er Satz von Fubini ie Bezeichnungen seien wie in den Paragraphen 8 und 9. Satz. (Satz von Tonelli Es sei f : d [, + ] messbar. (Aus 8 folgt dann, dass f, f y messbar sind, wobei klar ist, dass f, f y sind. Für : F ( : f(, y dy f (y dy Für y : G(y : f(, y d f y ( d ann sind F, G messbar und f(z dz d F ( d G(y dy also f(, y d(, y d (iterierte Integrale ( f(, y dy d ( f(, y d dy ( Beweis Fall : Sei C B d und f C. ie Behauptungen folgen dann aus 9.. Fall 2: Sei f und einfach. ie Behauptungen folgen aus Fall, 3.6 und 4.5. Fall 3 - er allgemeine Fall: Sei (f n zulässig für f, also: f n f n+, f n einfach und f n f auf d. Für und n N gilt: F n ( : f n (, y dy und nach Fall 2 ist F n messbar. Aus f n f n+ folgt F n F n+ und 4.6 liefert F n F auf. ann gilt f(z dz lim d f n (z dz F all2 lim d F n ( d 4.6 F ( d Genauso zeigt man (f(z dz G(y dy d 69
. er Satz von Fubini Satz.2 (Satz von Fubini (Version I Es sei f : d integrierbar. ann eistieren Nullmengen M und N mit f : ist integrierbar für jedes \ M f y : ist integrierbar für jedes y \ N Setze und { F ( : f (y dy l f(, y dy, falls \ M l, falls M { G(y : f k y ( d f(, y d, falls y \ N k, falls y N ann sind F und G integrierbar und es gelten folgende zwei Gleichungen f(z dz d F ( d G(y dy Es gilt also wieder ( aus.. Beweis Wir zeigen nur die Aussagen über f, F und die erste der obigen beiden Gleichungen. Genauso zeigt man die Aussagen über f n, G und die zweite Gleichung. Aus 8. folgt, dass f messbar ist. efiniere Φ( : f (y dy f(, y dy für Nach. ist Φ messbar und Φ( d ( f(, y dy d. d f(z dz < (denn mit f ist nach 4.9 auch f integrierbar. Somit ist Φ integrierbar. Setze M : {Φ } was nach 4. eine Nullmenge ist. Also gilt: f (y dy Φ( < für jedes \ M as heißt, f ist für jedes \ M integrierbar und es gilt nach 4.9 auch f ist integrierbar für jedes \ M Aus 9.2 folgt, dass M eine Nullmenge ist. Setze { f(z, falls z f(z d \ (M :, falls z M 7
Aus 9.3 folgt, dass f messbar ist. Klar ist, dass fast überall f f gilt. Es ist f ( (M C f f(, y dy as heißt f ist integrierbar für jedes. ann gilt F ( 5.3 f+ (, y dy } l {{ } :F + ( f (, y dy } l {{ } :F ( Nach. sind F + und F messbar. ie reiecksungleichung liefert nun F ( f(, y dy 5.3 f(, y dy Φ( für Also ist F Φ und Φ ist integrierbar. Aus 4.9 folgt, dass F und F integrierbar sind und dann sind auch F + und F integrierbar (zur Übung. Es folgt F ( d F + ( d F ( d ( k ( f+ (, y dy d f(, y dy d k. f+ (z dz f (z dz d d f(z dz d f(z dz d Satz.3 (Satz von Fubini (Version II Sei B k, B l und : (nach 8 ist B d. Es sei f : messbar. Ist f auf oder ist f integrierbar, so gilt ( ( f(, y d(, y f(, y dy d f(, y d dy Beweis efiniere f wie in 9.3 und wende. beziehungsweise.2 an. Bemerkung:.,.2 und.3 gelten natürlich auch für mehr als zwei iterierte Integrale. Gebrauchsanweisung für Fubini: Gegeben: B d und messbares f :. Setze f auf d zu einer messbaren Funktion f fort (zum Beispiel wie in 9.3. Aus 3.8 folgt dann, dass f messbar ist und. liefert ( ( f dz f dy d f d dy d 7
. er Satz von Fubini Ist eines der drei obigen Integrale endlich, so ist f integrierbar und damit ist nach 4.9 auch f integrierbar. ann ist f integrierbar und es folgt f(z dz ( f d (.2 ( (z dz ( f (, y dy d ( f (, y d dy Beispiel ( Sei [a, b ] [a 2, b 2 ] [a d, b d ] mit a i b i (i,..., d. Es sei f : stetig. ist kompakt, also gilt B d. Nach 4.2(2 ist f L ( und aus obiger Bemerkung folgt f(,..., d d(,..., d b d a d ( ( ( b 2 b a 2 a f(,..., d d d 2 ie eihenfolge der Integrationen darf beliebig vertauscht werden. Aus 4.3 folgt d d bi a i d i - bi a i d i Konkretes Beispiel Sei : [a, b] [c, d] 2, f C([a, b] und g C([c, d]. f(g(y d(, y d c d c ( b a ( g(y f(g(y d dy ( b ( b ( d f( d a a f( d dy c g(y dy (2 Wir rechtfertigen die Kochrezepte aus Analysis II, Paragraph 5. Seien a, b mit a < b und I : [a, b]. Weiter seien h, h 2 C(I mit h h 2 auf I und A : {(, y 2 : I, h ( y h 2 (} Sei f : A stetig. a h und h 2 stetig sind, ist A kompakt und somit gilt A B 2. Aus 4.2(2 folgt dann f L (A. efiniere Nach 9.3 ist f messbar. Setze f(, y { f(, y, falls (, y A, falls (, y / A M : ma{ f(, y : (, y A} 72
ann gilt f M A. Wegen λ 2 (A < ist M A integrierbar und nach 4.9 ist f und damit auch f integrierbar. ann ist A f(, y d(, y f(, y d(, y 2 (.3 f(, y dy d ( b h2 ( f(, y dy d a h ( amit ist 5. aus Analysis II bewiesen. Genauso zeigt man 5.3. (3 Sei : {(, y 2 :, y } und f(, y : cos(y. ist abgeschlossen und somit ist B 2. Außerdem ist f stetig, also messbar. Behauptung: f L ( und f(, y d(, y sin( Beweis: Setze : (,, : [, und Q :. Sei nun f(, y : cos(y für (, y Q f ist eine Fortsetzung von f auf. f ist also messbar. Es ist f d(, y. Q f d(, y ( ( ( (, y cos(y dy d cos(y dy d dy d 2 d < Also ist f integrierbar und dann nach 4.9 auch f, also f L (. ann: f d(, y wie oben ( sin( (, y cos(y dy d ( cos(y dy d ( sin(y sin( d 2 y y d 73
. er Satz von Fubini Vorbemerkung: Sei >. Für b > gilt b und daraus folgt e y dy Beispiel (4 Sei e y dy e y b g : e b + { sin, falls >, falls b g ist stetig auf [,. Aus Analysis ist bekannt, dass g( d konvergent, aber nicht absolut konvergent ist. Aus 4.4 folgt, dass g / L ([, Behauptung: g( d π 2 Beweis: Setze : [, ] mit >, : [, und :, sowie f(, y : e y sin für (, y Es ist B 2 und f stetig, also messbar. Es ist weiter f L ( (warum? und ( f(, y d(, y.3 f(, y dy d ann gilt.3 I ( ( Vorbemerkung f(, y d dy ( sin e y sin dy d Zweimalige partielle Integration liefert (nachrechnen!: e y dy d sin d : I ( e y sin d dy } {{ } :ϕ(y ϕ(y + y 2 + y 2 e y (y sin + cos amit gilt dy I + y 2 + y 2 e y (y sin + cos dy Aus Analysis ist bekannt, dass das erste Integral gegen π 2 konvergiert und das zweite Integral setzen wir gleich Ĩ. Es gilt Ĩ 2 Vorbemerkung + y 2 e y (y sin + cos dy y + y 2 + e y dy e y dy 2 74
as heißt also Ĩ ( und damit folgt die Behauptung durch I π 2 Ĩ π 2 ( 75