24 14 Metrische Räume 14.1 R n als euklidischer Vektorraum Die Menge R n = {(x 1,..., x n ) x i R} versehen mit der Addition und der skalaren Multiplikation x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) λx = (λx 1,..., λx n ), λ R, ist ein n-dimensionaler, reeller Vektorraum (vgl. Lineare Algebra). Wir definieren auf diesem VR ein Skalarprodukt durch n x, y := x y := x i y i. Aus den Körperaxiomen von R folgt leicht, dass für alle x, y, z R n und alle λ R, x y = y x (x + y) z = x z + y z. Die Abbildung R n R n R definiert durch (x, y) x y ist also symmetrisch und linear im ersten Argument. Somit ist sie auch linear im zweiten Argument. Man definiert den Betrag x eines Vektor x R n durch x = ( n ) 1/2 x x = x 2 i. Satz 14.1.1. Für alle x, y R n gilt Beweis. Aus Satz 4.2.3 folgt ( n n x y = x i y i x y x y. x 2 i ) 1/2 ( n ) 1/2 yi 2 = x y. Satz 14.1.2. Für alle x, y R n und alle λ R gilt (i) x 0 und ( x = 0 x = 0). (ii) λx = λ x (iii) x + y x + y. Mit Hilfe des Betrags kann man in R n, analog wie in C, ε-umgebungen, offene Mengen, abgeschlossene Mengen, Konvergenz von Folgen, etc. einführen. Es lohnt sich, dies im Rahmen metrischer Räume zu tun.
25 14.2 Topologie metrischer Räume Ein metrischer Raum (M, d) ist eine Menge M versehen mit einer Metrik d : M M R, so dass für alle x, y, z M gilt: (M1) d(x, y) 0 und (d(x, y) = 0 x = y). (M2) d(x, y) = d(y, x) (M3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Bemerkung: Ist (M, d) ein metrischer Raum und D M, dann ist (D, d) auch ein metrischer Raum. Wir definieren weiter in einem metrischen Raum (M, d): (i) Ist a M und ε > 0, dann heißt B ε (a) := {x M d(x, y) < ε} ε-ball oder ε-umgebung von a. Ḃ ε (a) := B ε (a)\{a}. (ii) D M heißt offen, falls zu jedem x D ein ε > 0 existiert, so dass B ε (a) D. (iii) D M heißt abgeschlossen, falls M\D offen ist. (iv) D M heißt beschränkt, falls ein a M und ein R > 0 existieren, so dass D B R (a). (iv) x M heißt Häufungspunkt von D, falls Ḃε(a) D für alle ε > 0. (v) Der Rand D einer Teilmenge D M ist die Menge der Punkte x M für welche B ε (x) D und B ε (x) D c für alle ε > 0. Satz 14.2.1. Sei (M, d) ein metrischer Raum. Dann gilt: (i) M, sind offen. (ii) Sind V 1,..., V n M offen, dann ist n V i offen.
26 (iii) Ist (V i ) i I eine beliebige Familie offener Mengen, dann ist auch i I V i offen. Korollar 14.2.2. Sei (M, d) ein metrischer Raum. Dann gilt: (i) M, sind abgeschlossen. (ii) Sind A 1,..., A n M abgeschlossen, dann ist n A i offen. (iii) Ist (A i ) i I eine beliebige Familie abgeschlossener Mengen, dann ist auch i I A i abgeschlossen. Sei (M, d) ein metrischer Raum und D M. Das Innere, D, von D ist die grösste offene Teilmenge von D. Der Abschluss, D, von D ist die kleinste abgeschlossene Menge welche D enthält. Die Existenz von D und D folgt aus Satz 14.2.3 und Korrolar 14.2.2, denn es gilt: D = V, D = A. V D, V offen A D, A abgesch. Satz 14.2.3. Sei (M, d) ein metrischer Raum und D M. Dann gilt: (i) D ist abgeschlossen. (ii) D = D D. (iii) D = D\ D. 14.3 Konvergenz und Vollständigkeit Sei (M, d) ein metrischer Raum und (x n ) eine Folge in M. (i) Die Folge (x n ) konvergiert gegen x, in Zeichen lim x n = x, oder x n x (n ). n falls zu jedem ε > 0 ein N N existiert, so dass n N d(x n, x) < ε. (ii) Die Folge (x n ) heißt Cauchy-Folge, falls zu jedem ε > 0 ein N N existiert, so dass n, m N d(x n, x m ) < ε. (iii) Die Folge (x n ) heißt beschränkt, wenn die Menge {x n n N} beschränkt ist.
27 Satz 14.3.1. Sei (x k ) eine Folge in R n. Dann gilt: (i) lim k x k = a genau dann, wenn lim k x k,i = a i für alle i = 1,..., n. (ii) (x k ) ist genau dann eine Cauchy-Folge, wenn (x k,i ) für jedes i {1,..., n} eine Cauchy-Folge ist. (iii) Die Folge (x k ) ist genau dann beschränkt, wenn jede Folge (x k,i ), i = 1,..., n, beschränkt ist. Satz 14.3.2. Jede konvergente Folge eines metrischen Raumes (M, d) ist beschränkt. Satz 14.3.3 (Bolzano-Weierstraß). Jede beschränkte Folge in R n hat eine konvergente Teilfolge. Satz 14.3.4. Jede konvergente Folge eines metrischen Raumes (M, d) ist eine Cauchy- Folge. Ein metrischer Raum (M, d) heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge in M konvergent ist. Theorem 14.3.5. R n versehen mit der Standardmetrik d(x, y) = x y ist ein vollständiger metrischer Raum. Satz 14.3.6. Sei (M, d) ein metrischer Raum und sei A M. Dann sind äquivalent: (a) A ist abgeschlossen. (b) Für jede konvergente Folge (x k ) k N in M mit lim k x k = x gilt: x k A für alle k x A. Satz 14.3.7. Ist (M, d) vollständig und A M abgeschlossen, dann ist auch (A, d) vollständig. Beweis. Siehe Aufgabenblatt 9. 14.4 Stetigkeit Seien (M 1, d 1 ) und (M 2, d 2 ) metrische Räume und f : M 1 M 2. Die Abbildung f heißt stetig in a M 1, falls es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass d 1 (x, a) < δ d 2 (f(x), f(a)) < ε.
28 Die Abbildung f heißt stetig, falls sie stetig in jedem Punkt von M 1 ist. Die Abbildung heißt gleichmässig stetig, falls zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass d 1 (x, y) < δ d 2 (f(x), f(y)) < ε für alle x, y M 1. Die Abbildung f heißt Lipschitz-stetig (genügt einer Lipschitz-Bedingung), wenn es eine Konstante L gibt, so dass d 2 (f(x), f(y)) Ld 1 (x, y) für alle x, y M 1. Theorem 14.4.1. Seien (M 1, d 1 ) und (M 2, d 2 ) metrische Räume und sei f : M 1 M 2. Dann sind äquivalent: (a) f ist stetig in a M 1. (b) Für jede Folge (x k ) in M 1 mit lim k x k = a gilt lim f(x k) = f(a). k Satz 14.4.2. Sei (M, d) ein metrischer Raum und sei f : M R n mit Dann sind äquivalent: (a) f ist stetig im Punkt a M. f(x) = (f 1 (x),..., f n (x)). (b) Die Funktionen f 1,..., f n sind stetig in a. Satz 14.4.3. Sei (M, d) ein metrischer Raum. Sind f, g : M C stetig in a M, dann sind auch f + g, fg und, falls g(a) 0, f/g stetig in a. Aus diesem Satz und der Stetigkeit von x x i folgt, dass alle Polynome p : R n C mit p(x) = c α1...α n x α 1 1... x αn n, c α 1...α n C, r N, P αi r stetig sind auf R n, und dass alle rationalen Funktionen p/q, mit Polynomen p, q 0 auf {x R n q(x) 0} stetig sind. Satz 14.4.4. Seien (M 1, d 1 ), (M 2, d 2 ) und (M 3, d 3 ) metrische Räume. Ist f : M 1 M 2 stetig in a M 1 und g : M 2 M 3 stetig in f(a), dann ist g f : M 1 M 3 stetig in a. Beweis. Kopie des Beweises von Satz 7.2.4 mit Hilfe von Theorem 14.4.1 Theorem 14.4.5. Seien (M 1, d 1 ) und (M 2, d 2 ) metrische Räume und sei f : M 1 M 2. Dann sind äquivalent:
29 (a) f ist stetig. (b) V M 2 ist offen f 1 (V ) M 1 ist offen. (c) B M 2 ist abgeschlossen f 1 (B) M 1 ist abgeschlossen. Grenzwerte einer Funktion. Seien (M 1, d 1 ) und (M 2, d 2 ) metrische Räume, sei f : D M 1 M 2, und sei ξ ein Häufungspunkt von D. Man schreibt lim f(x) = η oder f(x) η (x ξ), x ξ falls zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass x Ḃδ(ξ) D f(x) B ε (η). Satz 14.4.6. Sei f : D M 1 M 2 und sei ξ ein HP von D. Dann gilt (a) f ist genau dann stetig in ξ, wenn lim x ξ f(x) = f(ξ). (b) lim x ξ f(x) = η genau dann, wenn lim n f(x n ) = η für jede Folge (x n ) in D\{ξ} mit lim n x n = ξ. 14.5 Kompaktheit Sei (M, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge K M heißt (folgen-)kompakt, wenn jede Folge aus K eine in K konvergente Teilfolge hat. Satz 14.5.1. Eine kompakte Menge ist abgeschlossen und beschränkt. Bemerkung: Die Umkehrung dieser Aussage ist richtig in R n, aber sonst im allgemeinen nicht! Zum Beispiel ist R versehen mit der diskreten Metrik abgeschlossen und beschränkt (R B 2 (0)), aber die Folge x n = n hat keine konvergente Teilfolge. Theorem 14.5.2 (Heine-Borel). Eine Teilmenge von R n (mit Standardmetrik) ist genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Satz 14.5.3. Ist f : M 1 M 2 stetig und K M 1 kompakt, dann ist auch f(k) kompakt. Theorem 14.5.4. Ist (M, d) ein kompakter metrischer Raum und f : M R stetig, dann nimmt die Funktion f auf M ihr Maximum und ihr Minimum an. Beweis 1. Kopie des Beweises von Thm. 7.4.2 Theorem 14.5.5. Ist f : M 1 M 2 stetig und M 1 kompakt, dann ist f gleichmässig stetig. Beweis. Kopie des Beweises von Thm. 7.4.5
30 14.6 Normierte Räume Ein normierter Vektorraum (X, ρ) über dem Körper K (K = R oder K = C) ist ein Vektorraum X zusammen mit einer Abbildung ρ : X R, einer Norm, so dass für alle x, y X und alle λ K: (N1) ρ(x) 0 und (ρ(x) = 0 x = 0), (N2) (N1) ρ(λx) = λ ρ(x), ρ(x + y) ρ(x) + ρ(y). Man schreibt gewöhnlich x oder x für ρ(x). Bemerkung. In jedem normierten Vektorraum (X, ) ist durch d(x, y) := x y eine Metrik definiert. Falls nicht ausdrücklich anderst gesagt, dann fasst man einen normierten Raum immer auch als metrischen Raum mit dieser Metrik auf. Damit sind die Begriffe: offen, abgeschlossen, beschränkt, konvergente Folge, Cauchy-Folge, vollständig, stetig etc. auch in normierten Vektorräumen erklärt. Beispiel. Die Norm x x ist eine stetige Abbildung von X nach R, denn es gilt für alle x, y X. Beispiele normierter Räume. x y x y 1. Der reelle Vektorraum R n mit der Norm x = ( n x2 i )1/2 ist ein vollständiger normierter VR. 2. Der komplexe Vektorraum C n mit der Norm z = ( n z i 2 ) 1/2 ist ein vollständiger normierter Vektorraum. 3. Der komplexe Vektorraum C([a, b], C) mit der Norm f := sup f(x) x [a,b] ist ein vollständiger normierter Vektorraum. Einen vollständigen normierten Vektorraum nennt man einen Banachraum.
31 Satz 14.6.1. Sei X ein endlich dimensionaler normierter Vektorraum und sei {e 1,..., e n } eine Basis von X. Dann existieren Konstanten α > 0 und β > 0, so dass ( n ) 1/2 ( n ) 1/2 α x i 2 x β x i 2 für alle x = i x ie i X, x 1..., x n K. Nach Satz 14.6.1 gilt für alle x = i x ie i, y = i y ie i X, ( n ) 1/2 ( n ) 1/2. α x i y i 2 x y β x i y i 2 Es folgt, dass unter der Abbildung (K n, ) (X, ) n (x 1,..., x n ) x i e i und ihrer Inversen konvergente Folgen in konvergente Folgen und Cauchyfolgen in Cauchyfolgen abgebildet werden. Insbesondere ist X vollständig, und Konvergenz in X ist äquivalent zu komponentenweiser Konvergenz (siehe Satz 14.3.1).