Klassifikation diskreter Isometrien

Klassifikation diskreter Isometrien der Ebene Konrad Schöbel Mathematisches Institut Friedrich-Schiller-Universität Jena

Motivation Quelle: Wikipedia

Ziel Wir möchten die möglichen Symmetrien einer solchen Pflasterung beschreiben.

Wiederholung: Gruppen Definition Definition (G, ) Gruppe : 1. G Menge, : G G G binäre Operation 2. Assoziativität: g 1, g 2, g 3 G : (g 1 g 2 ) g 3 = g 1 (g 2 g 3 ) 3. neutrales Element: e G g G : 4. inverse Elemente: g G g 1 G : e g = g = g e g g 1 = e = g 1 g

Wiederholung: Gruppen Beispiele Beispiele orthogonale Gruppe: Drehungen und Geradenspiegelungen O(R 2 ) = { } g : R 2 R 2 : g(x) = Rx, R T R = Id Translationen: T (R 2 ) = {g : R 2 R 2 : g(x) = x + v, v R 2} Isometriegruppe: abstandstreue Abbildungen Isom(R 2 ) = {g : R 2 R 2 : g(x) = Rx + v, R T R = Id, v R 2} Untegruppe von Isometriegruppe

Wiederholung: Gruppen Beispiele R T R = Id +1 orientierungserhaltend det R = 1 orientierungsumkehrend Beispiele spezielle orthogonale Gruppe: Drehungen SO(R 2 ) = { g O(R 2 ) : g(x) = Rx, det R = +1 } orientierungserhaltende Isometrien Isom + (R 2 ) = { g Isom(R 2 ) : g(x) = Rx + v, det R = +1 }

Beobachtungen Symmetrien Gruppe G Die Kacheln sind alle kongruent. Untergruppe der Isometriegruppe: G Isom(R 2 ) Die Kacheln sind nur auf einer Seite bemalt. orientierungserhaltende Isometrien: G Isom + (R 2 ) Die Kacheln häufen sich nicht an einer Stelle. Schwerpunkte bilden diskrete Menge. }{{} wird erklärt

Diskrete Mengen Definition M R 2 diskret : p M ε > 0 : M B ε (p) = {p} wobei B ε (p) := {x R 2 : x p < ε} die Kugel um p mit Radius ε ist. Beispiele Endliche Teilmengen sind diskret. {(1/n, 0) : n N } diskret. {(1/n, 0) : n N } {(0, 0)} nicht diskret.

Orbits Definition G Isom(R 2 ) Untergruppe Gp := { g(p) R 2 : g G } G-Orbit des Punktes p R 2 Beispiele G = O(R 2 ), p O G = O(R 2 ), p = O G = T (R 2 ) G = Z 2 T (R 2 )

Diskrete Gruppenwirkungen Definition Eine Untergruppe G Isom(R 2 ) wirkt diskret : p R 2 : Gp diskret in R 2 Beispiele Jede endliche Gruppe wirkt diskret. O(R 2 ) wirkt nicht diskret. T (R 2 ) wirkt nicht diskret. Z 2 T (R 2 ) wirkt diskret. Q 2 T (R 2 ) wirkt nicht diskret.

Ziel Mathematische Formulierung Klassifikation der diskreten Untergruppen der ebenen Isometriegruppe G Isom(R 2 )

Diskrete Untergruppen von Isom(R 2 ) Wir unterscheiden diskrete Untergruppen G Isom(R 2 ) nach: orientierungserhaltend oder nicht G Isom + (R 2 ) G Isom + (R 2 ) der Anzahl # der Translationsrichtungen # Translationen G Isom(R 2 ) 0 nur die triviale Punktgruppen 1 in nur einer Richtung Friesgruppen 2 in mehreren Richtungen Ornamentgruppen

Gliederung Diskrete Untergruppen von Isom + (R 2 ) Orientierungserhaltende Punktgruppen Orientierungserhaltende Friesgruppen Orientierungserhaltende Ornamentgruppen Diskrete Untergruppen von Isom(R 2 ) Punktgruppen Friesgruppen Ornamentgruppen Verallgemeinerungen

Orientierungserhaltende Punktgruppen Voraussetzungen G Isom(R 2 ) Untergruppe G wirkt diskret G orientierungserhaltend: G Isom + (R 2 ) G enthält keine nichttriviale Translation: T := G T (R 2 ) = {Id} Satz Jede Untergruppe G Isom(R 2 ) mit den obigen Eigenschaften ist eine Gruppe von Rotationen um Vielfache von 2π n für ein n N um ein und das selbe Drehzentum. Insbesondere ist G endlich.

Wir betrachten zwei nichttriviale ebene Drehungen g 1, g 2 mit den Drehzentren z 1, z 2. Diese haben die Gestalt g i (x) = R i (x z i ) + z i i = 1, 2 mit R i = R(α i ) für 0 < α i < 2π, wobei ( ) cos α sin α R(α) =. sin α cos α Wir berechnen das Produkt g 1 g 2 g 1 1 g 1 2 : g 1 g 2 g 1 1 g 1 (x) = g 2 1 (g 2 (g 1 (g 1 (x)))) 1 2 = R 1 (R 2 (R 1 1 = R 1 R 2 R 1 1 (R 1 (x z 2 2 ) + z 2 z 1 ) + z 1 z 2 ) + z 2 z 1 ) + z 1 R 1 (x z 2 2 ) + R 1 R 2 R 1 (z 1 2 z 1 ) + R 1 R 2 (z 1 z 2 ) + R 1 (z 2 z 1 ) + z 1.

Wie man leicht nachrechnet, ist R 1 R 2 = R(α 1 )R(α 2 ) = R(α 1 + α 2 ), weshalb R 1 und R 2 vertauschen: R 2 R 1 = R 1 R 2. Folglich ist R 1 R 2 R 1 R 1 R 2 R 1 1 = R 2 R 1 R 1 1 g 1 g 2 g 1 1 1 R 1 = R 2 und somit 2 = R 2 R 1 R 1 1 R 1 2 = Id sowie g 1 (x) = (x z 2 2 ) + R 2 (z 2 z 1 ) + R 1 R 2 (z 1 z 2 ) + R 1 (z 2 z 1 ) + z 1 = x + (R 1 Id)(R 2 Id)(z 1 z 2 ). Dies ist offensichtlich eine Verschiebung. Da G eine Gruppe ist, liegt mit g 1, g 2 auch g 1 g 2 g 1 1 g 1 2 wieder in G.

Nach Voraussetzung enthält G aber nur Drehungen. Damit muss diese Verschiebung trivial sein. Das heisst, der Verschiebungsvektor verschwindet: (R 1 Id)(R 2 Id)(z 2 z 1 ) = 0. ( ) Weil wir zwei nicht triviale Drehungen g 1 und g 2 betrachtet haben, sind α 1 und α 2 von Null verschieden, die Matrizen (R 1 Id) und (R 2 Id) wegen det(r i Id) = det ( ) cos αi 1 sin α i = 2(1 cos α sin α i cos α i 1 i ) 0. also invertierbar. Multiplizieren wir ( ) von links mit den Inversen (R 1 Id) 1 und (R 2 Id) 1, so erhalten wir z 1 z 2 = 0. Damit ist z 1 = z 2. Da die beiden Drehung g 1, g 2 ansonsten beliebig waren, haben alle Drehungen in G das selbe Drehzentrum und der Satz ist bewiesen.

Orientierungserhaltende Friesgruppen Klassifikation Voraussetzungen G Isom(R 2 ) Untergruppe G wirkt diskret G orientierungserhaltend: G Isom + (R 2 ) G enthält Translationen in genau einer Richtung v 0: g T := G T (R 2 ) λ R : g(x) = x + λv Bsp. Die folgende zwei Untergruppe der Isom + erfüllt diese Voraussetzungen: die Gruppe generiert durch eine Translation sowie die Gruppe generiert durch zwei Punktspiegelung bzgl. verschidenen Centren. Satz Jede Untergruppe G Isom(R 2 ) mit den obigen Eigenschaften ist eine der beiden orientierungserhaltenden Friesgruppen. Lemma

Dann enthält G Translationen in nur zwei Richtungen. Orientierungserhaltende Ornamentgruppen Klassifikation Voraussetzungen G Isom(R 2 ) Untergruppe G wirkt diskret G orientierungserhaltend: G Isom + (R 2 ) G enthält Translationen in mehr als einer Richtung Bsp. Die Gruppe generiert durch 2 linear unabhängigen Translationen sowie eine Drehung durch Winkel 0, π 4, π 3, π oder π erfüllt die Voraussetzungen 2 Satz Jede Untergruppe G Isom(R 2 ) mit den obigen Eigenschaften ist eine der fünf orientierungserhaltenden Ornamentgruppen. Lemma Sei G Isom(R 2 ) eine Gruppe mit den obigen Eigenschaften und T := G T (R 2 ) die Untergruppe der Translationen in G.

Diskrete Untergruppen von Isom(R 2 ) G Isom + (R 2 ) Isom(R 2 ) Punktgruppen C n C n & D n Friesgruppen 2 7 Ornamentgruppen 5 17

Verallgemeinerungen Raumgruppen: höhere Dimensionen Bravais-Gitter irreguläre Pflasterungen: Quasigruppen andere Räume Sphäre hyperbolischer Raum Torus... Quasikristalle und