Crash Review Course Financial Risk Manager (FRM)

Crash Review Course Financial Risk Manager (FRM) Philipps-Universität Marburg WS2007/08 Part II GARP (Global Association of Risk Professionals) organizes an examination, the Financial Risk Manager (FRM) Certificate Program. This examination is fast becoming an essential requirement for risk managers all over the world You can learn more about this exam at www.garp.com This Course has been designed strictly along the lines of the FRM curriculum Instructor Dr. Helmut Siegert, FRM helmut.siegert@siegert-partner.de www.siegert-partner.de

Format Crash Review Course Introduction (). classroom Presentations key concepts critical points for exam success 2. interchanging with FRM format examinations learning by doing examples from GARP 3. Reflection by Q+A sessions discussion of the examples concept checkers 4. Final Stress Test of participants 0 questions in 60 minutes ÆTo benefit from this course, participants must familiarized themselves with financial products and their valuations 2

Map Part I Part II Part III 3

Grundlagen Derivate...was sind Derivate? Derivate sind... Auszahlungsvorschriften, die von den Preisen eines Basiswertes abhängen... z.b. von Zinssätzen... z.b. Forward Rate Agreement demnach sind z.b. festverzinsliche Wertpapiere auch (triviale) Derivate... Derivate im Sinne der (neuen) Solvabilitätsverordnung ( 6) sind... Optionen, Terminkontrakte, Swaps, Termingeschäfte und andere derivative Kontrakte, deren Wert sich vom Preis eines zugrundliegenden Finanzinstruments, einer Zinsrate, einem Index oder dem Preis eines anderen zugrundeliegenden Gegenstands ableitet und bei denen aufgrund eines für wenigstens eine Verpflichtung einer Vertragspartei zeitlich hinausgeschobenen Erfüllungszeitpunkts Verlustrisiken infolge von Wertveränderungen bestehen Termingeschäfte sind Alltagsgeschäfte... Neukauf eines Autos bei Abschluss eines Vertrages wird der Kaufpreis vereinbart Abnahme und Bezahlung erfolgt aber erst nach Fertigstellung Kauf einer Briefmarke auch hier liegt zwischen Abschluss und Erfüllung eine Zeitspanne 4

...kleines Glossar Kassamarkt Terminmarkt Geldmarkt Kapitalmarkt unbedingtes Geschäft bedingtes Geschäft börsengeh. Geschäft OTC-Geschäft Derivat Underlying spot price delivery price exercise price pay off Grundlagen sofort (+Valuta) wirksame Geschäfte ( Kassa-Valuta) Geschäfte, die in der Zukunft wirksam werden ( Termin-Valuta) Produkte mit einer (Rest-)Laufzeit Jahr Produkte mit einer (Rest-)Laufzeit > Jahr Termingeschäft, das von beiden Kontrahenten erfüllt werden muss Termingeschäft, bei dem der Käufer ein Wahlrecht zur Ausübung besitzt, dem der Verkäufer nachkommen muss standardisiertes Geschäft, bei dem die Börse als Kontrahent fungiert nicht standardisiertes, direkt zwischen Kontrahenten vereinbartes Geschäft Bezeichnung für ein Finanzprodukt, das von einem einfacheren Finanzprodukt abgeleitet ist und dessen Wert daher von diesem abhängt Bezeichnung für das einem Derivat zugrunde liegende Finanzinstrument aktueller Wert eines Finanzinstrumentes Preis, der bei einem unbedingten Termingeschäft bei Fälligkeit für das underlying bezahlt werden muß Preis, der bei einer Option bei Fälligkeit für das Underlying bezahlt werden kann/muss ( strike) Wert eines Derivats bei Fälligkeit/Ausübung (Auszahlungsvorschrift) 5

Grundlagen Time Profile derivativer Finanzmarktprodukte () FRA Vertragsabschluss Settlement Fixing Laufzeitende Vorlaufperiode Zinsperiode 3M-Euribor-Future Geschäftsabschluss Fälligkeit Laufzeitende plain vanilla Zinsswap Vertragsabschluss Restlaufzeit/ Margins letzter HT Referenzperiode: 3 Monate Laufzeitende 6

Grundlagen Time Profile derivativer Finanzmarktprodukte (2) Aktienoption (europäisch) Vertragsabschluss Kündigung [Ausübung/Auslosung) Laufzeitende Cap-/Floor Vertragsabschluss Ausgleichszahlungen Laufzeitende Swaption Vertragsabschluss Laufzeitende Optionsperiode 7

Grundlagen Systematisierung: (un-)bedingte Derivate Derivative Instrumente unbedingte bedingte börsengehandelt OTC börsengehandelt OTC Bond Futures Aktien-Index Futures Devisen Futures Commodity Futures Zins Futures FRAs Zinsswaps Devisenswaps Devisenforwards Commodity Forwards Optionen auf Bond Futures Aktien Optionen Aktien-Index Optionen Devisen Optionen Commodity Optionen Caps Floors Swaptions "Warrants" Devisen Optionen 8

Grundlagen Systematisierung: Märkte und Handel Märkte die Abhängigkeiten zwischen Basiswert und Derivaten basieren auf der Unterscheidung zwischen Kassahandel und Terminhandel Handel des Basiswertes erfolgt auf dem Kassamarkt hinsichtlich der Fälligkeit wird der Kassamarkt vom Terminmarkt abgegrenzt alle Arten von Termingeschäften zählen zu den Derivaten Handel OTC-Handel umfasst Geschäfte, die direkt zwischen den Kontrahenten abgeschlossen werden jedes Instrument (Geschäft) ist individuell zugeschnitten (Laufzeit, Währung, Referenzzinssatz, Betragshöhe, Basispreis) börslicher Handel erfolgt über zentralen Kontrahenten (z.b. EUREX) alle Instrumente sind streng standardisiert (Basiswert, Kontraktgröße, Erfüllungszeitpunkt, Ort an dem der Kontrakt gehandelt wird, Erfüllungsort, Vertragspartner) das einzige variable Element ist der Preis und die Menge der Kontrakte, die ge- oder verkauft werden 9

Exkurs: Financial Futures Definition a financial future is a contract to buy or sell a specific amount of a particular grade of securities or commodities for a specific price or yield, for receipt or delivery on a specified future date Applications hedging a price risk speculation (leverage) Mark-to-Market and variation margining (long future) P&L Position at end of day 2 margin credit margin debit Position at end of day = position at beginning of day 2 daily settlement price Position at beginning of day 0

Grundlagen Exkurs: Forwards vs Futures Klassische Termingeschäfte (Forward Rate Agreements) und Futures unterscheiden sich darin, dass.... Futures standardisiert sind, Forwards hingegen nicht 2. die Märkte für Forwards i.d.r. liquider sind als die Futures-Märkte 3. das Risiko, dass die Gegenpartei ihre vertraglichen Verpflichtungen nicht einhält, bei Forwards größer ist als bei Futures 4. bei Futures ein tägliches Mark-to-Market stattfindet, während bei Forwards Gewinne bzw. Verluste ausschließlich am Liefertag festgestellt werden 5. Sicherheiten (Margin) gestellt werden müssen, um Käufer oder Verkäufer eines Futures werden zu können. Bei Forwards wird dagegen regelmäßig auf das Stellen von Sicherheit verzichtet Eigenschaften von außerbörslich gehandelt Finanzprodukten (Finanzgeschäfte) Handel... außerbörslich Vertragsparameter... individuelle Vereinbarungen Liquidität... eher gering Laufzeiten... kurz-, mittel-, langfristig Bonitätsrisiko... tragen Käufer/Verkäufer gleichermaßen Transparenz... eher gering Margins... individuell ausgehandelt bei Lieferung/Ausübung bzw. an Abrechnungsterminen; Geldfluss... Optionsprämie up front effektive Erfüllung... häufig beabsichtigt börsengehandelt (Finanzinstrumente) an der Börse standardisiert (sachlich, räumlich, zeitlich, persönlich) recht hoch eher kurz, z.t. mittelfristig übernimmt Clearing-Stelle sehr hoch normiert täglicher Gewinn- und Verlustausgleich; Optionsprämie up front eher nicht; Ausgleich durch Gegenkontrakte

Exkurs: The Cost-of-Carry Model () That s the rule: No-arbitrage Fair Forward Price = Spot Price + Cost-of-Carry Basis = Spot Price Forward Price Basis = -Cost-of-Carry. Forward price of security that provides no income Cost of Carry using Continuous Compounding F F S r t T = S e r( T t) = fair forward price = spot price ( also : cash = risk free rate = current time price) = maturity of forward contract, " delivery" Example S = 08, r = 6 %, T = 0.5, t = 0 F = 08*e 0.06*0,5 =.29 2

Exkurs: The Cost-of-Carry Model (2) 2. Forward price of security that provides a known cash income F = ( S I) e r( T t) F = fair forward price ( dirty) S = spot price ( also : cash ( dirty ) price) I = present value of income provided during lifetime of contract r = risk free rate t = current time T = maturity of forward contract, " delivery" Example S = 08, r = 6 %, T = 0.5, t = 0 pays coupon/dividend of 7 in 0.25 years I=7*e -0,06*0,25 = 6.90 (assuming r 0,25 = 6 %) F = (08-6.90)*e 0.06*0.5 = 04.8 3

Exkurs: The Cost-of-Carry Model (3) 3. Forward price of currency forward ( r rf )( T t) F = S e F = fair forward price S = spot price ( also : cash price) r = domestic risk free rate rf = foreign risk free rate t = current time T = maturity of forward contract, " delivery" Example S = 2.30, r = 6 %, rf = 8 %, T = 0.5, t = 0 F = 2.30*e (0.06-0.08)*0,5 = 2.28 4

Systematisierung: (un-)sichere Zahlungsströme () Bewertung von Finanzprodukten: Finanzprodukte "Sicher" "Unsicher" ohne Modellbildung mit Modellbildung sicher, wenn die zukünftigen Zahlungen im Bewertungszeitpunkt festliegen z.b. ein Bond unsicher, wenn die zukünftigen Zahlungen im Bewertungszeitpunkt nicht festliegen hier lässt sich zeigen, dass es Finanzprodukte gibt, die ohne stochastische Modellbildung nicht zu bewerten sind gemeint ist hiermit das stochastische Verhalten der Preise: die Modellierung ihrer Verlaufs- bzw. der Verteilungseigenschaften erfolgt über deren Veränderungen das mathematische Werkzeug zur Problemlösung liefern stochastische Differentialgleichungen 5

Systematisierung: (un-)sichere Zahlungsströme (2) Derivative Finanztitel bzw. Verträge sind Termingeschäfte,... die einen zukünftigen Geschäftsabschluss zum Inhalt haben und. unbedingt (Festgeschäft) - unabhängig, was bis zum Erfüllungszeitpunkt passiert - zu erfüllen sind ihr Wert im Zeitablauf ist von der konkreten Entwicklung der Zustandsvariable abhängig während die Terminpreise bis zum Laufzeitende der forwards nicht mehr abgeändert werden, wird der Future-Preis durch das daily settlement bis zum Laufzeitende börsentäglich neu bestimmt oder 2. bedingt (Optionsgeschäft) abhängig, was bis zum/am Erfüllungszeitpunkt passiert - erfüllt werden der Käufer hat demnach ein Wahlrecht hinsichtlich des Reagierens auf spezielle Entwicklungen der Zustandsvariable Basisobjekte müssen durch einen stochastischen Prozess beschrieben werden der wertmäßige Unterschied zwischen Options- und Festgeschäften... liegt in der geknickten Pay-Off-Funktion (eben im Wahlrecht) Wert eines Optionsgeschäftes kann - auch vor dem Verfallstag - nie negativ sein Wert eines Forwards kann hingegen einen positiven/negativen Wert haben 6

Zusammenfassung () Begriffserklärungen und Bewertungsgrundlagen Finanztitel, dessen Wert von einer (oder mehreren) Größen Zustandsvariable, Risikofaktor, abgeleitet wird, wird als derivatives Wertpapier bezeichnet Termingeschäfte sind derivative Finanztitel bzw. Verträge,... welche einen zukünftigen Geschäftsabschluss zum Inhalt haben und unbedingt (Festgeschäft) wirken d.h. unabhängig was bis zum Erfüllungszeitpunkt passiert, werden sie erfüllt; ihr Wert im Zeitablauf ist aber von der konkreten Entwicklung der Zustandsvariable abhängig während die Terminpreise bis zum Laufzeitende der Festgeschäfte ohne daily settlement nicht mehr abgeändert werden, wird der Future-Preis durch das daily settlement bis zum Laufzeitende börsentäglich neu bestimmt oder bedingt (Optionsgeschäft) wirken d.h. der Käufer hat ein Wahlrecht hinsichtlich des Reagierens auf spezielle Entwicklungen der Zustandsvariable (bedingtes Erfüllungsrecht) Basisobjekte werden durch einen stochastischen Prozess beschrieben bei der arbitragenfreien Bewertung wird der für die Option zu zahlende Optionspreis bestimmt besteht Gewissheit über die Ausübung dann mutiert das Optionsgeschäft zum Festgeschäft der wertmäßige Unterschied zwischen Options- und Festgeschäften... liegt in der am Verfallstag vorgefundenen geknickten Pay-Off-Funktion Wert eines Optionsgeschäftes kann - auch vor dem Verfallstag - nie negativ sein Wert eines Forwards kann hingegen einen positiven/negativen Wert haben 7

8 Zusammenfassung (2) Wertfunktionen () arbitragefreie Terminpreisfunktion: Wertfunktion Festgeschäft: B/S-Call-Wertfunktion: ) ( : ) ( CostOfCarry Finanzierungskosten r des Basisobjektes Kassapreis S wobei e S F t t T r t T = = = ( ) ( ) ( ) ( ) i i T t t T r T t t...wert der StdNormalverteilung an der Stelle d d N t T d d t T t T r X S d wobei d N e X d N S C = = + + = = ) ( ) ( 0,5 ln : ) ( ) ( 0,5 2 0,5 2 2 ) ( σ σ σ ( t) T r T t t T e F S W = Excel/BlackScholes

Zusammenfassung (3) Wertfunktionen (2) Wert-Funktion long-option r ( T t) Ct = St N( d) X T e N( d2) r ( t) Wert-Funktion long-forward W S F e T = T t t T Excel/Wertfunktion Wertfunktionen: Option- vs Fest-Geschäft 20 Wertentwicklung 5 0 5 0 90-5 92 94 96 98 00 02 04 06 08 0-0 Underlying-Preis Vola: 0 % Vola: 20 % Forward 9

Preisbildung () Preisbildung bei Forwards und Optionen gemeinsam ist allen Derivaten ihr Konstruktionsprinzip. der heutige Marktpreis eines Derivats wird vom Marktpreis eines zu Grunde liegenden Assets ( underlyings ) abgeleitet ( derived ) 2. der Preis wird auf der Basis eines No-Arbitrage-Gleichgewichts berechnet aus diesem Grund gibt es nur einen methodische Bewertungsansatz hinsichtlich unbedingten und bedingten Derivaten allerdings gibt es ein paar wichtige Unterschiede zwischen Forwards und Optionen, die bei der Bewertung zu berücksichtigen sind... 20

Exkurs: No-Arbitrage () FX-Forward ein deutscher Exporteur möchte in 6 Monaten einen bestimmten Euro- Betrag (gegen USD) kaufen welchen USD-Gegenwert werden Sie dafür verlangen (FX-Spot:,2 USD/EUR)? EUR in USD refinanzieren EUR *,2 USD/EUR 6 Monate EUR angelegt Zinsertrag in EUR * i EUR * 0,5 6 Monate USD aufgenommen Zinsaufwand in USD,2$ * i USD * 0,5 mit dem (noch unbekannten) Terminkurs USD/EUR multiplizieren Prognose des zukünftigen Kassakurses Terminkurs = Kassakurs + Zinsaufwand - Zinserträge F = S + S * i USD * 0,5 - F * i EUR * 0,5 F + F * i EUR * 0,5 = S + S * i USD * 0,5 F(+i EUR *0,5) = S(+i USD *0,5) F = + i S * + i USD EUR *0,5 *0,5 Differenz zwischen Kassa- und Terminkurs in 0000stel: Swapstellen (F =,2075 -> 75 Swapstellen) 2

Exkurs: No-Arbitrage (2) Bankkalkulation (Margenbarwert) Excel/Strukturkongruenz t(0) t() t(2) t(3) t(4) t(5) Zinsstruktur 0,035 0,04 0,045 0,047 0,05 Zahlungsstrom -00000 6000 6000 6000 6000 06000 Refinanzierung # Geldaufnahme zu 5 % 00952,38-5047,62-5047,62-5047,62-5047,62-06000,00 Refinanzierung #2 Geldaufnahme zu 4,7 % 909,63-42,75-42,75-42,75-952,38 Refinanzierung #3 Geldaufnahme zu 4,5 % 870,46-39,7-39,7-909,63 Refinanzierung #4 Geldaufnahme zu 4 % 836,98-33,48-870,46 Refinanzierung #5 Geldaufnahme zu 3,5 % 808,68-836,98 Summen: Refinanzierungen 04378,2-6000,00-6000,00-6000,00-6000,00-06000,00 Zahlungsstrom -00000 6000 6000 6000 6000 06000 Margenbarwert 4378,2 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Vorgehen durch die Bewertung des Kunden-Cash Flows anhand der Zinsstrukturkurve werden aus den einzelnen Teilfälligkeiten Refinanzierungstranchen abgeleitet diese cash flows duplizieren in Summe exakt die Entwicklung des effektiven Zahlungsverlauf des Kundengeschäfts Alternative: Zerorenditen aus Kuponrenditen ableiten (->bootstrapping): auch diese berücksichtigen die Krümmung der Zinsstrukturkurve. Bei Vernachlässigung von Geld- /Brief-Differenzen ergibt sich das gleiche Ergebnis wie bei der strukturkongruenten Refinanzierung der gesamte Geschäftsverlauf ist frei von jedem Zinsänderungsrisiko! 22

Preisbildung Forward (2) Forward ist ein Termingeschäft, bei dem... der Käufer im Zeitpunkt 0 (heute)... die Verpflichtung eingeht, zu einem zukünftigen Zeitpunkt T (Verfallstag) das dem Geschäft zu Grunde liegende Underlying gegen Zahlung des bei Vertragsabschluss vereinbarten Forwardpreises F abzunehmen bewertungsrelevant... es werden 2 Zeitpunkte betrachtet: 0 und T Underlying sei hier eine Aktie (ohne Dividende) mit dem heutigen Kurs S bei Abschluss fließt kein Geld, d.h.,... der in T zu zahlende Forwardpreis F wird so gewählt, dass der heutige Preis des Termingeschäfts für Käufer als auch Verkäufer gleich 0 ist der Käufer zahlt am Verfallstag T den Preis F und erhält die Aktie es wird unterstellt, dass er diese Aktie sofort zum künftigen Kassakurs S T verkauft Cash Flow des Käufers aus dem Forward (Payoff) in T: S T -F pay-off Long-Position profit pay-off = S T -F loss F S T 23

Preisbildung Option (3) (europäische Kauf-)Option ist ein Termingeschäft, bei dem... der Käufer im Zeitpunkt 0 (heute)... das Recht eingeräumt wird, zu einem zukünftigen Zeitpunkt T (Verfallstag) das dem Geschäft zu Grunde liegende Underlying gegen Zahlung des bei Vertragsabschluss vereinbarten Ausübungspreises K abzunehmen bewertungsrelevant... es liegt ein Wahlrecht zwischen Abnahme/Nichtabnahme des Underlyings vor jedes Wahlrecht hat aus ökonomischen Überlegungen einen positiven Preis wird das Recht ausgeübt, ist der Ausübungspreis K zu zahlen Käufer zahlt in 0 für das ihm in T eingeräumte Wahlrecht die Prämie C die Höhe von C hängt u.a. von K ab wobei es gleichgültig ist, ob das Recht später ausgeübt wird oder nicht Verkäufer (Stillhalter) kassiert die Prämie in 0 aufgrund des Wahlrechts gibt es für den Käufer 2 Situationen am Verfallstag T er lässt die Aktie liefern und zahlt den Ausübungspreis, oder er verzichtet auf die Lieferung und zahlt nichts Auszahlungsfunktion (pay off): max (S T K;0) Ertragsfunktion: pay off./. C(+r) T 24

Preisbildung (4) Auszahlungs- sowie Ertragsfunktion in Abhängigkeit von S T in T Long einer Kaufoption profit pay-off = max{s(t) T -K;0} X,0} loss -C(+r) T pay off K Gewinnfunktion S T Vergleich: Forward vs Option Forward hat eine lineare payoff- und Gewinnfunktion ohne Knick Option hat auch eine lineare, jedoch an der Stelle S T = K einen Knick beim Forward ist durch die Pflicht ( unbedingte Handlung) die Unsicherheit völlig eliminiert beim Call ist wegen des Wahlrechts ( bedingte Handlung) die Unsicherheit vorhanden 25

Grundlagen Positions by buying assets (or selling liabilities), one takes positions once a position is taken, one has exposure to various risks funding the long position position in the asset + 00 profit ΔP slope = + P 0 = 00 Price ΔP P 0 = 00 Price -00 Price position in the money market loss net worth = 0 26

Grundlagen Produkt: Forward vanilla forward: in Jahr haben zu zahlen... Kontrahent A (long-position) einen fixen Betrag X (hier: forward price ) an B Kontrahent B (short-position) einen variablen Betrag S an A Auszahlungsfunktion aus Sicht A = S X Auszahlungsfunktion aus Sicht B = -(S X) = X S obgleich formal 2 cash flows (legs) vorliegen... wird nur eine Ausgleichszahlung geleistet 2 Grundpositionen mit symmetrischem Gewinn- und Verlustprofil: pay-off Long-Position pay-off = S(T) - X profit unbegrenzte Gewinnchancen loss X begrenztes Verlustrisiko S(T) pay-off pay-off = X - S(T) profit loss X begrenzte Gewinnchancen S(T) unbegrenztes Verlustrisiko Short-Position 27

Exkurs Fest- vs Optionsgeschäft () Long-Terminpositionen lineare Zahlungsfunktion am Fälligkeitstag Festgeschäfte es gibt sowohl eine Gewinn- als auch eine Verlustmöglichkeit Optionsgeschäfte wie oben, aber Verlustbereich ist durch das Optionsrecht ausgeschaltet Festgeschäfte sind ein Spezialfall der Optionsgeschäfte Optionsgeschäfte konvergieren zu Festgeschäften, wenn die Wahrscheinlichkeit ihrer Ausübung immer größer wird WENN Ausübungswahrscheinlichkeit =, DANN liegt ein Festgeschäft vor Optionsgeschäfte entsprechen konzeptionell Festgeschäften Unterschied besteht in der bei den Optionsgeschäften zusätzlich anfallenden Gewichtung des Ergebnisses mit der Wahrscheinlichkeit der Optionsausübung ansonsten besteht immer die Möglichkeit der Nicht-Ausübung vor dem Verfalltag sind Optionen aber niemals wertlos was sie von den Festgeschäften klar unterscheidet am Erfüllungstag haben Optionen niemals einen negativen Wert was sie von den Festgeschäften klar unterscheidet 28

Exkurs Fest- vs Optionsgeschäfte (2) Bewertung von Optionsgeschäften nach Black/Scholes PV e Call T r * T r ln x = T = S * N( x) X * e S X 2 σ + ( r + 2 σ T T r * T ) * T T * N( x σ * wobei Call PV = Barwert ( fairvalue) des Calls S = Kassapreis ( aktuell) N( x) = Normalverteilungsfunktion ausgewertet an der Stelle x X = Ausübungspreis ( vereinbart) σ = Volatilität der Kassapreisrendite T = Laufzeit ( in Jahren) der Option T T T T = Exponentialfunktion ausgewertet an der Stelle r = Zinssatz ( kontinuierlich) für T T T T ) mit Bewertung von Festgeschäften (Notation Æ Optionsgeschäfte) T * T T durch diese N(.) begründet sich die Erweiterung des Bewertungskonzeptes der Optionsgeschäfte gegenüber den Festgeschäften N(.) nimmt nur Werte innerhalb des Bereichs von 0 und an (-> Verteilungsfunktion der StdNormVerteilung); diese Funktionswerte N(.) stellen Wahrscheinlichkeiten dar PV PV Festgeschäft Festgeschäft T F r S T T = S * F * e rt * TT * = Barwert ( fairvalue) des Festgeschäfts = Kassapreis ( aktuell) wobei = Terminpreis ( vereinbart) = Laufzeit des Festgeschäfts ( in Jahren) = Zinssatz ( kontinuierlich) für T T ein Optionsgeschäft konvertiert zu einem Festgeschäft, wenn die Option mit Sicherheit ausgeübt wird [N(.) = ] 29

Grundlagen Produkt: Optionen () eine Option ist ein Vertrag, der dem Käufer der Option (Inhaber)... während eines festgelegten Zeitraums (Optionslaufzeit t) das Recht einräumt eine bestimmte Menge eines bestimmten Gutes (Underlying S) zu einem im voraus festgelegten Preis (Strikepreis X) zu kaufen (Call) oder zu verkaufen (Put) für dieses contingent claim zahlt der Käufer dem Verkäufer der Option eine Prämie Optionsprämie ist der Preis, zu dem die Option am Markt gehandelt wird Optionswert basiert auf einer modelltheoretischen Analyse, die den Wert einer Opiton in 2 Komponenten zerlegt: () innerer Wert und (2) Zeitwert der Verkäufer (Stillhalter) verpflichtet sich,... auf Verlangen des Käufers ( Auslosung ) das Underlying zum Strikepreis zu kaufen oder zu verkaufen 4 mögliche Grundpositionen: 4 Geschäftsarten Put Call LONG Kaufen/Buy Halten/Hold "Käufer" Recht zu verkaufen Recht zu kaufen SHORT Verkaufen/Sell Schreiben/Write "Stillhalter" Pflicht zu kaufen Pflicht zu verkaufen HGB und IAS Accounting Aktiv/Asset Zahlung einer Prämie Passiv/Liability Erhalt einer Prämie 30

Grundlagen Grundpositionen (pay off function) bei Optionen (2) Long-Optionspositionen: Value at Maturity profit pay-off = max{s(t) - X,0} innerer Wert loss pay-off worthless OTM intrinsic value ITM X kein Verlustrisiko Kauf einer Kaufoption unbegrenzte Gewinnchancen S(T) profit pay-off = max{x - S(T),0} pay-off begrenzte Gewinnchancen Kauf einer Verkaufoption loss X kein Verlustrisiko S(T) 3

Grundlagen Grundpositionen (pay off function) bei Optionen (3) Short-Optionspositionen (bei Fälligkeit) Verkauf einer Kaufoption profit pay-off = -max{s(t) - X,0} = min{x - S(T),0} loss X keine Gewinnchancen S(T) innerer Wert unbegrenztes Verlustrisiko profit pay-off = -max{x - S(T),0} = min {S(T) - X,0} loss pay-off X keine Gewinnchancen Verkauf einer Verkaufoption S(T) begrenztes Verlustrisiko 32

Grundlagen P&L Diagram at Maturity (Long Call) profit profit loss Price of Underlying strike break even loss ATM OTM ITM 33

Grundlagen Intrinsic Value and Time Value (Long Call) time value highest at-the-money Value total value time value strike current price Price of Underlying 34

Grundlagen... nun verstehen Sie, dass...... der Verkäufer der Verkaufsoption bei Ausübung der Verkaufsoption durch den Käufer der Verkaufsoption, der Käufer, der von dem Käufer der Verkaufsoption verkauften Wertpapiere ist...? Wenn nicht, gehe zurück auf Folie 35

Produkte: Optionen P r Call r σ = P mit Exkurs: Aktienoption mit Dividendenzahlung Schätzung einer Dividendenrendite r Div entspricht einem stetigen Zins (p.a.), mit dem der Kursverlust der Aktie bei Dividendenausschüttung zu erklären ist Kassakurs der Aktie ist um die Dividendenrendite zu bereinigen: P Aktie * e -r Div *t BS-Formel: e N(d) = Normalverteilungswert(kumuliert) frei Div t = Restlaufzeit_Option_in_Jahren 2 Aktie r Div = Varianz_proPeriode_von_ln(Aktienkursveränderungen) = kontinuierlich_verzinster_risikofreier_zins = kontinuierlich _ verzinste _ Dividendenrendite X = Strikepreis t N(d ) X e r frei t N(d 2 ); d P ln = X Aktie + ( r r σ 973 von Merton beschrieben ( Merton-Modell ) frei Div t ) t + σ 2 t 2 ; d 2 P ln = X Aktie + ( r frei r σ Div t ) t σ 2 t 2 36

Produkte: Optionen Exkurs: Devisenoptionen Recht, Devisen auf Termin zu kaufen/zu verkaufen Zinsdifferenzen der beteiligten Währungen sind zu berücksichtigen Optionswert ist jetzt auch abhängig vom Zinssatz_Ausland wird (auch hier) ein stochastischer Prozess des underlyings (Devisen- Spotkurse) unterstellt, so kann der risikofreie Zinssatz_Ausland analog der Dividendenrendite im Merton-Modell behandelt werden. Durch Einsetzen von S FX = P Aktie r freia = r Div diese Überlegungen führen zur Formel für Devisenoptionen von Garman und Kohlhagen: P mit N(d) = Normalverteilungswert(kumuliert) t = Restlaufzeit_Option_in_Jahren r Call σ r 2 frei freia = S FX e r freia t N(d = annualisiertevarianz der logarithmierten relativen Wechselkursänderungen = kontinuierlich_verzinster_risikofreier_zins_inland = kontinuierlich _ verzinster _ risikofreier _ Zins _ Ausland S FX = Devisenkassakurs X = Strikepreis ) X e r frei t N(d 2 ); d S ln = X FX + ( r frei r σ freia t 2 ) t + σ t 2 ; d 2 = d σ t 37

Produkte: Optionen Optionspreisverhalten (hier: long call) Veränderung des Optionspreises aufgrund von Risikofaktoränderungen nicht-linearer Zusammenhang; siehe: Taylor-Reihenentwicklung OptPreis OptPreis ΔOptPreis = ΔUnPreis + ΔUnVola + UnPreis UnVola = DeltaFaktor VegaFaktor 2 2 OptPreis ΔUnPreis 2 UnPreis GammaFaktor 2 +... δcall Delta : Δ = = N( d ) > 0; WertänderungOpt = f(wertänderungunderlying) δp Aktie Delta-Plus-Methode 2 δ Call Gamma : Γ = 2 δp Aktie = P N ( d Aktie ) σ > 0; WertänderungDelta = f(wertänderungunderlying) t δcall Vega : Λ = = N ( d ) PAktie t > 0; WertänderungOpt = f(wertänderungvola) δσ P Aktie σ N ( d) rfrei t Theta : Τ = r X e N( d 2 2 t ) < 0; WertänderungOpt = f(wertänderungzeit) δcall r t Rho : Ρ = = X e N( d 2 ) t > 0; WertänderungOpt = f(wertänderungzins) δr 38

Risikomanagement mittels Sensitivitäten () Sensitivitäten eines Finanzinstruments/eines Portfolios bzgl. eines Risikofaktors: ΔPreis = Sensitivität ä ΔRisikofaktor Ableitung des Preises nach dem Risikofaktor - je empfindlicher ein Instrument/Portfolio, desto riskanter ist es Risikomanagement = Limitierung von Sensitivitäten - für ein Portfolio mit n A-Instrumenten und m B-Instrumenten gilt: Δ( na + mb) = nδ( A) + mδ( B) gilt auch für andere ' greeks' - aufgrund dieser Eigenschaft können Portfolios z.b. delta-neutral gemacht werden (->delta-hedge): - sind n, Δ(A) und Δ(B) gegeben, kann m so gewählt werden, dass Δ(nA+mB) Null ist, nämlich durch m = -n Δ(A)/ Δ(B) - es können auch mehrere Sensitivitäten zu Null gemacht werden - es werden dann so viele verschiedene Hedge-Instrumente notwendig, wie Sensitivitäten zu neutralisieren sind Optionen haben viele Risikofaktoren Underlying Restlaufzeit der Option Volatilität des Underlyings risikoloser Marktzins es gibt n Sensitivitäten (siehe greeks ) 39

Risikomanagement mittels Sensitivitäten (2) Beispiel eines Hedging zur ersten Option werden 2 weitere hinzugefügt, so dass Gamma und Vega des Gesamtportfolios Null sind danach wird durch Hinzufügen einer geeigneten Anzahl Underlyings auch noch die Portfolio-Delta neutralisiert da das Underlying selbst weder Gamma noch Vega besitzt, wird die zuvor erreichte Neutralisation nicht wieder verletzt: Option Parameter Black-Scholes Results Underlying Price Strike [EUR] Maturity Date Value Date Vola Rate Type Position Price [EUR] Delta Gamma [/EUR] Vega [EUR*years/%] Theta [EUR/days] Rho [EUR*years/%] 00 05 5.03.2006 5-Dec-2005 27% 3% Call 3,59 0,388662 0,026965 0,9946978-0,026638-0,00982297 00 80 30.04.2006 5-Dec-2005 27% 3% Call -5,39898-0,36-4,89838-0,0473-0,50837295 0,03829779 0,44434026 00 95 30.06.2006 5-Dec-2005 27% 3% 2 Put,220366 6,23-0,399089 0,020334 0,33687-0,098023-0,03539344 00 Underlying 4,9 490,87 4,908744 Total Portfolio 390,33 0,00000 0,00000 0,000000-0,008425 0,396292484 delta-, gamma- und vega-neutral ( insensitive gegenüber kleinen Preisänderungen), z.b. delta PortfolioDelta = 0 = (*0,3887) (5 *0,9072) +(*-0,3557) +U* => U = 4,9 Stück 40

Risikomanagement mittels Sensitivitäten (3) Deltafaktor einer Call-Option Preis Long-Position Kursverluste überschätzt Kursgewinne unterschätzt Wert Underlying Kursverluste unterschätzt Preis Short-Position Kursverluste unterschätzt 4

Put-Call Parität () Put-Call Parität liefert einen Zusammenhang zwischen dem Preis eines Calls C und eines Puts P auf ein und dieselbe Aktie S (ohne Dividendenausschüttung) bei gleichem Basispreis K und gleicher Restlaufzeit T der Optionen es gilt: K P0 = C0 S0 + + r die Gültigkeit dieser Beziehung zeigt eine Arbitrageüberlegung:. kaufe einen Call mit Basispreis K und Fälligkeit T 2. lege den abgezinsten Basispreis K(+r) -T zum Zins r an 3. verkaufe eine Aktie, die in t=t zurückgekauft wird t=0 S(T) K t=t S(T) > K Kaufe Call -C(0) 0 S(T) - K 2 Lege an -K(+r) -T K(+r) -T * (+r) T = K K(+r) -T * (+r) T = K 3 Verkaufe Aktie S(0) -S(T) -S(T) der resultierende Auszahlungsbetrag des Portfolios in T entspricht der eines Puts der Wert heute muss aus Arbitragegründen auch gleich sein, d.h.: P 0 = C S + K( + r) 0 Portfolio -C(0) - K(+r) -T + S(0) K - S(T) 0 0 T 42

Put-Call Parity (2) Parities C - P = Spot Price PV(Strike) C - P = PV (Future Price - Strike) leave out PV( ) if premium is paid in arrears ( futures style margining ) Synthetic long future Long call Synthetic short future Short put Call Put = max( S X ;0) max( X S ;0) = S T T X T Long put Example a Future-Call-Option with strike 00 is traded at a price of 2,40; maturity is year. Current future price = 0. value of a Put Option = 2,40 (0 00) =,40 Call on stock with strike 00, current stock price is 92; maturity is year, MM-rate is 4 % (continuously compounded): value of a Put Option = 2,40 92 + 00e -0,04 = 6,48 Short call 43

Option Valuation Models The Black-Scholes Model Benchmark model for valuation of Eureopean options and American options on futures Cox-Ross-Rubinstein Benchmark model for valuation of American style stock options Garman-Kohlhagen Benchmark model for valuation of currency options rf ( T t) r( T t) C = Se N( d) Ee N( d2) P = Ee ln d = r( T t) S E N( d2) Se + ( r rf 2 σ + 2 σ T t Term structure models Hull-White, Black-Derman-Toy (BDT), Heath/Jarrow/Morton (HJM), used to price interest rate options, callable bonds, Monte Carlo Simulation rf ( T t) )( T t) N( d) d2 = d σ T t 44