Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 )

Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Wintersemester 2011 Dr. J. Jordan und Dr. F. Möller Institut für Mathematik Universität Würzburg Germany 1 Modulbezeichnung 10-M-VKM 1

Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 4 2 Direkter und indirekter Beweis 10 3 Vollständige Induktion 12 4 Mengen 17 5 Abbildungen I: Bild, Urbild und Graph 22 6 Abbildung: Injektiv, surjektiv und bijektiv 25 2

Was Sie über N nicht vergessen haben sollten Wir beginnen mit einer kleinen Widerholung über natürliche Zahlen 2. Mit dem Symbol N bezeichnen wir die Menge der natürlichen Zahlen, also N := {1, 2, 3, 4,... }. Der Doppelpunkt auf der linken Seite des Gleichheitszeichen bedeutet übrigens, dass hier die linke Seite, also das Symbol N, definiert wird. Das setzt natürlich vorraus, dass wir die rechte Seite schon verstehen können. Ich hoffe jeder weiß was mit der Schreibweise {1, 2, 3, 4,... } gemeint ist. Mit N 0 bezeichnen wir die Menge {0, 1, 2, 3,... }. Wir sagen die natürliche Zahl a teiltdie natürliche Zahl b, falls es eine natürliche Zahl k gibt, so dass ak = b. Wir sagen auch a ist ein Teiler von b und schreiben a b. Z.B teilt 4 die 12, denn 4 3 = 12. Wir schreiben also 4 12. Falls es keine natürliche Zahl k für die ak = b gilt gibt, ist a kein Teiler von b. Z.B. ist 5 kein Teiler von 12. Wir schreiben 5 b. Zahlen für die 2 ein Teiler ist, nennen wir gerade Zahlen. Alle anderen natürlichen Zahlen nennen wir ungerade Zahlen. Definition 0.1 Eine natürliche Zahl n heißt Primzahl, wenn sie ungleich Eins ist und nur durch Eins und durch sich selbst teilbar ist. Die Zahl 2 ist also eine Primzahl, denn jeder Teiler müsste kleiner als 2 aber ungleich Drei sein. Da 2 die 3 nicht teilt, ist auch 3 eine Primzahl. Wegen 4 = 2 2 ist 4 keine Primzahl. In Ihrem Studium werden Sie an verschiedenen Stellen sehen, dass Primzahlen eine fundamentale Bedeutung in der Mathematik haben. Im Augenblick benötigen wir die Menge der Primzahlen nur, um einfache Beispiele zur Aussagenlogik diskutieren zu können. 2 Was natürliche Zahlen sind, scheint intuitiv klar und aus der Schule ausreichend bekannt. Tatsächlich machen wir es uns hier ein bischen einfach. Im Studium der Mathematik wird man noch eine axiomatische Einführung der natürlichen Zahlen bekommen. Das führt aber schon über den Vorkursstoff hinaus 3

1 Aussagenlogik Die formale Logik stellt die Regeln bereit, nach denen mathematische Aussagen schlüssig und eindeutig formuliert und begründet werden können. Aussagen Mathematische Aussagen sind immer genau eines von beiden, wahr oder falsch. Jede mathematische Aussage hat also einen eindeutig bestimmten Wahrheitswert, w (für wahr) oder f (für falsch) 1. Die Sätze:Heute ist Montag und Morgen ist Mittwoch sind beides Aussagen. Je nachdem an welchem Tag Sie den Satz lesen sind diese Aussagen wahr oder falsch. Der Satz Heute ist Montag und morgen ist Mittwoch ist in jedem Falle falsch, aber trotzdem eine Aussage. Der Satz Wie ist das Wetter heute ist in obigen Sinne keine Aussage. Ein bischen kniffliger ist die Frage, ob der Satz der Satz Dieser Satz ist eine Aussage die falsch ist in obigen Sinne eine Aussage ist (probieren Sie mal, ob der Satz eine wahre oder eine falsche Aussage sein kann). Beispiel 1.1 Nun ein paar Beispiele zu Aussagen mit zahlentheoretischem Inhalt: A: 9 Ist eine Primzahl B: Jede Primzahl ist ungerade C: Jede gerade Zahl größer oder gleich 4 ist das Produkt zweier Primzahlen D: Jede gerade Zahl größer oder gleich 4 ist die Summe zweier Primzahlen Aussage A ist offenbar falsch (denn 3 3 = 9). 2 ist gerade und eine Primzahl, also ist Aussage B falsch. Auch Aussage C ist falsch, denn 8 = 2 2 2 ist zwar das Produkt dreier Primzahlen, aber nicht das Produkt zweier Primzahlen. Aussage D ist die sogenannte Goldbachsche Vermutung an der sich die Mathematiker schon seit 1742 die Zähne ausbeißen. Trotzdem, D ist entweder wahr oder falsch und damit eine Aussage. 1 Die Logik der Mathematik ist somit zweiwertig. Es gibt auch mehrwertige oder sogar unscharfe (Fuzzy-)Logik, die in der Technik eine gewisse Rolle spielt (Fuzzy-Regelung... ); diese ist aber zur Grundlegung der Mathematik eher ungeeignet (... obwohl es inzwischen schon Gebiete wie Fuzzy-Topologie, Fuzzy-Analysis, Fuzzy-Wahrscheinlichkeitstheorie usw. gibt!). 4

1 Aussagenlogik Operationen mit Aussagen Aus einfachen Aussagen gewinnt man durch logische Verknüpfungen kompliziertere Aussagen 2. (a) Konjunktion ( und ), Schreibweise: A B. Beispiel: Seien A und C die Aussagen aus Beispiel 1.1. Dann bedeutet die Aussage A C : 9 ist eine Primzahl und 2 ist eine Primzahl Das ist eine neue Aussage (und zwar eine falsche). Der Wahrheitswert der neuen Aussage A B ist durch folgende Tabelle (eine sogenannte Wahrheitstafel) definiert: A B A B w w w w f f f w f f f f Durch die folgende Wahrheitstafel werden weitere logische Verknüpfungen definiert. A B A A B A B A B A B w w f w w w w w f f f w f f f w w f w w f f f w f f w w (b) Disjunktion oder, Schreibweise: A B Bemerkung: Das logische oder,, ist nicht, wie meist in der Umgangssprache, als entweder-oder gemeint 3, sondern als einschließendes Oder. 2 Die Aussagenlogik ist kein reines Konstrukt der Mathematik; sie existiert in der Natur! In der Schaltungstechnik werden logische Operationen durch geeignete Schaltkreise realisiert. Dabei bedeutet falsch bzw. wahr: A wahr: Der A-Schalter ist geschlossen, d.h. Strom kann fließen. A falsch: Der A-Schalter ist offen, d.h. Strom kann nicht fließen. Durch eine Reihenschaltung von mehreren Schaltern lassen sich damit Und-Verknüpfungen realisieren, durch eine Parallelschaltung Oder-Verknüpfungen. Die Und, Oder und Nicht- Elemente können mittels Halbleitertechnik realisiert werden; damit können binäre logische Aussagen im Prinzip auch experimentell überprüft (besser: erfahren ) werden. 3 Ein exklusives Oder (entweder oder) kann durch definiert werden. A B := (A B) ( A B). 5

1 Aussagenlogik Beispiel: Betrachte die Aussagen C 1 : Die Zahl 2 ist gerade und die Aussage C 2 : Die Zahl 2 ist eine Primzahl. Die Aussage C 1 C 2 : Die Zahl 2 ist gerade oder eine Primzahl ist wahr, da mindestens eine der beiden Aussagen C 1, C 2 wahr ist. Tatsächlich sind sowohl C 1 als auch C 2 wahr. (c) Negation ( nicht A ), Schreibweise: A. Beispiel: Die Negation von C ist C : 2 ist keine Primzahl. Die Negation von Alle Studenten wissen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt ist Es gibt mindestens einen Studenten, welcher nicht weiß, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Die Aussage B ist Nicht jede Primzahl ist ungerade. Achtung: ein typischer Anfängerfehler wäre B mit Jede Primzahl ist gerade gleichzusetzen. Das kann schon deshalb nicht richtig sein, da ja entweder B oder B richtig sein muss. (d) Implikation ( A impliziert B, aus A folgt B), Schreibweise: A B Bemerkung: Eine Implikation A B ist stets wahr, wenn A falsch ist! Aus einer falschen Aussage kann man alles folgern! Beispiel: Die verknüpfte Aussage A D : Ist 9 eine Primzahl, dann gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge 4 ist also wahr, obwohl wir nicht wissen, ob die Aussage D wahr ist. (e) Äquivalenz ( A ist äquivalent zu B, A genau dann, wenn B), Schreinweise: A B Beispiel: Sei q eine natürliche Zahl. Die Aussage q ist eine gerade Primzahl und die Aussage q ist 2 sind äquivalent. Sie sind entweder beide wahr (nämlich wenn q tatsächlich 2 ist) oder beide falsch. Regeln Mit Hilfe der Wahrheitstafel kann man nun Regeln verifizieren. Z.B. stellt man fest, dass die Aussage A B genau dann wahr ist, wenn B A wahr ist. Die sogenannte Kommutativität von ist also durch die Tabelle A B A B B A w w w w w f f f f w f f f f f f gezeigt. Analog geht man bei der Verifikation weiterer Regeln vor. 4 Primzahllzwillinge sind Paare von Primzahlen, welche sich nur um 2 unterscheiden, also 3 und 5 oder 11 und 13. 6

1 Aussagenlogik Regel 1.2 (a) Kommutativität: A B B A A B B A. (b) Assoziativität: A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C. (c) Distributivität: A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C). (d) Doppelte Negation: ( A) A. (e) de Morgansche Regeln: (A B) A B (A B) A B. (f) Kontraposition: (g) Syllogismus: (A B) ( B A). ((A B) (B C)) (A C). Quantoren Mathematische Aussagen hängen oft von Variablen ab. Zum Beispiel hängt die Aussage A(n) : n ist größer als 2n von der Variable n ab. Dabei sind die Variablen meist durch Annahme eines gewissen Definitionsbereiches eingeschränkt. In obigem Beispiel etwa sei n eine beliebige natürliche Zahl. Wir nehmen hier schon mal die Bezeichnung n N für n ist ein Element der natürlichen Zahlen vorweg. Wir schreiben n N : A(n) 7

1 Aussagenlogik für Für alle natürlichen Zahlen n gilt die Aussage A(n). Das Symbol ist der sogenannte Allquantor. Wir schreiben n N : A(n) statt Es existiert eine natürliche Zahl n, so dass die Aussage A(n) gilt. Das Symbol ist der sogenannte Existenzquantor. Beispiel 1.3 Die folgenden Aussagen seien für ganze Zahlen n bzw. m erklärt. Die Aussage A(n) : n ist größer als 2n ist für alle natürlichen Zahlen n falsch. Wir könnten also schreiben n N : A(n). Sei nun B(n) die Aussage n 2 > n. Für gewisse n ist diese Aussage wahr (etwa für n = 3). Wir können also schreiben n N : B(n). Beachten Sie, dass bei der Negation einer Aussage die Quantoren und ihre Rollen vertauschen, d.h. es gilt ( n N : A(n)) n N : A(n). Oder in Worten ausgedrückt: Ist A(n) nicht für alle n richtig, dann gibt es mindestens ein n, so dass A(n) falsch ist. Analog gilt ( n N : A(n)) n N : A(n). Beispiel 1.4 Die Aussage C(n, m): n ist größer als m hängt von den natürlichen Zahlen n und m ab. Die Aussage D : Für jede natürliche Zahl m gibt es eine natürliche Zahl n so dass n größer als m ist kann man abkürzend schreiben D : m N n N : C(m, n). Wir stellen zunächst fest, dass D etwas völlig anderes ist wie E : n N m N : C(m, n). In Worten: Es gibt eine natürliche Zahl m, so dass für jede natürliche Zahl n die Ungleichung n > m gilt. Eine Aussage kann sich also ändern, wenn man die Reihenfolge von Quantoren vertauscht. Aussage D ist wahr, Aussage E ist falsch. E ist aber auch nicht die Negierung von D. Die ergibt sich durch D : m N n N : C(m, n). In Worten: Es existiert eine natürliche Zahl m so dass für jede natürliche Zahl n die Ungleichung n m gilt. 8

1 Aussagenlogik Warnung: Die Symbole,,,,, und sind oft sehr nützlich, etwa wenn man verschachtelte logische Ausdrücke negieren will. Keinesfalls sollten sie aber im Sinne stenographischer Abkürzungen in einem mathematischen Text (z.b. bei der Bearbeitung von Übungsblättern, Klausuraufgaben oder Bachelorarbeiten) verwendet werden. Ein mathematischer Text sollte immer aus vollständigen Sätzen bestehen. 9

2 Direkter und indirekter Beweis Gegeben seien zwei Aussagen A und B. Man will nun beweisen, dass aus der Aussage A die Aussage B folgt. Wir müssen also zeigen, dass die Aussage B wahr ist, falls A wahr ist. Beispiel: Sei q eine natürliche Zahl. Die Aussage A sei q ist eine gerade Primzahl und B sei q ist kleiner als 5. Wir wollen zeigen, dass die Aussage A B : Ist q eine gerade Primzahl, so ist sie kleiner als 5 wahr ist, also dass die Aussage A die Aussage B impliziert. Wir stellen nun die folgenden drei Beweistechniken vor: Direkter Beweis: Man nehme an, dass A wahr ist und folgere durch eine Kette logischer Schlüsse, dass B wahr ist. Beispiel: Aus A folgt zunächst die Aussage C : q ist 2, denn 2 ist eine Primzahl, und jede andere gerade Zahl ist durch zwei teilbar und daher keine Primzahl. Aus C wiederum folgt B, denn 2 ist kleiner als 5. Beweis durch Kontraposition: Hier nutzt man, die Kontrapositionsregel, d.h. die Tatsache, dass A B genau dann wahr ist, wenn B A wahr ist. Wir verneinen also B und zeigen, dass hieraus A folgt. Beispiel: Es gelte also B, d.h., q ist größer oder gleich 5. Dann ist q auch ungleich 2. Da alle Primzahlen außer zwei ungerade sind, ist q ungerade oder keine Primzahl. Es gilt also A. Widerspruchsbeweis: Hier nutzt man, dass A B äquivalent ist zu A B. Die Negation dazu ist wiederum A B. Um nun zu zeigen, dass A B wahr ist, zeigt man, dass A B falsch ist. Beispiel: Die Aussage A B ist q eine gerade Primzahl größer oder gleich 5. Als gerade Zahl ist q ein Vielfaches von 2 und damit keine Primzahl. Ein Widerspruch. Die beiden Beweistypen Kontaposition und Widerspruchsbeweis nennt man indirekter Beweis. Aufgabentypen Viele Übungsaufgaben lassen sich mit einer Kombination der drei folgenden Fragetypen formulieren. 10

2 Direkter und indirekter Beweis Beweisen Sie: aus A folgt B: Dies ist die Standardsituation, wie sie in Abschnitt 2 beschrieben ist. Beweisen Sie, dass A und B äquivalent sind: Um eine Äquivalenz zu zeigen, muß man beide Implikationen A B und B A zeigen. Beispiel 2.1 Wir beweisen, dass die Aussagen A: n ist gerade und die Aussage B: n 2 ist gerade äquivalent sind. Zunächst zeigen wir A B: Ist n gerade, so gibt es eine natürliche Zahl k, so dass n = 2k. Damit ist auch n 2 = 4 k 2 = 2 2k 2 gerade. Nun zeigen wir B A. Hier probieren wir einen indirekten Beweis: Wir nehmen an, n ist nicht gerade, also ungerade. Dann gibt es eine natürliche Zahl k, so dass n = 2k 1. Dann ist n 2 = 4k(k 1) + 1 ungerade. Wir haben damit A B gezeigt. Wir wissen aber schon, dass das äquivalent zu B A ist (Kontraposition). Beweisen oder widerlegen Sie Aussage A: In Übungsblättern und Klausuren werden Sie häufig mit einer Aussage konfrontiert, von der Sie zunächst nicht wissen, ob sie wahr oder falsch ist. Falls Sie ein Gegenbeispiel zur Aussage finden, ist die Aufgabe gelöst, denn ein Gegenbeispiel ist ein Beweis. Nämlich dafür, dass eine Aussage falsch ist. Das besagte Gegenbeispiel müssen sie aber genau ausführen, d.h. begründen, warum dieses Beispiel die zu untersuchende Aussage wiederlegt. Falls die Aussage wahr ist, müssen sie einen Beweis finden. In der Regel sind solche Aufgaben so konzipiert, dass ein Student mit etwas Überblick weiß, ob die Aussage zu beweisen oder zu widerlegen ist. Beispiel: Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Für jede natürliche Zahl m gibt es eine natürliche Zahl n, so dass n + m = nm Wer es probiert, wird schnell ein Gegenbeispiel finden. Die richtige Antwort ist also: Die Aussage ist falsch. Z.B. für m = 1 gibt es kein solches n, denn für jede natürliche Zahl n gilt n + 1 > n 1. Achtung: Ein Beispiel ist kein Beweis! Für gewisse natürliche Zahlen m gibt es ein n, so dass n + m = nm. Z.B. für m = 2 wähle man n = 2. Dieses Beispiel liefert aber keinerlei Erkenntnis darüber, ob obige Aussage insgesamt wahr oder falsch ist. 11

3 Vollständige Induktion Die Vollständige Induktion ist eine sehr wichtige Beweismethode, welche wir in allen mathematischen Disziplinen benutzen werden. Betrachten Sie die Aussagen und A := Für alle n N ist die Zahl 2 2n + 1 eine Primzahl B := Für alle n N ist die Zahl 2 2n 1 durch drei teilbar Sind die Aussagen wahr? Man könnte vermuten, dass A wahr ist, denn man rechnet leicht nach, dass 2 2n + 1 für n = 1, 2, 3 eine Primzahl ist. Mit etwas Aufwand sieht man auch das 2 24 + 1 eine Primzahl ist. Es gilt aber 2 25 + 1 = 4294967297, und diese Zahl ist durch 641 teilbar. Die Aussage A ist hiermit also widerlegt. Die Aussage B ist allerdings wahr. Wieder könnte man anfangen, die Aussage für möglichst viele natürliche Zahlen n zu testen. Im Gegensatz zu oben werden Sie kein Gegenbeispiel finden. Die Aussage ist damit aber noch nicht beweisen, da Sie ja, egal wie schnell Ihr Computer ist, nur für endlich viele n testen können. Die Vollständige Induktion ist nun eine Methode, die es ermöglicht Aussagen wie B zu beweisen. Prinzip der vollständigen Induktion: Für jede natürliche Zahl n N sei eine Aussage B(n) gegeben. Es gelte: 1) B(1) gilt, d.h. die Aussage stimmt für n = 1 2) B(n) B(n + 1) gilt, d.h. falls die Aussage für eine Zahl n N wahr ist, so ist sie auch für die Zahl n + 1 wahr. Dann stimmt die Aussage B(n) für alle n N. Die Voraussetzung, dass B(1) wahr ist, nennt man Induktionsanfang. Die Implikation B(n) B(n + 1) ist trivialerweise wahr, wenn B(n) falsch ist. Interresant ist also nur der Fall, wenn B(n) wahr ist. Dazu nehmen wir einfach an, dass B(n) für ein abstraktes n wahr ist. Diese Annahme nennt man Induktionsannahme oder Induktionsvoraussetung. Im sogenannten Induktionsschluß muss man nun zeigen, dass aus B(n) auch B(n + 1) folgt 1. Bitte gewöhnen Sie sich gleich an, alle drei Schritte, also Induktionsanfang, Induktionsvoraussetung und Induktionsschluß für den Leser Ihrer Lösungen kenntlich zu machen. 1 Tipp: Wer beim Induktionsschluß die Induktionsannahme nicht benutzt hat, hat ziemlich sicher etwas falsch gemacht. 12

3 Vollständige Induktion Wer Prinzip der vollständigen Induktion zum ersten mal sieht sollte sich nun ersteinmal klar machen, warum dieses Prinzip intuitiv richtig ist. Gilt die Aussage B(1) dann folgt ja nach 2), dass die Aussage B(2) gilt. Daraus folgt dann, wieder mit 2), dass B(3) gilt und daraus, dass B(4) gilt, und so weiter 2. Viele wichtige Sätze und Rechenregeln, lassen sich durch vollständige Induktion beweisen. Wir zeigen nun einige Beispiele dafür. Exkurs: Zunächst führen wir folgende wichtige Schreibweise für Summen ein. Für Zahlen a 1,..., a n schreiben wir für die Summe a 1 + a 2 +... a n in Zukunft n k=1 a k. Statt 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 schreiben wir also 9 k=1 k. Hier ist also a k = k und n = 9. Noch ein Beispiel zu dieser Schreibweise. Für die natürliche Zahl k sei a k durch a k = k 2 definiert. Dann bedeutet 7 k=1 a k dasselbe wie 7 k=1 k2 oder wie 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49. Aber nochmal zum Fall a k = k. Hier gilt: Satz 3.1 Für alle natürlichen Zahlen n N gilt n n(n + 1) k =. 2 k=1 Beweis: Wir beweisen die Aussage mit Hilfe der Vollständigen Induktion. Wir betrachten also die von einer natürlichen Zahl n abhängigen Aussage n k=1 k = n(n+1). Um die Struktur des Beweises sichtbarer zu machen nennen 2 wir diese aussage A(n). (Induktionsanfang:) Zunächst müssen wir zeigen, dass die Aussage A(1) wahr ist. Das ist leicht, denn für die linke Seite der zu beweisenden Gleichung erhält man 1 k=1 k = 1 und für die linke Seite erhält man 1 2 2 = 1. Nun müssen wir zeigen, dass A(n) A(n + 1) wahr ist, d.h., wir zeigen, dass falls A(n) wahr ist, also n k=1 k = n(n+1) gilt, so muss auch n+1 2 k=1 k = n+1(n+2) 2 gelten. (Induktionsannahme:) Sei n k=1 k = n(n+1) für eine natürliche Zahl n. 2 (Induktionsschluß:) Dann gilt n+1 k = k=1 = n k=1 k + n + 1 Induktionsannahme = n(n + 1) + 2(n + 1) 2 Die Aussage A(n) A(n + 1) ist also wahr. = n(n + 1) 2 (n + 1)(n + 2) 2 + n + 1 2 Wir benutzen also nur die Eigenschaft der natürlichen Zahlen, dass man jede natürliche Zahl erreicht, wenn man von der Eins ausgehend oft genug eine Eins addiert. Diese Eigenschaft der natürlichen Zahlen kann man übrigens nicht beweisen. Vielmehr ist diese Eigenschaft ein Axiom, also eine Annahme. Mathematiker bemühen sich, die Mathematik auf möglichst wenigen Axiomen aufzubauen. Genauers darüber lernen Sie im späteren Studium der Mathematik. 13

3 Vollständige Induktion Exkurs 2: Auch für das zweite Beispiel führen führen wir eine wichtige Schreibweise ein. Für Zahlen a 1,..., a n schreiben wir für das Produkt a 1 a 2 a n in Zukunft n k=1 a k. Für 1 2 3 4 5 6 7 8 schreiben wir also 8 k=1 k. Satz 3.2 Für die natürliche Zahl x 1 und alle natürlichen Zahlen n N gilt n (1 + x 2k 1 ) = 1 x2n 1 x. k=1 Beweis: Wir beweisen die Aussage mit Hilfe der Vollständigen Induktion. Wir betrachten also die Aussage n k=1 (1 + x2k 1 ) = 1 x2 n. Diese Aussage bezeichnen wir mit A(n). 1 x Induktionsanfang: Zunächst müssen wir zeigen, dass die Aussage A(1) wahr ist. Wieder ist dieser Schritt leicht, denn für n = 1 erhält man für die linke Seite: und für die rechte Seite: 1 (1 + x 20 ) = 1 + x k=1 1 x 21 1 x = (1 + x)(1 x) (1 x) = 1 + x. Nun müssen wir zeigen, dass A(n) A(n+1) wahr ist. Induktionsannahme: Sei A(n) wahr für ein n N, d.h. n k=1 (1+x2k 1 ) = 1 x2 n. Induktionsschluß: 1 x Dann gilt n+1 (1 + x 2k 1 ) = (1 + x 2n ) k=1 n (1 + x 2k 1 ) k=1 Induktionsannahme = (1 + x 2n ) 1 x2n 1 x (1 + x 2n )(1 x 2n ) = 1 x 1 (x 2n ) 2 = 1 x 1 x 2n +2 n = 1 x 1 x 2n+1 = 1 x Die Aussage A(n) A(n + 1) ist also wahr. 14

3 Vollständige Induktion Beispiel 3: Wir hatten ja am Anfang dieses Kapitels behauptet, dass die Zahl 2 2n 1 für jedes n N durch drei teilbar ist. Versuchen Sie einmal, diese Aussage zu beweisen. Beispiel 4: Für n N betrachten wir ein aus 2 n mal 2 n Einzelquadraten bestehendes Quadrat, welchem wir ein beliebiges Einzelquadrat entnehmen. (Die Skizze zeigt einen Fall für n = 3). Zeigen Sie, dass es für alle n N möglich ist, jedes durch Herausnahme eines Kästchens reduzierte 2 n 2 n -Quadrat mit Fliesen der Form vollständig zu parkettieren. (Fliesen dürfen dabei gedreht und versschoben werden, aber weder dürfen Fliesen zerschnitten werden, noch dürfen sie sich gegenseitig überdecken.) Beweis: Versuchen Sie es zunächst selber. Aus dem Prinzip der vollständigen Induktion lassen sich leicht verallgemeinerte Induktionsprinzipien ableiten: Z.B. gilt: Korollar 3.3 Sei n 0 Z = {0, ±1, ±2,... } fest gewählt. Um eine Aussage B(n) für alle n Z mit n n 0 zu beweisen, reicht es zu zeigen: 1) B(n 0 ) gilt 2) Für beliebiges n Z mit n n 0 gilt: Falls B(n) richtig ist, so auch B(n + 1). Beweis: Setze C(n) := B(n 0 n + 1) und wende das Prinzip der vollständigen Induktion auf C(n) an. Wer das Prinzip der vollständigen Induktion begriffen hat sieht ein, dass hier nichts neues passiert. Wir fangen nur an einer anderen Stelle mit der Induktion an. Als Kosequenz haben wir die Aussage nicht für alle Zahlen n N oder n Z bewiesen, sondern nur für diejenigen, die größer als der Startwert n 0 sind. 15

3 Vollständige Induktion Beispiel 4: Wir zeigen, für alle n 4 gilt die Abschätzung 2 n < n!. Der Ausdruck n! steht hierbei für die sogenannte Fakultät von n, also dem Produkt n! := n k=1 k = 1 2 n. Für die Zahlen n = 1, 2, 3 gilt 2 1 = 2 > 1! = 1, 2 2 = 4 > 2! = 2 bzw. 2 3 = 8 > 3! = 6 die Aussage 2 n < n! ist also für diese Zahlen falsch. Wir beginnen nun eine vollständige Induktion ab n = 4. Induktionsanfang: Für n = 4 ist die Ungleichung richtig, denn 2 4 = 16 und 4! = 24. Induktionsannahme: Sei 2 n < n! für ein n 4. Induktionsschluß: Dann ist 2 n+1 = 2 2 n Induktionsannahme < 2 n! < (n + 1)n! = (n + 1)!. Somit ist die Aussage für alle n 4 gezeigt. Man kann sich noch viele weitere Varianten der vollständigen Induktion überlegen. Besonders nützlich ist die folgende: Korollar 3.4 Es sei B(n) eine Aussage, abhängig von einem Parameter n N. Es gelte: 1) B(1) gilt 2) Für beliebiges n N mit gilt: Falls B(k) für alle k N mit k < n + 1 wahr ist, so ist auch B(n + 1) wahr. dann ist B(n) für alle n N wahr. Beweis: Wir definieren C(n) als B(n) ist für alle k < n + 1 wahr. Dann ist C(1) äquivalent mit B(1) und 2) entspricht der Implikation C(n) C(n + 1). Die aussage des obigen Korrolars entspricht also einer Induktion über C(n). Beispiel 5: Es sein a und b natürliche Zahlen mit der Eigenschaft, das auch a + b eine natürliche Zahl ist. Wir zeigen, dass auch ( a b a b )n + ( b a )n für jedes n N eine natürliche Zahl ist. Dazu betrachten wir die Aussage B(n): für jedes k N mit k < n + 1 sei ( a b )k + ( b a )k N. Induktionsbeginn: Ist klar, da nach Vorraussetzung a b + b a N. Induktionsannahme: Es gelte für jedes k < n + 1, dass ( a b )k + ( b a )k N. Induktionsschluß: Insbesondere gelte nach Induktionsannahme ( a b )n 1 + ( b a )n 1 N und ( a b )n + ( b a )n N. Also ist auch ) n+1 ( ) ( a (a ) n ) ( (a ) ) n 1 = N. ( a b ) n+1+ ( b a b + b a }{{} N ) ( n b + b a }{{} N ) ( n 1 b + b a } {{ } N 16

4 Mengen Der Begriff Menge soll hier mit Bedacht nicht präzise definiert werden. Intuitiv kann man eine Menge als Zusammenfassung derjeniger Objekte (Elemente der Menge genannt) einer universellen Klasse vorstellen, die durch bestimmte Eigenschaften ausgezeichnet sind. Notationen Ist M eine Menge und x ein Element von M, so schreiben wir x M. Wir sagen auch: x gehöre zu M oder x liegt in M. Ist x kein Element von M, so schreiben wir x / M. Eine Menge kann durch Aufzählung ihrer Elemente erklärt werden, z.b. ist M = {a, b, c, d} die Menge aus den Elementen a, b, c und d. Meist werden Mengen aber durch Angabe einer Eigenschaft beschrieben. Schreibweise: M = {x x hat Eigenschaft E} oder M = {x : x hat Eigenschaft E}. Beispiel 4.1 (1) Die Menge der natürlichen Zahlen N := {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}. (2) Die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0: (3) Die Menge der geraden Zahlen (4) Die Menge der Primzahlen N 0 := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}. 2N := {2, 4, 6,...}. P := {p N p = p 1 p 2 für p 1, p 2 N mit p 1 < p 2 impliziert p 1 = 1 < p 2 }, Mengen haben aber nicht unbedingt etwas mit Zahlen zu tun. Zum Beispiel werden wir später mit Mengen von Mengen, Mengen von Abbildungen usw. arbeiten. 17

4 Mengen Zwei Mengen M und N sind gleich, d.h. M = N, wenn sie dieselben Elemente haben. D.h. M = N bedeutet (x M x N). Eine Menge M heißt Teilmenge von N, d.h. M N, falls jedes Element von M zu N gehört. Hier sei betont, dass die Bezeichnung M N auch erlaubt, dass M = N ist 1. Will man ausdrücken, dass M eine echte Teilmenge von N ist, d.h. M N und M N, gilt schreibt man M N. Um zu zeigen, dass eine Menge M Teilmenge einer anderen Menge N ist, muß man zeigen, dass für jedes Element x M auch x N gilt. Um zu zeigen, dass zwei Mengen M und N gleich sind, beweist man zunächst M N und dann N M. Die Menge := {x M x x} heißt leere Menge. Sie ist eindeutig bestimmt und hängt nicht von M ab. Die leere Menge M ist Teilmenge jeder Menge; enthält selbst kein Element. Die Potenzmenge 2 M von M ist die Menge aller Teilmengen von M : Beispiel 4.2 2 M = {N N M}. 2 {0,1} = {, {0}, {1}, {0, 1}}, 2 = { }, 2 2 = {, { }}. Operationen mit Mengen Im folgenden stellen wir einige wichtige Operationen mit Mengen vor: Die Vereinigung Die Vereinigung M N := {x x M x N} zweier Mengen M, N besteht sowohl aus den Elementen von M als auch aus denen von N. Beispiel 4.3 {1, 2} {2, 3} = {1, 2, 3}. 1 Das ist leider nicht einheitlich in der Literatur. In manchen Büchern und Vorlesungen werden die Symbole (statt ) bzw. (statt und ) benutzt. 18

4 Mengen Sei allgemeiner S eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. Die Vereinigung der Mengen aus S ist die Menge M := {x M S mit x M}. M S M S M ist also die Menge der Elemente, die mindestens einem M S angehören. Oft wird das Mengensystem indiziert, d.h., jedem Element von S wird ein eindeutiger Index i aus einer Indexmenge I zugeordnet, d.h., S = {M i i I}. Wir schreiben M i := {x i I mit x M i }. i I Beispiel 4.4 Sei I = N und M i := {i, i + 1,..., 2i} für i N. Dann ist M i = N. i I Beweis: Da jede der Mengen M i Teilmenge von N ist, gilt i I M i N. Wir müssen also noch zeigen, dass auch N i I M i gilt. Sei also n ein beliebiges Element aus N, dann ist n M n. Folglich ist n i I M i. Da n beliebig war, gilt N i I M i. Der Durchschnitt Der Durchschnitt zweier Mengen M und N M N := {x x M x N} ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu M als auch zu N gehören. Beispiel 4.5 Allgemeiner ist M S 2N P = {2}. M := {x M S gilt x M} der Durchschnitt einer nichtleeren Menge S von Mengen. Er besteht aus den Elementen, die zu allen M S gehören. Oder mit Indexschreibweise M i := {x i I ist x M i }. i I Beispiel 4.6 Sei I die Indexmenge I = N und M i := {n N i < n < 4i}. Dann ist M i =. Beweisen Sie diese Gleichheit, ähnlich wie in Beispiel 4.4. i I 19

Das Komplement 4 Mengen Das Komplement einer Menge N in M (oder die Differenz von M und N) ist die Menge M\N := {x x M x / N}. M\N besteht aus allen Elementen von M, die nicht zu N gehören. Zum Beispiel besteht N \ 2N genau aus den ungeraden Zahlen. Wir halten nun folgende wichtige Zusammenhänge fest. (a) M\M =, M\ = M. (b) M M = M, M M = M. (c) Kommutativität: (d) Assoziativität: M N = N M, M N = N M. (M N) L = M (N L), (M N) L = M (N L). (e) Distributivität: (M N) L = (M L) (N L), (M N) L = (M L) (N L). (f) Für die Teilmengen M, N einer Menge X gilt: (1) X\(X\M) = M. (2) X\(M N) = (X\M) (X\N) X\(M N) = (X\M) (X\N) } de Morgansche Regel (3) Allgemeiner gilt sogar X\ M S M = M S (X\M) X\ M S M = M S (X\M) } de Morgansche Regel Wie beweist man solche Regeln? Wir führen dies am Beispiel der zweiten de Morganschen Regel einmal vor: Beweis von X\(M N) = (X\M) (X\N) (i) Zunächst zeigen wir X\(M N) (X\M) (X\N). Sei also x X\(M N). Dann ist x X aber x / M N. Demnach ist x weder Element von N noch 20

4 Mengen Element von M. Also ist x sowohl in X\M wie auch in X\N und damit auch im Schnitt dieser beiden. (ii) Nun zeigen wir X\(M N) (X\M) (X\N). Ist x (X\M) (X\N), dann ist x sowohl in X\M wie auch in X\N. Damit ist x weder in M noch in N und damit in X\(M N). Kartesisches Produkt Das geordnete Paar ( Tupel ) zweier Objekte x, y ist das Objekt (x, y) mit der Eigenschaft (x, y) = (x, y ) x = x und y = y. Insbesondere ist (x, y) (y, x) falls x y. Formal kann man (x, y) als Menge definieren vermöge (x, y) := {{x}, {x, y}}. Man zeigt dann leicht (Übungsaufgabe), dass die obige Eigenschaft erfüllt ist. Das kartesische Produkt zweier Mengen M, N ist die Menge M N := {(x, y) x M und y N}. Beispiel 4.7 Die Menge N N besteht aus den Paaren (a, b) mit a N und b N. Also N N = {(1, 1), (1, 2), (2, 1),... }. n-faches karthesisches Produkt M 1 M n := {(x 1,..., x n ) x 1 M 1 x n M n }. Dabei werden die n-tupel (x 1,..., x n ) rekursiv durch definiert mit der Eigenschaft (x 1,..., x n ) := ((x 1,..., x n 1 ), x n ) (x 1,..., x n ) = (y 1,..., y n ) x 1 = y 1,..., x n = y n. Eigenschaften des Produkts (a) (M 1 M 2 ) N = (M 1 N) (M 2 N). (b) (M 1 M 2 ) N = (M 1 N) (M 2 N). Versuchen Sie mal, eine dieser beiden Eigenschaften zu beweisen. Zeigen Sie für a), dass jedes Element aus (M 1 M 2 ) N auch in (M 1 N) (M 2 N) liegt, und das jedes Element aus (M 1 N) (M 2 N) auch in (M 1 M 2 ) N liegt. 21

5 Abbildungen I: Bild, Urbild und Graph Eine Abbildung f einer Menge M in eine Menge N ist eine Vorschrift, die jedem Element x M jeweils ein eindeutig bestimmtes Element y = f(x) N zuordnet. y = f(x) heißt Wert von f an der Stelle x. M heißt Definitionsbereich, N der Wertebereich von f. Schreibweise: f : M N, x f(x) Beispiel 5.1 Oft werden Abbildungen durch Terme definiert, z.b.: f : N N, z z 2. Ein anderes Beispiel ist g : N N, n g(n) und g(n) sei die kleinste Primzahl größer als n. Im zweiten Beispiel ist nicht unbedingt klar, ob die Abbildung g wohldefiniert ist, d.h. ob jedem Wert aus dem Definitionsbereich auch ein eindeutiger Wert aus dem Bildbereich zugeordnet wird. Gibt es zu jedem n N immer eine eindeutige kleinste Primzahl die größer ist als n? Die Frage kann man bejahen, wenn man weiß, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Zwei Abbildungen f 1 : M 1 N 1, f 2 : M 2 N 2 heißen gleich wenn gilt (i) M 1 = M 2, N 1 = N 2 (ii) f 1 (x) = f 2 (x) für alle x M 1 = M 2. Ist beides erfüllt schreiben wir f 1 = f 2. Beispiel 5.2 Betrachten Sie die Abbildungen f : N N, z 2z, g : N 2N, z 2z und h : N N, h(z) := Anzahl der Elemente der Menge {z + 1, z + 2,..., 3z}. Obwohl f(z) = g(z) für alle z N gilt, ist f g. Andererseits sind die Abbildungen f und h gleich. 22

Bild und Urbild 5 Abbildungen I: Bild, Urbild und Graph Wir führen nun eine Reihe wichtiger Bezeichnungen ein: Definition 5.3 a) Der Graph einer Abbildung f : M N ist die Menge Γ f := {(x, f(x)) x M} M N. b) Das Bild einer Teilmenge A M unter f : M N ist die Teilmenge f(m) heißt Bildmenge von M. f(a) := {f(x) x A}. c) Das Urbild einer Menge B N ist die Teilmenge f 1 (B) := {x M f(x) B}. d) Sei A eine Teilmenge von M. Dann nennt man die Einschränkung von f auf A. Beispiel 5.4 Es sei f : N N, n f A : A N, x f(x) { 1 falls n 4, n 2 falls n < 4. Weiter sei P N die Menge der Primzahlen. Das Bild von P unter f ist f(p) = {4, 9}, denn f(2) = 4, f(3) = 9 und f(n) = 1 für alle n 4. Das Urbild von P N unter f ist f 1 (P) =, denn f(n) ist für kein n N eine Primzahl. Es gelten die folgenden Regeln für Bild- und Urbildmengen. Satz 5.5 Für jede Abbildung f : M N und Teilmengen A, A 1, A 2 M, B 1, B 2 N gilt: (a) (b) (c) (d) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ) 23

5 Abbildungen I: Bild, Urbild und Graph (e) A f 1 (f(a)) Beweis: Wir zeigen hier nur eine der Aussagen, dafür sehr ausführlich. Der Rest ist Übung für Sie. Sei zunächst x f 1 (B 1 B 2 ), d.h. f(x) B 1 B 2. Ist f(x) B 1 so ist x f 1 (B 1 ). Ist f(x) B 2 so ist x f 1 (B 2 ). In beiden Fällen gilt x f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) und damit f 1 (B 1 B 2 ) f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). Wir müssen also noch f 1 (B 1 B 2 ) f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) zeigen. Ist x f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ), dann ist f(x) in B 1 oder in B 2. Es gilt also f(x) B 1 B 2 und damit x f 1 (B 1 B 2 ). Bemerkung: Liest man die Aussagen (d) und (e), dann fragt man sich sofort, ob denn nicht auch Gleichheit anstelle der Inklusion gilt. Überlegen Sie sich Beispiele, welche belegen, dass die Gleichheiten im Allgemeinen nicht gelten. 24

6 Abbildung: Injektiv, surjektiv und bijektiv Definition 6.1 Eine Abbildung f : M N heißt (a) injektiv, wenn für alle x 1, x 2 M gilt f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Eine äquivalente Definition ist, dass das Urbild f 1 ({y}) für jedes y N höchstens ein Element hat. (b) surjektiv, wenn f(m) = N. Eine äquivalente Definition ist, dass das Urbild f 1 ({y}) für jedes y N mindestens ein Element hat. (c) bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Eine äquivalente Definition ist, daß das Urbild f 1 ({y}) für jedes y N genau ein Element hat. Beispiel 6.2 Betrachten Sie die Abbildungen f : Z Z, z z 2 und g : N N, g(z) = z 2. f ist weder injektiv (denn f( 1) = f(1)) noch surjektiv (denn für alle z Z ist f(z) 1). Die Abbildung g ist injektiv, denn g(z 1 ) = g(z 2 ) impliziert z 1 = z 2. g ist aber nicht surjektiv, denn g(n) ist echt kleiner als der Wertebereich N. Für alle z N gilt z.b. g(z) 3. Das einfachste Beispiel für eine bijektive Abbildung ist die Identität id M : M M welches jedes Element einer Menge M auf sich selber abbildet. Definition 6.3 Es seien f : P N und g : M P Abbildungen. Die Abbildung f g : M N ist definiert durch f g(x) := f(g(x)), x M und heißt Verknüpfung von g mit f oder Komposition von g mit f oder Hintereinanderausführung von g mit f. Bildet f eine Menge auf sich selbst ab, also f : M M so bezeichnet man f f f... f }{{} n fache Verknüpfung auch mit f n. Beispiel 6.4 Wir betrachten f : N N, n 3n und g : N N, n n 2. Dann ist f g : n 3n 2 aber g f : n (3n) 2 = 9n 2. Insbesondere sehen wir in diesem Beispiel, dass f g etwas anderes ist als g f. Weite ist f 2 : N N, n 9n. Insbesondere ist f 2 (n) = 9n etwas anderes als (f(n)) 2 = (3n) 2 = 9n 2. 25

6 Abbildung: Injektiv, surjektiv und bijektiv Ist f : M N bijektiv, so gibt es zu jedem y N genau ein Urbild x M. Diese Tatsache können wir benutzen, um zu f eine Umkehrabbildung zu definieren. Definition 6.5 Ist f : M N eine bijektive Abbildung. dann gibt es genau eine Abbildung g : N M mit der Eigenschaft f g = id N und g f = id M. Diese Abbildung heißt Umkehrabbildung oder Inverse von f und wird mit f 1 bezeichnet. Achtung: Eine Umkehrfunktion f 1 ist nur für bijektive Abbildungen definiert. Das Urbild f 1 (A) existiert für jede Abbildung f : M N und jede Teilmenge A N. Beispiel 6.6 Die Abbildung f : N 2N, n 2n ist bijektiv. Die Umkehrabbildung ist f 1 : 2N N, n 1 2 n. Die Abbildung g : 2N 2 N, M N \ M ist auch bijektiv (können Sie das zeigen?). Was ist hier die Umkehrabbildung? Den nächsten Satz sollten Sie einmal selber versuchen zu beweisen: Satz 6.7 Es seien f : P N und g : M P Abbildungen. a) Sind f und g beide injektiv, so ist f g injektiv. b) Sind f und g beide surjektiv, so ist f g surjektiv. c) Sind f und g beide bijektiv, so ist auch f g bijektiv und die Umkehrabbildung von f g ist g 1 f 1. 26