Induktion und Polarisation

Übung 2 Abgabe: 09.03. bzw. 13.03.2018 Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 2018 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Induktion und Polarisation 1 Magnetfelder in Spulen (35 Pkt.) Wir betrachten zunächst einen Elektromagneten, bestehend aus einer langen Spule der Länge L mit Durchmesser D in Luft. Diese wird von einem Strom I durchflossen (siehe Abb. 1, links). Abbildung 1: (links) Spule bestehend aus N Drahtwindungen. (rechts) Ringförmiger Elektromagnet mit ferromagnetischem Kern (µ Fe 1) und Luftspalt. (a) (10 Pkt.) Berechnen Sie mit Hilfe des Ampèreschen Durchflutungsgesetzes die magnetische Flussdichte B im Inneren des Magneten. Die Stromdichte j erzeugt ein B-Feld, dessen Stärke sich aus dem Ampèreschen Gesetz ergibt B(r, t) ds = µ µ 0 j(r, t) n da. (1) A Der Magnet besitzt eine Länge L und Durchmesser D (L D) und sei eng gewickelt, so dass das Feld in seinem Inneren homogen ist. Die magnetische Flussdichte im Inneren ergibt sich nach der Auswertung des Integrals Gl. 1 entlang des geschlossenen Pfades in Abb. 1 (links). Unter den obigen Annahmen trägt nur die Integration entlang AB bei; die anderen Strecken liefern verschwindend kleine Beiträge, da die Strecke CD ins Unendliche gelegt werden kann (dort gilt B 0) und B ds = 0 entlang AD and BC ist, da B ds. Das Integral j(r, t) n d a liefert dann NI, da der Strom im gesamten Draht konstant ist. A A 1

Das B-Feld im Inneren der Drahtspule mit N Windungen ist proportional zum Strom im Draht und es gilt µ Luft = 1, so dass folgt B A B(r, t) ds = B x L (2) B x = µ 0 N L I. (3) (b) (4 Pkt.) Skizzieren Sie das B-Feld innerhalb und ausserhalb der Spule. Abbildung 2: Magnetfeld einer Spule in Luft (links) und einer Ringspule mit Eisenkern (rechts). Die gestrichelte Line zeigt den Integrationsweg und die grünen Linien die Feldlinien. Unter Anwendung der Rechten-Hand-Regel folgt die Richtung des Magnetfeldes. (c) (5 Pkt.) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte B für N = 1000, L = 2 cm, I = 250 ma. Unter obigen Annahmen ist das Feld Inneren der Spule homogen und die magnetische Flussdichte lautet N B x = µ 0 L I (4) B x = 15.7 mt. (5) Wir betrachten nun einen ringförmigen Elektromagneten mit Radius r, Eisenkern µ Fe 1 und Luftspalt der Länge d (d r). Der Elektromagnet wird von einem Strom I durchflossen (Abb. 1, rechts). 2

(d) (9 Pkt.) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte B im Eisenkern. Wie hoch ist die magnetische Feldstärke H im Luftspalt? Hinweis: Berücksichtigen Sie, dass die Normalkomponente des B-Feldes an den Materialgrenzen kontinuierlich ist. Das B-Feld im Luftspalt der Breite d ist homogen für d r und die Normalkomponente B z,fe/air ist kontinuierlich/konstant im Luftspalt. (Die Randbedingungen an Grenzflächen werden in einer späteren Vorlesung detailliert besprochen.) Daraus folgt B z,fe = B z,air => µ Fe H z,fe = H z,air. Die Auswertung des Linienintegrals für die magnetische Feldstärke H für einen Pfad im Eisenkern ergibt das H air -Feld im Luftspalt Hds = H Fe (2πr d) + dh air (6) ( ) 2πr d = + d H air (7) µ Fe Nun gilt B z,fe = B z,air = µ 0 H z,air. H air = (e) (4 Pkt.) Skizzieren Sie das Magnetfeld im Luftspalt. Siehe Abb. 2. µ Fe NI 2πr d + µ Fe d. (8) (f) (3 Pkt.) Berechnen Sie H im Luftspalt für µ Fe =5000, N =1000, r =2 cm, I =250 ma, d=1 mm. Die Ringspule mit Eisenkern erzeugt ein Magnetfeld im Luftspalt der Stärke H air = 2.4392 10 5 A m 1, welches homogen und entlang e z gerichtet ist. 3

2 Dielektrisches Metamaterial (45 Pkt.) Die Nanotechnologie erlaubt die Herstellung von sogenannten Metamaterialien mit Eigenschaften, die in der Natur nicht vorkommen. Wir betrachten hier ein Material, das aus einem Medium mit dielektrischer Konstante ε 2 besteht, in das sphärische Partikel mit dielektrischer Konstante ε 1 eingebettet sind [siehe Abb. 3a]. Unser Ziel ist, die effektive Dielektrizitätskonstante des Metamaterials zu bestimmen. Dazu betrachten wir zunächst die Reaktion eines einzelnen Partikels mit Radius a auf ein angelegtes statisches elektrisches Feld E = E 0 n z. Wir suchen das Potential Φ innerhalb und ausserhalb des Partikels. (a) (b) (c) ε 1 ε 2 z a θ ε 1 x d z +q -q θ r r + r - E 0 ε 2 Abbildung 3: (a) Skizze eines Metamaterials bestehend aus kleinen Kugeln eingebettet in einem Matrixmaterial. (b) Einzelne dielektrische Kugel mit Radius a unter Einfluss eines externen statischen elektrischen Feldes. (c) Dipol bestehend aus zwei Ladungen ±q im Abstand d. (a) (5 Pkt.) Warum muss das Potential Φ im gesamten Raum die Laplace-Gleichung erfüllen? Das Problem enthält keinerlei freie Ladungen. Somit reduziert sich die Poisson-Gleichung Φ(r) = ρ(r) εε 0 auf die Laplace-Gleichung Φ = 0. (b) (6 Pkt.) Zeigen Sie, dass der folgende Ansatz für das Potential die Laplace-Gleichung erfüllt { Φ 1 = E 0 r cos θ + A cos θ, r > a Φ(r) = r 2 (9) Φ 2 = Br cos θ, r < a. Anwendung des Laplace-Operators in Kugelkoordinaten zeigt, dass der Ansatz die Laplace- Gleichung erfüllt. (c) (4 Pkt.) Argumentieren Sie, warum obiger Ansatz vom Azimuthalwinkel φ unabhängig sein muss. Das Problem ist rotationssymmetrisch um die z-achse. (d) (5 Pkt.) Zeigen Sie, dass das Feld in grosser Entfernung des Partikels, wie zu erwarten, gleich dem einfallenden Feld ist. Für grosse Entfernungen r gilt E(r) = φ = E 0 e z, da z = r cos θ. 4

(e) (9 Pkt.) Das Potential muss die Randbedingung Φ 1 r=a = Φ 2 r=a erfüllen. Ausserdem muss die Normalkomponente des Verschiebungsfeldes D auf der Grenzfläche stetig sein. Bestimmen Sie A und B entsprechend, und geben Sie das resultierende Potential an. Aus der Stetigkeitsbedingung für das Potential [ ] Φ 1 r=a = Φ [ 2 r=a ] folgt (B + E 0 )a 3 = A. Die Stetigkeitsbedingung für D bedeutet ε 0 ε Φ1 2 r = ε Φ2 0ε 1 r=a r. So erhalten wir B = r=a 3ε 2 ε 1 +2ε 2 E 0 sowie A = ε 1 ε 2 ε 1 +2ε 2 E 0 a 3. Das Potential lautet somit Φ(r) = { E 0 r cos θ + ε 1 ε 2 ε 1 +2ε 2 E 0 a 3 cos θ r 2 r > a 3ε 2 ε 1 +2ε 2 E 0 r cos θ r < a. (f) (7 Pkt.) Wir zeigen nun, dass das Feld der polarisierten Kugel gerade dem Feld eines statischen Dipols entspricht. Betrachten Sie dazu den Dipol in Abb. 3c und leiten Sie sein Potential Φ(r) her. Nehmen Sie an, dass der Abstand d zwischen den Dipolladungen infinitesimal klein ist, während der Betrag des Dipolmoments p = qd konstant bleibe. Vergleichen Sie das Dipolpotential mit dem Potential der Kugel im elektrischen Feld und bestimmen Sie das Dipolmoment p der polarisierten Kugel. Das Potential des Dipols ergibt sich aus der Superposition der Potentiale der beiden Dipolladungen Φ(r) = wobei r ± = r d 2 cos θ und somit dank r d Φ(r) = Der Vergleich mit dem Potential Φ 1 ergibt q 4πεε 0 r + (10) q 4πεε 0 r, (11) qd cos θ. (12) 4πεε 0 r2 p = 4πε 0 ε 2 ε 1 ε 2 ε 1 + 2ε 2 E 0 a 3 ẑ. (13) (g) (3 Pkt.) Die Polarisierbarkeit α ist definiert als Proportionalitätskonstante zwischen angelegtem elektrischem Feld und induziertem Dipolmoment. Bestimmen Sie α für das Partikel mit ε 1 im Medium mit Dielektrizitätskonstante ε 2. Wir erhalten mit p = αe die Polarisierbarkeit zu α = 4πε 2 ε 0 ε 1 ε 2 ε 1 + 2ε 2 a 3. (14) Wir betrachten nun ein Metamaterial bestehend aus einer Matrix mit dielektrischer Konstante ε 2, in die Partikel mit dielektrischer Konstante ε 1 mit einer Volumendichte N eingebettet sind. Die Dichte N sei klein genug, dass sich die Partikel gegenseitig nicht beeinflussen. Ausserdem sei der Beitrag des Matrixmaterials zur gesamten Polarisationsdichte vernachlässigbar. 5

(h) (3 Pkt.) Bestimmen Sie die Polarisationsdichte P sowie die Suszeptibilität χ e des Metamaterials in einem homogenen Feld der Stärke E 0. Die Polarisationsdichte ergibt sich aus der Volumendichte der Dipolmomente P = pn. Die Suszeptibilität resultiert wiederum aus der erreichten Polarisationsdichte P = ε 0 χ e E in Abhängigkeit von der Feldstärke E zu χ e = 4πε 2 ε 1 ε 2 ε 1 + 2ε 2 a 3 N. (15) (i) (3 Pkt.) Legen Sie dar, welche Parameter Ihnen zur Verfügung stehen, um die dielektrischen Eigenschaften des Metamaterials einzustellen. Die dielektrische Konstante ergibt sich aus der Suszeptibilität laut ε e = 1+χ e. Somit lassen sich durch Wahl von Partikelradius a, -dichte N und dielektrischer Konstante ε 1 die dielektrischen Eigenschaften des Metamaterials einstellen. 6

3 Der Hall-Effekt (20 Pkt.) Ein quaderförmiger Block aus n-dotiertem Silizium mit Ladungsträgerdichte n = 10 15 cm 3 und dielektrischer Permittivität ε Si = 11.9 wird dank einer entlang der x-richtung angelegten Spannung U x von einem Strom I durchflossen und einem homogenen B-Feld entlang der y-richtung ausgesetzt (siehe Abb. 4). Der Querschnitt des Halbleiters besitzt die Dimensionen h = 0.5 cm und d = 0.1 cm. Die Stromdichte sei homogen im Material. Abbildung 4: Durch einen Hall-Sensor fliesst ein Strom I der Dichte j = n q v n x. Eine homogene magnetische Flussdichte B = Bn y wird von aussen angelegt. (a) (4 Pkt.) Berechnen Sie die auf die Ladungsträger wirkende Kraft F. Der Strom I im Halbleiter entspricht einer Stromdichte j, die durch die mit der Geschwindigkeit v D driftenden Ladungsträger erzeugt wird: I h d = j = nqv De x. (16) Hinweis: Die technische Stromrichtung ist von Plus nach Minus gerichtet, aber die Ladungsträger (Elektronen im Falle von n-typ Halbleiter) bewegen sich entgegengesetzt. Auf bewegte Ladungen in einem Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft F = q(v D B). (17) Das Kreuzprodukt in Gl. 17 gibt die Richtung der der Kraft vor. In der in Abb. 4 gezeigten Anordnung zeigt diese in ±e z Richtung und folglich gilt U y = 0. Die resultierende Ladungsanreicherung an den Elektroden senkrecht zu v D und B erzeugt ein elektrisches Feld, welches die Lorentzkraft ausgleicht. Die DC-Dielektrizitätskonstante von Silizium ε Si = 11.9 erhöht die Kapazität der Hall-Sonde aber nicht die Spannung (Gleichgewicht aus Coulomb- und Lorentzkraft). qe Hall e z + q(v D B) = 0 (18) (b) (6 Pkt.) Berechnen Sie die Spannungen U z und U y, die durch den Strom I = 0.05 A und eine magnetische Flussdichte B = 0.5 T generiert werden. 7

Das Feld im Inneren des Halbleiters ist homogen und U z = E Hall h; damit ergibt sich eine Hall-Spannung U z = IB dnq. (19) Für einen Strom I = 0.05 A und ein B-Feld Be y = 0.5 T ergibt sich (q = 1.60217766 10 19 As): U y = 0 V (20) U z 0.156 V. (21) (c) (6 Pkt.) Berechnen Sie die Empfindlichkeit des Sensors S = U z /B. Welche Möglichkeiten bestehen, die Sensorempfindlichkeit zu erhöhen? S = I dnq (22) S 0.312 V/T. (23) Die Empfindlichkeit des Sensors ist durch Gl. 22 gegeben. Der Ausdruck für die Stromdichte in Gl. 16 zeigt, dass die Driftgeschwindigkeit umgekehrt proportional zur Breite d und Ladungsträgerdichte n und folglich zum Anpassen der Hall-Spannung geeignet ist. Beide Grössen können bei der Herstellung über die Schichtdickenwahl bzw. Dotierungsdichte eingestellt werden. Für ein spezielles Design (d, n fest) besteht noch die Möglichkeit einer Erhöhung der Driftgeschwindigkeit durch eine Erhöhung von U x. (d) (4 Pkt.) Welche Spannung U z liefert der Sensor für das Erdmagnetfeld (B Erde = 0.5 10 4 T)? U z,erde = S 0.5 10 4 T = 15.6 µv (24) 8