Risk analysis and valuation of life insurance contracts: Combining actuarial and financial approaches Mario Knoll 5. Dezember 2012
Inhalt Einführung
Einführung Produktmerkmal: Zinsgarantien 2 Haupttypen: Punkt-zu-Punkt Jahr-zu-Jahr (Gruppenvers.) Garantien mittels finanz- und versicherungsmathematischen Ansätze behandeln finanzielle Ansatz versicherungsmathematische Ansatz zum Kombinieren der beiden Ansätze Hier: Erweiterung der Methode
Versicherungsgesellschaft vereinfachte Bilanz A(t) Marktwert L(t) Verbindlichkeiten Aktiva Passiva L t A(t) B(t) R(t) A(t) A(t) Muss jährlich mindestens garantierten Zinssatz i verdienen, damit L t + 1 L t 1 + i B(t) kollektives Abschluss-Überschuss-Konto R(t) Restwert [(versteckten) Reserven]
Finanzmarkt Modell für Finanzmarkt und instrumente Vasicek-Modell für stochastische Zinssätze geometrische Brownsche Bewegung Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, F, P mit der natürlichen Filtration F = F t = σ W 1 s, W 2 s, s t Modellierung einer Kapitalmarktanlage t r s ds β t = e 0, r(s) kurzfristiger Zinssatz
Anleihen-Portfolio bestehend aus Null-Coupon-Anleihen p t, T Preis einer Null-Coupon-Anleihe Annahme: p t, T = F t, r t gilt Aufbau eines Portfolios ohne sofortiges Risiko Marktpreis des Risikos λ t, r t mathematische Gleichung der Zinsstruktur F t t, r t + a b r t λ t, r t σ r F r t, r t + 1 2 σ r 2 F rr t, r t r t F t, r t = 0 Abschlussbedingung F T, r T = 1.
Mittels Feynman-Kaç Formel, wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation p t, T = F t, r t = E Q e T r s ds t r t
Anlagestrategien des Versicherers konstante ( F 0 messbare ) Anteile: Kapitalmarkt: x β Börse: x S Anleihemarkt: x B Anteile erfüllen: x β + x S + x B = 1 Null-Coupon-Anleihen Restlaufzeit von 1,2,, T Jahren F i messbare Zufallsvariable x ij Anleihensanteil bis zur Endfälligkeit j T x ij j =1 = 1 i
F t messbare Zufallsvariablen: c β (t) Anzahl der Aktien am Kapitalmarkt-Konto c S (t) Anzahl der Aktien an der Börse S t c ij (t) Anzahl der Anleihen mit Fälligkeit c β t β t A t = x β, c S t S t A t = x S, A t = c β t β t + c S t S t + T j =1 T j =1 c ij t p t, j + i A t c ij t p t, i + j = x B und. c ij t p t, j + i T j =1 i + j c ij t p t, j + i = x ij β t
Haftungsmodelle Punkt-zu-Punkt-Modell einfaches Haftungsmodell: befristeter Vertrag Einmalprämie P garantierter Zins i abschließender Bonusbeteiligungsquote η > 0 t = 1,..., T: L t = P 1 + i t, B T = ηmax A T L T, 0
Gruppenversicherung: der MUST-Fall Erweiterung des Vorgängermodells Unterschied: MUST- und IS-Fall konservative Preisgestaltung Versicherte gesetzlich berechtigt, sich am Überschuss zu beteiligen Überschüsse an den Buchwerten gemessen Modellierung der Buchwerte: Aktien: Niederstwertprinzip Anleihen: Inhaber- und Namensschuldverschreibungen Anteil der Namensschuldverschreibungen y B A b t = x β A t + y B x B A t + x S + 1 y B x B A 0 = A b t
Gruppenversicherung: der IS-Fall Zur Signalisierung finanzieller Stabilität Versuch die Überschussbeteiligung stabil zu halten Management-Regeln: ausreichend Reserven Überschuss gezielt verteilt (resultierend in Gesamtzinssatz z) R t q t Anteil am Deckungskapital L t q l q u und u. und o. Grenze am Anteil des Deckungskapital
Überschuss-Ausschüttungspolitik: 1 + q l 1 + z L t 1 A t 1 + q u 1 + z L t 1 z wird der Deckungsrückstellung angerechnet A t > 1 + q u 1 + z L t 1 höherer Zinssatz z *, um q(t) = q u sicherzustellen A t < 1 + q l 1 + z L t 1 analog z *, um q(t) = q l zu garantieren falls gesetzliche Ü. > berechnete Ü. wird gesetzlicher Überschuss verteilt
geeignetes Risikomaß P unterschiedlichen Auswirkungen auf Vermögensportfolios Auswirkung verschiedener Zinssätze risikoneutrale Bewertung unter Q Kombination beider Verfahren Risikomaße: Wahrscheinlichkeit des Shortfalls P A T < L T Expected Shortfall E P L T A T 1 A T L T
Kombination vers.- und finanzm. Methode kein Einfluss von η auf das Risiko Strategie: fairer Vertrag durch t=0: E Q e T r s ds η 0 L T + B T = P Praxis: η [0, 1]
Parameter: Zinsmodell Aktienmarkt-Modell Korrelation a % b % r 0 % σ r % λ(%) μ % σ S % ρ % 30 4,50 1,15 2,00-23 9 20 15 P=1000 T=10 Jahre
Punkt-zu-Punkt-Versicherung Risikoanalyse Lösungen in geschlossener Form: Shortfall Wahrscheinlichkeit P A T < L T = Φ ln L T μ A T σ A T Expected Shortfall E P L T A T 1 A T <L T = L T P A T < L T e μ A T + σ 2 A T 2 Φ ln L T μ A T σ A T σ A T 2
Shortfall Wahrscheinlichkeit als Funktion des Vermögensportfolios reine Geldmarktanlage in der vordersten Ecke Shortfall-Ws. 21% riskanteste bei 22% (wenn 100% Aktien gehalten werden) fixer Anleihenanteil lokales Minimum zw. 2% und 20% risikominimierendes Portfolio ist nicht eines mit 0% Aktien kleinste Shortf.-Ws. bei 2% Aktien und 98% Anleihen
Jetzt: Expected Shortfall als Risikomaß relative Expected Shortfall Höchstes Risiko: reine Investition in Aktienmarkt übersteigt deutlich ES von reiner Kapitalmarktanlage risikominimierende Strategie wieder minimal bei 2% Aktien und 98% Anleihen
Faire Verträge Sicht des Kunden Vertrag fair: risikoneutraler Wert = bezahlte Prämie Fig. 3: abschließende Beteiligungsquote alle zwischen 55%-95% Punkt-zu-Punkt-Vers.: zunächst Vermögensportfolios gemäß Risikobedingungen danach Beteiligungsquote
Optimale Vermögensportfolios Fig. 4: Minimierung Shortf.- Ws. für jede garantierte Verz. i 4 % Garantien Shortf.-Ws. < 2 % Garantien 7,5 % 100% Aktien, niedrigste Shortf.-Ws. Frage: Shortf.-Ws. als Risikomaß geeignet?
Fig. 5: Risikomaß: relative ES Zinsen unter 4% kein wesentlicher Unterschied Ws.-maß, bei Zunahme d. Aktienanteils und Zins, deutlich kleiner
MUST-Fall Keine geschlossenen Lösungsformen für komplexe Gestaltungen von Gruppenversicherungen numerische Methoden Risikoanalyse o. Teil Fig. 6: Shortf.-Ws. als Funktion Shortf.-Ws. deutlich höher Aktien meisten Freiheiten Hier: reine Buy-and-Hold-Strategie risikominimierendes Portfolio: 10% Aktien und 90% Anleihen
Untere Teil Fig. 6: Risikomaß: relative ES 100% Aktien: MUST- und Punkt-zu-Punkt-Fall stimmen überein riskanteste Vermögensportfolio risikominimierende Strategie wieder 10% Aktien und 90% Anleihen
Faire Verträge Fig. 7: abschl. Beteiligungsquote zwischen 20% und 63% niedriger als im Punkt-zu-Punkt- Fall
Optimale Vermögensportfolios linker Teil Fig. 8: risikomin. Vermögensp. als Funktion (Shortf.-Ws. als Risikomaß) zusätzliches Risiko bei Gruppenversicherungen: bei niedrigen garant. Zinssätzen, noch einige Shortf.-Ws. vorhanden rechter Teil Fig. 8: ES als Risikomaß Aktienanteil steigt deutlich langsamer
IS-Fall Parameter: z = 4,5 %, q l = 5 %, q u = 30 % Risikoanalyse Shortfall-Ws. als Risikomaß für untersch. Vermögensp. niedriger Aktienanteil Shortf.-Ws. bleibt stabil risikomin. Strategie leicht verändert 91% Anleihen und 9% Aktien Risiko des Versicherers enorm erhöht gute Entwicklung der Aktienmärkte Größere Vergabe der Rücklagen Zahlungsfähigkeit gefährdet!
ES als Risikomaß hohe Anleihens- und niedrige Aktienkapitalsanteile Risiko verschwindet nahezu risikominimierende Strategie einmal mehr: 90 % Anleihen, 10 % Aktien komplette Investition in Aktien riskantestes Vermögensp.
Fairer Vertrag alle abschließenden Beteiligungsquoten unter 60 % Vermögensportfolios mit negativer abschl. Beteiligungsquote Arbitrage-Möglichkeit
Optimale Vermögensportfolios Fig. 11: risikomin. Vermögensp. als Funktion Parameter: i = 2,25 %, q l = 5 %, q u = 30 % garantierte Zins größter Risikotreiber! risikomin. Vermögensportfolio: Aktien 10 %, Anleihen 80 %, Kapitalmarkt 10 %
3 verschieden Arten von gewinnbeteiligten Lebensversicherungsverträgen Kombination finanz- und vers.-math. Ansätze Numerische Analysen zukünftige Modelle: pfadabhängige Vermögensportfolio-Strategien Berücksichtigung: Rückkauf und Sterblichkeit