos Varabl ˆ ˆ glt: ˆ I a Wlloptk a b ˆ sc b I ˆ sc ˆ Foks D Mma dr Itstätsvrtlg b rchtckgr Aprtr sd also b (aalog -Rchtg): ˆ m mt m m a 3... m NA a b s ˆ sˆ ˆ ˆ I s ( ^ )/( ^ ).9.8.7.6.5.4.3.. ˆ -5-4 -3 - - 3 4 5 ^ Isttt ür Optk Iormato d Photok ˆ N. Ldl 5

Bgg: Frahor Bggstgral/Db Itgral Wtr wchtg Mma/Mama dr Sc -Fkto: ˆ NA / sˆ / ˆ Ztrals Mamm. Mmm. Nbmamm.43.478. Mmm. Nbmamm.459.648 Itrssat st ach das Vrhälts wsch dr Itstät m tral Mamm ds Foks d dr Itstät I dr alld b Wll: Wlloptk I Foks 4ab a b 6F F mt F : F : I D Itstät rhöht sch also m Mamm proportoal m Prodkt dr Frsl- Zahl - d -Rchtg. Dr Proportoaltätsaktor st abr 6 vrglch mt b dr Krsaprtr. Amrkg: Hr wrd Aalog r Krsaprtr j Frsl-Zahl ür - d - Rchtg gtrt drt. Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 5

Bgg: Frahor Bggstgral/Db Itgral Vrglch Itstätsvrtlg b rdr bw. qadratschr Aprtr: Logarthmsch Darstllg dr a Mamm ormrt Itstät. _ormrt bw. _ormrt tsprch d dmsoslos Varabl ˆ ˆ bw. ˆ. Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 5

Amrkg r mrsch Implmtrg dr Bggstgral Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 53

Bgg: Nmrsch Implmtrg Nmrsch Implmtrg dr Bggstgral: Wklspktrm br Wll Frsl schs Bggstgral d Frahor Bggstgral kö drch odr w Forr-Trasormato brcht wrd. Nmrsch Fast Forr Trasormatos (FFT) svoll Aahl dr Stütstll N d N ür d kompl Ampltd sollt Zwrpot s (cht bdgt ötg abr schllst FFT) Rcht r Brchg ds Forr-Itgrals wächst r mt (N log N )(N log N ) astatt mt N N b drktr Aswrtg ds Itgrals a N N Stütstll. D kojgrt Varabl dr Forr-Traos dr Aprtrb d dr Zlb (odr dr Zlsphär b Frahor) sd b d vrschd Algorthm trschdlch! Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 54

Bgg: Nmrsch Implmtrg Orts-Ram N Forr-Ram N D Forr Trasormato D N N Wlloptk D Es glt mmr d Bhg (äqvalt ür -Rchtg): D N D DD N bw. D N N D Isttt ür Optk Iormato d Photok D N. Ldl 55

Bgg: Nmrsch Implmtrg Radpkt dr mrsch Abtastg wrd smmtrsch gwählt agrd dr prodsch Radbdgg dr dskrt Forr-Trasormato (FFT st r Spalall r dskrt FT): Radbrch mss r mal gspchrt wrd Stütstll Nmmr N /+ (w Zählg b bgt) st b = bw. =. Für d Koordat dr rst bw. ltt Stütstll r Zl (bw. Spalt ür -Rchtg) glt: m D ; ma D m N N D ; ma N N D Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 56

Bgg: Nmrsch Implmtrg Vrglch dr vrschd Mthod: N Stütstll d Drchmssr D ds Flds dr Asgagsb (=Aprtrb) d.h. Abtasttrvall =D /N (bw. aalog -Rchtg) Mthod Kojgrt Varabl ür FFTs Fldgröß Zlb Aahl dr FFTs Wklspktrm br Wll Frsl m Forr-Ram D D Frsl m Orts-Ram D N Frahor Db Itgral bw. D N Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 57

Bgg: Nmrsch Implmtrg Amrkg: Wklspktrm br Wll d Frsl schs Bggstgral m Forr-Ram Praktsch k mrsch Vortl ds Frsl Bggstgrals Forr- Ram-Formlrg ggübr Wklspktrm br Wll! I bd Fäll sd Alasg-Ekt währd dr Trasormato d Forr- Ram cht rlabt. Mamal Ortsrq bw. ghörg mamal darstllbar mrsch Aprtr: ma N D NA ma NA ma N D Adrs asgdrückt: Für ggb NA dr Wll d Flddrchmssr D mss ür d Aahl dr Stütstll N glt: NA mad N Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 58

Bgg: Nmrsch Implmtrg Alasg-Ekt m Orts-Ram ür Wklspktrm br Wll: ta s D D D Wlloptk Kompl Ampltd d Fld am Rad vrlässt lät am ggübrlgd Rad wdr hr d trrrt mt vorhadr komplr Ampltd. Zr Vrmdg mss ür Dvrgwkl d Aagsdrchmssr D glt: D D s D Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 59

Bgg: Nmrsch Implmtrg Amrkg: Frsl schs Bggstgral m Orts-Ram Frahor Bggstgral bw. Db Itgral Fldgröß dr Zlb ädrt sch mgkhrt proportoal r Fldgröß dr Asgagsb. Für Abtasttrvall glt: Für ldrsch Wll mt Brwt d Aprtrdrchmssr D wär Abtasttrvall Brb r: dstato D NA Für Zldrwll wär d Abtastpkt also akt a d Nllstll dr rsltrd sc Fkto dr Itstät so dass d Itstätsvrtlg r as m Haptmamm bstüd! Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok dstato D Ds st dr Grd wshalb r Brchg dr Pktbldkto (PSF) mt Hl ds Db Itgrals d Fldgröß dr Astrttsppll m Faktor m rhöht wrd d d hkommd Wrt dr kompl Ampltd ach a Nll gstt wrd ( ro paddg ). N. Ldl 6

Bgg: Nmrsch Implmtrg Alasg ür Frsl Bggstgral m Ortsram Frahor Bgg bw. Db tgral Natürlch sd ach hr Alasg-Ekt cht rlabt. Möglch Fhlr sd: Asbrtgsdsta st ür Frsl Itgral kl Fldgröß Zlb st klr als dr Drchmssr dr asgbrtt Wll Bdgg ür Gültgkt ds Frsl sch Bggstgrals a sch kö vrltt s. Ls hat so groß Abrrato dass d Phas cht korrkt abgtastt wrd (mamal < wsch w Stütstll rlabt) Drchmssr dr PSF Brb wär größr als Flddrchmssr Dchtrs Abtast ötg d.h. mhr Stütstll dr Aprtr wg D lb = /() Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 6

Vktorlls Db-Itgral Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 6

Bgg: vktorlls Db Itgral Polarsatoskt m Foks r Ls: vktorlls Db Itgral Skalars Db-Itgral r Brchg dr Itstät m Foks r Ls/ s optsch Sstms vrsagt w alld Wll cht global lar sodr m Bspl radal polarsrt st d mrsch Aprtr NA dr Fokssrg shr groß st Vktorll Erwtrg ds Db Itgrals ötg so dass Polarsato brückschtgt wrd: Jd Plawll d paralll m gomtrsch optsch Strahl vo dr Astrttsppll m Foks lät rhält drt Polarsatosstad d b dr Übrlagrg dr Plawll wrd d lktrsch/ magtsch Fldstärkvktor allr Plawll tgrrt/smmrt. Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 63

Bgg: vktorlls Db Itgral Each Abschätg dr Gültgkt skalarr Bggsthor b dr Fokssrg ür lar Polarsato: Addto wr lktrschr Fldstärk tr dr Aahm glchr Phas d glch Btrags bdr Vktor E Vktorll Addto: ( E = E =E) E cos s E gs vktorll E E E cos E k Utr dr Aahm r skalar Addto: E E gs skalar E E E gs vktorll 4E gs skalar cos E E s...3.4.5.6 (+cos)/.997.99.977.958.933.9 k Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 64

Bgg: vktorlls Db Itgral Zw wchtg Bspl ür a Ls alld Wll vrschdr Polarsatosstäd Lar polarsrt b Wll d kostat Itstät E E Radal polarsrt b Wll Abr vrbd mt Dot-Mod dr Ampltd Mamm dr Itstät b w / E / w E E / E w. 95r ma Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl / r ma 65

Bgg: vktorlls Db Itgral Aschalch Erklärg dr Polarsatoskt: Groß Aprtrwkl s Polarsatoskt hm stark Lar polarsrts Lcht Radal polarsrts Lcht TE Bträg ds E-Flds addr sch TM Echt vktorll Addto ds E-Flds /lambda -4-3 - - 3 4 Foks smmtrsch -4-3 - - 3 4 /lambda Nr -Kompot a Achs d mt s awächst Foks rotatossmmtrsch /lambda -4-3 - - 3 4-4 -3 - - 3 4 /lambda Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 66

Bgg: vktorlls Db Itgral Nmrsch Brchg ds Db-Itgrals kl. Polarsato: Ealld (b) Wll wrd äqdstat mt Strahl abgtastt: Strahlstartpkt p Rchtgsvktor optsch Wgläg OPD Polarsatosvktor P (kompl-wrtgr Vktor mt Ampltd Polarsatosrchtg d Polarsatosphas) Flächlmt df pro Strahl. OPD( p) p P r Lght ra Rch Strahl tr Brückschtgg dr optsch Wgläg (Abrrato) d Ädrg ds Polarsatosstads drch optschs Elmt (Sstm) bs r Kglschal (ocal sphr) m d Foks/Bldpkt h. df Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 67

Bgg: vktorlls Db Itgral Bspl ür d (Rchtgs-)Ädrg ds Polarsatosvktors: Rlo dr lktrsch Fldstärk a dalm Spgl mt Normal N (% Rlo agomm. Vrlst müss gtrt bm Btrag vo P brückschtgt wrd): Wlloptk P N N P P N N P P N N P Kompot vo P lägs N P P Kompot vo P paralll r Obrläch wrd vrtrt Brchg a r dal aplaatsch Ls (Ersatmodll ür Eall r b Wll as dm Udlch % Trasmsso agomm): d (Id j wgglass) sd Ehtsvktor lägs ds alld bw. abglkt Strahls ; d P P Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 68

Bgg: vktorlls Db Itgral A Kglschal m d Foks mt Rads : Jdr Strahl rprästrt lokal Plawll kohärt Übrlagrg rgbt lktrschs (magtschs) Fld m Foks. Abr Vorscht: lktrschs Fld E jdr lokal Plawll st mrsch jwls d Flächdcht ds Polarsatosvktors P: E r P p r p OPD P p r p : Ehtsvktor Strahlrchtg p: Strahlstartpkt OPD: optsch Wglägdr/Abrrato ds Strahls (dal OPD=) P: Polarsatosvktor Wlloptk df Elktrschs Fld m Foks: E total ocal sphr Pocalsphr gp da : E EdF df df df r E df g P p r p j j gpp j j r p j OPD OPD Isttt ür Optk Iormato d Photok j N. Ldl OPD g: Apodsrgsaktor 69

Bgg: vktorlls Db Itgral Grd ür Apodsrgsaktor g = Ergrhaltg: Apodsrgsaktor g mss a dr Fokalsphär (=Sphär m Foks mt Rads glch Brwt) brcht wrd I df I ot df ot E E ot I I ot df df ot E P df ; E ot P df ot ot ; g P P ot E E ot df df ot df df ot Flächhalt tsmal dür Rg: d hdh df ot F Ealld Plawll Fokalsphär s d Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 7

Bgg: vktorlls Db Itgral Apodsrgsaktor g ür Elmt ür d ach Ersatmodll vorlg: Idal Aplaatsch Ls mt Brwt (.B. gt korrgrts Objktv): h s dh cos d g df df ot s d h dh cos Dü dal Ls (.B. dalsrts draktv opt. Elmt) mt Brwt : h ta dh dfot s d d g cos cos df hdh 3 Parabolspgl mt Brwt : h ta / s s dh / cos / 3 / cos / cos cos / d g / cos df df ot s d hdh Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 7

Bgg: vktorlls Db Itgral Polarsatosstad blsst lktrsch Ergdcht ( E ) m Foks: Bspl: Aplaatsch Ls s=. voll Krsaprtr Lar Polarsato Zrklar Polarsato Radal Polarsato /lambda -4-3 - - 3 4-4 -3 - - 3 4 /lambda Wlloptk /lambda -4-3 - - 3 4-4 -3 - - 3 4 /lambda /lambda -4-3 - - 3 4-4 -3 - - 3 4 /lambda Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 7

Bgg: vktorlls Db Itgral Bträg dr Kompot ds lktrsch Flds r Ergdcht m Foks Aplaatsch Ls mt NA=. (=) voll Krsaprtr alld b Wll mt larr Polarsato -Rchtg =63.8 m a) E b) E a) b) /µm Erg dst (a..)..4.6.8 Erg dst (a..)..4.6.8 -.5.5 /µm -.5.5 /µm -.5.5 /µm Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 73 Erg dst E (a..).5. -.5.5 Erg dst E (a..)..4.6.8 /µm -.5.5 -.5.5 /µm c) E d) E = E + E + E -Achs -Achs E : Schtt /µm -.5.5 /µm Erg dst E (a..).5..5. -.5.5 Erg dst (a..)..4.6.8 /µm -.5.5 -.5.5 /µm

Bgg: vktorlls Db Itgral Bträg dr Kompot ds lktrsch Flds r Ergdcht m Foks Aplaatsch Ls mt NA=. (=) voll Krsaprtr alld b Wll mt radalr Polarsato Dot-Mod mt Ampltd A=rp(-r /w ) mt w =.95 r Aprtr =63.8 m Erg dst E (a..) radal E rad = E + E a) b).5..5 -.5.5 c) r/µm Erg dst E (a..) E = E rad + E E.8.6.4. -.5.5 r/µm Erg dst (a..).8.6.4. Wlloptk -.5.5 Isttt ür Optk Iormato d Photok r/µm N. Ldl 74

Bgg: vktorlls Db Itgral 9 8 7 6 -Schtt Vrglch dr PSFs: aplaatsch Ls s=. voll Krsaprtr 5 4 3 9 9 8 8 7 7-4 -3 - - 3 4 6 6 /lambda 5 5 9 8 -Schtt 4 3 4 3 7 6 5 4-4 -3 - - 3 4 r /lambda -4-3 - - 3 4 r /lambda 3-4 -3 - - 3 4 Lar Polarsato Zrklar Polarsato Wlloptk /lambda Isttt ür Optk Iormato d Photok Radal Polarsato N. Ldl 75

Bgg: vktorlls Db Itgral Ergdcht E m Foks Eb paralll r optsch Achs (-Achs) Aplaatsch Ls mt NA=. (=) =63.8 m Wlloptk Voll Krsaprtr Rgaprtr mt r =.9 r Aprtr a) --Eb b) --Eb a) --Eb b) --Eb Erg dst (a..)..4.6.8 /µm - -.5 - -.5.5.5 Erg dst (a..)..4.6.8 /µm - -.5 - -.5.5.5 - -.5 - -.5.5.5 /µm r--eb (r: radal Koordat) c) r--eb Isttt ür Optk Iormato d Photok - -.5 - -.5.5.5 /µm Erg dst (a..)..4.6.8 r/µm - -.5 - -.5.5.5 Erg dst (a..)..4.6.8 /µm - -.5 - -.5.5.5 Erg dst (a..)..4.6.8 /µm - -.5 - -.5.5.5 - -.5 - -.5.5.5 /µm - -.5 - -.5.5.5 /µm Erg dst (a..)..4.6.8 r/µm Lar Polarsato (-Rchtg) c) - -.5 - -.5.5.5 - -.5 - -.5.5.5 /µm - -.5 - -.5.5.5 /µm Radal Polarsato (Dot-Mod mt w =.95 r Aprtr ) N. Ldl Foks schmälr d größr Schärt abr höhr Nbmama 76

Bgg: vktorlls Db Itgral Bmrkg m Elss vo Polarsatoskt a d Lchtvrtlg m Foks r Ls: Polarsatoskt sd gomtrsch Ekt häg also vom Aprtrwkl d dahr vo s ab. I m Immrsossstm mt NA= s (>) hägt dr Polarsatoskt r vo s d cht vo ab. Polarsatoskt wrd ab twa s.5 schtbar. Lar Polarsato lambda/na - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 Wlloptk s=.3 s=.5 s=.8 s=. lambda/na lambda/na - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 lambda/na lambda/na - -5 - -5 5 5 - -5 - -5 5 5 lambda/na lambda/na - -5 - -5 5 5 Isttt ür Optk Iormato d Photok - -5 - -5 5 5 N. Ldl lambda/na 77

Bgg: vktorlls Db Itgral Vrglch vrschdr optschr Elmt mt j NA=.98 (=) d vollr Krsaprtr. Ealld Wll: radal polarsrt (Dot-Mod dr Ampltd) 8 6 4 - -4-6 -8 - - 8 6 4 - -4-6 -8 - - 8 6 4 - -4-6 -8 - Dstacs mm horotal -as vrtcal -as -5 - -5 5 5-5 - -5 5 5 RAYTRACE Coprght 7 Uvrst Erlag-Nrmbrg Dstacs mm horotal -as vrtcal -as -5 - -5 5 5-5 - -5 5 5 RAYTRACE Coprght 7 Uvrst Erlag-Nrmbrg Dstacs mm horotal -as vrtcal -as -5 - -5 5 5 8 6 4 - -4-6 -8 - - 8 6 4 - -4-6 -8 - - 8 6 4 - -4-6 -8 - Aplaatsch Ls Idal lach draktv Ls Parabol-Spgl E ocs / E cdt +9 +9 Aplaatc ls Idal dractv ls Parabolc mrror Total lctrc rg dst Logtdal compot ol Trasvrs compot ol 4 6 8 r mm - -5 - -5 5 5 RAYTRACE Coprght 7 Uvrst Erlag-Nrmbrg Wlloptk - Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 78

Bgg: vktorlls Db Itgral Eschb: Amrkg r Dpolwll Atom mttr otmals Strahlg w b m lar Dpol b dm klasssch Elktro lägs r L harmosch schwgt. E lad Dpolwll mt Dpolachs lägs optschr Achs ka mt Hl s rotatossmmtrsch okssrd optsch Sstms rgt wrd w d alld Wll radal polarsrt st d Phas m Foks ds Sstms ür all Strahl dtsch st d Ampltd so gwählt st dass d Strahlstärk R (=Strahlgslstg pro Ramwkl) dr okssrt Wll d Abhäggkt hat: R Dpol R s : Wkl mt dr Dpolachs (=optsch Achs) Dr Dpol strahlt also lägs sr Achs chts ab d s Abstrahlgsmamm st skrcht r Dpolachs. Wlloptk Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 79

Bgg: vktorlls Db Itgral Kürrr Foks lägs optschr Achs drch 4-Blchtg : Kovtoll: Zw Objktv ggübrstll sthd Wll -Rchtg Altratv: Tr Parabol-Spgl..4.6.8 Elktrsch Ergdcht lägs -Achs Wlloptk -4-4 / Aal Asdhg st mt ca..7 größr als / da cht r akt tgglad Plawll trrr sodr gas Spktrm! Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 8

8 6 4 - -4-6 -8 Bgg: vktorlls Db Itgral Vrglch kovt. 4-Aba d Parabol-Spgl ür vrschd Polarsato Dstacs mm horotal -as vrtcal -as -5 - -5 5 5 8 6 4 - -4-6 -8 It parabolc mrror radal polarato dpol wav Ft parabolc mrror radal polarato dpol wav Ft parabolc mrror radal polarato doght mod -scto Two objctvs NA=.95 lar polarato (alog -as) costat tst -scto Two objctvs NA=.95 radal polarato dpol wav Two objctvs NA=.95 radal polarato doght mod Two objctvs NA=.95 radal polarato doght mod alar aprtr wth rm =.9r Ealld Lstg j W Aprtr - - - -5 - -5 5 5 RAYTRACE Coprght 7 Uvrst Erlag-Nrmbrg Parabol-Spgl ( =. mm r Aprtr = mm) - 8 6 8 6 Dstacs mm horotal -as vrtcal -as -5 - -5 5 5 8 6 8 6 4 4 4 4 - -4-6 - -4-6 -8-8 - - - -5 - -5 5 5 RAYTRACE Coprght 8 Uvrst Erlag-Nrmbrg Zw aplaatsch Ls NA=.95 Wlloptk -.4.8..6 r-as - - -as Isttt ür Optk Iormato d Photok N. Ldl 8