Kapitel 2: Multiplikative Funktionen 3 Multiplikative Funktionen Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion) (a) Eine Funktion α : Z >0 C heißt arithmetisch (oder zahlentheoretisch). mit (Z >0 C) die Menge aller arithmetischen Funktionen. Wir bezeichnen (b) Eine arithmetische Funktion α : Z >0 C heißt multiplikativ, wenn für alle Z >0 mit ggt( ) 1gilt: α( ) α() α() Wir bezeichnen mit (Z >0 C) die Menge aller multiplikativen arithmetischen Funktionen. (c) Eine multiplikative Funktion α heißt vollständig multiplikativ, wenn α( ) α() α() für alle Z >0 gilt. Beispiel 4 (a) Die Nullfunktion ist eine multiplikative Funktion. (b) Die Funktion ist auch multiplikativ. 0 : Z >0 C 0 ε : Z >0 C 1 falls 1 0 falls >1 (c) Ebenso multiplikativ ist die konstante Funktion e : Z >0 C 1. 10
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 11 (d) Die identische Abbildung ist ebenso multiplikativ. i : Z >0 C (f) Siehe auch 5 (die Möbiusfunktion), 6 (die eulersche -Funktion), 7 (die Teilersummenfunktion), und [Aufgabe 4, Blatt 2]. Lemma 2.2 Ist α (Z >0 C) \{0}, so ist α(1) 1. Beweis : Weil α nicht die Nullfunktion ist, existiert 0 Z >0 mit α( 0 ) 0. Wegen ggt( 0 1) 1 gilt α( 0 )α( 0 1) α( 0 ) α(1). Also können wir α( 0 ) kürzen und somit ist α(1) 1. Wir charakterisieren nun multiplikative Funktionen mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Zahlentheorie. Satz 2.3 (a) Sei α (Z >0 C) eine arithmetische Funktion. Dann sind äquivalent: (i) α ist multiplikativ. (ii) Ist Z >0 und ist 1 1 mit Z 0, 1 Z 0 und 1 P paarweise verschieden eine Primfaktorzerlegung von, so gilt α() α( 1 1 ) α( ). (b) Zwei multiplikative Funktionen α 1 α 2 (Z >0 C) sind genau dann gleich, wenn für alle P und für alle Z 0 gilt. α 1 ( )α 2 ( ) Beweis : (a) Ist α 0, so ist die Aussage klar. Also nehmen wir an, dass α 0 ist. (i) (ii): Nun ist 1, so ist nach Lemma 2.2 die Behauptung trivial. Also nehmen wir an, dass 2 ist. Eine Induktion nach liefert: Falls 1, so ist 1 1 die Primfaktorzerlegung von, und damit ist α() α( 1 1 ). Falls >1, so ist α() α( 1 1 ) α(2 2 ), da α multiplikativ und ggt( 1 1 2 2 )1 ist. Nun nach Induktion ist α( 2 2 )α( 2 2 ) α( ). Also insgesamt: α() α( 1 1 ) α(2 2 ) α( ) (ii) (i): Wir nehmen an, es gelte umgekehrt Aussage (ii) und es seien Z >0 mit ggt( ) 1 gegeben. Also wenn 1 1 und +1 +1 + + Primfaktorzerlegungen von und sind, müssen 1 +1 + paarweise verschieden sein, da ggt( ) 1ist. Das Produkt hat dann die Primfaktorzerlegung 1 1 +1 +1 + +
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 12 Damit gilt nach (ii), dass α( ) () α( 1 1 ) α( ) α( +1 +1 ) α(+ + ) () α( 1 1 ) α( +1 +1 + + )α() α() d.h. α ist multiplikativ. (b) Ist α 1 α 2, so ist sicher α 1 ( )α 2 ( ) P und Z 0. Umgekehrt ist α 1 ( )α 2 ( ) P und Z 0, so gilt für Z >0 mit Primfaktorzerlegung 1 1 wie behauptet. α 1 () () α 1 ( 1 1 ) α 1( )α 2 ( 1 1 ) α 2( ) () α 2 () Aufgabe 5 (Siehe Aufgabe 6, Blatt 2) Sei α (Z >0 C) \{0} eine multiplikative Funktion, die nicht die Nullfunktion ist. Genau dann ist α vollständig multiplikativ, wenn α( )α() für alle P und für alle Z 0 gilt. 4 Die Dirichlet-Faltung Definition 2.4 (Dirichlet-Faltung) Seien αβ (Z >0 C) zwei arithmetische Funktionen. Die (Dirichlet-)Faltung von α und β ist die arithmetische Funktion α β : Z >0 C (α β)() : α() β( ). Anmerkung 2.5 Die Faltung kann auch folgendermaßen geschrieben werden: (α β)() : α() β() für alle Z >0, wobei die Summe über alle Paare ( ) Z >0 Z >0 mit läuft. Lemma 2.6 Seien αβ und γ arithmetische Funktionen. Dann gilt: (a) α β β α (b) (α β) γ α (β γ) (c) α ε α ε α (Kommutativität); (Assoziativität); (Die Funktion ε ist ein neutrales Element für die Faltung ). Anders gesagt, bildet (Z >0 C) eine kommutative Halbgruppe bezüglich der Faltung.
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 13 Beweis : (a) Aufgrund der Anmerkung 2.5 ergibt sich sofort (α β)() α() β() β() α() (β α)() für alle Z >0. (b) Sei Z >0. Dann gilt: Analog ist ((α β) γ)() (α β)() γ() α() β() γ() α() β() γ() (α (β γ))() α() (β γ)() α() β() γ() α() β() γ() Bis auf Umbenennung der Variablen, d.h. : : :, haben wir zweimal die gleiche Summe erhalten, also ist (α β) γ α (β γ). (c) Sei Z >0. Dann gilt: (α ε)() α() ε( )α() ε(1) 1 + 1 < α() ε( ) α() 0 und damit ist α ε α. Wegen der Kommutativität der Faltung ist zudem ε α α ε α. Lemma 2.7 Sind αβ (Z >0 C) zwei multiplikative Funktionen, so ist auch die Faltung α β eine multiplikative Funktion. Beweis : Seien Z >0 mit ggt( ) 1. Wegen des Fundamentalsatzes der Zahlentheorie gilt: für jede Faktorisierung lassen sich und eindeutig in ein Produkt 1 2 mit 1, 2 und 1 2 mit 1, 2 zerlegen, wobei insbesondere ggt( 1 2 ) ggt( 1 2 )1ist. Aufgrund der Multiplikativität von α und β folgt (α β)() α() β() 1 1 2 2 α( 1 2 ) β( 1 2 ) α( 1 ) α( 2 ) β( 1 ) β( 2 ) 1 1 2 2
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 14 1 1 2 2 und damit ist α β (Z >0 C). Satz 2.8 1 1 α( 1 ) β( 1 ) α( 2 ) β( 2 ) α( 1 ) β( 1 ) (α β)() (α β)() 2 2 α( 2 ) β( 2 ) Sei α (Z >0 C) eine arithmetische Funktion mit α(1) 0. Dann existiert eine arithmetische Funktion β (Z >0 C) mit β(1) 0und α β ε β α. Beweis : Nach Definition der Faltung existiert genau dann zu α eine arithmetische Funktion β mit α β ε, wenn die Gleichungen 1ε(1) (α β)(1) α(1)β(1) und für Z >1 0ε() (α β)() α(1)β()+ α()β() erfüllt sind. Also können wir die Funktion β induktiv definieren. Da 1α(1)β(1) gelten soll, setzen wir β(1) : 1 α(1). (α(1) 0nach Vorausstzung!) Sei nun >1. Induktiv nehmen wir an, dass β() schon für alle < definiert ist, und wegen der zweiten Gleichung setzen wir: < β() : 1 α()β() α(1) < Offensichtlich gilt nach Konstruktion α β ε. Zudem gilt auch ε β α wegen der Kommutativität der Faltung. Betrachten wir nun noch die übliche Addition + von Funktionen, so erhalten wir die folgenden algebraischen Strukturen auf (Z >0 C) und (Z >0 C). Folgerung 2.9 (a) ((Z >0 C) + ) ist ein Integritätsbereich mit Nullelement die Nullfunktion 0 und mit Einselement ε. (b) (Z >0 C) {α (Z >0 C) α(1) 0}. (c) ((Z >0 C) \{0} ) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element ε. Beweis : Siehe [Aufgabe 5, Blatt 2].
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 15 5 Die Möbiusfunktion Definition 2.10 (Möbiusfunktion) Die Möbiusfunktion µ ist die arithmetische Funktion µ : Z >0 C 0 falls P mit 2 ( 1)#{ P teilt } sonst Anmerkung 2.11 (1) Nennen wir eine Zahl quadratfrei, wenn sie von keiner Quadratzahl außer 1 geteilt wird, so gibt die Möbiusfunktion an, ob eine positive Zahl quadratfrei ist oder nicht. Insbesondere nimmt sie den Wert 1 an, falls die gegebene Zahl eine Primzahl ist. (2) zum Beispiel hat die Möbiusfunktion für 1 12 die folgenden Werte: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 µ() 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 Lemma 2.12 (a) Die Möbiusfunktion µ ist multiplikativ. (b) Die Möbiusfunktion µ ist das Inverse von der konstanten Funktion e bezüglich der Faltung, d.h. µ e e µ ε Beweis : (a) Zunächst ist µ(1) 1 nach Definition. Sei also Z >1 mit Primfaktorzerlegung 1 1 (d.h. Z 1, 1 Z 0 und 1 P sind paarweise verschieden). Einerseits gilt 0 falls 1 mit µ() µ( 1 2 1 ) ( 1) falls 1 1 Anderseits ist für 1 also ist auch µ( 1 1 ) µ( ) Daher ist µ multiplikativ nach Satz 2.3(a). µ( ) 0 falls 2 1 falls 1 0 falls 1 mit 2 ( 1) falls 1 1 (b) Wegen der Kommutativität der Faltung reicht es zu zeigen, dass µ e ε. Da µ und e multiplikativ sind, so ist auch µ e multiplikativ nach Lemma 2.7. Deshalb reicht es nach Satz 2.3(b) die Identität
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 16 für Primzahlpotenzen nachzuweisen. Sei P und Z >0. Es gilt: (µ e)( ) µ( ) e( ) µ( )µ(1) + µ() 1+( 1) 0 ε( ) 0 0 1 nach Definitionen von µ und ε. Außerdem ist (µ e)( 0 )ε( 0 )1nach Lemma 2.2. Definition 2.13 (Summatorfunktion) Sei α (Z >0 C) eine arithmetische Funktion. Dann wird die Summatorfunktion β α von α durch β α : α e definiert, d.h. die Funktion β α : Z >0 C α(). Beispiel 5 Offenbar ist ε die Summatorfunktion der Möbiusfunktion, da µ e ε nach Lemma 2.12. Satz 2.14 (Möbius-Umkehrsatz) Ist α (Z >0 C) eine arithmetische Funktion, dann gilt α β α µ, d.h. für alle Z >0. α() β α () µ( ) Beweis : Nach Definition ist β α α e, und nach Lemma 2.12 ist µ e e µ ε. Daraus folgt da ε das Einselement von (Z >0 C) ist. α α ε α (e µ) (α e) µ β α µ L 26() Folgerung 2.15 Sei α (Z >0 C) eine arithmetische Funktion mit Summatorfunktion β α. Dann ist α (Z >0 C) genau dann, wenn β α (Z >0 C) ist. Beweis : Falls α (Z >0 C), so ist auch β α (Z >0 C) nach Lemma 2.7, da β α eine Faltung zweier multiplikativen Funktionen ist. Umgekehrt ist die Funktion α nach dem Möbius-Umkehrsatz vollständig von ihrer Summatorfunktion definiert, und zwar ist α β α µ. Nun ist die Möbiusfunktion multiplikativ nach Lemma 2.12(a), also ist α multiplikativ als Faltung zweier multiplikativen Funktionen.
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 17 Aufgabe 7 (Aufgabe 7, Blatt 3) Sei α (Z >0 C) eine arithmetische Funktion mit Summatorfunktion β α. Zeigen Sie: (a) α( )β α ( ) β α ( 1 ) für alle P und für alle Z >0. (b) Sei α (Z >0 C) \{0}. Sei Z >1 mit Primfaktorzerlegung 1 1, dann gilt: α() (β α ( ) β α( 1 )) 1 6 Die eulersche -Funktion Definition 2.16 (eulersche -Funktion) Die arithmetische Funktion heißt eulersche -Funktion. Beispiel 6 : Z >0 C #{ Z 1 und ggt( ) 1} Zum Beispiel nimmt die eulersche -Funktion für 1 12 die folgenden Werte an: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 () 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 Satz 2.17 (a) Ist Z >0, so ist () (Z/Z). (b) Die eulersche -Funktion ist multiplikativ. (c) Für P und Z >0 gilt ( ) 1. (d) Für Z >1 mit Primfaktorzerlegung P () gilt () P ( () () 1 ) P (1 1 ) (e) Die Summatorfunktion der eulerschen -Funktion ist die identische Abbildung i. (f) (Rekursionsformel). Für Z >1 gilt () 1 < ()
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 18 Beweis : (a) Dies ist ein Ergebnis aus der AGS. (Anmerkung: Z/1Z ist der Nullring und (Z/1Z) ist die triviale Gruppe, also ist diese einelementig.) (b) Seien Z >0 mit ggt( ) 1. Der chinesiche Restsatz liefert einen Ring-Isomorphismus Φ : Z/()Z Z/Z Z/Z + Z ( + Z+ Z). Die Einschränkung von Φ auf die Einheiten (Z/()Z) liefert die Existenz eines Gruppen-Isomorphimus (Z/()Z) (Z/Z) (Z/Z) Damit folgt aus (a), dass () (Z/()Z) (Z/Z) (Z/Z) () () (c) Wir betrachten den Gruppen-Homomorphismus :(Z/ Z) (Z/Z) : + Z + Z. Dieser ist offensichtlich surjektiv mit Kern ker() {(1 + )+ Z 0 1 }. Nun folgt aus dem Homomorphiesatz, dass ( ) () (Z/ Z) ker() Im() 1 ( 1) 1 ist. (d) Folgt aus (c) und der Tatsache, dass 1 (1 1 ) für alle Z >0 ist. (e) Seien P und Z >0. Nach Definitionen gilt (µ i)( ) µ( ) i( )1 +( 1) 1 1 0 Aber µ und i sind multiplikativ und nach (b) ist auch multiplikativ. Es folgt also aus Lemma 2.2, dass µ i(1) 1 (1). Also stimmen die Funktionen µ i und für Primzahlpotenzen überein. Damit folgt aus Satz 2.3(b), dass µ i ist und wegen Lemmata 2.6(a),(c) und 2.12(b) erhalten wir i i ε e µ i e β wie behauptet. (f) Nächste Woche. Weil i die Summatorfunktion von ist, gilt i() e () () +() 1 < 1 < Beispiel 7 Eine Anwendung von Satz 2.17(e) liefert z.b.: (a) Für 12 3 4 ist (12) (3)(4) (3 1 3 0 ) (2 2 2 1 )2 24. (b) Für 30 2 3 5 ist (30) (2)(3)(5) (2 1 2 0 ) (3 1 3 0 ) (5 1 5 0 )1 2 48. In der Tat sind genau folgende acht Zahlen zwischen 1 und 30 prim zu 30: 1 7 11 13 17 19 23 29
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 19 7 Die Teilersummenfunktion und vollkommene Zahlen Definition 2.18 (Teilersummenfunktion) Die Teilersummenfunktion ist die Summatorfunktion σ : i e der identische Abbildung, d.h. die Funktion σ : Z >0 C. Bemerkung 2.19 Die Teilersummenfunktion σ ist multiplikativ, und für P und Z >0 gilt σ( ) +1 1 1 Beweis : Nach Definition ist die Teilersummenfunktion eine Faltung zweier multiplikativen Funktionen, so dass σ nach Lemma 2.7 multiplikativ ist. Zudem ist σ( ) 0 1+ + + +1 1 1 wobei die letzte Gleichheit aus der Summenformel der geometrischen Reihe folgt. Damit erhalten wir die ersten Resultate über Zahlen. Definition 2.20 (vollkommene Zahl) Eine Zahl Z >0 mit heißt eine vollkommene Zahl, d.h. ist Summe ihrer echten 1 < positiven Teiler. Anmerkung 2.21 Der Begriff einer vollkommenen Zahl sowie die ersten vier vollkommenen Zahlen waren schon in der Antike bekannt. Diese sind 6 28 496 8128 Die fünfte vollkommene Zahl ist 33 550 336. Es ist unbekannt, ob es unendlich viele vollkommene Zahlen gibt. Ferner sind alle bekannten vollkommenen Zahlen gerade es ist nicht bekannt, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt. Zum Studium von vollkommenen Zahlen eignet sich die Teilersummenfunktion, wie die Definitionen und die folgende Bemerkung zeigen. Bemerkung 2.22 Sei Z >0. Genau dann ist eine vollkommene Zahl, wenn σ() 2. Beweis : Nach Definition ist σ() 1 < +
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 20 also ist vollkommen genau dann, wenn σ() 2. Beispiel 8 Für die fünfte vollkommene Zahl erhalten wir die Primfaktorzerlegung 33 550 336 2 12 8 191. Damit gilt σ(33 550 336) 8 191 2 1 8 191 1 (213 1) 67 100 672 2 33 550 336 Die Zahl ist also eigentlich vollkommen. Wir möchten jetzt zeigen, dass die vollkommenen Zahlen durch die sogenannten Mersenne-Primzahlen charakterisiert werden können. Definition 2.23 (Mersenne-Zahl, Mersenne-Primzahl) Für Z >0 heißt M : 2 1 die -te Mersenne-Zahl. Die Primzahlen, die auch Mersenne- Zahlen sind, heißen Mersenne-Primzahlen. Beispiel 9 Es ist M 1 1, M 2 3, M 3 7, M 4 15, M 5 31, Lemma 2.24 Sei Z >0. Ist die -te Mersenne-Zahl M eine Primzahl, so ist auch eine Primzahl. Offensichtlich gilt die Umkehrung nicht, da M 11 23 89. Beweis : Wir zeigen die Kontraposition: Sei Z >0 reduzibel, etwa mit Z >1. Dann ist auch 2 1 > 1, und damit ist 1 M M 2 1 (2 1) (2 ) reduzibel. (Wende die Formel X 1(X 1)( 1 0 X ) mit X 2 an.) Satz 2.25 (Euler/Euklid) Eine gerade Zahl Z >0 ist genau dann vollkommen, wenn sie die Form hat, wobei P und 2 1 P sind. Beweis : 2 1 (2 1) (Euler) Zunächst nehmen wir an, dass gerade und vollkommen ist. Dann hat eine Darstellung 2 mit Z >0 und Z >0 ungerade. Wegen der Multiplikativität von σ und Bemerkung 2.19 ist σ() σ(2 ) σ() (2 +1 1) σ() Nach Bemerkung 2.22 ist zudem σ() 2. Damit gilt 0 (2 +1 1) σ() 2 +1
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 21 so dass Daraus folgt, dass σ() 2+1 2 +1 1 (2+1 1) + 1 2 +1 + 1 2 +1 1 ist, da σ() Z. Also ist + σ() : 2 +1 1 σ() Z, und damit müssen und die einzigen Teiler von sein. Da < ist, erhalten wir: 1, 2 +1 1 P. Setzen wir also : +1. Schließlich ist P nach Lemma 2.24. (Euklid) Umgekehrt nehmen wir an, dass 2 1 (2 1) mit 2 1 P ist. Also ist 2 1 (2 1) eine Primfaktorzerlegung von. Wegen der Multiplikativität von σ und Bemerkung 2.19 erhalten wir σ() σ(2 1 ) σ(2 1) 2 1+1 1 (2 1) 1+1 1 2 1 2 (2 1) ((2 1)+1) 2 (2 1) 2 1 1 und damit ist nach Bemerkung 2.22 vollkommen. Statt der Teilersummenfunktion kann man auch die Teileranzahlfunktion oder die Teilerproduktfunktion betrachten: Aufgabe 8 (Aufgabe 9, Blatt 3) Für eine positive ganze Zahl Z >0 bezeichnen wir mit τ() : #{ Z >0 ist ein Teiler von } und P() : die Anzahl der positiven Teiler von, bzw. das Produkt aller positiven Teiler von. Zeigen Sie: (a) τ e e ist multiplikativ; (b) Z >0 gilt τ() P ( () + 1). (c) Z >0 gilt P() τ() 2. Ist P eine multiplikative Funktion? Zusammenfassung: In der folgenden Tabelle sind für wichtige arithmetische Funktionen α, die wir in diesem Kapitel untersucht haben, ihre Summatorfunktionen gegeben: α ε µ i e β α α e e ε i σ τ