Mathematik Formelheft

Matematik Formeleft Formelammlung für die Realcule au den Bereicen Aritmetik Geometrie Algebra zuammengetellt von Toma Bigler September 2015

Algebra: Einface Gleicungen Gleicung Eine Gleicung it ein matematicer Audruck, der au zwei Termen betet, die durc ein Gleiceitzeicen verbunden ind. Beipiele: 4 + x = 13 Löung x = 9 4 = x 2 Löung x = 6 x² + 4x 5 = 0 Löung x1 = 1; x2 = 5 Gleicwertige Gleicungen Gleicungen, welce die gleicen Löungen aben, eien «gleicwertig». Beipiele: 2x + 9 = x + 12 2x + 18 = x + 21 4x = 2x + 6 x = 3 Gleicungen löen Eine Gleicung löen eit, ie durc gleicwertige einfacere Gleicungen eretzen, bi man in der einfacten Gleicung (z. B. x = -3) die Löung erkennen kann («x aupacken.»). Beipiel: 9x + 12 = 3x 6 6x +12 = 6 6x = -18 x = -3-3x -12 :6 Zur nacträglicen Kontrolle kann man in jeder Umformung den gefundenen Wert für x einetzen. Der Wert der beiden Terme it immer gleic gro die Gleicung verält ic wie eine Hängewaage. Beim Löen der Gleicung ind folgende 6 Umformungen (Äquivalenzumformungen) erlaubt: I. Addition Zu beiden Termen wird dieelbe Zal oder derelbe Term addiert. x 4 = 10 x = 14 +4 II. Subtraktion Von beiden Termen wird dieelbe Zal oder derelbe Term ubtraiert. x +7 = 11 x = 4 7 III. Multiplikation Beide Terme werden mit derelben Zal oder demelben Term multipliziert. Diee Zal oder dieer Term darf nict Null ein. x/3 = 2 x = 6 3 IV. Diviion Beide Terme werden durc dieelbe Zal oder durc denelben Term dividiert. Diee Zal oder dieer Term darf nict Null ein. 8x = 24 x = 3 :8 V. Kerwert Von beiden Termen wird der Kerwert (Reziprokwert) genommen. 2x = 10 1 / 2x = 1 / 10 VI. Umformung Alle gültigen Umformungen (vereinfacen, auklammern, aumultiplizieren) an Termen ind möglic. 2(x + 4) = 22 2x + 8 = 22 ARI-Einface_Gleicungen.odt

Teilbarkeit Primzalen Primfaktorzerlegung GGT KGV Teilbarkeitregeln: 0 Keine Zal it durc Null teilbar (kein Reultat)! Aber: Null it durc alle Zalen (ungleic Null) teilbar. Da Reultat it immer 0. 1 Jede Zal it durc 1 teilbar. Da Reultat it die Zal elbt. 2 Eine Zal it durc 2 teilbar, wenn ie gerade it. 3 Eine Zal it durc 3 teilbar, wenn ire Querumme durc 3 teilbar it. 4 Eine Zal it durc 4 teilbar, wenn ire beiden letzten Ziffern durc 4 teilbar ind. 5 Eine Zal it durc 5 teilbar, wenn ire Endziffer 5 oder 0 it. 6 Eine Zal it durc 6 teilbar, wenn ie gerade und durc 3 teilbar it. 7 Keine Regel. 8 Eine Zal it durc 8 teilbar, wenn ire drei letzten Ziffern durc 8 teilbar ind 9 Eine Zal it durc 9 teilbar, wenn ire Querumme durc 9 teilbar it. 10 Eine Zal it durc 10 teilbar, wenn ire letzte Ziffer eine 0 it. Primzalen Primzalen ind natürlice Zalen und aben genau zwei Teiler, nämlic 1 und ic elbt. Actung: 1 it keine Primzal (nur ein Teiler!). E gibt keine Formel, um Primzalen zu berecnen. Man mu alo jede einzelne Zal n auf ire Teiler unterucen (e genügt die Überprüfung bi n). Alle Primzalen von 2 bi 1000 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 Primfaktorzerlegung Beim Zerlegen von Zalen in ire Primfaktoren beginnt man immer mit der kleinten Primzal. Diee Verfaren it ilfreic beim Fettellen der Teilbarkeit einer Zal: 24 = 2 2 2 3 21 = 3 7 65 = 5 13 72 = 2 2 2 3 3 121 = 11 11 37 = 37 (Primzal) 223'092'870 = 2 3 5 7 11 13 17 19 23 ALG-Teilbarkeit_Primzalen_Primfaktorzerlegung.odt 1

GGT - Gröter gemeinamer Teiler Die Berecnung de GGT it ilfreic beim Kürzen groer Brüce. Man zerlegt die Zalen (Nenner) in ire Primfaktoren und betimmt die gemeinamen Teiler durc Untertreicen: 126 = 2 3 3 7 112 = 2 2 2 2 7 GGT = 2 7 = 14 KGV - Kleinte gemeiname Vielface Hilfreic zum Finden de gemeinamen Nenner (Gleicnamig macen). Man zerlegt die Zalen (Nenner) in ire Primfaktoren und untertreict diee dort, wo ie am äufigten vorkommen: 126 = 2 3 3 7 112 = 2 2 2 2 7 KGV = 2 2 2 2 3 3 7 = 1008 BASIC-Programme zur Teilbarkeit Diee vier Programme ind in den meiten BASIC-Dialekten lauffäig (GW-Baic, QBaic uw.) 100 ' Primfaktorzerlegung 110 CLS 120 PRINT "Zerlegung in Primfaktoren" 130 PRINT STRING$(80, 196): PRINT 140 INPUT "Zu zerlegende Zal (0 für Ende) : ", ZAHL 150 IF ZAHL = 0 THEN CLS : END 160 PRINT : PRINT ZAHL; " = "; 170 IF ZAHL = 2 THEN GOTO 300 180 GESZAHL = ZAHL 190 SCHRITT = 1 200 SCHRITT = SCHRITT + 2 + (SCHRITT < 3) 210 GRENZE = INT(ZAHL / SCHRITT) 220 REST = ZAHL - GRENZE * SCHRITT 230 IF REST <> 0 THEN GOTO 270 240 ZAHL = GRENZE 250 PRINT SCHRITT; "*"; 260 GOTO 210 270 IF GRENZE > 1 THEN GOTO 200 280 IF ZAHL = 1 THEN GOTO 320 290 IF ZAHL <> GESZAHL THEN GOTO 320 300 PRINT " Primzal." 310 GOTO 330 320 PRINT ZAHL 330 PRINT : GOTO 130 100 ' Primzalen - Abbruc mit Ctrl+Break! 110 CLS : Y = 4: PRINT 2, 3, 120 P = Y: K = P 130 IF INT(P / 2) * 2 = P THEN GOTO 190 140 N = 3 150 IF INT(P / N) * N = P THEN GOTO 180 160 IF N * N > P THEN GOTO 200 170 N = N + 2: GOTO 150 180 P = P / N: GOTO 150 190 P = P / 2: GOTO 130 200 IF P = K THEN PRINT P, 210 Y = Y + 1: GOTO 120 100 ' GGT zweier Zalen 110 CLS 120 PRINT "Berecnung de GGT zweier Zalen" 130 PRINT "================================" 140 INPUT "Erte Zal : ", A 150 IF A = 0 THEN END 160 INPUT "Zweite Zal : ", B 170 IF B = 0 THEN END 180 IF (A = 0) OR (B = 0) THEN GGT = 1: GOTO 250 190 TEMP = -1 200 WHILE TEMP <> 0 210 TEMP = A - B * INT(A / B): A = B: B = TEMP 230 WEND 240 GGT = A 250 PRINT "GGT = "; GGT: PRINT 260 GOTO 120 100 ' KGV zweier Zalen 110 CLS 120 PRINT "Berecnung de KGV zweier Zalen" 130 PRINT "================================" 140 INPUT "Erte Zal : ", A 150 IF A = 0 THEN END 160 INPUT "Zweite Zal : ", B 170 IF B = 0 THEN END 180 A1 = A: B1 = B 190 IF (A = 0) OR (B = 0) THEN GGT = 1: GOTO 250 200 TEMP = -1 210 WHILE TEMP <> 0 220 TEMP = A - B * INT(A / B): A = B: B = TEMP 230 WEND 240 GGT = A 250 KGV = ABS(A1 * B1 / GGT) 260 PRINT "KGV = "; KGV: PRINT 270 GOTO 120 ALG-Teilbarkeit_Primzalen_Primfaktorzerlegung.odt 2

Grundwien Gemeine Brüce (gewönlice Brüce) 1 1 1 4 Zäler = Stammbrüce Bructric 5 8 14 5 Nenner 4 3 9 = ecte Brüce 5 8 14 7 17 15 = unecte Brüce 5 8 14 1 1 5 1 2 1 = gemicte Zalen 5 8 14 Der Bructric verält ic wie ein Diviionzeicen: 3 3 : 4 = 4 Verwandeln von gemicten Zalen in Brüce 4 91 4 95 13 = 13 Ganze ind 13 7 Siebtel : + = 7 7 7 7 Verwandeln von unecten Brücen in gemicte Zalen 47 3 3 = 47 : 11 = 4 Ganze, Ret = 4 11 11 11 Kürzen Einen Bruc kürzen eißt, Zäler und Nenner durc die gleice Zal (=GGT) teilen. Der Wert de Bruce bleibt gleic. 10 2 10 2 gekürzt mit 5 = alo = 45 (GGT von 10 & 45) 9 45 9 Erweitern Einen Bruc erweitern eißt, Zäler und Nenner mit der gleicen Zal multiplizieren. Der Wert de Bruce bleibt gleic. 4 80 4 80 erweitert mit 20 = alo = 5 100 5 100 Gleicnamig macen Brüce gleicnamig macen eißt, ie o erweitern, da ie gleice Nenner eralten. Der gemeiname Nenner it da KGV beider Nenner. 3 7 9 14 23 5 + = + = = 1 6 9 18 18 18 18 ARI-Gemeine_Brüce 1

Addition Brüce werden addiert, indem man ie gleicnamig mact und dann ire Zäler addiert. Abcließend kürzen/verwandeln. 3 5 9 20 29 5 + = + = = 1 8 6 24 24 24 24 Subtraktion Brüce werden ubtraiert, indem man ie gleicnamig mact und dann ire Zäler ubtraiert. Abcließend kürzen/verwandeln. 1 1 3 2 1 - = - = 2 3 6 6 6 Multiplikation Brüce werden multipliziert, indem man Zäler mal Zäler durc Nenner mal Nenner recnet. Abcließend kürzen/verwandeln. 4 5 20 5 = = 7 8 56 14 Diviion Brüce werden dividiert, indem man den Divior türzt und dann wie bei der Multiplikation verfärt (der getürzte Divior eißt Reziprokwert). 2 3 2 6 12 3 1 : = = = 1 = 1 3 6 3 3 9 9 3 Verwandeln von Dezimalzalen in Gemeine Brüce 12 3 625 5 0.12 = = 0.625 = = 100 25 1000 8 18 2 45 5 0.18 = = 0.45 = = 99 11 99 11 _ 1 1 6 1 1 6 15 1 0.16 = 0.1 + 0.06 = 0.1 + 0.6 = + = + = = 10 10 9 10 10 90 90 6 Verwandeln von Brücen in Dezimalzalen (Rationale Zalen) Man erweitert die Brüce o, da man eine 10-er Zal al Nenner erält oder man teilt Zäler durc Nenner: Löung 1: Löung 2: 1 125 1 : 8 = 0.125 = = 0.125 10 8 1000 20 40 0 ARI-Gemeine_Brüce 2

GGT - Größter gemeinamer Teiler Die Berecnung de GGT it ilfreic beim Kürzen großer Brüce. Man zerlegt die Zalen (Nenner) in ire Primfaktoren und betimmt die gemeinamen Teiler durc Untertreicen: 126 = 2 3 3 7 GGT = 2 7 = 14 112 = 2 2 2 2 7 KGV - Kleinte gemeiname Vielface Hilfreic zum Finden de gemeinamen Nenner (Gleicnamig macen). Man zerlegt die Zalen (Nenner) in ire Primfaktoren und untertreict diee dort, wo ie am äufigten vorkommen: 126 = 2 3 3 7 KGV = 2 2 2 2 3 3 7 = 1008 112 = 2 2 2 2 7 Teilbarkeit Teilbarkeitregeln für die Teiler von 0 bi 10: 0 Keine Zal it durc 0 teilbar (nict definiert!). 1 Alle Zalen ind durc 1 teilbar. 2 Alle geraden Zalen. 3 Querumme it eine 3er-Zal. 4 Die beiden Endziffern bilden eine Viererzal. 5 Endziffer it 5 oder 0. 6 Querumme it eine 3er-Zal und Zal it gerade. 7 Keine Regel. 8 Die 3 Endziffern bilden eine Acterzal. 9 Querumme it eine 9er-Zal. 10 Endziffer it 0. Primzalen Primzalen ind natürlice Zalen und aben genau 2 Teiler, nämlic 1 und ic elbt. Man beacte: 1 it keine Primzal (nur ein Teiler voranden!). E gibt keine Formel, um ie zu berecnen. Man mu alo jede einzelne Zal auf ire Teiler in unterucen! Dabei kann ic die Suce auf den Bereic 3 bi Quadratwurzel au n becränken, weil 2 die einzige gerade Primzal it. Primzalen < 500: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 ARI-Gemeine_Brüce 3

Zerlegung in Primfaktoren Jede natürlice Zal lät ic al Produkt von Primzalen dartellen. Bei der Zerlegung beginnt man mit der kleinten Primzal. Zalen mit nur einem Faktor ind Primzalen. Beipiele: 12= 2 2 3 84 = 2 2 3 7 123 = 3 41 64= 2 2 2 2 2 2 1031 = Primzal. Fakultät Die Fakultät einer natürlicen Zal n wird o berecnet: n! = 1 2 3... n Beipiele: 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 1 2 3 4 5 6 = 720 Kreizal Pi π π (geprocen: Pi) it nict nur der 16. Buctabe de griecicen Alpabet, ondern eit naezu 300 Jaren auc Symbol für da Verältni de Umfang eine Kreie zu einem Durcmeer. Die in Anlenung an den erten Buctaben de griecicen Worte für Kreilinie (peripereia). π = 3.14159265358979323846264 Ein Verecmid namen Weinmeiter crieb 1878 diee Gedict: Wie, o die π Mact erntlic o vielen viele Mü'! Lernt immerin, Jünglinge, leicte Verelein, Wie o zum Beipiel die, dürfte zu merken ein! Die Pointe dieer Ode an die Zal π: Eretzt man jede Wort durc die Zal einer Buctaben, o erält man die erten 24 Stellen der begerten Ziffernfolge. Recenoperationen 2+3=5 addieren, Addition Summand + Summand = Summe 7-3=4 ubtraieren, Subtraktion Minuend - Subtraend = Differenz 2 3=6 multiplizieren, Multiplikation Faktor Faktor = Produkt 8:2=4 dividieren, Diviion Dividend : Divior = Quotient 2³ =8 potenzieren, Potenz Bai oc Exponent = Potenz êx Quadratwurzel au x = x oc 1 / 2 ëx Kubikwurzel au x = x oc 1 / 3 Andere Zalenyteme Beim Zenerytem it die größte möglice Ziffer 9, d.. 10-1. Entprecende gilt auc für Syteme mit anderen Baen. Häufig ind die Baen 2, 8 und 16. Beipiel: 10 2 8 16 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 10 1010 12 A 11 1011 13 B 20 10100 24 14 uw. ARI-Gemeine_Brüce 4

Da Pacalce Dreieck 0. 1 1. 1 1 2. 1 2 1 3. 1 3 3 1 4. 1 4 6 4 1 5. 1 5 10 10 5 1 6. 1 6 15 20 15 6 1 7. 1 7 21 35 35 21 7 1 8. 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9. 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10. 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 11. 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 12. 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 13. 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1 14. 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 15. 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 16. 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1 17. 1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 18. 1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564 8568 3060 816 153 18 1 19. 1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388 27132 11628 3876 969 171 19 1 Blaie Pacal (19. Juni 1623 19. Augut 1662) war ein franzöicer Piloop, Pyiker und Matematiker. Da Pacalce Dreieck entält die Binomialkoeffizienten ( Computertecnik). Sie ind im Dreieck derart angeordnet, da ein Eintrag die Summe der zwei darüber teenden Einträge it. Der Name get auf Blaie Pacal zurück, obgleic da Pacalce Dreieck bereit im alten Cina bekannt war. Die natürlicen Zalen (1, 2, 3, 4, 5...) ind in der zweiten «Diagonalen» de Dreieck zu finden. Die Dreieckzalen (1, 3, 6, 10, 15...) ind in der dritten «Diagonalen» de Dreieck zu finden: Die Summe der Glieder der n-ten Zeile it 2 n (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,...). z. B. 2 4 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 ARI-Blaie_Pacal.fodt

Prozentrecnung Da Prozent Prozent (latein.: pro cent) bedeutet durc undert oder Hunderttel. Alo gilt: 5 100 =0.05=5 % 75 100 =0.75=75 % 25 1000 =0.025=2.5% Bei der Prozentrecnung get e immer um drei Werte: Grundwert: Prozentwert: Prozentatz: Ganze, Geamtmenge, Total Maß: je nac Aufgabe, z. B. Mencen, Kilometer, Liter uw. Anteil, Teil, Untermenge, Teil de Grundwerte Maß: gleic wie beim Grundwert Teil de Ganzen augedrückt in Hunderttel Maß: Prozent, % Prozentwert geuct In einer Sculklae beteend au 20 Scülern tragen 15 % eine Brille. Wie viele Scüler ind da? 15 20=3 Scüler oder 0.15 20=3 Scüler 100 Grundwert geuct In einer Sculklae tragen 3 Scüler oder 15 % eine Brille. Wie groß it die Klae? 3 100=20 Scüler oder 3:0.15=20 Scüler 15 Prozentatz geuct In einer Sculklae tragen 3 von 20 Scülern eine Brille. Wie viele Prozent ind da? 3 100=15 % oder 3 : 20 100=15 % 20 Prozentformel: Prozentwert= Prozentatz Grundwert 100 Grundwert= Prozentwert Prozentatz 100 Prozentatz= Prozentwert Grundwert 100 ARI-Prozent-Zinrecnung.fodt 1

Zinrecnung Wa bedeutet Zin? Wenn ein Kunde Geld (Kapital) zur Bank bringt, kann die Bank mit dieem Geld arbeiten. Für den Gebrauc de Gelde bezalt ie dem Kunden eine Art Miete, diee nennt man Zin. Die Gröe diee Zine wird in Prozent de Kapital angegeben, man nennt dieen Wert Zinfuß oder auc Zinatz. Der Zin wird järlic aubezalt. Wenn der Kunde nict unternimmt, wird der Zin automatic zu einem Kapital inzugezält. So vermert ic da Erparte auf der Bank. Gleice gilt, wenn man von der Bank Geld augelieen bekommt (Darleen, Kredit, Hypotek). Für da gelieene Geld entrictet man der Bank einen Zin, welcer mit dem Zinatz berecnet wird. Zuammenfaung: Kapital, Darleen: Zin: Zinatz, Zinfuß: Maß: CHF (Fr.), GB,, US$ uw. Maß: gleic wie beim Kapital Järlic zu bezalender Zin ( Geldmiete ), augedrückt in Hunderttel de Kapital. Maß: immer Prozent, % Zin geuct Wärend eine Jare befindet ic ein Kapital von CHF 1500. auf der Bank. Der Zinatz beträgt 3½%. Welcen Zin eralte ic dafür? 3.5 1500=0.035 1500=52.50 CHF 100 Kapital geuct Bei einem Zinfuß von 3½% bezalt mir die Bank am Jareende CHF 52.50 Zin. Wie groß war da Kapital? 52.50 100=1500 CHF oder 52.5 :0.035=1500 CHF 3.5 Zinatz (=Zinfuß) geuct Wie groß it der Zinatz für ein Konto, wenn ic für mein Kapital von CHF 1500. einen järlicen Zin von 52.50 CHF eralte? 52.50 100=3.5 %=3½ % 1500 Zinberecnung: Zin=Kapital Zinatz 100 Kapital =Zin 100 Zinatz Zinatz=100 Zin Kapital Z =K p 100 K = Z 100 p p= 100 Z K ARI-Prozent-Zinrecnung.fodt 2

Marczin Z M Wa bedeutet Marczin (=Stückzinen)? Der Zin wird normalerweie järlic aubezalt. Dealb gelten Zinätze grundätzlic immer für ein Jar. Wenn nun ein Kapital nur wärend einer gewien Zeit auf dem Konto verbleibt, mu mit einem entprecenden Bruc der errecnete Jarezin angepat werden (Da Bankjar recnet ic immer zu 12 Monaten rep. 360 Tagen!). Marczin Z M geuct Wärend 5 Monaten befindet ic ein Kapital von CHF 1500. auf der Bank. Der Zinatz beträgt 3½%. Welcen Zin eralte ic dafür? 1500 3.5 100 5 12 =21.90CHF Kapital K geuct Bei einem Zinfuß von 3½% bezalt mir die Bank nac 65 Tagen CHF 12.50 Zin. Wie groß war da Kapital? 12.50 100 3.5 360 =1978.00 CHF 65 Zinatz p geuct Wie groß it der Zinatz für ein Konto, wenn ic für mein Kapital von CHF 1500. einen albjärlicen Zin von 26.25 CHF eralte? 26.25 100 1500 12 6 =3.5 %=3½ % Marczinberecnung: Marczin=Kapital Zinfuß 100 Zeit Jar Kapital=Marczin 100 Zinfuß Jar Zeit Zinfuß=100 Marczin Jar Kapital Zeit Zeit=Jar Marczin 100 Kapital Zinfuß = K p t 100 J = Z M 100 J p t = 100 Z M J K t = J Z M 100 K p Hinwei: Zeit/Jar bedeutet Tage/360 oder Monate/12 ARI-Prozent-Zinrecnung.fodt 3

Zinezin Wa bedeutet Zinezin? Ganz einfac: Der Zin de Zine! Der Zin wird järlic aubezalt. Wenn der Kunde nict unternimmt, wird der Zin automatic zu einem Kapital inzugezält. Der o gewonnene Zin wird zum Kapital und trägt dealb im näcten Jar auc Zin. In der Praxi werden Zinezinberecnungen am einfacten mit Operatoren durcgefürt: Endkapital geuct Ein Kunde mact eine Einlage von CHF 500.. Wie viel beträgt ein Endkapital nac 3 Jaren bei einem kontanten Jarezin von 2½ %? 1. Jar 2. Jar 3. Jar 500 1.025 = 512.50 CHF 512.50 1.025 = 525.3125 CHF 525.3125 1.025 = 538.45 CHF Kaufm. Kurzformel: 500 1.025³ = 538.45 CHF Wealb eißt der Operator 1.025? 1 da Kapital + 0.025 da Kapital (au 2.5 : 100), zuammen 1.025 Anfangkapital geuct Nacdem ein Kunde wärend drei Jaren ein Konto nict angetatet at, beträgt der Saldo (Kontotand) 850.- CHF Wie groß war ein Anfangkapital, wenn der Zinatz tet 2¾% betrug? 3. Jar 2. Jar 1. Jar 850 : 1.0275 = 827.25 CHF 827.25 : 1.0275 = 805.11 CHF 805.11 : 1.0275 = 783.56 CHF Kaufm. Kurzformel: 850 : 1.0275³ = 783.56 CHF Kaufmännice Kurzformel Bankkaufleute bevorzugen folgende Formel, welce direkt da Endreultat liefert: Endkapital= Anfangkapital (1+ Zinatz 100 Die Umkerung: ) Jare kurz : K n = K 0 (1+ p 100 )n Anfangkapital= Endkapital (1+ Zinatz kurz : K 0 = ) Jare (1+ p 100 100 )n K n ARI-Prozent-Zinrecnung.fodt 4

Römice Zalen creiben Römice Zalen Um römice Zalen zu creiben, mut du die Werte der Ziffern und die Bedeutung irer Poition kennen: 1 I 11 XI I 1 2 II 12 XII V 5 3 III 13 XIII X 10 4 IV 14 XIV 5 V 15 XV L 50 6 VI 16 XVI C 100 7 VII 17 XVII D 500 (päter inzugefügt) 8 VIII 18 XVIII M 1000 (päter inzugefügt) 9 IX 19 XIX V 5000 (zuletzt inzugefügt: Untertric: 1000) 10 X 20 XX Wenn ic eine Ziffer ein, zwei oder dreimal wiederolt, dann zäle den Wert zuammen: XXX = 10 + 10 + 10 = 30 MM = 2000 V, L und D dürfen ic nict wiederolen. I, X, C und M dürfen öcten dreimal naceinander teen. Antatt eine Ziffer viermal zu creiben, creibt man ie nur einmal, gefolgt von der näctgröeren Ziffer: 4 creibt man nict IIII, ondern IV (I weniger al V) 9 creibt man nict VIIII, ondern IX (I weniger al X) Gleice gilt für 40, 90, 400, 900. Screibe die o enttandenen Gruppen in abteigender Ordnung: 794 = 500 + 200 + 90 + 4 = D + CC + XC + IV = DCCXCIV Die römicen Zalen funktionieren nur bi 3999 (MMMCMXCIX). Für gröere Zalen müte man den Zalen 5000, 10'000... auc Buctaben zuordnen. Römice Zalen leen Um römice Zalen zu leen, geen wir rückwärt vor. Wir leen in Gruppen von link nac rect, wobei eine Gruppe au einem einzelnen Buctaben oder folgenden Kombinationen beteen kann: IV, IX, XL, XC, CD, CM (= 4, 9, 40, 90, 400, 900). Die Gruppen erkennt man, wenn die Ziffern nict mer in abteigender Folge erceinen. Die Werte der Gruppen werden dann zuammengezält: MCMLXXXVI = M + CM + L + XXX + V + I = 1000 + 900 + 50 + 30 + 5 + 1 = 1986 MCMXCVIII = M + CM + XC + V + III = 1000 + 900 + 90 + 5 + 3 = 1998 MMVIII = 2008 Die römicen Zalen aben ire praktice Bedeutung nur noc in der Dartellung von Jarezalen und beim Nummerieren (Loui XIV). Uner arabic-indice Zenerytem it viel prakticer, weil wir ein Zeicen für Null aben und auc Brüce und negative Zalen creiben können. ARI-Römice Zalen.odt

Verciedene Zalenyteme Arabic Römic Binär Hexadezimal Bai: 10 10 2 16 2ⁿ 1 I 1 1 2 II 10 2 2¹ 3 III 11 3 4 IV 100 4 2² 5 V 101 5 6 VI 110 6 7 VII 111 7 8 VIII 1000 8 2³ 9 IX 1001 9 10 X 1010 A 11 XI 1011 B 12 XII 1100 C 13 XIII 1101 D 14 XIV 1110 E 15 XV 1111 F 16 XVI 10000 10 2 4 17 XVII 10001 11 18 XVIII 10010 12 19 XIX 10011 13 20 XX 10100 14 21 XXI 10101 15 22 XXII 10110 16 23 XXIII 10111 17 24 XXIV 11000 18 25 XXV 11001 19 26 XXVI 11010 1A 27 XXVII 11011 1B 28 XXVIII 11100 1C 29 XXIX 11101 1D 30 XXX 11110 1E 31 XXXI 11111 1F 32 XXXII 100000 20 2 5 33 XXXIII 100001 21 34 XXXIV 100010 22 35 XXXV 100011 23 36 XXXVI 100100 24 37 XXXVII 100101 25 38 XXXVIII 100110 26 39 XXXIX 100111 27 40 XL 101000 28 41 XLI 101001 29 42 XLII 101010 2A 43 XLIII 101011 2B 44 XLIV 101100 2C 45 XLV 101101 2D 46 XLVI 101110 2E 47 XLVII 101111 2F 48 XLVIII 110000 30 ARI-Tabelle-Zalenyteme(arab-roem-bin-ex).odt

Maße für Längen, Fläcen und Körper Längenmaße Fläcenmaße Holmaße mm mm² mm³ 10 100 1000 cm cm² cm³ 10 100 1000 dm dm² dm³ 10 100 1000 m m² m³ 10 100 1000 (DM) a 10 100 1000 (HM) a 10 100 1000 km km² km³ 1 dm³ = 1 dm 1 dm 1 dm = 10 cm 10 cm 10 cm = 1000 cm³ GEO-Längen-Fläcen-Holmaße.odt

Die gebräuclicten Maße 1 Längenmaße Kilometer 1 km = 1'000 m = 10'000 dm = 100'000 cm = 1'000'000 mm Meter 1 m = 10 dm = 100 cm = 1'000 mm Dezimeter 1 dm = 10 cm = 100 mm Zentimeter 1 cm = 10 mm Millimeter 1 mm Fläcenmaße Quadratkilometer 1 km² = 100 a = 10'000 a = 1'000'000 m² Hektare 1 a = 100 a = 10'000 m² Are 1 a 100 m² Quadratmeter 1 m² = 100 dm² = 10'000 cm² = 1'000'000 mm² Quadratdezimeter = 1 dm² = 100 cm² = 10'000 mm² Quadratzentimeter 1 cm² = 100 mm² Quadratmillimeter 1 mm² Holmaße (Körper, Volumen) Kubikkilometer 1 km³ = 1'000'000 m³ Kubikmeter 1 m³ = 1'000 dm³ = 1'000'000 cm³ = 1'000'000'000 mm³ Kubikdezimeter (1 Liter) = 1 dm³ = 1'000 cm³ = 1'000'000 mm³ Kubikzentimeter 1 cm³ = 1'000 mm³ Kubikmillimeter 1 mm³ Holmaße (Flüigkeiten) Liter (1 dm³) 1 l = 10 dl = 100 cl = 1'000 ml Deziliter (100 cm³) 1 dl = 10 cl = 100 ml Zentiliter (10 cm³) 1 cl = 10 ml Milliliter (1 cm³) = 1 ml Zuammentellung: Maße, die direkt auf dem Meter beruen Länge Fläce Körper km Kilometer km² Quadratkilometer km³ Kubikkilometer Hektometer * a Hektare Dekameter * a Are m Meter m² Quadratmeter m³ Kubikmeter dm Dezimeter dm² Quadratdezimeter dm³ Kubikdezimeter cm Zentimeter cm² Quadratzentimeter cm³ Kubikzentimeter mm Millimeter mm² Quadratmillimeter mm³ Kubikmillimeter *) elten verwendet Gewicte Tonne 1 t = 1'000 kg = 1'000'000 g = 1'000'000'000 mg Kilogramm 1 kg = 1'000 g = 1'000'000 mg Gramm 1 g = 1'000 mg Milligramm = 1 mg Immer eltener gebrauct wird der Zentner: 1q = 100 kg ARI-Wictige-Maße.odt Formeleft

Zeitmaße (auf dem Bankjar beruend) Jar 1 J = 12 Monate = 360 d Monat 1 M = 30 d Die gebräuclicten Maße 2 Zeitmaße (allgemein) Tag 1 d = 24 = 1'440 Min = 86'400 Sek Stunde 1 = 60 Min = 3'600 Sek Minute 1 = 60 Sek Sekunde 1 Sek Beipiele zur Umwandlung: a) 2.50 =?? Min c) 2 22'47" =? = 2 + 0.5 60 Min = 2 + 22/60 + 47 / 3600 = 2 30 Min = 2 + 0.33... + 0.0130555... = 2.3797222... b) 3.91 =?? Min? Sek. = 3 + 0.91 60 Min = 3 54.6 Min = 3 54 Min + 0.6 60 Sek. = 3 54 Min 36 Sek. Gecwindigkeit Gecwindigkeiten werden angegeben al Kilometer pro Stunde oder Meter pro Sekunde. Vermeide den matematic falcen Audruck Stundenkilometer! Umrecnung: 3.6 km/ = 1 m/ 1 km/ = 5 18 m/ = 0.2 7m/ Kurzbezeicnungen für Zenerpotenzen Multiplikationfaktor Potenz Voratz Kurzbezeicnung 1'000'000'000'000'000'000 10 18 Exa E 1'000'000'000'000'000 10 15 Peta P 1'000'000'000'000 10 12 Tera T 1'000'000'000 10 9 Giga G 1'000'000 10 6 Mega M 1'000 10 3 Kilo k 100 10 2 Hekto 10 10 1 Deka da 0.1 10-1 Dezi d 0.01 10-2 Zenti c 0.001 10-3 Milli m 0.000 001 10-6 Mikro µ 0.000 000 001 10-9 Nano n 0.000 000 000 001 10-12 Piko p 0.000 000 000 000 001 10-15 Femto f 0.000 000 000 000 000 001 10-18 Atto a ARI-Wictige-Maße.odt Formeleft

Die gebräuclicten Maße 3 Längenmaße Gebräuclice US-Maße 1" oder 1 in (inc) = 2.54 cm 1 cm = 0.393 700 787 401 574 8 in (inc) abgeleitet: 1 ft (foot) = 12 in 1 ft² (qft) = 0.092 903 04 m² 1 ft (foot) = 0.3048 m = 30.48 cm 1 ft³ (cft) = 0.028 316 846 592 m³ 1 m = 3.280 839 895 013 123 ft 1 m³ = 35.314 666 721 488 59 ft³ 1 yd (yard) = 3 ft 1 yd (yard) = 0.90144 m = 90.144 cm 1 m = 1.109 336 173 233 937 yd abgeleitet: 1 (mile) = 1760 yd 5 km/ = 3.107 mp 1 (mile) = 1.609 344 km 100 km/ = 62.137 mp 1 km = 0.621 371 192 237 334 mile 55 mp = 88.514 km/ Gewicte 1 oz. (Ounce) = 28.349 523 125 g (Gramm) 1 g = 0.035 273 961 949 580 4 oz. 1 P (Pound) = 16 oz. 1 P (Pound) = 0.453 592 37 kg 1 kg = 2.204622621848776 P Holmaße 1 Gal. (liquid Gallon) = 3.785 411 784 l (Liter) 1 l (Liter) = 0.264 172 052 358 148 4 Gal. Temperatur 100 F = 37.778 C 0 F = 17.778 C 100 C = 212 F 37 C = 98.6 F 0 C = 32 F ARI-Wictige-Maße.odt Formeleft

Zenerpotenzen die wiencaftlice Screibweie Mit der wiencaftlicen Screibweie (Zenerpotenzen) kann man er groe und er kleine Zalen auf einface Weie dartellen. Alle Zalen aben genau eine Werteziffer vor dem Komma, beliebig viele Nackommatellen, gefolgt vom Operator mit einer Zenerpotenz. Viele Tacenrecner kürzen die Dartellung ab: Menc: 3 10² TR Typ 1: 3.0 E02 TR Typ 2: 3.0 02 E = Zenerpotenz Kleine 02 = Zenerpotenz Uner Tacenrecner kann Zenerpotenzen nur dartellen, dagegen wird die Recnung 3² gleic augefürt 3² = 9. Groe Zalen ( 3.21 10 9 = 3'210'000'000 ) Uner TR it Typ 2: Texa Intrument TI-30 10er Potenz im Detail Zal Tacenrecner Typ 1 Typ 2 1 10 0 1 1 1 1.0 E 00 1.0 0 1 10 1 1 10 10 1.0 E 01 1.0 01 1 10 2 1 10 10 100 1.0 E 02 1.0 02 1 10 3 1 10 10 10 1'000 1.0 E 03 1.0 03 1 10 4 1 10 10 10 10 10'000 1.0 E 04 1.0 04 1 10 5 1 10 10 10 10 10 100'000 1.0 E 05 1.0 05 1 10 6 1 10 10 10 10 10 10 1'000'000 1.0 E 06 1.0 06 Kleine Zalen ( 4.5 10-8 = 0,000 000 045 ) 10er Potenz im Detail Zal Tacenrecner Typ 1 Typ 2 1 10-1 1 / 10 0.1 1.0 E-01 1.0-01 1 10-2 1 / (10 10) 0.01 1.0 E-02 1.0-02 1 10-3 1 / (10 10 10) 0.001 1.0 E-03 1.0-03 1 10-4 1 / (10 10 10 10) 0.000 1 1.0 E-04 1.0-04 1 10-5 1 / (10 10 10 10 10) 0.000 01 1.0 E-05 1.0-05 1 10-6 1 / (10 10 10 10 10 10) 0.000 001 1.0 E-06 1.0-06 Actung: Verwecle die Zenerpotenzen (Screibweie) nict mit beliebigen Potenzen: beliebige Potenz Zenerpotenz 2 3 = 2 2 2 = 8 aber 2 10 3 = 2 10 10 10 = 2000 TR (Tatplan): [ 2 ] [ y x ] [ 3 ] [ = ] 8 [ 2 ] [ EE ] [ 3 ] [ = ] 2000 ARI-Zenerpotenzen.odt Formeleft

Geometrie Gerade Halbgerade Strecke Scenkel Sceitel Winkel Scenkel Winkel meen 1. Geodreieck auf Sceitel. Nullpunkt! 2. Dreieck um 0 dreen bi ein Scenkel die lange Dreieckeite berürt und der andere Scenkel unter dem Dreieck liegt. 3. Wal der Skala: Die Skala, die vom berürenden Scenkel au anteigt. Hier: gelbe Skala 4. Grad ableen, fertig: 25 Die Winkelalbierende A

Die Mittelenkrecte Da Dreieck C γ Winkelumme im Dreieck Für alle Dreiecke gilt: Die Winkelumme α + β + γ beträgt 180 Grad. b a β B A α c Bezeicnungen Für geometricen Fläcen gelten folgende Abmacungen: Ecken werden im Gegenurzeigerinn mit Großbuctaben bezeicnet: A, B, C, D... Die Seiten bezeicnet man mit Kleinbuctaben (a, b, c, d...). Für die Winkel verwenden wir griecice Buctaben (α=alpa, β=beta, γ=gamma, δ=delta)

Bekannte Fläcen (Planimetrie) Recteck Dreieck d b g l Rombu (Raute) Parallelogramm g Quadrat Trapez p 1 d p p 2 Dracenviereck Unregelmäßige Viereck d 1 c d 2 d b a Krei Ellipe d Z r

Geometrice Grundformen: Dreiecke, Vierecke Vierecke unregelmäige Viereck Dracenviereck Trapez Parallelogramm Rombu Eigencaften: rectwinklige Diagonalen 1 parallele Seite 2 parallele Seiten rectwinklig 4 gleice Seiten gleic lange Diagonalen Diagonalen albieren ic unregelmäige Viereck Recteck Dracenviereck X Trapez X Parallelogramm X X Quadrat Rombu X X X X Recteck X X X X Quadrat X X X X X X Dreiecke unregelmäig gleiccenklig gleiceitig rectwinklig GEO-3Eck-4Eck.odt

Fläcengeometrie (Planimetrie) Eckige Fläcen Dreieck A= g 2 g= A 2 = A 2 g g Quadrat A= 2 u=4 d = A d= 2 Recteck d b A=l b b= A l l= A b l u=2 l 2 b =2 l b d = l 2 b 2 Rombu A= = A = A Parallelogramm A= g = A g g= A g p 1 Trapez p A= p p 1 2 2 p 2 Dracenviereck d 1 A= d 1 d 2 2 d 2 Verwendete Variablennamen: A für Fläce (area); u für Umfang, g für Grundlinie, für Höe, p für Parallele, d für Diagonale, für Seite GEO-Grundwien-Planimetrie.odt

Abbildungen A A' Acenpiegelung - Hilfgeraden rectwinklig auf g - Ditanz ga = ga' mit Zirkel abtragen B B' - Ditanz gb = gb' mit Zirkel abtragen - Ditanz gc = gc' mit Zirkel abtragen A C g C' A' g1 - Bildfigur it nict kongruent Sciebung - Hilfgeraden g1-g3 ind parallel (Geodreieck) B B' g2 - Ditanz AA' mit Zirkel auf BB' und CC' abtragen - Die Bildfigur A'B'C' it kongruent zu ABC A C C' C' g3 Punktpiegelung B Z - Hilfgeraden über Z verlängern B' - Ditanz ZA mit Zirkel auf ZA' abtragen - Ditanz ZB mit Zirkel auf ZB' abtragen - Ditanz ZC mit Zirkel auf ZC' abtragen C A' - Die Bildfigur A'B'C' it kongruent zu ABC, (die Punktepieglung it eine 180 -Dreung!) C Dreung A B - Kreibogen um Z durc Bildpunkte (Zirkel) - Zentriwinkel δ legt die Dreung fet - Weitere Bildpunkte mit Zirkel übertragen: AB = A'B' und AC = A'C' B' δ Z - Die Bildfigur A'B'C' it kongruent zu ABC, (die Punktepieglung it eine 180 -Dreung) C' A' Kongruenz Zwei Figuren ind kongruent, wenn ie deckunggleic ind, d.. man könnte ie übereinanderlegen. GEO-Abbildungen.odt

Da Dreieck γ C b b a a c A α c β B Bezeicnung Die Eckpunkte de Dreieck werden im Gegenurzeigerinn mit A, B und C bezeicnet. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird a, b bzw. c genannt. Die Winkel werden α, β und γ genannt. Berecnungen am Dreieck Die Fläce wird mit A (für lat. area) bezeicnet, g it die Grundlinie und die dazu geörende Höe: g Die Fläce de Dreieck it die Hälfte de umcreibenden Recteck: A= g 2 g= A 2 = A 2 g GEO-Dreieck.odt

Dreieck - Eigencaften A α Becriftung: c b B β 1) Eigencaften Die Winkelumme (Innenwinkel) bei Dreiecken it immer 180. In jedem Dreieck liegt der gröeren von zwei Seiten der gröere Winkel gegenüber. In jedem Dreieck it die Summe zweier Seiten tet länger al die dritte Seite. Da Zentrum de Umkreie wird durc den Scnittpunkt der Mittelenkrecten betimmt. Da Zentrum de Inkreie wird durc den Scnittpunkt der Winkelalbierenden betimmt. Der Scwerpunkt wird durc den Scnittpunkt der Seitenalbierenden betimmt. a γ C 2) Einteilung nac Seiten: nac Winkeln: unregelmäig pitzwinklig alle Seiten ind unterciedlic lang alle Innenwinkel ind pitz (kleiner al 90 ) gleiccenklig rectwinklig zwei gleic lange Seiten (Scenkel) ein Winkel mit 90 gleiceitig tumpfwinklig alle Seiten ind gleic lang (regelmäige Δ) ein Innenwinkel it tumpf (gröer al 90 ) 3) Änlickeit bei Dreiecken (Proportionalität) Dreiecke ind änlic wenn ie gleice Winkel aufweien. Dreiecke ind änlic wenn ire Seiten da gleice Längenverältni zueinander aben. 4) Kongruenz bei Dreiecken (Deckunggleiceit) SSS Dreiecke ind kongruent zueinander, wenn ie in den Längen der drei Seiten übereintimmen. Die Dreiecke timmen dann auc in den Winkelgröen überein. Beacte: Ein Dreieck it au drei Seiten nur dann kontruierbar, wenn gilt: In jedem Dreieck it die Summe zweier Seitenlängen tet gröer al die dritte Seitenlänge. SWS Dreiecke ind kongruent zueinander, wenn ie in den Längen zweier Seiten und der Gröe de eingecloenen Winkel übereintimmen. WSW (SWW) Dreiecke ind kongruent zueinander, wenn ie in der Länge einer Seite und den Gröen zweier Winkel übereintimmen. SSW Dreiecke ind kongruent zueinander, wenn ie in den Längen zweier Seiten und der Gröe de Winkel übereintimmen, welcer der längeren Seite gegenüberliegt. GEO-Dreieck.odt

Dreieck Umkrei Inkrei Scwerpunkt Da Zentrum de Umkreie liegt im Scnittpunkt der Mittelenkrecten. Da Zentrum de Inkreie liegt im Scnittpunkt der Winkelalbierenden. Der Scwerpunkt liegt im Scnittpunkt der Seitenalbierenden. A c = 8 cm I B S b = 12 cm U a = 16 cm C Kontruktion Kontruiere mit dem Zirkel zuert die Winkelalbierenden (2 genügen!). Markiere den Scnittpunkt S und kontruiere den dazugeörenden Inkrei. Kontruiere mit dem Zirkel die Mittelenkrecten (2 genügen!). Markiere den Scnittpunkt U und kontruiere den dazugeörenden Umkrei. Verbinde nun die Scnittpunkte Mittelenkrecte/Seite mit der gegenüberliegenden Ecke. Da ergibt die Seitenalbierenden (2 genügen!). Markiere den Scnittpunkt S. E it der Scwerpunkt de Dreieck. GEO-Dreieck-Umkrei-Inkrei-Scwerpunkt.odt

Prima Pyramide Kegel Prima V =l b S =2 (l b+l +b ) l b Quadratice Pyramide V = GF = 2 3 3 /2 S S =Grundfläce+Mantel =Quadrat+4 Dreieck = +4 ( ) 2 2 = 2 +2 +( = 2)2 2 Kegel V = GF = r2 π 3 3 S =Grundfläce+Mantel =r 2 π+r π =r π (r+ ) r = 2 +r 2 Merke: Da Volumen eine pitzen Körper (Pyramide, Kegel) beträgt ein Drittel dejenigen eine Prima gleicer Grundfläce und Höe. GEO-Prima-Pyramide-Kegel.odt

Körperberecnung Grundwien I Primen Der Quader l b Geamtkantenlänge G=4 l b Körperdiagonale D k = l 2 b 2 2 Mantel M =2 l b Oberfläce O=2 lb l b Volumen V =l b Der Kubu (Hexaeder, Würfel) Geamtkantenlänge G =12 Seitendiagonale D = 2 Körperdiagonale D k = 3 Mantel M =4 2 Oberfläce O=6 2 Volumen V = 3 Der Zylinder r Grundfläce S=r 2 Geamtkantenlänge G=2 r 2 Mantel M =2r Oberfläce O=2 r r Volumen V =r 2 II Spitze Körper Die (quadratice) Pyramide p Volumen V = 2 p 3 eitlice Höe = p2 2 2 Oberfläce O= 2 2 Der Kegel p Volumen V = r 2 p 3 eitlice Höe = p 2 r 2 Oberfläce O=r r r Die Kugel III Kugel (idealer Körper) M r Oberfläce O=4 r 2 Kugelzone Mantel M =2 r Volumen V = 4r3 3 GEO-Grundwien-Körper.odt

Berecnungen am regelmäigen Vieleck (Polygon) Beim regelmäigen Vieleck (auc n-eck) ind alle Seiten gleic lang und die Eckpunkte aben den gleicen Abtand zum Zentrum. Dealb kann man Polygone in einen Umkrei etzen. Eine einface Fläcenberecnung erreict man durc die Zerlegung de Polygon in n gleice Dreiecke: α α Die Fläce eine n-eck beträgt: A= n g 2 g g n = 5 n = 6 Die Winkeumme im n-eck beträgt: WS= n 2 180 Der Innenwinkel eine n-eck beträgt: = n 2 n 180 Die Anzal der Diagonalen eine n-eck it: D=n n 3 2 GEO-Polygone.odt

Der goldene Scnitt C A B M D E Goldener Scnitt - Kontruktion Im Krei: Radiu AM albieren: B Zirkel in B einetzen, BC = BD Zirkel in C einetzen, CD = CE CE it die Länge der Fünfeckeite MC it der Radiu de Umkreie. CD it die Länge der Fünfeckeite MD it die Länge der Zeneckeite Eine Strecke it im Goldenen Scnitt geteilt, wenn ic die ganze Strecke zum gröeren Abcnitt verält wie der gröere zum kleineren: a : b = b : c Abcnitt b eit Major, Abcnitt c Minor. Pentagon.odt

Fläcengeometrie (Planimetrie) Eckige Fläcen Dreieck A= g 2 g= A 2 = A 2 g g Quadrat A= 2 u=4 d = A d= 2 Recteck d b A=l b b= A l l= A b l u=2 l 2 b =2 l b d = l 2 b 2 Rombu A= = A = A Parallelogramm A= g = A g g= A g p 1 Trapez p A= p p 1 2 2 p 2 Dracenviereck d 1 A= d 1 d 2 2 d 2 Verwendete Variablennamen: A für Fläce (area); u für Umfang, g für Grundlinie, für Höe, p für Parallele, d für Diagonale, für Seite GEO-Grundwien-Planimetrie.odt

Der Kegel b α r r = Radiu der Grundfläce (Krei) = Körperöe (auc p oder p ) = eitlice Höe, Radiu de Mantel α = Zentriwinkel, Winkel de Mantel b = Kreibogen de Mantel od. Umfang der Grundfläce M = Mantel (Fläce) G = Grundfläce O = Oberfläce V = Volumen (Inalt) r= 360 r= 3 V π = 2 r 2 b= 2 π 360 = r 360 b=2 r π = b 360 2 π = 2 r 2 = 3 V G G=r 2 π G= 3 V M = 2 π 360 M =r π V = G 3 O=G M =r 2 π r π =r π r GEO-Kegel.odt

Der Krei t r = Radiu d = Durcmeer u = Umfang A = Fläce π (Pi) it da Verältni de Umfang eine Kreie zu einem Durcmeer. gerundete Angaben: d Z r e = Sene e = Sekante t = Tangente Z = Zentrum π = 3.141592654 (auf d. TR) π = 3 1 / 7 oder π = 22 / 7 Berecnungen am Krei u=d π u=2 r π Strecken: Fläce: A=r r π A=r 2 π d r d = u π r= u 2 π d=2 A π r= A π A= d 2 2 π Der Kreiektor Der Kreiring b r α A= r 2 π 360 A= r 2 π b U A= r 2 b 2 r =r b 2 r R A= R 2 π r 2 π A= R 2 r 2 π Der Kreiringektor Actung Maße! B Längenmaße: 1 cm = 10 mm r α b R A= R2 r 2 π 360 Fläcenmaße: 1 cm² = 100 mm² GEO-Krei.odt

Die Kugel M r Alle Punkte, die vom Mittelpunkt M gleic weit entfernt ind (Abtand r), bilden die Kugeloberfläce. Die Kugeloberfläce it viermal o groß wie die Kreifläce durc den Mittelpunkt M der Kugel (Äquatorfläce = größte Scnittfläce). Der Durcmeer der Äquatorfläce it d = 2r. Umfang u O u O =2r π Größte Scnittfläce A O A O =r 2 π r= 2 A O π Oberfläce S O S O =4 r 2 π r= 2 S O 4 π Kugelzone Mantel M O M O =2r π r= M O 2π Volumen V O V O = 4r3 π 3 r= 3 3V O 4π Alle Kugeln ind zueinander geometric änlic. Die Kugel beitzt unendlic viele Symmetrieebenen, nämlic die Ebenen durc den Kugelmittelpunkt. Ferner it die Kugel dreymmetric bezüglic jeder Ace durc den Mittelpunkt und jede Drewinkel und punktymmetric bezüglic ire Mittelpunkte. Die Kugel at die kleinte Oberfläce von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Fläcen mit vorgegebenen Fläceninalt umcließt ie da größte Volumen. Au dieem Grund tritt die Kugel auc in der Natur auf: Blaen (z.b. Seifenblae) und Waertropfen ind Kugeln, weil die Oberfläcenpannung veruct, die Oberfläce zu minimieren. Planeten ind Kugeln, weil ie bei irer Entteung flüig waren. Die matematice Kugel it eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln aben tet nur näerungweie Kugelform. Bereit Arcimede wute, da der einer Kugel umcriebene Zylinder da 3 / 2 -face Volumen der Kugel at. GEO-Kugel.odt

Die 5 platonicen Körper Name Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikoaeder Perpektivice Abbildung Abwicklung Seitenfläcen (Anzal, Art) 4 gleiceitige Dreiecke 6 Quadrate 8 gleiceitige Dreiecke 12 regelmäßige Fünfecke 20 gleiceitige Dreiecke Fläcen / Kanten / Ecken 4 / 6 / 4 6 / 12 / 8 8 / 12 / 6 12 / 30 / 20 20 / 30 / 12 Anzal Kanten pro Ecke 3 3 4 3 5 Volumen V = 2 12 a3 V =a 3 V = 2 3 a3 V = 1 4 15 7 5 a3 V = 5 12 3 5 a3 Oberfläce A O = 3 a 2 A O =6 a 2 A O =2 3 a 2 A O =3 25 10 5a 2 A O =5 3 a 2 Umkugelradiu Inkugelradiu r u = 6 4 a r u = 3 2 a r u = 2 2 a r u = 3 4 1 5 a r u = a 4 10 2 5 r i = 6 12 a r i = 1 2 a r i = 6 6 a r i = 5 20 50 22 5 a r i = a 12 3 3 5 GEO-Platonice_Körper.odt

Im rectwinkligen Dreieck gilt: Die dem recten Winkel anliegenden Seiten nennt man Kateten, die gegenüberliegende Seite Hypotenue. Da Hypotenuenquadrat it gleic der Summe der beiden Katetenquadrate. Der Satz de Pytagora C a² c 2 =a 2 +b 2 A b² b c a B nac Seiten aufgelöt : c= a 2 +b 2 b² c² a² + b² a² a= c 2 b 2 b= c 2 a 2 b² = 9 a² = 16 b = 3 a = 4 c² = 25 c = 5 Pytagora von Samo 570 510 a.c. GEO-Pytagora.odt

Pytagora: Fläcen und Raumdiagonalen Zur Berecnung der Fläcen und Raumdiagonalen verwenden wir den Satz de Pytagora: Katete 2 Katete 1 Hypotenue= Katete 1 2 +Katete 2 2 Hypotenue Quader Der Quader at drei unterciedlic lange Fläcendiagonalen. Die 4 Raumdiagonalen ind gleic lang. d 1 = l 2 +b 2 d 3 d 2 = l 2 + 2 d 2 d r d 3 = b 2 + 2 l d 1 b d r = d 1 2 + 2 = l 2 +b 2 + 2 Würfel Die Fläcendiagonalen de Würfel ind alle gleic lang. Auc die 4 Raumdiagonalen aben die gleice Länge. d r d f = 2 + 2 = 2 d r = d f 2 + 2 d f = 3 GEO-Pytagora.odt

Volumen Gewict (Mae) Dicte Berecnung Formel 1 dm³ 1 dm Mae=Volumen Dicte Volumen= Mae Dicte m=v V = m 1 dm 1 dm Dicte= Mae Volumen = m V Für reine Waer gilt: 1 dm³ = 1 Liter = 1 Kilogramm ( eit 1789) Jeder Stoff at eine eigene Dicte (Maendicte). Sie ängt neben der Becaffeneit de Stoff auc von einer Temperatur und einem Umgebungdruck ab. Die Dicte ρ (griecice Ro) wird al Verältnizal zur Dicte de Waer angegeben: Gebräuclice Maße für die Dicte ind g/cm³, kg/dm³ und t/m³ Maendicten einiger Stoffe bei 20ºC: Stoff Dicte in kg/dm³ Platin Pl 21.4 Gold Au 19.3 Uran U 19.16 Queckilber Hg 13.5459 Blei Pb 11.342 Silber Ag 10.49 Kupfer Cu 8.92 Eien Fe (auc Stal) 7.85 7.87 Titan Ti 4.5 Kolentoff C (Diamant) 3.51 Kolentoff C (Grapit) 2.26 Kolentoff C (Carbonfaer) 1.8 Kalktein 2.7 Aluminium Al 2.699 Beton 1.5 2.4 Sand (trocken) 1.5 1.6 Für Wibegierige: Ein Kilogramm it nict immer ein Kilogramm! Abängig vom Ort, an dem gemeen wird, it die Erdbecleunigung unterciedlic oc, daer gibt e elbt auf der der Erde Meunterciede (mit der Federwaage). Wenn man diee Unterciede berückictigt, prict man nict von Dicte, ondern von der Wicte (pezifice Gewict). ρ (kleine gr. Ro) Waer H 2 O 0.998 Waer dent ic bei inkenden Temperaturen Waer (bei 4ºC) 1.000 unter 4 C au. Man prict dealb von der Ei (bei 0ºC) 0.917 Anomalie de Waer (Unregelmäßigkeit). Fette 0.89 0.95 Papier 0.7 1.2 Holz (trocken) 0.4 0.8 Scaumtoffe 0.012 0.3 Gae werden meit in g/l (=g/dm³) angegeben: Stoff Dicte in g/l Stoff Dicte in g/l Helium He 0.1785 Sauertoff O 1.42895 Luft (N und O) 1.2930 Sticktoff N 1.2505 Metan CH 4 0.7168 Waertoff H 0.08988 GEO-Volumen-Gewict-Dicte.odt

Der Zylinder (Kreizylinder) Kreizylinder Berecnung: Legende: r G=r 2 π M =2 r π D=r 2 π S=G D M =2 r 2 π 2 r π =2 r π r V =G =r 2 π r = Radiu = Körperöe V = Volumen (Inalt) S = Oberfläce beteend au G = Grundfläce, M = Mantel (Fläce) D = Deckfläce Holzylinder Berecnung: Legende: r R G=R 2 π r 2 π = R 2 r 2 π r = Radiu (innen) R = Radiu (außen) S=2 R 2 π r 2 π 2 Rπ 2rπ =2 π R 2 r 2 2π R r V = R 2 π r 2 π = R 2 r 2 π Zylinderektor Berecnung: Legende: α r G= r 2 π 360 α = Zentriwinkel S=2r 2 π α 360 2r π α 360 2r V = r 2 π 360 Berecnung: Holzylinderektor (Sektor eine Holzylinder) G= R2 r 2 π 360 V = R2 r 2 π 360 GEO-Zylinder.odt

Da Koordinatenytem Auf geograpicen Karten wird die Erde mit einem Koordinatennetz überzogen. So kann man jeden Ort mit zwei Zalen adreieren. 0 (London) -180-150 -120-90 -60-30 30 60 90 120 150 180-90 (Nordpol) - 60-30 0 (Äquator) - 30 Breite (y-ace) - 60-90 (Südpol) Länge (x-ace) Die Stadt Bern at z.b. folgende Koordinaten: 46 57 4 nördlice Breite, 7 26 19 ötlice Länge / Google Map gibt die Koordinaten dezimal an: 46.946 nördlice Breite, 7.444 ötlice Länge. Der Einfaceit wegen ind poitive Grade immer nördlic rep. ötlic gemeint. Auf dem Tacenrecner laen ic die Koordinaten mit der DMS DD Funktion leict umrecnen (DMS = Degree/Second/Minute; DD = Decimal Degree). GEO-Koordinatenytem.odt

In der Matematik verwenden wir folgende Koordinatenytem: Ein Koordinatenytem betet au den zwei Koordinatenacen x und y. Der Punkt A at die Koordinaten (4 5). Der Punkt B at die Koordinaten (3 5). Der Nullpunkt at die Koordinaten (0 0). Koordinaten kennen wir auc au dem Spiel «Sciffe verenken». Hier gelten für die x Ace Buctaben und für die y Ace Ziffern. Nac dem gleicen Prinzip funktionieren auc die Computer und TV-Bildcirme. Der Einfaceit wegen werden nur nur poitive Zalen verwendet. Der Nullpunkt der x und y Ace liegt wie beim Sciffe verenken in der oberen linken Ecke de Bildcirm. GEO-Koordinatenytem.odt

Formelblatt Matematik Quadrat d a a Recteck d b a Parallelogramm b a Dreieck c b a Rectwinklige Dreieck (Pytagora) c b a A = a 2 d = a 2 d = a 1,414 u = 4a A = a b a = A / b b = A / a u = 2 ( a + b) a = u /2 -b A = a a = A / = A / a u = 2 ( a + b) a = u /2 -b A = a /2 a = 2A / = 2A / a u = a + b + c a = u -( b + c) c = a + b 2 2 2 b = c -a 2 2 2 a = c -b 2 2 2 a = c -b 2 2 a Reguläre Sececk Krei Kreiring u= d p d u = p d Kreiaucnitt (Sektor) b r d r d R D = a 3 = a 1,732 2 A= 3 a 3 2 2 A= d p 4 2 2 = p ( - ) 4 D d D= 4A 2 p + d d = 2 D - 4A p b = d p a 360 A= b d 4 d = r 2 A= r p 4 A b = d 2 2 2 A=p ( R - r ) 360 b d = p a a c Würfel Quader Zylinder V = r d = 2 Kugel a d D a p 4V p D O = r 2 p + 2 r p = 2 r p ( r+ ) d r b V = a 3 d = a 2 D = a 3 O = 6 a 2 V = a b c a = V b c V b = a c d 3 V = 4 r p 3 2 = d p Binomice Formeln 1. binomice Formel: ( a + b) = a + 2 ab + b Längenmaße Fläcenmaße Körpermaße Gewicte 1 g = 1000 mg 1 1 2 1 kg = 1000 g 1 t = 1000 kg (t = Tonne) Holmaße 2 2 2 2. binomice Formel: ( a - b) = a - 2 ab + b 2 2 2 3. binomice Formel: ( a + b)( a - b) = a - b 2 2 1 mm (Millimeter) = 1 /1000 m 1 cm (Zentimeter) = 1 /100 m = 10 mm 1 dm (Dezimeter) = 1 /10 m = 10 cm 1 m (Meter) =1 m = 10 dm 1 m (Hektometer) = 1 100 m = 100 m 2 2 1 cm = 100 mm 2 2 1 dm = 100 cm 2 2 1 m = 100 dm 2 1 a = 100 m = 10 m 10 m 1 a = 100 a = 100 m 100 m 2 1 km = 100 a = 1000 m 1000 m 1 cm = 1000 mm 3 3 1 dm = 1000 cm 3 3 1 m = 1000 dm 3 3 Abkürzungen a,b,c = Seiten d = Diagonale O = Oberfläce V = Volumen r = Radiu u = Umfang Latein. A = Fläce = Höe a = Alpa p @ 3.14 = Area r 2 p O = 4 r 1 ml (Milliliter) = 1 /1000 l 1 cl (Zentiliter) = 1 /100 l = 10 ml 1 dl (Deziliter) = 1 /10 l = 10 cl 1 l (Liter) = 1 Liter = 10 dl 1 l (Hektoliter) = 1 100 l = 100 l