Seminar Kommutative Algebra Homologische Dimensionsbegriffe

Seminar Kommutative Algebra Homologische Dimensionsbegriffe Sebastian Thomas 18.07.2006 Zusammenfassung Bekanntlich hat jeder projektive Modul eine projektive Auflösung der Länge 0, nämlich eine solche, die den Modul selbst in Dimension 0 und den trivialen Modul in jeder höheren Dimension trägt. Was liegt da näher, als ein Maß für die Projektivität eines Moduls als die Länge einer kürzesten projektiven Auflösung zu definieren? Dies ist gerade die projektive Dimension des Moduls. Analog verfährt man bei der Definition von injektiver und flacher Dimension. Nun ist ein projektiver Modul dadurch charakterisiert, dass alle höheren Ext-Funktoren, welche den Modul als linkes Argument verwenden, trivial werden. Es wird sich herausstellen, dass sich diese Charakterisierung direkt auf Moduln beliebiger Dimension verallgemeinern lässt. Wir werden Ext und Tor dazu benutzen, interessante Eigenschaften von projektiver, injektiver und flacher Dimension zu beweisen. Schlussendlich benutzen wir die Dimensionen von Moduln dazu, um Dimensionsbegriffe für die zu Grunde liegenden inge zu definieren und diese zu charakterisieren. Konventionen und Notationen Über einem gegebenen ing bezeichne -Mod die Kategorie der -Links-Moduln und Mod- die Kategorie der -echts-moduln. Wir verwenden die Abkürzung (M,N) := Hom (M,N) für die Menge der -Modul-Homomorphismen M N. Abbildungen schreiben wir rechts vom Argument. Es sei n := {1,...,n}. Ferner bezeichnen wir mit pesm, ies M, fes M die Mengen der projektiven resp. injektiven resp. flachen Auflösungen von M. 0 Einige Vorbemerkungen zu Ext und Tor Es bezeichne einen beliebigen ing. Bisher haben wir die Ext-Funktoren Ext n (M,N) für n N 0, M,N Ob-Mod wie folgt berechnet: Man wählt eine projektive Auflösung P von M und berechnet Ext n (M,N) = H n (P,N) für alle n N 0. Es existiert jedoch auch eine duale Definition von Ext, die wir hier nicht beweisen wollen: Ist Q eine injektive Auflösung von N, so haben wir auch Ext n (M,N) = H n (M,Q) für alle n N 0. Dies wird nachher wichtig bei der Charakterisierung von injektiver Dimension, denn es gilt - analog zum entsprechenden Lemma für projektive Moduln - das nachfolgende esultat. Lemma (Charakterisierung injektiver Moduln mittels Ext-Funktoren). Es sei ein ing und Q ein -Modul. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) Der -Modul Q ist injektiv. 1

(b) Es ist Ext n (X,Q) = 0 für alle -Moduln X und alle natürlichen Zahlen n N. (c) Es ist Ext 1 (X,Q) = 0 für alle -Moduln X. (d) Es ist Ext 1 (X,Q) = 0 für alle zyklischen -Moduln X. Hierbei sei unbedingt auf die Aussage (d) hingewiesen, welche dual nicht für projektive Moduln gilt. Dahinter steckt letzten Endes das Baersche Kriterium für injektive Moduln. Genauso, wie man durch Ableiten der linksexakten Hom-Funktoren zu den Ext-Funktoren kommt, kann man auf eine duale Art und Weise die rechtsexakten Tensor-Funktoren ableiten. Dies führt zu den sogenannten Tor- Funktoren Tor n. Dabei wird Tor n(m,n) für einen echts-modul M ObMod- und einen Links-Modul N Ob-Mod wie folgt berechnet: Man wähle eine flache Auflösung F von N (wenn man so will, kann man stets eine projektive Auflösung von N wählen, denn alle projektiven Moduln sind flach) und berechne Tor n(m,n) = H n (M F) für alle n N. Dual gilt natürlich auch für eine flache Auflösung F von M: Tor n(m,n) = H n (F N) für alle n N. Dabei ist M F wie üblich punktweise zu lesen, d.h. es ist M F = (... M F 2 M F 1 M F 0 ). Man erhält einige zu den Aussagen für Ext analoge Aussagen für Tor, so hat man etwa wieder lang exakte Sequenzen, wenn man Tor auf eine kurz exakte Sequenz anwendet, oder es gelten die folgenden Lemmata, welche wir zur Charakterisierung der flachen Dimension von Moduln benötigen. Lemma (Charakterisierung flacher Links-Moduln mittels Tor-Funktoren). Es sei ein ing und F ein - Links-Modul. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) Der -Links-Modul F ist flach. (b) Es ist Tor n(x,f) = 0 für alle -echts-moduln X und alle natürlichen Zahlen n N. (c) Es ist Tor 1 (X,F) = 0 für alle -echts-moduln X. (d) Es ist Tor 1 (X,F) = 0 für alle zyklischen -echts-moduln X. Lemma (Charakterisierung flacher echts-moduln mittels Tor-Funktoren). Es sei ein ing und F ein - echts-modul. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) Der -echts-modul F ist flach. (b) Es ist Tor n(f,y ) = 0 für alle -Links-Moduln Y und alle natürlichen Zahlen n N. (c) Es ist Tor 1 (F,Y ) = 0 für alle -Links-Moduln Y. (d) Es ist Tor 1 (F,Y ) = 0 für alle zyklischen -Links-Moduln Y. 1 Projektive, injektive und flache Dimension Zunächst zur Definition der fundamentalen Größen dieses Vortrags: (1.1) Definition (projektive, injektive und flache Dimension). Es sei ein ing und M ein -Modul. (a) Die projektive Dimension von M ist definiert als das Minimum der Längen aller projektiven Auflösungen von M, pdim M := pdim M := min lthp. P pes M 2

(b) Dual ist die injektive Dimension von M definiert als das Minimum der Längen aller injektiven Auflösungen von M, idim M := idim M := min lth Q. Q ies M (c) Ferner ist die flache Dimension von M definiert als das Minimum der Längen aller flachen Auflösungen von M, f dimm := f dim M := min lth F. F fes M (1.2) Bemerkung. Es sei ein ing und M ein -Modul. Besitzt M keine projektive resp. injektive resp. flache Auflösung endlicher Länge, so ist Definition (1.1) so zu verstehen, dass pdim M = resp. idim M = resp. f dim M =. (1.3) Lemma (Charakterisierung projektiver, injektiver und flacher Moduln). Es sei ein ing und M ein -Modul. (a) Es ist pdim M = 0 genau dann, wenn M projektiv ist. (b) Es ist idim M = 0 genau dann, wenn M injektiv ist. (c) Es ist f dim M = 0 genau dann, wenn M flach ist. Beweis. Wir zeigen nur die erste Aussage, die anderen beiden ergeben sich dual bzw. analog. Haben wir pdim M = 0, so gibt es eine projektive Auflösung P pes M mit P k = 0 für alle k N. Dann ist aber M = H 0 P = P 0 /{0} = P 0, also projektiv. Ist umgekehrt M projektiv, so ist natürlich... 0 0 M eine projektive Auflösung von M und also pdim M = 0. (1.4) Proposition (Vergleich von projektiver und flacher Dimension). Für jeden Modul M über einem ing ist f dim M pdim M. Beweis. Dies folgt sofort aus der Definition und der Tatsache, dass jeder projektive Modul auch flach ist. Unser erstes Ziel wird es sein, die gerade definierten Dimensionsbegriffe mittels Ext und Tor zu charakterisieren. Hierzu besonders hilfreich wird uns der nachfolgende Satz sein: (1.5) Satz (Dimensions-Shifting). Es sei n N 0 eine nicht-negative ganze Zahl, ein ing und 0 M M 1 M 2... M n M 0 eine exakte Sequenz in -Mod. (a) Sind die Moduln M j projektiv für alle j {1,...,n}, so gilt Ext n+k (M,Y ) = Ext k (M,Y ) für alle Y Ob-Mod und alle k N. (b) Sind die Moduln M j injektiv für alle j {1,...,n}, so gilt Ext n+k (X,M) = Ext k (X,M ) für alle X Ob-Mod und alle k N. (c) Sind die Moduln M j flach für alle j {1,...,n}, so gilt Tor n+k(x,m ) = Tor k (X,M) für alle X ObMod- und alle k N. 3

Beweis. Wir zeigen nur Aussage (a), da die anderen beiden Aussagen mit analogen Argumenten zu zeigen sind. Hierzu führen wir vollständige Induktion nach n N 0, wobei die Aussage für n = 0 wegen M = M trivial wird. Es sei also ein n N und ein -Modul Y gegeben. Setzen wir M := Kern(M n M ), so erhalten wir exakte Sequenzen und 0 M M 1... M n 1 M 0 0 M M n M 0. Letztere liefert uns eine lang exakte Ext-Sequenz... Ext k (M n,y ) Ext k (M,Y ) Ext k+1 (M,Y ) Ext k+1 (M n,y )... Nun ist wegen der Projektivität von M n jedoch Ext k (M n,y ) = 0 für alle k N, unsere lang exakte Sequenz ergibt sich also zu... 0 Ext k (M,Y ) Ext k+1 (M,Y ) 0... Wir erkennen, dass für alle k N die andmorphismen Isomorphismen sind, erhalten also Ext k+1 (M,Y ) = Ext k (M,Y ) für alle k N. Mit der Induktionsvoraussetzung berechnen wir nun Ext n+k (M,Y ) = Ext n+k 1 (M,Y ) = Ext k (M,Y ). (1.6) Korollar. Es sei ein ing und M ein -Modul. (a) Ist P eine projektive Auflösung von M, so gilt Ext n+1 (M,Y ) = Ext 1 (B n 1 P,Y ) für alle Y Ob-Mod,n N. (b) Ist Q eine injektive Auflösung von M, so gilt Ext n+1 (X,M) = Ext 1 (X,B n 1 Q) für alle X Ob-Mod,n N. (c) Ist F eine flache Auflösung von M, so gilt Tor n+1(x,m) = Tor 1 (X,B n 1 F) für alle X ObMod-,n N. Beweis. Aus einer projektiven Auflösung P von M ergibt sich eine exakte Sequenz 0 B n 1 P P n 1... P 0 M 0 in -Mod. Die anderen beiden Aussagen folgen analog. (1.7) Satz (Dimensionssatz über die projektive, injektive und flache Dimension). Es seien ein ing, M ein -Modul und n N 0 eine nicht-negative ganze Zahl. 4

(a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) Es ist pdim M n, d.h. M hat eine projektive Auflösung der Länge n. (ii) Es ist Ext n+k (M,Y ) = 0 für alle -Moduln Y und alle k N. (iii) Es ist Ext n+1 (M,Y ) = 0 für alle -Moduln Y. (iv) Ist P eine beliebige projektive Auflösung von M, so ist B n 1 P resp. M projektiv, falls n N resp. n = 0. (v) Es gibt eine projektive Auflösung P von M, so dass B n 1 P resp. M projektiv, falls n N resp. n = 0. (b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) Es ist idim M n, d.h. M hat eine injektive Auflösung der Länge n. (ii) Es ist Ext n+k (X,M) = 0 für alle -Moduln X und alle k N. (iii) Es ist Ext n+1 (X,M) = 0 für alle -Moduln X. (iv) Es ist Ext n+1 (X,M) = 0 für alle zyklischen -Moduln X. (v) Ist Q eine beliebige injektive Auflösung von M, so ist B n 1 Q resp. M injektiv, falls n N resp. n = 0. (vi) Es gibt eine injektive Auflösung Q von M, so dass B n 1 Q resp. M injektiv, falls n N resp. n = 0. (c) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) Es ist f dimm n, d.h. M hat eine flache Auflösung der Länge n. (ii) Es ist Tor n+k(x,m) = 0 für alle -Moduln X und alle k N. (iii) Es ist Tor n+1(x,m) = 0 für alle -Moduln X. (iv) Es ist Tor n+1(x,m) = 0 für alle zyklischen -Moduln X. (v) Ist F eine beliebige flache Auflösung von M, so ist B n 1 F resp. M flach, falls n N resp. n = 0. (vi) Es gibt eine flache Auflösung F von M, so dass B n 1 F resp. M flach, falls n N resp. n = 0. Beweis. Der Fall n = 0 ist eine Charakterisierung für projektive Moduln bzw. injektive Moduln und daher bereits bekannt, es sei also o.b.d.a. n N. Wir zeigen wieder nur (a), die Aussagen (b) und (c) ergeben sich analog unter Beachtung der Lemmata aus 0. Hierzu führen einen ingschluss: Es habe zunächst M eine projektive Auflösung P der Länge n. Dann ist P n+k = 0 und also auch (P n+k,y ) = 0 für alle k N, Y Ob-Mod, wir erhalten Ext n+k (M,Y ) = H n+k (P,Y ) = 0 für alle Y Ob-Mod,k N. Aus Ext n+k (M,Y ) = 0 für alle -Moduln Y und alle k N folgt trivialerweise Ext n+1 (M,Y ) = 0 für alle -Moduln Y. Nun gelte Ext n+1 (M,Y ) = 0 für alle -Moduln Y und es sei P ein projektive Auflösung von M. Mittels Korollar (1.6) erhalten wir Ext 1 (B n 1 P,Y ) = Ext n+1 (M,Y ) = 0 für alle -Moduln Y, also ist B n 1 P projektiv. Zuletzt sei B n 1 P projektiv für alle projektiven Auflösungen P von M. Ist dann P eine solche projektive Auflösung von M, so auch B n 1 P P n 1... P 1 P 0, d.h. M hat eine projektive Auflösung der Länge n. (1.8) Korollar (Charakterisierung von projektiver, injektiver und flacher Dimension). Es sei ein ing und M ein -Modul. (a) Die projektive Dimension von M ist die kleinste nicht-negative ganze Zahl n N 0 mit Ext n+1 (M,Y ) = 0 für alle Y Ob -Mod: pdim M = min{n N 0 Ext n+1 (M, ) = 0}. 5

(b) Die injektive Dimension von M ist die kleinste nicht-negative ganze Zahl n N 0 mit Ext n+1 (X,M) = 0 für alle X Ob -Mod: idim M = min{n N 0 Ext n+1 (,M) = 0}. (c) Die flache Dimension von M ist die kleinste nicht-negative ganze Zahl n N 0 mit Tor n+1(x,m) = 0 für alle X ObMod-: f dim M = min{n N 0 Tor n+1(,m) = 0}. Aus dieser Charakterisierung ergibt sich nun sofort die nachfolgende Verallgemeinerung unseres Satzes übers Dimensionsshiften. (1.9) Satz (verallgemeinertes Dimensions-Shifting). Es seien n,d N 0 nicht-negative ganze Zahlen, ein ing und 0 M M 1 M 2... M n M 0 eine exakte Sequenz in -Mod. (a) Ist pdim M j d für alle j {1,...,n}, so gilt Ext n+k (M,Y ) = Ext k (M,Y ) für alle Y Ob-Mod und alle k > d. (b) Ist idim M j d für alle j {1,...,n}, so gilt Ext n+k (X,M) = Ext k (X,M ) für alle X Ob-Mod und alle k > d. (c) Ist f dimm j d für alle j {1,...,n}, so gilt Tor n+k(x,m ) = Tor k (X,M) für alle X ObMod- und alle k > d. Beweis. Analog zum Beweis von Satz (1.5). (1.10) Lemma (kurz exakte Sequenzen und endliche homologische Dimensionen). Es sei ein ing und M 1 M 2 M 3 eine kurz exakte Sequenz in -Mod. Dann gilt: Haben zwei der drei Moduln M i für i {1,2,3} eine endliche projektive resp. injektive resp. flache Dimension, so auch der dritte. Beweis. Wir begnügen uns wieder mit dem Beweis des projektiven Falls. Für alle -Moduln Y erhalten wir eine lang exakte Ext-Sequenz... Ext n (M 2,Y ) Ext n (M 1,Y ) Ext n+1 (M 3,Y ) Ext n+1 (M 2,Y ) Ext n+1 (M 1,Y ) Ext n+2 (M 3,Y ) Ext n+2 (M 2,Y )... Ist nun n groß genug, so verschwinden nach dem Dimensionssatz die zu den beiden endlich-dimensionalen Moduln gehörenden Ext-Gruppen. Wegen der Exaktheit sind dann aber auch die zum dritten Modul gehörenden Ext-Gruppen isomorph zum Nullmodul, was andererseits wiederum bedeutet, dass dieser ebenfalls endlichdimensional ist. Zuletzt eine kleine Proposition, welche wir im nächsten Abschnitt zur Charakterisierung der noch zu definierenden globalen Dimension eines ings benötigen. (1.11) Proposition (projektive Dimension bei Kompositionsreihen). Es sei ein ing und M ein -Modul. Hat M eine Kompositionsreihe, so ist pdim M S Ob -Mod S einfach pdim S. 6

Beweis. Es sei n := S Ob -Mod S einfach pdim S. Wir führen vollständige Induktion nach der Länge r einer minimalen Kompositionsreihe, wobei für r = 0 die Behauptung wegen M = 0 trivial wird. Es sei also ein r N gegeben, es sei {0} = M r < M r 1 < < M 1 < M 0 = M eine Kompositionsreihe von M und es gelte die Behauptung für alle Moduln mit kleineren Kompositionsreihen. Dann ist S := M/M 1 ein einfacher -Modul und wir erhalten eine kurz exakte Sequenz M 1 M S, welche Anlass zu einer exakten Sequenz Ext n+1 (S,Y ) Extn+1 (M,Y ) Extn+1 (M 1,Y ) für alle Y Ob-Mod gibt. Nun ist jedoch M 1 ein Modul mit kleinerer Kompositionsreihe, nach Induktionsvoraussetzung ist also pdim M 1 n. Da S einfach ist, gilt außerdem pdim S n. Also ist Ext n+1 (S,Y ) = Ext n+1 (M 1,Y ) = 0 und wegen der Exaktheit somit auch Ext n+1 (M,Y ) = 0 für alle Y Ob-Mod. Dann ist aber pdim M n und mittels Induktionsprinzip folgt die Behauptung. 2 Globale und schwache Dimension Wir kommen nun von den homologischen Dimensionsbegriffen für Moduln zu solchen für inge. (2.1) Definition (globale und schwache Dimension). Die linke globale Dimension eines ings ist definiert als das Supremum der projektiven Dimensionen aller -Links-Moduln, lg dim := pdim M. M Ob -Mod Analog ist die rechte globale Dimension definiert als das entsprechende Supremum aller -echts-moduln, rg dim := pdim M. M Ob Mod- Außerdem definieren wir noch die schwache Dimension als das Supremum der flachen Dimensionen aller - Links-Moduln, w dim := f dim M. M Ob Mod- Eigentlich stellt sich uns nun die Frage, warum keine entsprechenden Definitionen für das Supremum der injektive injektiven Dimensionen von Moduln und für das Supremum der flachen Dimensionen aller echts-moduln über einem gegebenen ing gemacht wurden. Die Antwort darauf gibt die nachfolgende Proposition. (2.2) Proposition (Charakterisierung globale und schwache Dimension). Es sei ein ing. Dann ist und lg dim = inf{n N 0 Ext n+1 = 0} = idim M M Ob -Mod w dim = inf{n N 0 Tor n+1 = 0} = f dimm. M Ob Mod- Beweis. Wir zeigen nur die erste Aussage, der Nachweis der zweiten erfolgt ähnlich. Für n N 0 ist lg dim n genau dann, wenn pdim M n für alle M Ob-Mod. Dies ist nach Satz (1.7) (a) jedoch äquivalent dazu, dass Ext n+1 (M,N) = 0 für alle M,N Ob-Mod, was nach Satz (1.7) (b) jedoch wiederum gleichwertig dazu ist, dass idim N n für alle N Ob-Mod. 7

(2.3) Lemma (globale Dimension 0). Es ist lg dim = 0 genau dann, wenn ein halbeinfacher artinscher ing ist. Beweis. Die folgt direkt aus dem Struktursatz über halbeinfache artinsche inge und Lemma (1.3). (2.4) Proposition (Vergleich von globaler und schwacher Dimension). Für jeden ing ist w dim lg dim und w dim rg dim. Beweis. Dies folgt sofort aus Proposition (1.4). (2.5) Satz (Dimensionssatz über die globale und die schwache Dimension). Für jeden ing ist und lg dim = C Ob -Mod pdim C = I Ob -Mod I pdim /I w dim = C Ob -Mod f dim C = C Ob Mod- f dimc = I Ob -Mod I f dim/i = I Ob Mod- I f dim /I. Beweis. Wir zeigen nur die Aussage für die globale Dimension, der Beweis der zweiten Aussage geht analog. Es sei n := C Ob -Mod pdim C. Ist n =, so ist die Behauptung trivial, es sei also o.b.d.a. n N 0 und es seien M ein beliebiger -Modul und C ein zyklischer -Modul. Dann ist pdim C n, d.h. es gilt Ext n+1 (C,M) = 0. Da C jedoch beliebig gewählt war, ist nach Satz (1.7) (b) also idim M n, und da M Ob-Mod beliebig gewählt war, folgt mit Proposition (2.2), dass lg dim = idim M n. M Ob -Mod Da die andere Ungleichung jedoch ohnehin gilt, folgt die Behauptung. Natürlich gilt der gerade bewiesene Satz - wie auch sämtliche nachfolgenden esultate - in analoger Weise für die rechte globale Dimension. Wir ziehen nun ein direktes Korollar aus dem Satz, welches uns zu einer neuen Definition führt. (2.6) Korollar. Ist ein ing mit lg dim 1, so gilt lg dim = I Ob -Mod I pdim I + 1. Insbesondere ist lg dim 1 genau dann, wenn jedes Links-Ideal von projektiv ist. Beweis. Für ein gegebenes Ideal I betrachten wir die kurz exakte Sequenz I /I. Nach Satz (1.5) liefert sie uns Ext n+1 (/I, ) = Ext n (I, ) für alle n N. Ist /I projektiv, so muss wegen Ext 1 (I, ) = Ext 2 (/I, ) = 0 auch I projektiv sein, in diesem Fall haben wir also pdim /I = pdim I < pdim I + 1. Da aber lg dim 0 gibt es ein Ideal I, so dass /I nicht projektiv ist. In diesem Fall haben wir pdim /I = min{n N 0 Ext n+1 (/I, ) = 0} = min{n N 0 Ext n (I, ) = 0} = min{n N 0 Ext n+1 (I, ) = 0} + 1 = pdimi + 1 und mit Satz (2.5) erhalten wir lg dim = I Ob -Mod I pdim /I = I Ob -Mod I pdim I + 1. 8

(2.7) Definition (erblich). Ein ing heißt links-erblich, falls lg dim 1, und analog rechts-erblich, falls rg dim 1. (2.8) Proposition (Erblichkeit von Hauptidealbereichen). Linke Hauptidealbereiche sind links-erblich. Beweis. Es sei I ein nicht-triviales Links-Ideal. Dann gibt es ein a \{0} mit I = a. Wir betrachten nun den durch 1ϕ := a definierten Homomorphismus ϕ: I. Da rϕ = ra für alle r ist Bild ϕ = a = I, also ϕ surjektiv. Ist rϕ = ra = 0, so muss schon r = 0 sein, denn es ist a 0 und ein Bereich. Folglich ist ϕ injektiv und damit bijektiv, also ein -Modul-Isomorphismus. Wir haben also = I als -Links-Moduln, insbesondere ist I also frei und damit projektiv. Da der triviale Modul ohnehin projektiv ist, folgt die Behauptung mit Korollar (2.6). (2.9) Beispiel. (a) Es sei ein Hauptidealbereich mit linker globaler Dimension 0. Dann ist ein halbeinfacher artinscher ing, also einfach, da Hauptidealbereich, und somit ein Schiefkörper. (b) Hauptidealbereiche mit linker globaler Dimension 1 sind z.b. Z oder K[X] für einen Körper K. (2.10) Satz. Hat ein ing eine Kompositionsreihe aus Linksidealen, so gilt lg dim = S Ob -Mod S einfach pdims. Beweis. Da einfache Moduln insbesondere zyklisch sind, gilt mit dem Satz über die globale Dimension n := S Ob -Mod S einfach pdim S C Ob -Mod pdimc = lg dim. Es sei nun C ein zyklischer -Modul. Dann gibt es einen -Modul-Epimorphismus C, also hat mit auch C eine Kompositionsreihe. Nach Proposition (1.11) ist also pdim C n. Da C jedoch beliebig gewählt war, folgt mit dem Satz über die globale Dimension lg dim = C Ob -Mod pdim C n und damit die gewünschte Behauptung. (2.11) Korollar. Ist ein ing mit lg dim 1 und hat eine Kompositionsreihe aus Linksidealen, so gilt lg dim = I Ob -Mod I maximal pdim I + 1. Beweis. Wir schließen analog wie im Beweis zu Korollar (2.6): Jeder einfache -Modul S ist isomorph zu /I für ein maximales Linksideal I in und wir haben pdim S = pdim I + 1. 3 Die homologischen Dimensionsbegriffe für noethersche inge Zuletzt wollen wir zeigen, dass unter einer gewissen Voraussetzung die linke und die rechte globale Dimension gleich sind. Wie Kaplansky gezeigt hat, gilt dies jedoch nicht immer. (3.1) Proposition (homologische Dimensionen bei endlich erzeugten Moduln über noetherschen ingen). Es sei ein links-noetherscher ing und M ein endlich erzeugter -Links-Modul. Dann ist pdim M = f dim M. Beweis. Da M endlich erzeugt ist, hat M eine endlich-freie Auflösung F. Nun ist aber B n 1 F F n 1 für alle n N als Untermodul eines endlich erzeugten Moduls wieder endlich erzeugt. Also ist der -Modul B n 1 F für ein n N projektiv genau dann, wenn er flach ist, und genauso für M. Mit dem Dimensionssatz für die projektive und die flache Dimension folgt die Behauptung. 9

(3.2) Korollar (globale und schwache Dimension bei noetherschen ingen). Ist ein links-noetherscher ing, so ist lg dim = w dim, und ist ein rechts-noetherscher ing, so ist rg dim = w dim. Beweis. Es sei ein links-noetherscher ing. Mit Proposition (3.1) folgt lg dim = C Ob -Mod pdim C = C Ob -Mod f dimc = w dim. Die Behauptung für rechts-noethersche inge ergibt sich analog. (3.3) Korollar (Auslander, Gleichheit von linker und rechter globaler Dimension bei noetherschen ingen). Ist ein links- und rechts-noetherscher ing, so stimmen dessen linke und rechte globale Dimension überein, lg dim = rg dim. Beweis. Nach Korollar (3.2) ist lg dim = w dim = rg dim. 10

Literatur [jan64] James P. Jans, ings and Homology, Hol inehart and Winston, 1964. [osb00] M. Scott Osborne, Basic Homological Algebra, Springer, Graduate Texts in Mathematics 196, 2000. [zer06] Eva Zerz, Kommutative Algebra, Vorlesungsmitschrift, WTH Aachen, 2006. 11