VO Assetmanagement Alexander Brauneis SoSe 2009 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 1 / 78
Übersicht Bonds Bond Portfolio Management Das Barwertkonzept und Stückzinsen Zinsstrukturkurve Convexity Alternative Duration Maße Immunisierung gegen Zinsänderungen Stock Portfolio Management P-Wertpapierfall Derivative Securities Swaps Optionsstrategien Binomial Option Pricing Das Black-Scholes Modell Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 2 / 78
Anleihen Bonds Valuation & Accrued Interests Durch fixen Zahlungsstrom - Kupon und Tilgungszahlung zu fixierten Zeitpunkten - gekennzeichnet (Fixed Income Securities) Bewertung durch Diskontierung der versprochenen Zahlungen Kuponzahlungen während, Tilgung idr am Ende der Laufzeit Wahl eines entsprechenden Kalkulationszinssatzes Beispiel Endfällige Anleihe mit dreijähriger Restlaufzeit, Kupon 10, Tilgung 100, Marktzinssatz 10%, daraus ergibt sich folgender Barwert ( = fairer Marktpreis der Anleihe) 10 (1 + 0,1) 1 + 10 (1 + 0, 1) 2 + 110 (1 + 0, 1) 3 = 100 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 3 / 78
Das Barwertkonzept I Bonds Valuation & Accrued Interests Der heutige Marktwert (Present Value - PV) ergibt sich aus den abgezinsten Kupon- und Tilgunszahlungen: Present Value PV = n K(1 + i) t + T(1 + i) n Das Endvermögen (Future Value - FV) aus dem Investment ist: Future Value t=1 FV = PV (1 + i) n Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 4 / 78
Das Barwertkonzept II Bonds Valuation & Accrued Interests Der Wert zum unterjährigen Zeitpunkt t = τ, ist daher: Unterjähriger Wert der Anleihe V τ = PV(1 + i) τ Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 5 / 78
Stückzinsen I Bonds Valuation & Accrued Interests Im Zeitablauf anwachsende Zinsen (Stückzinsen, accrued interest), verändern den Wert einer Anleihe. Am Kupontag wird diese Wertsteigerung durch einen Abschlag wieder reduziert. Herausfiltern der kuponinduzierten Wertsteigerungen. Clean Price vs. Dirty Price Grundsätzlich notieren Anleihen exklusive der aufgelaufenen Zinsen, somit werden kuponbedingte Kursschwankungen der Anleihe eliminiert Anleihen mit abweichenden Kuponterminen werden so vergleichbar Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 6 / 78
Beispiel I Bonds Valuation & Accrued Interests Beispiel Endfällige Anleihe mit dreijähriger Restlaufzeit, Kupon 10, Tilgung 100, Marktzinssatz 10%, daraus ergeben sich zu verschiedenen Zeitpunkten folgende Dirty Prices: t = 0 t = 0.5 t = 1 t = 1 + Dirty Price 100 104.88 110 100 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 7 / 78
Stückzinsen II Bonds Valuation & Accrued Interests Die nachstehende Bewertungsgleichung enthält noch die reinvestierten Stückzinsen, die heraus gerechnet werden müssen. V τ = PV(1 + i) τ Die jährliche Zinsleistung beträgt K. Dies entspricht der Verzinsung eines Kapitals in Höhe von K i. Bis zum (unterjährigen) Zeitpunkt t = τ sind daher Stückzinsen in folgender Höhe angefallen: Stückzinsen K [(1 + i) τ 1] i Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 8 / 78
Stückzinsen III Bonds Valuation & Accrued Interests Der Clean Price der Anleihe beträgt also: Clean Price V ex τ = PV(1 + i) τ K i [(1 + i)τ 1] Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 9 / 78
Beispiel II Bonds Valuation & Accrued Interests Fortsetzung des Beispiels Endfällige Anleihe mit dreijähriger Restlaufzeit, Kupon 10, Tilgung 100, Marktzinssatz 10%, daraus ergeben sich zu verschiedenen Zeitpunkten folgende Clean Prices: t = 0 t = 0.5 t = 1 t = 1 + Clean Price 100 100 100 100 Stückzinsen 0 4,88 10 0 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 10 / 78
Term Structure of Interest Bonds Term Structure Beziehung zwischen Verzinsung (Yield to Maturity) und Restlaufzeit (Term to Maturity) einer Anleihe Betrachtung mehrerer Anleihen einer Risikoklasse (Ausfallsrisiko), z.b. österreichische Staatsanleihen, U.S. Treasury Bonds Form und Dynamik der Zinsstrukturkurve maßgeblich für Anlageentscheidungen Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 11 / 78
Bonds Term Structure Konstruktion der Zinsstrukturkurve 0.038 Term Structure of Interest (15.02.2006 Germany) 0.036 0.034 Yield to Maturity [ p.a. ] 0.032 0.03 0.028 0.026 0.024 0.022 0 2 4 6 8 10 Term to Maturity [ years ] Daten: http://www.onvista.de Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 12 / 78
Bonds Formen der Zinsstrukturkurve Term Structure 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 Hump Shaped 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 Flat 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 Normal 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 Inverse 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 13 / 78
Yield to Maturity Bonds Term Structure Durchschnittliche jährliche Verzinsung der Anleihe, wenn diese bis zum Verfalltag gehalten wird Berechnung Arithmetic YtM, Durchschnitt der erwarteten Jahresrenditen Geometric YtM Internal YtM, Zinssatz bei dessen Verwendung als Diskontsatz der Barwert der Kupon- und Tilgungszahlung(en) dem Kaufpreis entspricht, Berechnung z.b. mittels ISMA-Methode (vgl. Interner Zinssatz - Investitionsrechnung) Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 14 / 78
ISMA-Methode Bonds Term Structure International Securities Market Association Üblich in Österreich und an den Euromärkten Berücksichtigung täglich anfallender Stückzinsen Rendite nach ISMA Lösung für i durch Iterieren siehe z.b. Renditerechner V cum τ = n [ K (1 + i) t+τ ] + T (1 + i) n+τ t=1 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 15 / 78
Bonds Spot rates - Forward rates I Spot & Forward Rates Ermitteln der fristigkeitsabhängigen Zinssätze (Spot rates) aus beobachteten Marktpreisen Beispiel Kurs Kupon Restlaufzeit Tilgung A1 100 6 1 102 A2 100,82 7 2 99 A3 110,54 8 3 100 100 = (102 + 6)(1 + 0 i 1 ) 1 0 i 1 = 8% 100, 82 = 7(1 + 0 i 1 ) 1 + (99 + 7)(1 + 0 i 2 ) 2 0 i 2 = 6% 110, 54 = 8(1 + 0 i 1 ) 1 + 8(1 + 0 i 2 ) 2 + (100 + 8)(1 + 0 i 3 ) 3 0 i 3 = 4% Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 16 / 78
Bonds Spot rates - Forward rates II Spot & Forward Rates Wird zu t = 0 eine zweijährige Anleihe erworben, erzielt man im ersten Jahr eine Rendite von 0 i 1 und im zweiten Jahr eine sich implizit aus 0 i 2 ergebende Rendite von 1 f 2 Über 1 f 2 besteht keine Ungewissheit, 1 f 2 heißt Forward rate. 1f 2 eignet sich als Schätzwert für zukünftige (erwartete) Spot rates Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 17 / 78
Bonds Spot rates - Forward rates III Spot & Forward Rates Aus dem heute bekannten Preisgefüge lassen sich in weiterer Folge zukünftige, (erwartete) Spot rates ableiten, da gelten soll: Ermittlung Forward rates (1 + 0 i t) t = (1 + 0 i t 1 ) t 1 (1 + t 1 i t) Ein zweiperiodiges Investment soll demnach die selbe Rendite erbringen, wie zwei aufeinander folgende einperiodige Investments. Fortsetzung des Beispiels (1 + 0.06) 2 = (1 + 0.08) (1 + E[ 1 i 2 ]) E[ 1 i 2 ] = 4.04% (1 + 0.04) 3 = (1 + 0.06) 2 (1 + E[ 2 i 3 ]) E[ 2 i 3 ] = 0.11% (1 + 0.04) 3 = (1 + 0.08) (1 + E[ 1 i 3 ]) 2 E[ 1 i 3 ] = 2.06% Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 18 / 78
Bonds Interest Rate Risk - Duration Interest Rate Risk Preis einer Anleihe bestimmt durch herrschende Marktzinsen Steigende/sinkende Zinsen führen zu sinkenden/steigenden Preisen Für jedem Zahlungsstrom existiert ein Zeitpunkt, in dem geplanter und tatsächlicher Wertverlauf einander entsprechen Die tatsächliche Wertverlaufskurve ist abhängig vom Ausmaß der Zinsänderung Es gibt jedoch einen Zeitpunkt D, wo der tatsächliche Wert der Anleihe mindestens so groß ist, wie der geplante Dieser Zeitpunkt heißt Duration und bezeichnet jenen Zeitpunkt, wo völlige Immunisierung gegenüber Zinsänderungen gegeben ist Definition der Duration nach Macaulay (1938): Macaulay Duration t Zt(1 + i) t D M = PV Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 19 / 78
Beispiel Bonds Interest Rate Risk Beispiel Anleihe mit dreijähriger Restlaufzeit, Kupon 10, Tilgung 100, Marktzinssatz 10%. D M = 2.7355 Vermögen zum Zeitpunkt t = 2.7355 für verschiedene Marktzinssätze: Zwei Effekte: i = 10% i = 5% i = 15% K 1 : 10 10 1.1 1.7355 10 1.05 1.7355 10 1.15 1.7355 K 2 : 10 10 1.1 0.7355 10 1.05 0.7355 10 1.15 0.7355 Marktwert 110 1.1 0.2645 110 1.05 0.2645 110 1.15 0.2645 129.787 129.839 129.836 Price effect: Durch variierende Marktzinsen schwankt der Preis der Anleihe Reinvestment effect: Geänderte Bedingungen für die Reinvestition der Kuponzahlungen Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 20 / 78
Bonds Interest Rate Risk Immunisierung zu einem beliebigen Zeitpunkt I Durch Kombination zweier Zahlungsströme mit einer Duration von D 1 bzw. D 2 lässt sich ein Portfolio zusammenstellen, dessen Duration je nach Gewichtung der einzelnen Zahlungströme zwischen D 1 und D 2 liegt Dadurch lässt sich eine Immunisierung gegenüber Zinsänderungen zu einem beliebigen Zeitpunkt erreichen Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 21 / 78
Bonds Interest Rate Risk Immunisierung zu einem beliebigen Zeitpunkt II Die Duration des Portfolios lautet: D PF = w D 1 + PV 1 PV 2 (1 w) D 2 Soll zum Zeitpunkt D = D Immunisierung erreicht werden, gilt: Gewichtung des Immnunisierungsportfolios w 1 = PV 1 PV 2 D 2 D PV 1 PV 2 D 2 D 1 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 22 / 78
Duration als Risikomaß Bonds Risk Measures Die Kennzahl Duration lässt sich, leicht modifiziert, für die Beurteilung des Price effects D verwenden. Die Modified Duration (MD) ist definiert als die Dollar Duration (DD) ist 1+i D definiert als PV, damit kann näherungsweise Preisänderungen einer Anleihe nach 1+i Änderung des maßgeblichen Marktzinssatzes berechnet werden. Die prozentuelle Preisänderung der Anleihe ist PV PV MD i Die absolute Preisänderung der Anleihe ist PV DD i Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 23 / 78
Zinselastizität Bonds Risk Measures Gibt an, wie sensibel der Barwert auf Zinsänderungen reagiert. Zinselastizität ǫ = MD i Interpretation: Prozentuelle Änderung des Barwerts wenn die Zinsen um 1% (nicht 1%-Punkt!) steigen. Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 24 / 78
Basis Point Value Bonds Risk Measures Gibt die absolute Veränderung des Anleihenpreises an, wenn sich die Zinsen um einen Basispunkt verändern. ( i = 0.0001) Basis Point Value Interpretation: Wie Dollar Duration BPV = DD 0,0001 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 25 / 78
Convexity I Bonds Risk Measures Die tatsächliche absolute Änderung des Preises einer Anleihe folgt keiner linearen Funktion wie es durch MD und DD implizit unterstellt wird. Je größer die Zinsänderung, desto weiter weicht die Approximation der Wertänderung durch MD und DD vom wahren Wert ab. Die Convexity (C) ist ein Ausgleichsterm, der die mangelhafte Näherung ausgleichen soll. Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 26 / 78
Convexity II Bonds Risk Measures Die Convexity berücksichtigt Barwertänderungen zweiter Ordnung und ist formal die zweite Ableitung der Barwertfunktion einer Anleihe nach dem Zinssatz geteilt durch den PV: Convexity (t + 1) t Zt(1 + i) t C = (1 + i) 2 PV Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 27 / 78
Beispiel Bonds Risk Measures Beispiel Anleihe mit dreijähriger Restlaufzeit, K = 10, T = 100, i = 10%, PV = 100, die Convexity ist dann: 1 (1 + 1) 10 1.1 1 + 2 (2 + 1) 10 1.1 2 + 3 (3 + 1) 110 1.1 3 100 1.1 2 = 8.76 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 28 / 78
Convexity III Bonds Risk Measures Die Convexity verbessert das Ergebnis der Schätzung der Barwertänderung einer Anleihe nach Zinsänderungen Die prozentuelle Preisänderung der Anleihe ist PV PV MD i + 1 2 C ( i)2 Die absolute Preisänderung der Anleihe ist PV DD i + 1 DC ( i)2 2 wobei DC die Dollar Convexity bezeichnet (DC = C PV) Das Vorzeichen der Convexity ist stets positiv und gleicht somit die Unterschätzung des geänderten Werts einer Anleihe aus. Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 29 / 78
Bonds Alternative Duration Maße Risk Measures Angesichts der idr nicht-flachen Zinsstrukturkurve ist eine Adaptierung der Macaulay Duration erforderlich Die Fisher-Weil Duration geht ebenfalls von einer Parallelverschiebung der Zinsstrukturkurve aus, berücksichtigt jedoch die fristigkeitsabhängigen Zinssätze. Definition der Duration nach Fisher/Weil (1971): Fisher/Weil Duration t Zt(1 + 0 i t) t D F/W = PV Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 30 / 78
Beispiel I Bonds Risk Measures Beispiel Anleihe mit zweijähriger Restlaufzeit; Z 1 = 10, Z 2 = 100. Die aktuellen Spot rates lauten 0i 1 = 5% und 0 i 2 = 15%. Der aktuelle Preis der Anleihe lautet somit 85.14, daraus ergibt sich eine Yield to Maturity von 14.41% Macaulay-Duration: D M = 1 10 1.1441 1 + 2 100 1.1441 2 85.14 = 1.8973 Fisher-Weil-Duration: D F/W = 1 10 1.05 1 + 2 100 1.15 2 85.14 = 1.888 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 31 / 78
Beispiel II Bonds Risk Measures Beispiel Geplantes Vermögen unter Berücksichtigung der tatsächlichen Termstructure, 1f 2 = 1.15 2 /1.05 1 = 25.95% Geplantes Vermögen zu t = D M : V DM = 10 (1 + 0.2595) 0.8973 + 100 (1 + 0.2595) 0.1027 = 109.9594 Geplantes Vermögen zu t = D F/W : V DF/W = 10 (1 + 0.2595) 0.888 + 100 (1 + 0.2595) 0.112 = 109.7263 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 32 / 78
Beispiel III Bonds Risk Measures Beispiel Spot rates sinken um 2%-Punkte, 0 i 1 = 3% und 0 i 2 = 13% 1 f 2 = 1.13 2 /1.03 1 = 23.97% Tatsächliches Vermögen zu t = D M : V DM = 10 (1 + 0.2397) 0.8973 + 100 (1 + 0.2397) 0.1027 = 109.9448 Tatsächliches Vermögen zu t = D F/W : V DF/W = 10 (1 + 0.2397) 0.888 + 100 (1 + 0.2397) 0.112 = 109.7276 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 33 / 78
Beispiel IV Bonds Risk Measures Beispiel Spot rates steigen um 2%-Punkte, 0 i 1 = 7% und 0 i 2 = 17% 1 f 2 = 1.17 2 /1.07 1 = 27.93% Tatsächliches Vermögen zu t = D M : V DM = 10 (1 + 0.2793) 0.8973 + 100 (1 + 0.2793) 0.1027 = 109.9766 Tatsächliches Vermögen zu t = D F/W : V DF/W = 10 (1 + 0.2793) 0.888 + 100 (1 + 0.2793) 0.112 = 109.7276 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 34 / 78
Bonds Risk Measures Zusammenfassung - Fisher/Weil Duration Kritik: Die Zinsstrukturkurve ist entgegen der Annahme der Macaulay-Duration nicht flach Parallelverschiebung der Term Structure of Interest Immunisierung gegen Zinsänderungsrisiken bei nicht-flacher Zinsstruktur Nicht ausschließliche Parallelverschiebung der Zinsstruktur Komponenten: (z.b. ermittelbar durch PCA) Shift Twist Butterfly Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 35 / 78
Bonds Bond Portfolio Management Portfolio Strategies Passive Strategies 1 Indexing Strategies 2 Cash Matching Strategies 3 Immunization Strategies Active Strategies 1 Substitution Swap 2 Pure Yield Pickup Swap 3 Rate-anticipation Swap Contingent Immunization Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 36 / 78
Cash Matching Bonds Portfolio Strategies Denkbar etwa bei fully funded Pensionsfonds Üblicherweise multi-period liabilities Einmalinvestment zu Beginn der Zahlungsverpflichtungen ist dem Zinsänderungsrisiko ausgesetzt Cash-Matching durch Übereinstimmen des Auszahlungsstroms und des Einzahlungsstroms Kauf einer Anzahl von Zero-Bonds mit entsprechenden Laufzeiten (stripped bonds) Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 37 / 78
Übersicht Stocks Bond Portfolio Management Das Barwertkonzept und Stückzinsen Zinsstrukturkurve Convexity Alternative Duration Maße Immunisierung gegen Zinsänderungen Stock Portfolio Management P-Wertpapierfall Derivative Securities Swaps Optionsstrategien Binomial Option Pricing Das Black-Scholes Modell Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 38 / 78
Portfolio I Stocks Portfolio Theory Bündel von Investitionsobjekten, Zusammenstellung mehrerer (verschieden) gewichteter Wertpapiere Gewicht des i-ten Wertpapiers w i Eventuell beinhaltet das PF auch leerverkaufte Wertpapiere negative Gewichtung Die Rendite ergibt sich aus den gewichteten Einzelrenditen Für den P-Wertpapierfall ergibt sich: Portfoliorendite r PF = P w i r i = w T r i=1 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 39 / 78
Portfolio II Stocks Portfolio Theory Berücksichtigung risikomindernder Effekte Risiko eines Einzeltitels durch Varianz bzw. Standardabweichung der Renditen gemessen Varianz des i-ten Wertpapiers σ 2 i bzw. σ ii Kovarianz als Maß für Beziehung zweier Wertpapiere zueinander Kovarianz zwischen i-tem und j-tem Wertpaier σ ij (bzw. Cov i,j ) Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 40 / 78
Portfolio III Stocks Portfolio Theory Für den P-Wertpapierfall ergibt sich: Portfoliorisiko P σpf 2 = P w i w j σ ij i=1 j=1 σpf 2 = wt K w Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 41 / 78
Beispiel I Stocks Portfolio Theory Beispiel Aktie 2002 2003 2004 2005 r σ 2 A 4 6 2 8 5 5 B 8 2 10 12 8 14 C -5 7 11 15 7 56 σ A,B = 0 σ A,C = 6 σ B,C = 10 K = 5 0 6 0 14 10 6 10 56 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 42 / 78
Beispiel II Stocks Portfolio Theory Beispiel Portfolio, bestehend aus 20% A, 30% B und 50% C: r PF = ( 0.2 0.3 0.5 ) 5 8 = 6.9 7 σpf 2 = ( 0.2 0.3 0.5 ) 5 0 6 0 14 10 6 10 56 0.2 0.3 0.5 = 19.66 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 43 / 78
P-Wertpapierfall I Stocks Portfolio Theory Maximierung des erwarteten Ertrags, Minimierung des Risikos Nebenbedingung: Gewichte summieren sich auf Eins Jedoch Trade-Off zwischen Risk und Return Finden eines optimalen Verhältnisses zwischen Risiko und Rendite durch Unterstellen einer Zielfunktion Abbilden einer individuellen Risikoeinstellung durch Verwendung von Nutzenfunktionen Risiko-Ertrags-Präferenz Parameter Θ, der Nutzen U aus einem Portfolio mit den Eigenschaften r PF und σpf 2 ergibt sich dann aus: Nutzenfunktion U = Θ r PF σ 2 PF Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 44 / 78
Beispiel Stocks Portfolio Theory Beispiel Nutzenorientierte Beurteilung der Aktien A, B, C. r A = 5% und σ 2 A = 5%, r B = 8% und σ 2 B = 14% sowie r C = 7% σ 2 C = 56% Θ = 5 (weniger risikoscheu): U A = 5 5 5 = 20 U B = 5 8 14 = 26 U C = 5 7 56 = 21 Θ = 2 (eher risikoscheu): U A = 2 5 5 = 5 U B = 2 8 14 = 2 U C = 2 7 56 = 42 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 45 / 78
P-Wertpapierfall II Stocks Portfolio Theory Der Nutzen soll nun unter Einhaltung der Nebenbedingung (Gewichte der Portfoliokomponenten summieren sich auf Eins) maximiert werden Maximierungsproblem U = Θ r PF σ 2 PF max u.d.nb : P w i = 1 i=1 Die Lagrange-Funktion lautet: [ P ] L = Θ r PF σpf 2 λ w i 1 max i=1 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 46 / 78
P-Wertpapierfall III Stocks Portfolio Theory Die Lösung des linearen Gleichungssystems der partiellen Ableitungen ist: Weg zur Lösung Vereinfacht: Θ r 1 2 σ 11... 2 σ 1P 1 w 1... = 0 Θ r P 2 σ P1... 2 σ PP 1 w P } 1 {{ } } 1 1 {{ 1 0 } λ } {{ } e C w e C w = 0 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 47 / 78
P-Wertpapierfall IV Stocks Portfolio Theory Umformen: Lösung w = C 1 e C 1 ist die Inverse der erweiterten Varianz-Kovarianz Matrix. Sie hat die besondere Eigenschaft, dass die letzte Zeile (bzw. die letzte Spalte) die Gewichte des Minimum-Varianz Portfolios enthält Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 48 / 78
Beispiel III Stocks Portfolio Theory Beispiel K = C = C 1 = 5 0 6 0 14 10 6 10 56 10 0 12 1 0 28 20 1 12 20 112 1 1 1 1 0 0, 0294 0, 0235 0, 0059 0, 7765 0, 0235 0, 0288 0, 0053 0, 2988 0, 0059 0, 0053 0, 0112 0, 0753 0, 7765 0, 2988 0, 0753 6, 8612 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 49 / 78
Stocks Portfolio Theory Portfoliogewichte bei gegebenem Θ Beispiel Für eine spezifische Risikoeinstellung, abgebildet durch Θ = 7, ergibt sich das folgende optimale Portfolio: w = 0, 0294 0, 0235 0, 0059 0, 7765 0, 0235 0, 0288 0, 0053 0, 2988 0, 0059 0, 0053 0, 0112 0, 0753 0, 7765 0, 2988 0, 0753 6, 8612 7 5 7 8 7 7 1 = 0, 2000 0, 8300 0, 0300 33, 3600 Ein Investor mit einer durch Θ = 7 charakterisierten Risikobereitschaft wählt also ein Portfolio bestehend aus 20% Aktie A, 83% Aktie B und -3% Aktie C. Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 50 / 78
Übersicht Derivative Securities Bond Portfolio Management Das Barwertkonzept und Stückzinsen Zinsstrukturkurve Convexity Alternative Duration Maße Immunisierung gegen Zinsänderungen Stock Portfolio Management P-Wertpapierfall Derivative Securities Swaps Optionsstrategien Binomial Option Pricing Das Black-Scholes Modell Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 51 / 78
Swaps Derivative Securities Interest Rate Swaps Vereinbarung zwischen zwei Vertragspartnern zukünftige Zahlungen auszutauschen (zu swappen) Swapvertrag regelt wann die Zahlungen in welcher Höhe und nach welchem Berechnungsschema ermittelt stattfinden Swaps können zur Anpassung von Assets und Verbindlichkeiten sowie zur Ausnutzung von komparativen Vorteilen verwendet werden Am gebräuchlichsten sind Zins- und Währungsswaps Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 52 / 78
Zinsswaps I Derivative Securities Interest Rate Swaps Üblich: Plain Vanilla Zinsswap Ein Unternehmen leistet Zahlungen in Höhe der Zinsen auf ein fiktives Nominalkapital zu einem vorab fixierten Zinssatz Im Gegenzug erhält es Zinsen zu einem variablen Satz auf das gleiche Nominalkapital Fixed-for-Floating Zinsswap Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 53 / 78
Zinsswaps II Derivative Securities Interest Rate Swaps Beispiel: (Quelle: Hull, 2006) Zinsswap Microsoft - Intel Beginn: 05.03.2004 Nominalkapital: $100.000.000 Zahlungen: alle 6 Monate Fixzins: 5%, (Microsoft) variabler Zins: 6-Monats LIBOR (Intel) Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 54 / 78
Zinsswaps III Derivative Securities Interest Rate Swaps Beispiel Zahlungen aus Sicht von Microsoft: Datum 6m LIBOR (in %) erzielter CF (var) gezahlter CF (fix) Netto 05.03.2004 4,20 05.09.2004 4,80 +2,10-2,50-0,40 05.03.2005 5,30 +2,40-2,50-0,10 05.09.2005 5,50 +2,65-2,50 +0,15 05.03.2006 5,60 +2,75-2,50 +0,25 05.09.2006 5,90 +2,80-2,50 +0,30 05.03.2007 +2,95-2,50 +0,45 Nettoerfolg +0,65 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 55 / 78
Zinsswaps IV Derivative Securities Interest Rate Swaps Anpassen von Forderungen und Verbindlichkeiten: Umwandlung eines zinsvariablen Darlehens in ein festverzinsliches Kreditaufnahme durch Microsoft von $100 mio, LIBOR +0,10%, zusätzlich Swapgeschäft, daher drei Zahlungen: zahlt LIBOR +0,10% an Kreditgeber erhält LIBOR gemäß Swap zahlt 5% gemäß Swap Umwandlung eines festverzinslichen Assets in ein variabel verzinstes Microsoft hält Anleihe, Verzinsung 4,7%, zusätzlich Swapgeschäft, daher drei Zahlungen: erhält 4,7% aus Anleihe erhält LIBOR gemäß Swap zahlt 5% gemäß Swap Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 56 / 78
Finanzintermediäre Derivative Securities Interest Rate Swaps Finanzintermediäre (Finanzdienstleister) übernehmen Vermittlerrolle Die Unternehmen schließen je einen Swapvertrag mit dem Intermediär Intermediär eröffnet zwei sich ausgleichende Positionen, daher ist das Geschäft für ihn risikolos Einbehaltung von einigen Basispunkten ist Gewinn des Finanzintermediärs Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 57 / 78
Komparative Vorteile I Derivative Securities Interest Rate Swaps AAACorp möchte einen variabel, BBBCorp einen fix verzinsten Kredit, jeweils über $10.000.000 über 5 Jahre aufnehmen. Die Konditionen lauten wie folgt: Kreditkonditionen (Quelle: Hull, 2006) fix variabel AAACorp 4,0% 6m LIBOR +0,3% BBBCorp 5,2% 6m LIBOR +1,0% Die AAACorp erhält einen fix verzinsten Kredit um 1,2% günstiger, einen variabel verzinsten Kredit jedoch nur um 0,7% günstiger als die BBBCorp Ausnutzen komparativer Vorteile der beiden Unternehmen Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 58 / 78
Derivative Securities Komparative Vorteile II Interest Rate Swaps AAACorp nimmt festverzinslichen Kredit zu 4,0% auf (will jedoch variabel) BBBCorp nimmt variabel verzinsten Kredit zu LIBOR +1,0% auf (will jedoch fix) Swapvertrag zwischen AAACorp und BBBCorp: AAACorp 1 zahlt 4% an Kreditgeber 2 erhält 3,95% gemäß Swap 3 zahlt LIBOR an BBBCorp BBBCorp 1 zahlt LIBOR +1,0% an Kreditgeber 2 erhält LIBOR gemäß Swap 3 zahlt 3,95% an AAACorp AAACorp zahlt in Summe LIBOR +0,05% (vgl. LIBOR +0,3%), BBBCorp zahlt in Summe 4,95% (vgl. 5,2%). Somit können beide Unternehmen durch Abschluss des Swaps ihre Kreditkosten senken! Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 59 / 78
Optionen Derivative Securities Plain Vanilla Options Bedingte Termingeschäfte - Recht, aber nicht die Verpflichtung den der Option zugrunde liegenden Basiswert (Underlying) zu einem heute bestimmten Preis (Ausübungspreis, Exercise price X) und Zeitpunkt zu kaufen oder zu verkaufen. Eine Kaufoption verbrieft das Recht zu kaufen (Call) Eine Verkaufoption verbrieft das Recht zu verkaufen (Put) Am Verfalltag T haben die Optionen bei gegebenem Preis des Basiswerts S T folgenden Wert: Optionswert am Verfalltag c T = max[s T X;0] p T = max[x S T ;0] Darstellung der Auszahlungsstruktur am Verfalltag in den Hockeystick Diagrammen. Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 60 / 78
Optionsstrategien Derivative Securities Option Strategies Durch Kombination zwei oder mehrerer Optionskontrakte (und dem Grundgeschäft- dem Underlying) lassen sich beliebige Auszahlungsstrukturen erzeugen. Risikoabsicherung des Grundgeschäfts Profitieren von unterschiedlichen Markterwartungen Steigende / fallende Kurse des Underlyings Stark schwankende / stagnierende Kurse des Underlyings Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 61 / 78
Long Call Spread Derivative Securities Option Strategies The trade: Buy a call (A), sell call at higher strike (B). Market expectation: Market bullish/volatility neutral. The spread has the advantage of being cheaper to establish than the purchase of a single call, as the premium received from the sold call reduces the overall cost. The spread offers a limited profit potential if the underlying rises and a limited loss if the underlying falls. Quelle: LIFFE Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 62 / 78
Long Straddle Derivative Securities Option Strategies The trade: Buy a put (A), buy call at same strike. Market expectation: Market neutral/volatility bullish. With the underlying at A and an unknown directional move or increase in volatility is anticipated. Quelle: LIFFE Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 63 / 78
Protective Put Derivative Securities Option Strategies The trade: Protective Put: Buy underlying, buy put. Market expectation: Market Bullish Quelle: LIFFE Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 64 / 78
Conversion / Reversal Derivative Securities Option Strategies The trade: Conversion: Sell call, buy put at same strike, buy underlying. Reversal: Buy call, sell put at same strike, sell underlying. Market expectation: Direction neutral/volatility neutral. A Conversion or Reversal is a locked trade and hence its value is wholly independent of the price of the underlying. The options position in a Conversion will create a synthetic short underlying and potential profit/loss will result from any pricing differential between this and the long underlying position. The options position within a Reversal will create a synthetic long underlying and so profit/loss realized will be fixed to the difference between the price of the short underlying and the long synthetic underlying. Quelle: LIFFE Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 65 / 78
Optionen bepreisen Derivative Securities Binomial Pricing Pricing durch Verwendung eines Binomial-Baums Der Preis des Underlyings (Aktie) steigt (mit Faktor U [Up]) oder sinkt (mit Faktor D [Down]) je Periode (z.b. ein Jahr) Heutiger Preis wird durch No-Arbitrage Argumente abgeleitet Für eine immer kleiner werdende Dauer der Sub-Perioden (Monate, Wochen, Tage, Stunden,...) erhält man in der Grenzbetrachtung so das Black-Scholes Optionspreismodell Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 66 / 78
Derivative Securities Binomial Pricing Zwei-Zustände, Ein-Perioden Fall I Beispiel Gegeben ist eine Kaufoption mit einer Restlaufzeit von einem Jahr und einem Ausübungspreis X = 21. Der heutige Kurs S des Underlyings (Aktie) ist 20, es gibt zwei mögliche Preise am Ende des Jahres, S U = 22 und S D = 18 (also U = 1, 1 und D = 0,9) S U = 22 S = 20 S D = 18 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 67 / 78
Derivative Securities Binomial Pricing Zwei-Zustände, Ein-Perioden Fall II Beispiel Ein Call auf diese Aktie hat dann abhängig vom eingetretenen Zustand folgende Auszahlungen c U = max[22 21; 0] = 1 c =? c D = max[18 21; 0] = 0 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 68 / 78
Synthetic Portfolio I Derivative Securities Binomial Pricing Konstruktion eines risikolosen Portfolios: Erwerb von Aktien (long) Verkauf eines Call (short) Unabhängig vom Kurs der Aktie soll ein fixes Endvermögen erzielt werden. Also: S U c U = S D c D Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 69 / 78
Synthetic Portfolio II Derivative Securities Binomial Pricing Beispiel Einsetzen: 22 1 = 18 0 = 0,25 Probe: 0,25 22 1 = 4, 5 (steigender Aktienkurs) 0,25 18 0 = 4, 5 (sinkender Aktienkurs) Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 70 / 78
Synthetic Portfolio III Derivative Securities Binomial Pricing Beispiel Der heutige Wert des Portfolios aus Aktien und der Option muss dem Barwert des sicheren Endvermögens (diskontiert mit dem risikolosen(!) Zinssatz r f ) entsprechen! Also: 0,25 20 c }{{} Bei einem Zinssatz von r f = 5% ergibt sich: heutiger Wert der Option = 4,5 (1 + r f ) 1 c = 5 4,5 (1 + 0,05) 1 = 0, 71 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 71 / 78
Verallgemeinerung I Derivative Securities Binomial Pricing Allgemein soll gelten: Der Wert der Option ist: S U c U = S D c D [ c = S S U c U] R 1 Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 72 / 78
Verallgemeinerung II Derivative Securities Binomial Pricing Optionspreis [ ] c = c U p + c D (1 p) R 1 Der heutige Preis der Option ergibt sich also aus den (1) abgezinsten (2) gewichteten (3) möglichen Auszahlungen am Ende der Laufzeit. Die Gewichte sind: Gewichte p = R D U D 1 p = U R U D Alexander Brauneis () VO Assetmanagement SoSe 2009 73 / 78