Meromorphe Funktionen

Kapitel Meromorphe Funktionen Der Satz von Mittag-Leffler Zur Erinnerung: Die holomorphe Funktion f habe in z 0 C eine isolierte Singularität. Liegt eine Polstelle vor, so gibt es eine offene Umgebung U = Uz 0 C und eine Laurentreihe mit einem endlichen Hauptteil, die f auf U \ {z 0 } darstellt: fz = n= k a n z z 0 n + a n z z 0 n für z U \ {z 0 }. n=0 Wir können annehmen, dass a k 0 ist. Dann nennt man k die Ordnung der Nullstelle. Der Koeffizient a ist das Residuum von f in z 0. Man kann f auch als Abbildung von U nach C auffassen, indem man fz 0 := setzt. Diese Abbildung ist in z 0 stetig, das kann man folgendermaßen sehen: Es ist z z 0 k fz = a k + a k+ z z 0 + + a z z 0 k + gzz z 0 k, mit einer auf U holomorphen Funktion g gegeben durch den Nebenteil von f. Daraus folgt: fz = z z 0 k hz, mit einer auf einer Umgebung V = V z 0 U holomorphen Funktion h und hz 0 0. Also ist lim z z 0 fz = 0 und lim z z 0 fz =. Eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge B ist eine Funktion f, die außerhalb einer in B diskreten Teilmenge P holomorph ist und in den Punkten von P Polstellen besitzt. In jedem Punkt a P besitzt f einen eindeutig bestimmten Hauptteil h a f. Das System Hf = h a f a P nennt man die Hauptteilverteilung von f. In diesem Paragraphen wollen wir die Frage untersuchen, ob es zu jeder Hauptteilverteilung auf C eine passende meromorphe Funktion gibt. Definition.. Sei a C. Ein Hauptteil der Ordnung k in a ist ein Ausdruck der Gestalt h a z = n= k c n z a n.

2 Kapitel Meromorphe Funktionen 2. Sei G C offen. Eine Hauptteilverteilung auf G ist gegeben durch eine in G diskrete Menge P und eine Familie H = h a a P von Hauptteilen in den Punkten a P. 3. Eine Hauptteilverteilung H heißt lösbar, wenn ein f MG mit Hf = H existiert. Die Funktion f nennt man die Lösung von H. Bemerkung. Eine Lösung der Hauptteilverteilung ist, falls existent, nur bis auf Addition holomorpher Funktionen eindeutig bestimmt.. Satz von Mittag-Leffler. Jede Hauptteilverteilung auf C ist lösbar Es gibt also auf C sehr viele meromorphe Funktionen! Bevor wir mit dem Beweis beginnen, müssen wir einige Vorüberlegungen anstellen. Sei h a a P gegeben. Wir unterscheiden zwei Fälle:. Ist P endlich, dann lassen sich die Hauptteile summieren: f := a P h a ist eine rationale Funktion, und es gilt Hf = h a a P, d.h. das Problem ist gelöst. 2. Ist P unendlich, dann lässt sich P als Folge schreiben, P = {a n : n N}, da P diskret in C ist. Wir würden gerne definieren: f := h n, n=0 wenn h n der Hauptteil in a n ist. Doch wie ist die Summe zu verstehen? Uns fehlt bisher ein geeigneter Konvergenzbegriff für Reihen meromorpher Funktionen. Definition. Sei f MG eine Folge meromorpher Funktionen. Die Reihe f heißt kompakt bzw. normal konvergent auf G, falls für jedes Kompaktum = K G ein 0 existiert, so dass gilt:. f K ist holomorph für alle 0 d.h. nur endlich viele f haben Pole innerhalb von K, 2. die Reihe 0 f konvergiert gleichmäßig bzw. absolut gleichmäßig auf K.

Der Satz von Mittag-Leffler 3 In diesem Fall gibt es eine diskrete Menge D G, so dass alle f auf G \ D holomorph sind und außerdem die Reihe f auf G \ D lokal-gleichmäßig gegen eine holomorphe Funktion konvergiert, die in D höchstens Polstellen besitzt. Jetzt beginnen wir den Beweis des Satzes von Mittag-Leffler: Beweis: Es sei h a a P die gegebene Hauptteilverteilung. Ohne Einschränkung sei P als Folge geschrieben, P = {a : N}, so dass die a dem Betrage nach geordnet sind. Außerdem sei a 0 := 0. Falls 0 P, dann sei als Hauptteil in Null ausnahmsweise h 0 := 0 zugelassen. Mit h sei dann immer der Hauptteil h a im Punkte a gemeint. Wir wählen nun eine Folge ε von positiven Zahlen, so dass die Reihe =0 ε =0 konvergiert. Außerdem definieren wir eine Folge von Kreisscheiben D := {z C : z a 2 }. Dann ist h OD für alle N. Deshalb kann h auf D gleichmäßig durch Taylorpolynome approximiert werden, d.h. es existieren Polynome P, so dass h P D < ε. Wir setzen f := h P. Dann gibt es zu jedem R > 0 ein 0, so dass die Funktionen f auf D R 0 für 0 holomorph sind. Aus dem Majorantenkriterium folgt jetzt die kompakte Konvergenz der Reihe f auf ganz C. Setzen wir = f := h 0 + h P, = so ist f eine meromorphe Funktion auf C. Auf D R 0 ist 0 f = h 0 + h P + f. 0 = Die unendliche Reihe ist auf dem Kreis aber eine holomorphe Funktion, deshalb hat f auf D R 0 die Polstellen a 0,..., a 0 mit den Hauptteilen der h. Bemerkung. Der Trick, mittels Taylorpolynomen die Konvergenz der meromorphen Reihe zu erzwingen, wird als Methode der konvergenzerzeugenden Summanden bezeichnet. Formulieren wir das Ergebnis noch einmal :.2 Satz von Mittag-Leffler 2. Fassung. Sei a C eine Folge paarweise verschiedener, komplexer Zahlen mit lim a =. Zu jedem sei ein Hauptteil h mit Entwicklungspunkt a gegeben. Dann existieren Polynome P, so dass fz = h 0 z + h z P z =

4 Kapitel Meromorphe Funktionen eine meromorphe Funktion auf C ist, die genau in den a Polstellen mit Hauptteil h hat. Die Reihe ist kompakt konvergent. Außerdem hat jede weitere Lösung der Hauptteilverteilung die Form f + g, wobei g eine ganze Funktion ist..3 Anwendungen.. Sei f eine rationale Funktion. Dann hat f nur endlich-viele Polstellen a,..., a N mit Hauptteilen h,..., h N. Deshalb ist die Differenz g := f eine rationale und zugleich ganze Funktion, also ein Polynom. Die Auflösung nach f ergibt dann die sogenannte Partialbruchzerlegung von f. Beispiel. Sei fz := N = h zz i 2. Dann hat f die Polstellen a 0 = 0 und a = i mit den Hauptteilen h 0 und h. Nahe a 0 ist fz = z f z, mit der holomorphen Funktion f z = z i. Um den Hauptteil h 2 0 zu bestimmen, entwickeln wir f in eine Taylorreihe um Null: gz = deshalb ist h 0 z = z. Nahe a ist fz = = + Terme mit höheren Potenzen von z, z i 2 z i 2 f 2z, mit der holomorphen Funktion f 2 z = z. Wegen f 2i = i und f 2i = gilt f 2 z = z = i + z i + Terme mit höheren Potenzen von z i. i Also ist h z = z i +. Das Polynom g kann dann einfach 2 z i mittels Subtraktion errechnet werden. In diesem Fall lässt sich sogar das ersparen: Da die Grenzwerte von f, h 0 und h für z gegen Unendlich verschwinden, kann P nur das Nullpolynom sein. Damit ist die Partialbruchzerlegung bestimmt, es gilt fz = z + z i i z i 2.

Der Satz von Mittag-Leffler 5 2. Wir untersuchen jetzt einen Spezialfall des Satzes von Mittag-Leffler: Gegeben sei eine diskrete Folge a, die monoton geordnet ist, d.h. 0 = a 0 < a a 2, sowie eine Folge komplexer Zahlen c 0, die wir als Residuen vorgeben wollen, um eine meromorphe Funktion mit einfachen Polstellen und Residuen c in den a zu konstruieren. Es seien Zahlen ε mit = ε < gegeben z.b. ε = 2. Der Hauptteil h in a kann unter Ausnutzung der geometrischen Reihe folgendermaßen umgeformt werden: h z = c = c = c z a a z/a a λ z für z < a. Mit P,µ z sei nun das Taylorpolynom von h z vom Grade µ auf der µ Kreisscheibe vom Radius a um Null bezeichnet. Aus der Formel q λ = q µ+ q folgt mit q := z/a : P,µ z = c a µ z λ=0 a λ λ=0 a = c z/a µ+ a z/a = c z/a µ+ z a µ+ c z =. z a a Um der Linie des Beweises von Mittag-Leffler zu folgen, wollen wir eine Folge natürlicher Zahlen k suchen, so dass gilt: h z P,k z < ε auf {z : z 2 a }. Sind die k gefunden, so kann die Lösung f des Problems schon genauer angegeben werden: fz = c 0 z + h z P,k z = c 0 z + k+ c z. z a a = Nun versuchen wir, die k ganz konkret zu bestimmen. Es kommt nicht darauf an, die Bedingung mit den ε genau zu erfüllen, wir müssen nur erreichen, dass die Reihe auf jeder Kreisscheibe D R 0, R > 0, absolut konvergiert. Dabei helfen die folgenden Überlegungen weiter: = λ=0

6 Kapitel Meromorphe Funktionen Ist 0 so gewählt, dass a > 2 R für alle 0 ist, so gilt sowohl 2 a > R als auch a R > 2 a. Für z aus D R 0 folgt deshalb a z a z > a R > 2 a, also z a > 2 für 0. Damit können wir die Reihenglieder auf D R 0 nach oben abschätzen: c z z a a k+ = c a z a Können wir die k so groß wählen, dass die Reihe = c a z k+ 2 c z k+. a a a R a k+ absolut konvergent ist, so konvergiert die meromorphe Reihe gleichmäßig auf D R 0. Wenn wir es schaffen, dass dies für alle R > 0 gleichzeitig funktioniert, sind wir fertig. Der Trick, der nun alles einfacher macht, besteht darin, alle k gleich zu wählen. Wir setzen k = N für ein festes N N und alle. Das ergibt die folgende Regel: Ist die Reihe = c a N+ absolut konvergent, so ist eine Lösung der Hauptteilverteilung gegeben durch fz = c 0 z + = c z a N z. a Beispiel. Die Folge der a sei eine Aufzählung aller ganzen Zahlen, die vorgegebenen Residuen c seien alle gleich. Weil die Reihe 0 c a = 2 2 2 konvergiert, genügt es, N = anzusetzen, und wir erhalten als Lösung =

Der Satz von Mittag-Leffler 7 fz = z + 0 z z = z + z +. 0 Wir wollen untersuchen, ob wir diese Funktion schon in anderer Weise kennen. Um etwa fz als Quotient zweier holomorpher Funktionen darzustellen, benötigen wir eine Nennerfunktion, die einfache Nullstellen in allen ganzen Zahlen hat. Die Abbildung z sinπz erfüllt diese Bedingung. Deshalb untersuchen wir die Funktion cotπz := cosπz sinπz und bestimmen das Residuum in aus Z : res cotπz = cosπ π sin π = π. Also ist die Funktion gz := π cotπz auch eine Lösung der Hauptteilverteilung. Die Differenz der beiden Lösungen hz := gz fz = π cotπz z 0 z + ist also eine ganze Funktion. Bestimmen wir ihre Ableitung, so ergibt sich h z = π 2 cot πz + z 2 + 0 z 2 2 π = +, sinπz z 2 Z }{{} =:h 0 z weil cot z = /sin 2 z ist. Die Funktion h 0 ist meromorph und hat Polstellen in allen ganzen Zahlen. Außerdem ist sie periodisch mit Periode, da über alle ganzen Zahlen summiert wird. Auf dem Streifen S := {z = x + i y : 0 x und y }, ist h 0 eine holomorphe Funktion. Behauptung: h 0 ist auf S beschränkt und geht gegen Null, wenn der Imaginärteil y = Imz gegen Unendlich geht, sogar gleichmäßig in x = Rez.

8 Kapitel Meromorphe Funktionen z m 0 n Weil die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks länger ist als die längere Kathete, die wiederum länger als das arithmetische Mittel der beiden Katheten ist, gilt: z n 2 y + n x y + n 2 = für n und z m y + m y + m + x für m 0. 2 2 Das genügt schon für die Beschränktheit von h 0 auf S : h 0 z 4 y + + 2 y + µ 2 8 Ist jetzt y > N, so ist =0 h 0 z 8 µ=0 y + 8 2 <. 2 =0 = N + = 8 2. 2 Die rechte Seite geht für N gegen Null, und damit gilt die Behauptung. 2 π Selbstverständlich ist auch periodisch mit Periode. sinπz Behauptung: sinπz geht gegen Unendlich, wenn der Imaginärteil von z gegen Unendlich geht, denn: =N sin z = 2i ei z e i z = 2i ei x e y e i x e y.

Der Satz von Mittag-Leffler 9 Daraus folgt sin z = ey 2 e xi e i x e 2y ey 2 e 2y. Für y strebt der ganze Ausdruck gegen Unendlich. Das bedeutet aber, dass die Funktion 2 π h z = h 0 z sinπz ganz und periodisch ist und gegen Null geht, wenn der Imaginärteil von z gegen Unendlich geht. Nach dem Satz von Liouville ist h konstant und die Konstante muss gleich Null sein. Damit ist h konstant. Nebenbei haben wir die folgende Identität gezeigt: 2 π z =. 2 sinπz Z Eine letzte Untersuchung an h ist noch nötig: h z = π cot πz + z + 0 [ = π cotπz z 0 z + z + ] = hz, also ist h ungerade. Da hz = c konstant ist, muß c = 0 gelten. Halten wir als Ergebnis fest :.4 Satz. Folgende Identitäten zwischen meromorphen Funktionen gelten auf ganz C : z +, und.5 Folgerung. Es ist Beweis: π cotπz = z + 0 2 π = sinπz Z =0 2 + 2 = π2 8. z 2. Setzen wir in der letzten Identität z := /2, so ergibt sich π 2 = = 4 Z 2 2 Z = 4 µ= 2 2 2µ + + + 2 µ= 2µ + 2 + = 8 =0 2 + 2.

0 Kapitel Meromorphe Funktionen Beispiel. Ein weiteres interessantes Beispiel ist die Funktion bz = z expz, die in z = 0 eine hebbare Singularität hat. Mit b0 := wird diese behoben. Weitere Singularitäten hat b in den Punkten a k = 2kπi, wobei k die ganzen Zahlen ohne Null durchläuft. Wir bestimmen die Residuen in den a k : z expz = z expz a k = z a k z hz a k, wobei h eine ganze Funktion ist, mit h0 =. Deshalb ist das Residuum in a k gleich a k, das heißt, b ist meromorph mit Hauptteilverteilung a, P = {a k = 2kπi : k Z \ {0}}. z a a P Auf einer Kreisscheibe vom Radius 2π um Null kann b in eine Taylorreihe entwickelt werden : B bz =! z. Die Taylorkoeffizienten B heißen die Bernoullischen Zahlen. =0.6 Satz.. Die ersten Bernoullischen Zahlen sind B 0 = und B = 2. 2. Es gilt B 2+ = 0 für alle. 3. Alle weiteren lassen sich mit folgender Rekursionsformel berechnen: λ λ B = 0 für λ 2. =0 Beweis: Es gilt natürlich B 0 = b0 =. Wir beweisen nun zunächst die Rekursionsformel 3:

Der Satz von Mittag-Leffler z = bz expz = = λ=0 +µ=λ, µ B Koeffizientenvergleich ergibt deshalb insbesondere ist 0 = =0 2 B 0 + 0 z λ =!µ! =0 λ=0 B! z λ =0 λ λ B = 0 für λ 2, µ= z µ µ! λ z B λ λ!. 2 B = + 2B, also B = 2. Für die weiteren ungeraden Bernoullischen Zahlen beachten wir bz b z = =0 z expz + z exp z = z z expz expz = z. Das bedeutet für die Taylorentwicklungen: B B z =! z! z =0 = 2 µ=0 Deshalb sind alle Bernoullischen Zahlen B 2µ+ = 0 für µ. B 2µ+ 2µ +! z2µ+..7 Folgerung. Die nächsten Bernoullischen Zahlen sind B 2 = 6, B 4 = 30 und B 6 = 42. Beweis: Das folgt unmittelbar aus der Rekursionsformel..8 Satz Eulersche Relation. Mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen lassen sich Grenzwerte einer Serie von unendlichen Reihen bestimmen, es gilt: = 2m = m+ 22m 2m! B 2m π 2m. Beweis: Wir starten mit der Reihendarstellung des Cotangens, die auf beiden Seiten mit z multipliziert ist:

2 Kapitel Meromorphe Funktionen πz cotπz = + z 0 z +. Zunächst wird die linke Seite geeignet umgeformt. Eine Betrachtung des Cotangens ergibt cot z = cos z sin z = i ei z + e i z e i z e = i e2i z + i z e 2i z = i 2 +. e 2i z Nach Multiplikation mit z ergibt sich dann die eben untersuchte Funktion b: z cot z = i z + 2i z = i z + b2i z e 2i z = i z + 2i z 2 + B 2 2i z2 2! = B 2 = + 2! 22 z 2. = Ersetzen wir schließlich z durch πz, dann folgt: πz cotπz = + Andererseits ist + z z + 0 = = 2 = + z = B 2 2! 22 πz 2 + 22 2! B 2π 2 z 2. = = + 2z 2 = = 2z 2 = 2 = 2 = µ=0 µ= z + + z 2 2 2 = + 2z2 z 2µ µ=0 2µ+2 = = 2µ z 2µ+2 = z + 2 z 2 Ein Koeffizientenvergleich der beiden Entwicklungen ergibt die Behauptung. Nun können die Summen von Reihen, die schon aus Analysis I bekannt sind, endlich berechnet werden: z 2µ. =

Der Satz von Mittag-Leffler 3.9 Folgerung. Es ist = = π2 2 6 und = 4 = π4 90.