Die schriftliche Subtraktion Lösungen von S. Einer 8 = Zehner 6 = Hunderter 4 = Tausender = Dem Herrn Scharfblick bleiben, für s Sparbuch. Wer rechnet, muss sich auch verständlich machen können: Der Fachausdruck für die Rechenart Abziehen heißt Zieht man Zahlen voneinander ab, spricht man von Das Ergebnis einer Subtraktion heißt Das Rechenzeichen heißt Bitte subtrahieren Sie und setzen Sie auch die Fachausdrücke ein: 7 94 = Das Ergebnis einer Subtraktion heißt: Subtraktion. subtrahieren. Differenz. minus. Das Zeichen heißt:.
Die schriftliche Subtraktion Lösungen von S. 7 94 Das Zeichen heißt minus. = 4 6 Das Ergebnis einer Subtraktion heißt Differenz. Noch eine einfache Aufgabe! Bitte subtrahieren Sie zunächst nur die Einer: 64 87 4 66 zu dieser Differenz () kann man auf zwei Wegen kommen: Welches Sprüchlein geht beim Subtrahieren durch Ihren Kopf? Da Sie mit beiden Methoden zum Ziel kommen, können Sie ruhig bei der Methode bleiben, die Sie gewohnt sind. Ansonsten empfehlen wir die von-bis -Methode, da man mit ihr einfacher rechnet. Bitte rechnen Sie die oben stehende Aufgabe fertig nach der Methode Ihrer Wahl! 6 4 8 7 4 6 6
4 Die schriftliche Subtraktion Übungen Lösungen von S. Verzweigungstest Mit den Aufgaben im Verzweigungstest sollen Sie selbst feststellen, ob Sie Teile des folgenden Abschnitts schon beherrschen. Wenn ja, können Sie diese Seiten überspringen! ) 678 899 = ) 0 40 87 = ) 7 66 9 849 = 4) 4 80 77 88 9 999 = ) 00 000 7 7 9 49 8 00 008 = Bitte vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Auflösungen auf der nächsten Seite!
4 Punkt- vor Strichrechnungen; Klammern ) = 8 : = 6 4 + 8 : 4 = 6 ) 8 (6 ) = (7 + 6) = 6 (4 + ) (8 ) = Fehler: Übungen zum Lernschritt Lösungen von Seite 4 Haben Sie alle Aufgaben richtig gelöst? Dann lesen Sie bitte weiter bei den Übungsaufgaben auf Seite 6! Haben Sie alle Aufgaben von ) richtig gelöst, aber bei ) Schwierigkeiten gehabt? Lesen Sie bitte weiter auf Seite 6! Haben Sie bei ) und ) Fehler gemacht? Dann lesen Sie bitte weiter unten auf dieser Seite! Dieser LKW hat 4 Fässer und 6 Reihen mit je 7 Fässern geladen. Wie viele Fässer sind es zusammen? (Zählen Sie ruhig nach!) oder 4 + 6 7 = 70 4 + 6 7 = 46 Kreuzen Sie bitte die richtige Lösung an.
Punkt- vor Strichrechnungen; Klammern Lösungen von S. 4 4 + 6 7 = 46 Auf dem LKW stehen 4 Fässer und 6 mal 7 (= 4) Fässer. Zusammen also 46 Fässer. Wenn man zuerst addiert, kommt man zu einem falschen Ergebnis. Es gilt die Regel: Punktrechnung geht vor Strichrechnung! Punktrechnungen Strichrechnungen. Schritt:. Schritt: Rechnen Sie bitte ebenso: sind Multiplikation und Division. sind Addition und Subtraktion. Punktrechnung 8 ausführen: = 8 Strichrechnung 8 = ausführen: ). Schritt: Punktrechnung 6 + 0 : ausführen: = 6 +. Schritt: Strichrechnung 6 + = ausführen: ). Schritt: Punktrechnung 7 84 : 4 + 6 ausführen: = 7 + 6. Schritt: Strichrechnungen 7 + 6 = ausführen: ). Schritt: Punktrechnung 9 + 6 0 ausführen: = 9 + 6. Schritt: Strichrechnungen 9 + 6 = ausführen:
6 Punkt- vor Strichrechnungen; Klammern ) 6 + 0 : = 6 + = 8 Lösungen von Seite ) 7 84 : 4 + 6 = 7 + 6 = ) 9 + 6 0 = 9 + 6 0 = Die vier Rechenarten, mit denen wir zu tun haben, sind Addition Division Multiplikation Subtraktion Tragen Sie bitte die Rechenarten in die richtigen Kästen ein: Punktrechnungen : Strichrechnungen + Welche Rechnungen werden immer zuerst ausgeführt? rechnung geht vor rechnung!
8 Addition und Subtraktion von Kommazahlen Lösungen von S. 7 Beispiel: Ergebnis: 76,6 Hatten Sie diese Lösung? Dann können Sie weitergehen zu den Aufgaben auf Seite 0! Hatten Sie ein anderes Ergebnis? Dann bleiben Sie auf dieser Seite! Sie wissen: Zahlenwerte große wie kleine können nur zusammengezählt (addiert) werden, wenn sie stellenwertrichtig untereinandergeschrieben werden. Das trifft auch für die Kommazahlen zu. Dabei ist es ohne Belang, dass die zu addierenden Zahlen unterschiedlich viele bzw. keine Dezimalstellen haben. + + + + 4 + 0,006004 + 04,874 + 4 + 0, = T. H. Z. E. z. h. t. zt. ht. m. 4, 0, 0 0 6 0 0 4 0 4, 8 7 4 4, 0, Bitte ausrechnen: 4 8, 9 8 0 0 4 (Überträge) a) 0 + 6,4 + 0,00 = b),67809 + 4467 + 46,607 +,000 = H. Z. E. z. h. t. T. H. Z. E. z. h. t. zt. ht. 0, 6 7 8 0 9
9 Addition und Subtraktion von Kommazahlen Lösungen von S. 8 a) 0 b),67809 + 6,4 + 4467 + 0,00 + 46,607 6,4 +,000 400,889 Noch ein Hinweis: Bei Aufgabe a) und b) war ein Zahlenwert zu addieren, der gar keine Dezimalstellen aufzuweisen hatte. Hier hilft die Regel Komma unter Komma nicht. In diesem Fall müssen Sie besonders darauf achten, dass Sie die Zahlenwerte stellenwertrichtig untereinander schreiben. Statt Komma unter Komma gilt natürlich auch: Einer unter Einer! Denn die Einerstelle ist der einzige Stellenwert, der immer mit einer Zahl gefüllt wird; auch wenn es nur eine Null ist. Nun noch einmal die Ausgangsaufgabe: 9,49 + 7 + 0,00 + 6,87 = Ergebnis:
0 Addition und Subtraktion von Kommazahlen Übungen Lösungen von Seite 9 Einer 9,49 + 7 + 0,00 + 6,87 76,6 Bitte auf einem Extrazettel ausrechnen: ) Ein Gast einer Wirtschaft bestellte im Verlauf des Abends sechsmal ein großes Pils (0,4 Liter) und dazu je einen Korn (0,0 Liter). Wie viel Flüssigkeit hat der gute Mann zu sich genommen? (Lösen Sie diese Aufgabe durch Addieren). ) Ein Vermessungsinstitut wird damit beauftragt, den Umfang des nebenstehend skizzierten Firmengeländes zu bestimmen. Hierzu müssen alle gemessenen Teilangaben ( Skizze) addiert werden. Das Ergebnis ist der Gesamtumfang. (Es müssen 0 Einzelmessungen addiert werden.) ) Ein LKW (Höchstlast 0 t) wird beladen: (t = Tonnen) Montag: 6,047 t + 4,8 t + 7,0 t +,9 t Dienstag:,09 t +,698 t +,47 t +,989 t Mittwoch: 8,497 t + 4, t + 4, t +,9 t Donnerstag: 9,9 t + 4,7 t +,687 t +,4 t Freitag: 8,9 t +,604 t +, t +,074 t a) Wie groß war die tägliche Gesamtlast? b) An welchen Tagen war der LKW überladen? c) Wie viel t wurden in der ganzen Woche bewegt?
8 Division von zwei Kommazahlen ) Durch Multiplikation mit 0, 00, 000 usw. wird das Komma um so viel Stellen versetzt, wie der Faktor Nullen hat. Bei Multiplikationen mit 0, 00, 000 usw. wird das Komma nach rechts versetzt! Lösungen von Seite 7 ), : 8,6 Dezimalen, das Komma muss um Stellen nach rechts versetzt werden (entspricht einer Multiplikation mit 00). Auch bei der zu teilenden Zahl muss es um Stellen nach rechts versetzt werden. Bitte rechnen Sie diese Aufgabe nun zu Ende: ), : 8,6 = ) 0 : 86 =? Um eine Division mit einer Kommazahl als Teiler durchführen zu können, muss der Teiler verändert werden. Dabei wird das Komma um so viele Stellen nach rechts versetzt, bis eine Zahl ohne Komma entsteht. Mit der zu teilenden Zahl wird in gleicher Weise verfahren. 0 : 86 = 4, : 7, =?. 4, : 7, Das Komma um Stellen : nach. Ebenso bei der zu teilenden Zahl.. : = Nach der Umformung: Ausrechnen!
9 Division von zwei Kommazahlen Lösungen von S. 8 ) ) Das Komma um Stellen nach rechts: 7, 7 4, 4 Nach Umformung: 4 : 7 = (Lösung Seite 40) Beide Zahlen können natürlich auch unterschiedlich viele Dezimalen haben! Richten Sie sich immer nach dem Teiler! Hier einige Übungen: ) 8, :, =? 8, : = ) 9,09 :,0 = ) Ein Container Inhalt Maschinenteile, jedes Stück wiegt, Kilogramm (kg) ist bei einer Firma abgeliefert worden. Der gesamte Inhalt des Containers wiegt 94, kg. Leider ist der Zettel mit der Angabe über die Stückzahl abgerissen worden. Die Stückzahl lässt sich aber berechnen, indem man das Gesamt-Ladungsgewicht durch das Einzelgewicht eines Stückes teilt. also:, : =,
40 Division von zwei Kommazahlen Übungen Lösungen von Seite 8 und 9 von Seite 8: ) 4, : 7, = 69 von Seite 9: ) 8, :, (8, : ) =,68 ) 9,09 :,0 (909, : 0) = 69, ) 94, kg :, kg (94 : ) = 69 Stück Das Komma muss um Stellen 0,0044 : 0,00 =? versetzt werden: Genauso bei der zu teilenden Zahl: : Wie gewohnt ausrechnen: ) 0,0044 : 0,00 = Rechnen Sie ebenso: ) 0,00 : 0,006 =
Erweitern 4 a) ist größer als Lösungen von Seite 4 4 b) ist kleiner als c) ist kleiner als 7 d) ist größer als Welcher dieser beiden Brüche ist größer? 4 oder Die beiden Brüche haben verschiedene Nenner. Wir können also nicht einfach die Zähler vergleichen. Wir wandeln die Brüche in Kommazahlen um, indem wir die Zähler durch die Nenner teilen: Diese beiden Brüche haben also die gleiche Größe: Wenn wir uns die beiden Brüche genau ansehen, so merken wir, dass Zähler und Nenner des zweiten Bruches jeweils doppelt so groß wie Zähler und Nenner des ersten Bruches sind: 6 8 Im folgenden Beispiel sind Zähler und Nenner des zweiten Bruches jeweils dreimal so groß wie im ersten Bruch: Wandeln Sie bitte beide Brüche in Kommazahlen um und vergleichen Sie:. Bruch: = : = 9. Bruch: = 9 : = 9 6 7. Bruch: = : 4 = 0,7 4 6. Bruch: = 6 : 8 = 0,7 8 4 = ( ) 4 ( ) 6 8 = 6 8 Bitte unterstreichen Sie: ist größer / kleiner / gleich 9
6 Erweitern Lösungen von Seite. Bruch: = : = 0,6 9. Bruch: = 9 : = 0,6 Der Bruch ergibt als Kommazahl: Beispiele: Erweitern Sie bitte: a) mit : = b) mit 7: = 4 4 0 0 c) mit : = ist also gleich Wir multiplizieren den Zähler und den Nenner mit 4: Als Kommazahl: Die Größe hat sich also nicht verändert: Wir multiplizieren Zähler und Nenner mit 8: Als Kommazahl: Die Größe des Bruches ist unverändert: Wenn man Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multipliziert, so ändert sich die Größe des Bruches nicht. Dieses Multiplizieren von Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl nennt man Erweitern. ( 4) ( 4) ( ) ( ) 9 ( 4) ( 4) 4 0 = : = 0, 4 = ( wurde mit 4 erweitert) 8 6 = ( wurde mit erweitert) = = 4 : 0 = 0, = 4 0 ( 8) ( 8) 8 40 = 4 0 8 40 = 8 : 40 = 0, 4 8 = = 0 40
7 Erweitern Lösungen von Seite 6 a) = 0 0 c) = Auch der folgende Bruch wurde erweitert: = Zähler und Nenner wurden mit 6 multipliziert: ( 6) ( 6) 8 Der Bruch ist also mit 6 erweitert worden. = b) = 4 8 8 Mit welchen Zahlen sind die folgenden Brüche erweitert worden? 4 a) = ; erweitert mit 6 8 0 b) = ; erweitert mit 0 9 6 c) = ; erweitert mit 77 7 4 d) = ; erweitert mit 4 8 96 e) = ; erweitert mit f) = ; erweitert mit 9 9
6 Addition und Subtraktion von Brüchen 8 4 a) = 7 7 4 7 b) = = 6 6 9 6 Lösungen von Seite Beispiel: 7 98 0 c) = = 7 70 70 70 70 6 7 d) = = 9 6 8 8 8 7 4 8 e) = = 4 8 4 4 4 4 Auch mit gemischten Zahlen kann man bruchrechnen. Zur Erinnerung: Gemischte Zahlen bestehen aus einer ganzen Zahl und einem Bruch: Dabei bedeutet 4,, sind z. B. gemischte Zahlen. 7 = + = + 4 = + 7 Gemischte Zahlen werden beim Bruchrechnen in Brüche verwandelt. Erinnern Sie sich noch, wie das geht? soll in einen Bruch verwandelt werden. 4 7 bedeutet + Die ganze Zahl wird in einen Bruch verwandelt: + Die beiden Brüche werden addiert: 7 + = Nehmen Sie bitte einen Extrazettel und wandeln Sie auch diese gemischten Zahlen in Brüche um! a) 7 = c) 0 = 6 9 b) = d) = 9 0
7 Addition und Subtraktion von Brüchen Lösungen von S. 6 Beispiele: 4 9 a) 7 = c) 0 = 6 6 9 9 8 b) = d) = 9 9 0 0 Jetzt können auch Brüche und gemischte Zahlen addiert und subtrahiert werden: a) Addition:. Die gemischte Zahl wird 9 in einen Bruch verwandelt. = + 4. Die beiden Brüche sind 9 76 ungleichnamig. Sie werden = + gleichnamig gemacht.. Die gleichnamigen Brüche 8 = werden addiert. 4. Das Ergebnis ist ein Bruch und kann in eine gemischte Zahl = 7 verwandelt werden. b) Subtraktion:. Die gemischte Zahl wird 4 in einen Bruch verwandelt. = 7. Die beiden Brüche sind 4 0 ungleichnamig. Sie werden = gleichnamig gemacht. 4. Die Brüche werden subtrahiert. = 4. Das Ergebnis wird in eine 9 gemischte Zahl verwandelt. = Lösen Sie bitte diese beiden Aufgaben ebenso: a) Addition b) Subtraktion 7 + 6 9 7 0 7 = + = 9 7 0 = + = 4 + 6 =? 4 4 =? 7 (gemischte Zahl als Bruch) (gleichnamig machen) = = (ausrechnen) = = (Ergebnis als gemischte Zahl)
8 Addition und Subtraktion von Brüchen Lösungen von Seite 7 7 a) + b) 6 9 7 0 46 7 = + = 9 7 0 8 6 7 = + = 6 6 0 0 40 8 = = 6 0 8 4 = = = 6 0 Beachten Sie den Unterschied zwischen echten und unechten Brüchen: Das sind 7 echte,, usw. 4 0 Brüche! Das sind 47 8 unechte,, usw. 4 9 Brüche. Von einer gemischten Zahl kann man auch mehrere Brüche subtrahieren: Gemischte Zahl in Bruch verwandeln: 7 = 0 8 Gleichnamig machen: = 0 0 0 Subtrahieren: = 7 Ergebnis als gemischte Zahl: = 6 0 Rechnen Sie die folgenden Übungsaufgaben ebenso: 7 4. a) = c) 7 = 8 8 9 9 b) 8 = d) = 4 0 8 6. Unterstreichen Sie die unechten Brüche: 8 9 9 8 0 Man erkennt sie daran, dass der Zähler (obere Zahl) immer kleiner als der Nenner ist. Echte Brüche sind immer kleiner als. Hier ist der Zähler größer als der Nenner. Solche Brüche kann man auch als gemischte Zahl schreiben sie sind größer als. 97 0 0
Der Ansatz im Dreisatz Diesmal wurde nach gefragt... Ansatz: 00 $ 000 97 $? Lösungen von Seite 0 Ausrechnung: Lösung: 000 97 00 000 97 00 (gekürzt durch 600) Hier noch einmal zwei Aufgaben, bei denen nach verschiedenen Größen gefragt wird:. Ein Auto braucht für eine Strecke von 0 km 4, Stunden. Wie lange braucht es (wenn es mit gleich bleibender Geschwindigkeit fährt) für km?. Ein Auto braucht für eine Strecke von 0 km 4, Stunden. Wie viel km fährt es (wenn es mit gleich bleibender Geschwindigkeit fährt) in, Stunden? = 47,0 Für 97 $ erhält Herr B 47,0. Dreisatzaufgaben bereiten Ungeübten oft Schwierigkeiten, weil die Aufgaben in Texte,,eingekleidet sind, die erst entschlüsselt werden müssen. Deshalb lohnt es sich immer, vor dem Lösen einer Aufgabe den Text ruhig zweimal hintereinander durchzulesen, um den Sinn der Aufgabe deutlich zu erfassen. Besonders wichtig ist es herauszubekommen, was eigentlich berechnet werden soll (was die gesuchte Größe ist).
Abschätzen und Überschlagen von Dreisatzaufgaben. Ansatz:. Ansatz: 0 km 4, Std. 4, Std. 0 km km? Std., Std.? km Lösungen von Seite 7 4, 0 4 (gekürzt durch ), 4 4, 7 0 Std. = Std. km 4 4, Std., Std. 9, km Gerade bei Dreisatzrechnungen ist das Abschätzen oder Überschlagen des zu erwartenden Ergebnisses vor der Ausrechnung doppelt hilfreich. Erstens hilft Ihnen das Abschätzen des Ergebnisses, grobe Fehler zu vermeiden (z. B. führt ein falscher Ansatz oft zu völlig abwegigen Ergebnissen). Zweitens müssen sie noch einmal die Aufgabe durchdenken und die Frage nach dem, was eigentlich ausgerechnet werden soll, beantworten. Ein Beispiel: Herr Buntspecht kauft einen 70 m großen Garten für 74 und gibt davon m zum gleichen Quadratmeterpreis an den Nachbarn ab. Was hat der Nachbar zu zahlen? Überschlagen des Ergebnisses: Das Gartenstück, das Herr Buntspecht an seinen Nachbarn verkauft, ist (grob geschätzt) bis 6 so groß wie das ursprüngliche, das 74 gekostet hat. Also wird auch der Preis dieses Grundstücks bis 6 dieser Summe betragen ungefähr 000 oder 00. Überschlagenes Ergebnis: 000 bis 00 Bitte rechnen Sie jetzt genau aus, welchen Preis der Nachbar zu zahlen hat!
Abschätzen und Überschlagen von Dreisatzaufgaben Ansatz: 70 m 74 m? Übungen Lösungen von Seite Ausrechnung: Lösung: Rechnen Sie bitte ebenso! 7 74 70 0 (gekürzt durch ) = 407, Für die m muss der Nachbar 407, bezahlen. (Überschlagsergebnis: 000 00 ). In Stunden legt ein Dampfer eine Strecke von 60 km zurück. Wie weit kommt er in 8 Stunden? Überschlagen Sie das Ergebnis zunächst nur und kreuzen Sie bitte an, welche km-zahl sie schätzen würden: a) ca. 0 km b) ca. 80 km c) ca. 00 km d) ca. 00 km