Expected Shortfall - Alternative oder Ergänzung zum Value-at-Risk bei der Kreditrisikoquantifizierung?

GEORG-AUGUST-UNIVERSITÄT GÖTTINGEN INSTITUT FÜR WIRTSCHAFTSINFORMATIK ABTEILUNG FÜR WIRTSCHAFTSINFORMATIK II SEMINAR ZUR WIRTSCHAFTSINFORMATIK Informationssysteme bei Finanzdienstleistern SOMMERSEMESTER 2004 Expected Shortfall - Alternative oder Ergänzung zum Value-at-Risk bei der Kreditrisikoquantifizierung? Martin Hegemann Reginastraße 2 34119 Kassel Wirtschaftsinformatik 11. Semester

Inhaltsverzeichnis I Inhaltsverzeichnis Abbkürzungs- und Symbolverzeichnis...... II Abbildungs- und Tabellenverzeichnis... II 1 Einleitung...1 2 Grundlagen...2 2.1 Allgemeiner Risikobegriff... 2 2.2 Kreditrisiko... 2 2.3 Anforderungen an ein Kreditrisikomaß... 4 3 Shortfall-Risikomaße Value-at-Risk und Expected Shortfall...6 3.1 Definitionen... 6 3.1.1 Value-at-Risk... 6 3.1.2 Expected Shortfall...7 3.2 Methoden zur Berechnung... 8 3.2.1 Varianz-Kovarianz-Methode...9 3.2.2 Monte-Carlo-Simulation... 10 3.2.3 Historische Simulation... 10 3.2.4 Stärken und Schwächen der einzelnen Methoden...11 3.3 Beispiel... 12 4 Anwendung der Risikomaße zur Quantifizierung des Kreditrisikos...14 4.1 Zur Anwendung des Value-at-Risks... 14 4.2 Zur Anwendung des Expected Shortfalls...16 5 Zusammenfassung...19 Literaturverzeichnis... III

II Abkürzungs- und Symbolverzeichnis VaR ES E L P T V P X Value-at-Risk Expected Shortfall Erwartungswert Verlust als Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit Zeitraum Wert eines Portfolios Zufallsvariable Konfidenzniveau allgemeines Risikomaß Abbildungs- und Tabellenverzeichnis Abbildung 2.2/1 Verteilung der Kreditverluste 3 Tabelle 3.2.1/1 Stärken und Schwächen der Methoden 12 zur Ermittlung von VaR / ES Tabelle 4.2.1/1 Stärken und Schwächen der Risikomaße VaR und ES 18

Abbildungs- und Tabellenverzeichnis III

Einleitung 1 1 Einleitung Der Value-at-Risk, der seinen Ursprung in der Quantifizierung von Marktpreisrisiken hat, ist in der Finanzwirtschaft mittlerweile das Standardmaß, wenn es um die Messung von verschiedensten Risiken geht. Dazu hat er sich auch in der Kreditwirtschaft durchgesetzt. So haben alle bekannten Kreditrisikomodelle zum Ziel, das zur Unterlegung riskanter Kreditrisikopositionen notwendige ökonomische Kapital mithilfe von Value-at-Risk-Verfahren zu bestimmen. Anders als bei Marktpreisrisiken, die häufig als normalverteilt betrachtet werden können, gilt diese Vorraussetzung für eine problemlose Verwendung des Value-at-Risks aber nicht für Kreditrisiken. Daher wurde der Expected Shortfall als Risikomaß vorgeschlagen, das nicht an diese Voraussetzung gebunden ist. In dieser Arbeit soll der Frage nachgegangen werden, ob der Expected Shortfall als Alternative oder Ergänzung für den Value-at-Risk geeignet ist. Dazu werden im zweiten Kapitel die für das Verständnis, der mit dem VaR verbundenen Probleme, benötigten Grundlagen erläutert. In dem darauf folgenden Kapitel werden der Value-at-Risk und der Expected Shortfall definiert und es wird gezeigt wie beide Maßzahlen berechnet werden können. Im vierten Kapitel wird die Anwendung des Value-at-Risks zur Quantifizierung von Kreditrisiken besprochen. Dabei sollen besonders die Probleme hervorgehoben werden, die hierbei auftreten können. Anschließend wird auf die Verwendung des Expected Shortfalls in diesem Bereich eingegangen und untersucht, ob er als Alternative zum Value-at-Risk eingesetzt werden kann.

Grundlagen 2 2 Grundlagen 2.1 Allgemeiner Risikobegriff Werden in der wissenschaftlichen Diskussion Betrachtungen über das Risiko angestellt, stehen in ihrem Mittelpunkt die Unsicherheit über zukünftige Ereignisse oder Entwicklungen. Hierbei kann jedem möglichen zukünftigen Umweltzustand eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden mit der dieser Eintritt. Wäre dieses nicht möglich spräche man von Ungewissheit [PeSt02, 99f]. Bei finanzwirtschaftlichen Betrachtungen, inbesondere wenn es um die Messung von Risiken geht, spielt die Ursache des Risikos zumeist eine untergeordnete Rolle. Es wird vielmehr ein materieller Risikobegriff verwandt, der auf die Wirkung des Risikos abzielt [Brak91, 12]. Hierbei ist das Risiko als eine für den Betrachter ungünstige Abweichung eines tatsächlichen zukünftigen Wertes von einem erwarteten Wert anzusehen. Da dieser Risikobegriff nur auf die negativen Abweichungen fokussiert, spricht man vom Downside- oder Shortfall-Risiko [Hart00, 541]. 2.2 Kreditrisiko Das mit der Kreditvergabe verbundene Risiko resultiert aus zwei verschiedenen Ereignissen, die während der Laufzeit eines Kredites auftreten können. Hinter dem Begriff des Ausfallrisikos verbirgt sich das grundlegende mit einem Kredit verbundene Risiko. Es ist das Ausbleiben der vertraglich vereinbarten Zahlungen von Tilgung und Zinsen des Kreditnehmers [ScHo02, 73]. Dieses Ereignis beeinträchtigt die Ertrags- und Vermögenslage des Kreditgebers direkt. Weiterhin kann es während der Lauftzeit eines Kredites zur Verschlechterung der Bonität des Schuldners kommen. Hierduch vermindert sich der Wert des Kredites für den Kreditgeber. Dieser als Bonitätsrisiko bezeichnete Risikobegriff ist umfassender als das Ausfallrisiko, da er den Ausfall des Schuldners als größtmögliche Verschlechterung mit beinhaltet [Schi01, 310]. In dieser Arbeit werden das Ausfallrisiko und das Bonitätsrisiko unter dem Begriff Kreditrisiko subsumiert. Sowohl das Ausbleiben von vereinbarten Leistungen als auch die Verschlechterung der Bonität einzelner Kreditnehmer treten mit bestimmbarer Regelmäßigkeit im normalen Kreditgeschäft einer Bank auf. Dieser durch seinen statistischen Erwartungswert

Grundlagen 3 bezifferbare Verlust (Expected Loss) ist gemäß der gegebenen allgemeinen Risikodefinition nicht als Kreditrisiko anzusehen [Büsc98, 866]. Das Kreditrisiko beeinhaltet also nur den über diesen erwarteten Verlust hinausgehende möglichen Verlustbetrag. Dieser als Unexpected Loss bezeichnete Verlust stellt einen bestimmten Bereich der Verteilung möglicher Kreditverluste dar, während der Expected Loss durch einen Punkt auf dieser Verteilung gekennzeichnet ist [Schi01, 310]. Im Gegensatz zu Marktpreisrisiken, die häufig als normalverteilt bzw. durch eine Normalverteilung approximierbar angesehen werden, besitzt eine Verteilung möglicher Kreditverluste eine deutlich rechtsschiefe Form mit Fat Tails 1 [BrLe03, 5f]. Dies liegt daran, dass Kreditausfälle seltene Ereignisse darstellen, die aber zu relativ hohen Verlusten führen können. Diesen Verlusten stehen eher geringe Gewinne durch normale Nettozinseinkünfte gegenüber [Henn99, 377]. Des Weiteren verstärken Kreditzyklen mit Perioden gehäufter Ausfälle und die Korrelationen zwischen verschiedenen Branchen und Länder diese Eigenschaft der Gewinn-/Verlustverteilung [StSt01, 216]. Die genannten Eigenschaften der Verteilung des Kreditrisikos sind in der folgenden Abbildung zusammenfassend abgebildet. Relative Häufigkeit in % 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 Verteilung der Portfolioverluste Erwarteter Expected Verlust Loss Unexpected Loss Value-at-Risk 4,68 Mio. Euro11 99% Quantil 1,00 0,00 0,00 0,44 0,88 1,32 1,76 2,20 2,64 3,08 3,52 3,96 4,40 4,84 5,28 5,72 6,16 6,60 7,04 7,48 7,92 8,36 Ausfallhöhe in Mio. Euro Abbildung 2.2/1Verteilung der Kreditverluste 1 Mit Fat Tails werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen bezeichnet, die stärker leptokurtisch sind als Normaverteilungen. D.h. ihre Wölbung im Zentrum ist stärker ausgeprägt und die Flanken sind dicker.

Grundlagen 4 2.3 Anforderungen an ein Kreditrisikomaß Die quantitative Messung des Kreditrisikos ist für eine Bank von höchster Relevanz. Neben dem grundlegenden Ziel mittels der Risikoquantifizierung und den Risikomaßen existenzgefährdende Risiken zu erkennen, sind Banken durch aufsichtsrechtliche Bestimmungen verpflichtet, das Kreditrisiko zu ermitteln und es zur Sicherung ihrer eigenen Zahlungsfähigkeit mit Eigenkapital zu unterlegen. Des Weiteren ist die Kreditrisikoquantifizierung die Vorraussetzung für eine nach dem Kreditrisiko differenzierte Bepreisung und einer risikoorientierten Steuerung der Kreditvergabe auf Porfolioebene. Daher sollte das Risiko in Form eines drohenden Verlustes dargestellt werden und es müssen Aussagen über seine Eintrittswahrscheinlichkeit gemacht werden können. Zudem sollte ein Zusammenhang zwischen dem ökonomischen / aufsichtsrechtlichen Kapital und dem ermittelten Risikomaß bestehen. Zur risikoorientierten Steuerung der Kreditvergabe ist es notwendig, dass das Riskomaß auch als Zielgröße von Optimierungsproblemen verwandt werden kann. Neben den genannten Anforderungen, die aus der Verwendung des Risikomaßes im Kreditgeschäft resultieren, formulierten Artzner et al. eine mittlerweile allgemein anerkannte theoretische Basis, die jedes monetäre Risikomaß einhalten soll. Ein Risikomaß wird hierbei als eine Abbildung definiert, die jedem Portfolio mit dem zukünftigen Wert X eine Zahl X zuweist [Artz97, 68]. Dieses Risikomaß soll den folgenden vier Axiomen genügen [Artz02, 151f; KüSt04, 206]: 1. Subadditivität: Das Risiko eines aggregierten Portfolios darf nicht größer sein als die Summe seiner Komponenten. X Y X Y 2. Positive Homogenität: Das Risko steigt proportional zu einem positiven Faktor t. t X =t X 3. Monotonie: Das Risiko eines Portfolios X, dessen Wert in jedem Zustand nicht größer ist als der Wert des Portfolios Y, ist höher als das Risiko des Portfolios Y. X Y, wenn X Y

Grundlagen 5 4. Translationsinvarianz (risk-free condition): Wird zusätzlich zum betrachteten Portfolio ein Betrag n zum risikolosen Zinssatz r angelegt, so reduziert sich das Risiko um den Betrag n. X r n = X n Ein Risikomaß, dass diese Axiome erfüllt heißt kohärentes Risikomaß. Zudem ist durch die positive Homogenität in Verbindung mit der Subadditivität sichergestellt, dass das Risikomaß konvex ist. Hierdurch ist eine Portfolio-Optimierung, im Sinne der Minimierung des Risikos, auf der Grundlage dieses Riskomaßes stets lösbar [Thei04, 185].

Shortfall-Risikomaße Value-at-Risk und Expected Shortfall 6 3 Shortfall-Risikomaße Value-at-Risk und Expected Shortfall Das in der finanzwirtschaftlichen Theorie und Praxis am meisten verbreitete Risikomaß ist die Varianz bzw. die Standardabweichung als ihre Quadratwurzel [OeUn02, 12]. Sie misst die Streuung einer Verlustverteilung um den Erwartungswert und berücksichtigt dadurch gleichermaßen für den Kreditgeber positive wie auch negative Abweichungen von diesem. Somit entspricht das durch die Standardabweichung beschriebene Risiko nicht dem oben definierten allgemeinen Risikobegriff. Risikomaße, die berücksichtigen, dass nur die negative Abweichung von einem erwarteten, zukünftigen Wert als Risiko betrachtet wird, werden als Downside- oder Shortfall-Risikomaße bezeichnet [StSt01, 217]. Ist man sich der oben dargestellten stark rechtsschiefen Verteilung der Kreditverluste bewusst, ist ersichtlich, dass die Gefahren eines Kreditportfolios primär bei den hohen, aber seltenen auftretenden Verlusten am rechten Rand (Tail) der Verlustverteilung liegen. Es werden also Risikomaße benötigt, welche die Eigenschaften in den Tails möglichst adäquat beschreiben [StSt01, 217]. In den folgenden Kapiteln sollen der Value-at-Risk und der Expected Shortfall als solche Risikomaße vorgestellt und verglichen werden. 3.1 Definitionen 3.1.1 Value-at-Risk Der Value-at-Risk (VaR), welcher sich sowohl im Bereich des Markt- als auch des Kreditrisikomanagements als zentrale Kennzahl des Portfoliorisikos durchgesetzt hat [Wehr01, 582], ist definiert als der maximale Verlust eines Kreditportfolios, der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit innerhalb eines fesgelegten Zeitraums T nicht überschritten wird [Wies99, 251]. Während sich diese Definition auf eine Verlustsituation, wie sie durch den Forderungsausfall entsteht bezieht, lässt sich der Value-at-Risk ebenso auf Wertveränderungen im Sinne des Bonitätsrisikos anwenden. Ist der Verlust eines Kreditportfolios durch die Zufallsvariable Value-at-Risk formal wie folgt definiert [FrMc02, 4]: L beschrieben, ist der VaR T L =inf {l R P [ L l ] 1 } 2 2 Betrachtet man anstatt des Verlustes den zukünftigen Wert eines Portfolios ist der Value-at-Risk definiert als inf {x P [ X x] }.

Shortfall-Risikomaße Value-at-Risk und Expected Shortfall 7 Er ist die kleinste Zahl l, die der Verlust 1 nicht überschreitet. L mit einer Wahrscheinlichkeit von Ist die Verteilungsfunktion des Verlustes F L l =P L l, lässt sich der Value-at- Risk auch als a-quantil dieser Funktion darstellen und durch ihre Umkehrfunktion berechnen [WiVö01, 416]: VaR T =F 1 Die für die Berechnung des Value-at-Risks ausschlaggebende Wahrscheinlichkeit wird mittels eines Konfidenzniveaus festgelegt. In der Praxis übliche Werte für sind 0,05 oder 0,01. Ein hohes Konfidenzniveau und die damit verbundene geringe Wahrscheinlichkeit VaR-überschreitender Verluste erzeugt zwar ein Gefühl der Sicherheit, erschwert aber die exakte und verläßliche Berechnung des VaR sowie die Überprüfung der Güte von VaR-Modellen anhand tatsächlich eintretener Verluste. [WiVö01, 417f] Während bei der Messung von Marktrisiken Betrachtungszeiträume von einem bis zu zehn Tagen zugrunde gelegt werden [Hart00, 330], liegt der Messung von Kreditrisiken oftmals ein volles Geschäftsjahr oder der Zeitraum bis zur Endfälligkeit gewisser Portfolien zugrunde. Dies liegt vor allem daran, dass Kreditrisiken schlechter handelbar sind als Marktrisiken und Kreditverträge nicht einfach durch Liquidation risikolos gestellt werden können [HeBa01, 212]. 3.1.2 Expected Shortfall Der Expected Shortfall (ES), auch Conditional Value-at-Risk, wurde 1997 von Artzner et al. als kohärentes Risikomaß eingeführt [Artz97]. Er ist definiert als der erwartete Verlust für den Fall, dass der Value-at-Risk tatsächlich überschritten wird. Somit ist er der wahrscheinlichkeitsgewichtete Durchschnitt aller Verluste, die höher sind als der Value-at-Risk. Sei L eine Zufallsvariable, die den Verlust eines Portfolios beschreibt und VaR T L der Value-at-Risk bei einem Konfidenzniveau von 100 1 Prozent. Dann ist der Expected Shortfall durch folgende Gleichung definiert [YaYo02, 60]: ES L =E [ L L VaR T 3 L ] 3 E[ X B ] ist die bedingte Erwartung der Zufallsvariable X, für den Fall, dass B eintritt.

Shortfall-Risikomaße Value-at-Risk und Expected Shortfall 8 Diese bedingte Erwartung berechnet sich bei einer stetigen Verteilung durch [FrMc02, 3]: E L L VaR T = E L ; L VaR T L P L VaR T L Während bei stetigen Zufallsvariablen der Wert der Verteilungsfunktion des Value-at- Risk immer genau mit dem gegebenen Konfidenzniveau übereinstimmt, kann er bei diskreten Verteilungen hiervon abweichen. triftt hier in der Regel nicht genau einen Wert der Verteilungsfunktion, sodass eine Korrektur bei der Bestimmung des Expected Shortfalls vorzunehmen ist [Klei03, 13]. Der Wert, der vor liegt, fließt anteilig in die Berechnung ein, sodass genau 100a% der Stichprobe erfasst werden. Als alternative Definiton kann er auch als der durchschnittliche VaR T L für alle Konfidenzniveaus oberhalb von aufgefasst werden [KüSt04, 207]. 3.2 Methoden zur Berechnung Zenrales Moment für die Berechnung des Value-at-Risks und des Expected Shortfalls sind die den Wert des Kreditportfolios bestimmenden Einfluss- bzw. Risikofaktoren. Die Berechnung stützt sich sowohl auf die Ursache-Wirkungs-Zusammenhänge zwischen Risikofaktoren und Portfoliowert als auch auf die Entwicklung der Risikofaktoren. Die Ermittlung vollzieht sich unabhängig von einem konkreten Modell in einem mehrstufigen Prozess, dessen Schritte hier stichwortartig aufgeführt werden [Hols01, 81; Bühl99, 266]: 1. Bestimmung der Risikofaktoren 2. Bestimmung von Bewertungsmodellen, die die Abhängigkeit der Kredite von der Entwicklung der Risikofaktoren quantifizieren. 3. Erstellen von Szenarien für die Entwicklung der Risikofaktoren 4. Ableiten eines Szenarios für die Entwicklung des Portfoliowertes und einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Auftreten bestimmter Verluste. 5. Festlegen von Value-at-Risk / Expected Shortfall für das gewünschte Konfidenzniveau.

Shortfall-Risikomaße Value-at-Risk und Expected Shortfall 9 Bei der Ermittlung der möglichen Szenarien im dritten Schritt unterscheiden sich die Vorgehensweise bei verschiedenen Methoden. Es lässt sich generell zwischen zwei verschiedenen Konzepten unterscheiden. Zum einen gibt es analytische Modelle, die eine theoretisch fundierte Verteilungsannahme für die Risikofaktoren unterstellen, zum anderen findet man Simulationsmodelle. Im folgenden sollen die analytische Varianz- Kovarianz-Methode sowie die Historische Simulation und die Monte-Carlo-Simulation beschrieben werden. 3.2.1 Varianz-Kovarianz-Methode Bei der analytischen Varianz-Kovarianz-Methode wird davon ausgegangen, dass der Portfoliowert von Risikofaktoren abhängt, deren Schwankungen sich durch eine multivariate Normalverteilung charakterisieren lassen. Weiterhin liegt eine geschätzte Varianz-Kovarianz-Matrix der Risikofaktoren vor [WiVö01, 418]. Auf Grundlage der Verteilung der Risikofaktoren lässt sich der Portfoliowert mittels eines linearen Bewertungsmodells ermitteln. Der Value-at-Risk kann als negatives a-quantil der normalverteilten Wertänderungen des Portfolios leicht berechnet werden. Er ist, wenn als Referenzwert der zukünftige Wert eines Portfolios ( V P T ) angenommen wird [WiVö01, 419]: VaR = z P V P. z ist das a-quantil der Standardnormalverteilung, das bei einem Konfidenzniveau von 5% (1%) einen Wert von -1,645 (-2,326) annimmt. Der Expected Shortfall einer normalverteilten Gewinn- und Verlustverteilung ist [YaYo02, 61]: z ES = e 2 2 P. Wie den Gleichungen zu entnehmen ist, sind der Value-at-Risk und der Expected Shortfall bei normalverteilten Wertänderungen nur Vielfache voneinander, da sie beide Vielfache der Standardabweichung sind. Somit besitzen beide dieselben Eigenschaften und stellen die gleiche Information über den möglichen Verlust bereit [YaYo02, 61].

Shortfall-Risikomaße Value-at-Risk und Expected Shortfall 10 3.2.2 Monte-Carlo-Simulation Da es in der Regel nicht möglich ist die Verlustverteilung eines Kreditportfolios analytisch zu bestimmen, können weder Value-at-Risk noch Expected Shortfall analytisch ermittelt werden. Daher bietet sich hier der Einsatz von Simulationstechniken an [StSt01, 218]. Die im Kreditgeschäft wichtigste Technik ist die Monte-Carlo- Simulation. Weiterhin gibt es noch die Historische Simulation, die im folgenden Kapitel besprochen wird. Bei der Monte-Carlo-Simulation, auch Stochastische Simulation genannt, werden beliebige (geschätzte) Verteilungstypen und deren Verteilungsparameter für die Veränderung der Risikofaktoren angenommen. Es ist möglich für jeden Risikofaktor einen anderen Verteilungstyp festzulegen. Bei der Wahl dieser Verteilungstypen ist man grundsätzlich vollkommen frei, solange eine Anpassung an empirische Daten der Vergangenheit möglich ist [Völk01, 103]. Per Zufallsgenerator wird auf dieser Grundlage eine Verteilung für die zukünftige Entwicklung des Portfolios auf Basis der Risikofaktoren erzeugt. Bei jedem Simulationsdurchgang erhält man einen möglichen Wert für jeden Risikofaktor. Mittels des Bewertungsmodells können diese in den entsprechenden Portfoliowert überführt werden. Der Simulationsvorgang wird solang wiederholt, bis sich die für den Portfoliowert ergebende Verteilung stabilisiert, was i.d.r. mehrere zehntausend Simulationsläufe erfordert [WiVö01, 419]. Der Value-at-Risk und der Expected Shortfall lassen sich aus den simulierten Portfoliowerten ermitteln, indem man diese nach ihrer Größe sortiert. Aus der so aufgestellten Tabelle kann man den dem gesetzten Konfidenzniveau entsprechenden Value-at-Risk einfach als den k-kleinsten Wert mit k= x 1 ablesen [Völk01, 79]. Der Expected Shortfall entspricht dem Durchschnitt aller Werte, die schlechter sind als der Value-at-Risk. 3.2.3 Historische Simulation Bei der Historischen Simulation wird von in der Vergangenheit aufgetretenden Wertveränderungen auf den zukünftigen Wert eines Portfolios geschlossen. Dabei kann man entweder direkt den historischen Wert des Portfolios betrachten oder die Entwicklung der Risikofaktoren erfassen und den Wert des Portfolios hieraus ableiten [ScHo02, 222]. Man betrachtet die Änderungen der Risikofaktoren als unabhängig und identisch verteilt, wodurch die Verteilung der zukünftigen Renditen der eines als

Shortfall-Risikomaße Value-at-Risk und Expected Shortfall 11 repräsentativ angenommenen Vergangenheitszeitraum entspricht [Völk01, 77]. Zur Berechnung von Value-at-Risk und Expected Shortfall wendet man x ermittelte Veränderungsdaten auf den heutigen Wert des Portfolios an und sortiert die sich ergebenden möglichen Portfoliowerte nach ihrer Größe. Aus dieser Tabelle lassen sich die Riskomaße wie bei der Monte-Carlo-Simulation beschrieben ablesen bzw. berechnen. 3.2.4 Stärken und Schwächen der einzelnen Methoden Keine der vorgestellten Methoden zur Bestimmung des Value-at-Risks / Expected Shortfalls ist den anderen unter allen denkbaren Rahmenbedingungen eindeutig überlegen [WiVö01, 420]. Die Wahl einer Methode hängt von verschiedenen Faktoren wie der Verfügbarkeit von historischen Daten, der Größe und Komplexität des analysierten Portfolios und der zur Verfügung stehenden Rechnerkapazität ab [Bühl99, 285]. Mit der Varianz-Kovarianz-Methode lässt sich der Value-at-Risk exakt und theoretisch fundierte berechnen. Zudem ist die Berechnung schneller durchzuführen als mit den simulativen Methoden. Allerdings wird eine Normalverteilung der Wertänderung der Risikofaktoren unterstellt. Ist diese Annahme nicht haltbar, kann man auf eine der simulativen Methoden ausweichen. Am einfachsten umzusetzen ist hierbei die Historische Simulation, da keinerlei Annahmen über eine möglich Verteilung der Risikofaktoren gemacht werden müssen. Es ist jedoch fraglich, ob ein gewählter Betrachtungszeitraum wirklich repräsentativ für zukünftige Entwicklungen ist. Kann man Verteilungen für die Entwicklung der Risikofaktoren angeben, lassen sich mit der Monte-Carlo-Simulation sehr genau Schätzungen erstellen, in welche auch sich verändernde Markteigenschaften einfließen können. Allerdings erfordert diese Simulationsmethode einen sehr hohen Rechenaufwand. Die Stärken und Schwächen der einzelnen Verfahren sind in der folgenden Tabelle dargestellt [ScHo02, 223ff; Völk02, 77ff]:

Shortfall-Risikomaße Value-at-Risk und Expected Shortfall 12 Methode Stärken Schwächen Varianz-Kovarianz-Methode Exakte, theoretisch fundierte Berechnung Beachtung von Diversifikationseffekten durch Korrelationen Schnellere Berechnung als bei Simulationen Historische Simulation Einfach Struktur und Umsetzbarkeit Ermöglicht auch das einfangen nicht-lineare Zusammenhänge zwischen Risikofaktor und Vermögensposition Korrelationen zwischen unterschiedlichen Risikofaktoren werden quasi automatisch berücksichtigt. Monte-Carlo-Simulation Es kann auf die Normalverteilungsannahme oder auf historische Datenbestände verzichtet werden. Es können beliebig viele Szenarien berücksichtigt werden. Richtigkeit der Annahmen über die (Normal-) Verteilungen Systematische Ausblendung von extremen Veränderungen Veränderung der Korrelationen in extremen Situationen Vergangenheitsorientiert Keine Theoriebasis Tabelle 3.2.4.1/1 Stärken und Schwächen der Methoden zur Ermittlung von VaR / ES Starke Äbhängigkeit der zukünftig erwarteten Entwicklung vom konkret gewählten Beobachtungszeitraum. Man hat keine Möglichkeit bestimmte Marktentwicklungen einfließen zu lassen. Die Gültigkeit der Annahmen des Zufallsexperiment und die unterstellte Verteilung der Risikofaktoren sind schwer nachzuweisen. Bei zutreffender Verteilungsannahme sehr genau. Methode bringt einen hohen Rechenaufwand mit sich. 3.3 Beispiel Mittels der Monte-Carlo-Simulation wurden 1250 mögliche Verluste für ein Kreditportfolio ermittelt. Hieraus soll der VaR 0,99 und der ES 0,99 ermittelt werden. Die folgende Tabelle zeigt die 15 größten Verluste geordnet nach ihrer Höhe: Rang 1250 1249 1248 1247 1246 1245 1244 1243 Verluste (L) in Mio. Euro 9,1 8,92 8,56 8,21 7,99 7,7 7,22 7,01 Rang 1242 1241 1240 1239 1238 1237 1236 Verluste (L) in Mio. Euro 6,79 6,33 6,12 5,78 5,51 5,04 4,8 Der VaR 0,01 entspricht inf l P [ L l ] 0,99. Die Wahrscheinlichkeit das der Verlust größer ist als 5,78 Mio. Euro ist 1238/1250 = 0,9904 0,99, die Wahrscheinlichkeit für einen höheren Verlust als 5,04 Mio. Euro ist

Shortfall-Risikomaße Value-at-Risk und Expected Shortfall 13 1237/1250 = 98,96. Der Value-at-Risk ist hier also 5,04 Mio. Euro. Der Expected Shortfall ist der Durchschnitt aller Verluste, die höher sind als der Value-at-Risk. In diesem Fall wären dies die 13 Werte von 1250-1238. Da diese aber 1,04 Prozent der 1250 simulierten Verluste entsprechen, muss hier eine Korrektur vorgenommen werden, sodass der Expected Shortfall genau der durchschnittliche Verlust in den 100a Prozent schlechtesten Fällen ist. Der 13. Wert fließt daher nur anteilig in die Berechnung ein: 0,96 9,1... 5,78 0,04 5,51=7,3988. Der Expected Shortfall beträgt somit 7,4 Mio. Euro.

Anwendung der Risikomaße zur Quantifizierung des Kreditrisikos 14 4 Anwendung der Risikomaße zur Quantifizierung des Kreditrisikos 4.1 Zur Anwendung des Value-at-Risks Der Value-at-Risk hat sich aufgrund seiner begrifflichen Einfachheit, der einfachen Berechenbarkeit und vieler fertiger Anwendungen als Standardrisikomaß bei der finanziellen Risikomessung etabliert [YaYo02, 58]. Ein herausragendes Merkmal dieses Ansatzes ist es, dass unterschiedliche Risikoarten wie etwa Kredit-, Aktienpreis- oder Zinsänderungsrisiken mit einer einheitlichen Meßvorschrift erfasst werden und die diversifizierende Wirkung bei der Aggregation der Risikoarten berücksichtigt werden kann [UhAu96, 831]. Es besteht ein direkter Zusammenhang zwischen dem Value-at-Risk und dem ökonomischen Kapital. Hierunter versteht man die Risikodeckungspotentiale, die eine Bank vorhalten muss, um auch bei Maximalbelastungssituationen solvent zu bleiben. Der Value-at-Risk entspricht im Kreditgeschäft dem Unexpected Loss. So ist es möglich mit ihm den Verbrauch an ökonomischen Kapital durch einen Kredit anzugeben und eine risikoorientierte Bepreisung von Krediten vorzunehmen. Zudem fördert die Anerkennung von Value-at-Risk-Ansätzen zur Berechnung des nötigen Eigenkapitals durch die Regulierungsbehörden seine Verbreitung erheblich [Hart00, 546]. Trotz dieser Vorteile wird er aufgrund einiger Nachteile in der wissenschaftlichen Diskussion in Frage gestellt. Ein Großteil der Kritik lässt sich auf zwei wesentliche Eigenschaften des VaR zurückführen. Zum einen misst der Value-at- Risk nur einen Punkt der Verlustverteilung und vernachlässigt dadurch das Risiko oberhalb dieses Punktes (Tail Risk), zum anderen ist er nicht subadditiv und stellt somit kein kohärentes Risikomaß dar 4. Die Fokussierung auf nur einen Punkt der Verlustverteilung hat zur Folge, dass das tatsächliche Ausmaß einer Abweichung vom Value-at-Risk sowohl im positiven als auch im negativen keinen Einfluss auf eine Anlageentscheidung hat [Klei03, 13]. Z.B. sind Portfolios denkbar, die den selben Value-at-Risk haben und einem Entscheider somit gleichwertig erscheinen, aber bei einer Überschreitung des Value-at-Risks zu stark unterschiedlichen Ausfällen führen. Verbunden hiermit ist, dass sich der Value-at- 4 Dies gilt für die Messung des Kreditrisiko mittels Value-at-Risk. Beim Messen von Risiken, bei denen man eine normalverteilung unterstellen kann, ist der Value-at-Risk subadditiv, da er hier nur ein Vielfaches der Standardabweichung darstellt.

Anwendung der Risikomaße zur Quantifizierung des Kreditrisikos 15 Risk nicht glatt verhält. Damit ist gemeint, dass Kreditausfälle, deren Eintrittswahrscheinlichkeit knapp unterhalb des Konfidenzniveaus liegen bei der Ermittlung des Value-at-Risks keine Beachtung finden. Steigt ihre Ausfallwahrscheinlichkeit nur leicht, so dass sie das Konfidenzniveau überschreitet fließen sie in voller Höhe in den Value-at-Risk ein [Raub02, 3]. Ein ähnlicher Effekt tritt auch bei der Veränderung des Konfidenzniveaus auf. Vergleicht man das Risiko verschiedener Portfolios auf Basis des Value-at-Risks kann es bei Variation des Konfidenzniveaus zu Rangvertauschungen zwischen diesen Portfolios kommen, obwohl sich ihr tatsächliches Risiko nicht ändert. Weitere Kritik am Value-at-Risk resultiert aus der fehlenden Subadditivität. Das Axiom der Subadditivität spiegelt die Idee der Diversifikation wider, wonach die Aufteilung eines Anlagebetrages auf mehrere Einzelrisiken immer zu einer Reduzierung des Gesamtrisikos führt [FrMc02, 3]. Da dieses Axiom nicht erfüllt ist, gibt es Portfolios, deren Value-at-Risk bei steigender Diversifikation steigt. Dieses soll anhand des folgenden Beispiels gezeigt werden. Es stehen 50 verschiedene Anleihen mit einem Kurswert von 95 Euro und einer Ausfallwahrscheinlichkeit von 2 Prozent zur Verfügung. Portfolio A besteht aus 100 Stück einer dieser Anleihen, Portfolio B aus je 2 Stück aller 50 Anleihen. Aus Portfolio A resultiert mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% Prozent ein Gewinn von 100 5 =500 und mit einer Wahrscheinlichkeit von 2% ein Verlust von 9500. Der VaR 0,05 dieses Portfolios ist kleiner als 0, da der mögliche Verlust eine geringere Wahrscheinlichkeit als 5% hat. Die Verlustverteilung des Portfolios B ist binomialverteilt. Bei einem a-wert von 0,05 hat das entsprechende a-quantil einen Wert von 3, dass heisst es fallen mit einer Wahrscheinlichkeit, die größer ist als 95% drei der 50 Anleihen aus. Dadurch entsteht ein Verlust von 6 95, die restlichen 94 führen zu einem Gewinn von je 5 Anleihen. Der Value-at-Risk des Portfolios entspräche in diesem Fall 6 95 94 5 =100 und ist somit als größer als der des konzentrierten Portfolios A. Bei der risikoorientierten Ertragsmessung wird die Performanz eines Portfolios häufig als Verhältnis von Gewinn und eingesetztem ökonomischen Kapital gemessen. Wird das ökonomischen Kapital hierbei wie üblich mit dem Value-at-Risk bestimmt, führt eine Optimierung dieser Performanz aufgrund der fehlenden Subadditivität wiederum zu

Anwendung der Risikomaße zur Quantifizierung des Kreditrisikos 16 einer Konzentration im Portfolio. Weiterhin wird die Optimierung dadurch erschwert, dass der Value-at-Risk als Funktion der Portfolio-Positionen nicht konvex ist und mehrere lokale Extremwerte aufweisen kann [RoUr99, 2]. 4.2 Zur Anwendung des Expected Shortfalls Der Expected Shortfall ist ein kohärentes Risikomaß [AcNo01, 8]. Zudem wird schon aus seiner Definition ersichtlich, dass auf die bei Kreditausfällen eher seltenen Ereignisse mit hohen Verlusten fokussiert wird [StSt01, 217]. Somit bestehen die vom Value-at-Risk bekannten, aus der Vernachlässigung des Tail Risks und der fehlenden Subadditivität resultierenden Probleme hier nicht. Während die Portfolio-Optimierung auf Grundlage des Value-at-Risks erschwert ist, handelt es sich beim Expected Shortfall um ein konvexes Risikomaß. 5 Durch die Konvexität lassen sich effiziente Optimierungsalgorithmen entwerfen. So lässt sich der Expected Shortfall z.b. unter Anwendung der Linearen Programmierung minimieren. Wie aus seiner Definition hervorgeht, ist der Expected Shortfall immer höher als der Value-at-Risk. Daher führt seine Minimierung zugleich auch immer zu einer Senkung des Value-at-Risks. Andersson und Uryasev nutzen diesen Ansatz um den Expected Shortfall eines Kreditportfolios zu minimieren und gleichzeitig den Value-at-Risk zu bestimmen [AnUr99]. Konzeptionell kann der Expected Shortfall dem Value-at-Risk als überlegen angesehen werden. Ob die konzeptionellen Vorteile ausreichen damit sich der Expected Shortfall als Alternative zum Value-at-Risk etablieren kann, wird vor allem von der Stabilität seiner Ergebnisse und der Möglichkeit des Backtestings dieser Ergebnisse abhängen. Weiterhin wird die Aktzeptanz bei den Nutzern eine große Rolle spielen. Für die Stabiltiät der Ergebnisse ist die möglichst genaue Schätzung des Tails der Verlustverteilung ausschlaggebend. Diese Schätzung ist mit herkömmlichen Methoden sehr schwierig. Z.B. verändern sich unter normalen Bedingungen beobachtete Korrelationen in Extremsituationen. Daher ist es nicht möglich den Tail dieser Verteilung mit konventionellen Monte Carlo-Simulationen zu schätzen. Das Backtesting eines geschätzten Expected Shortfalls ist ebenfalls schwieriger als es für den Value-at-Risk ist. Dies liegt darin, dass zur Überprüfung eines VaR-Modells nur 5 Alle Risikomaße, die die Axiome der Homogenität und Subadditivität erfüllen sind konvex.