Fakultät für Physik Jan von Delft, Katharina Stadler, Frauke Schwarz T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 2013/14.

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1 Fakultät für Physik Jan von Delft, Katharina Stadler, Frauke Schwarz T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 01/14 T0: Probeklausur Donnerstag, Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studiengang: ECTS-Punkte: 9 / 6 (zutreffendes umkreisen) Übungsgruppe: Jede Aufgabe ist auf einem eigenen Blatt zu lösen. Extra Blätter: sind auf Nachfrage von der aufsichtführenden Person erhältlich; sollten (auf jedem Blatt) mit Ihrem Namen und der Nummer der darauf bearbeiteten Aufgabe versehen werden; sollten oben links nicht beschrieben werden, um Platz zum Tackern zu lassen; sollten bei Abgabe korrekt sortiert zwischen die anderen Aufgaben gelegt werden lösen Sie dazu vor Abgabe die Tackerklammer der Klausurangabe, bringen Sie alle Blättern (inklusive Extrablätter) in die richtige Reihenfolge, und lassen Sie das ganze Paket von der aufsichtführenden Person zusammentackern. Achten Sie darauf, dass alle relevanten Blätter abgegeben werden. Fehlende Aufgaben werden mit null Punkten bewertet. Es sind keine Hilfsmittel erlaubt. Bearbeitungszeit, Gesamtpunktzahl: Bachelor, Lehramt und Nebenfach: 90 min für 6 Aufgaben, insgesamt 0 Punkte. Die Probeklausur dient nur zum Erwerb von Bonuspunkten. Aufgabe Summe Punktzahl Erreichte Punktzahl Korrektor

2 Aufgabe 1: Linienintegral in kartesischen und krummlinigen Koordinaten (5 Punkte) Gegeben sei das Vektorfeld z F = 0 x e z b γ Berechen Sie explizit das Linienintegral dr F von a = (a, 0, 0) T nach b = (0, 0, b) T entlang der folgenden zwei Wege: ϕ γ 1 a e x (a) ( Punkte) γ 1 : eine gerade Linie; (b) ( Punkte) γ : ein Segment einer Ellipse um den Ursprung mit Halbachsen a und b, mit Ellipsengleichung x + z = 1. a b Zur Parametrisierung: Zeigen Sie, dass ein Punkt der Form r(ϕ) = (a cos ϕ, 0, b sin ϕ) T die Ellipsengleichung erfüllt, und überlegen Sie sich, welcher Wertebereich von ϕ dem Ellipsensegment entspricht. Hinweis: cos(x) = cos (x) sin (x). (c) (1 Punkt) Ist das Vektorfeld konservativ? Was bedeutet dies für den Zusammenhang der Ergebnisse in (a) und (b)? 1

3 Aufgabe : Volumen und Trägheitsmoment eines Keilrings (5 Punkte) z Betrachten Sie den in der Skizze grau schattierten Keilring, beschrieben in Kugelkoordinaten durch 0 r R und / θ /. (Solch ein ringartiges Objekt, mit keilförmigem Innenprofil und gerundetem Außenprofil, entsteht aus einer Kugel mit Radius R durch Herausschneiden eines um die z-achse zentrierten Doppelkegels mit Öffnungswinkel /.) (a) ( Punkte) Berechnen Sie das Volumen V des Keilrings. (b) ( Punkte) Der Keilring sei homogen, mit Masse M und Dichte ρ 0 = M/V. Berechnen Sie sein Trägheitsmoment für Rotationen um die Symmetrie-Achse, gegeben durch I = ρ 0 dv r, mit r = x + y. Schreiben Sie das Ergebnis in die Form I = amr, und finden Sie a. Hinweis: cos = cos = 1. Für Integrale mit sin θ kann die Substitution u = cos θ nützlich sein.

4 Aufgabe : Basistransformation (5 Punkte) Betrachen Sie die folgenden linearen Abbildungen in R, mit Standardbasis {e x, e y }. ê y A : Spiegelung an der Geraden g, die parallel zum Vektor e x e y verläuft und durch den Ursprung geht (siehe Skizze). B : Rotation um den Winkel θ =, gegen den 6 Uhrzeigersinn. Hinweis: sin ( 6 ) = 1 und cos ( ) 6 = g ê x (a) ( Punkte) Begründen Sie, dass die Matrixdarstellung von A (bezüglich der Standardbasis) die Form ( ) 0 1 A = 1 0 hat. Finden Sie die Matrixdarstellungen von B (bezüglich der Standardbasis). (b) (1 Punkt) Finden Sie den Vektor x, der unter der Abbildungen B auf den Vektor x = (, 1) T abgebildet wird. (c) ( Punkte) Sei T = AB die Transformationsmatrix, deren Matrixelemente den Bezug zwischen der alten und einer neuen Basis {ṽ i } angeben, e j = ṽ i T i j. Wie lautet die Darstellung x = ( x 1, x ) T des Vektors x in der {ṽ i }-Basis? Zeigen Sie, dass die Darstellung B von B in der neuen Basis durch B = ABA 1 gegeben ist. (Sie müssen dieses Matrixprodukt nicht explizit auswerten.)

5 Aufgabe 4: Eigenwertproblem (5 Punkte) Gegeben ist die Matrix A = 1 1 ib 1 1 ib ib ib mit b R. (a) ( Punkte) Berechnen Sie die Eigenwerte von A. Hinweis: Einer der Eigenwerte lautet λ =. (b) ( Punkte) A soll fortan hermitesch sein. Hierzu muss b = 0 gewählt werden. Erläutern Sie, warum! Bilden Sie nun eine Orthonormalbasis des R aus Eigenvektoren dieser Matrix. Hinweis: Der normierte Eigenvektor zum Eigenwert λ = soll v = 1 (1, 1, 0) T lauten. (c) (1 Punkt) Geben Sie die diagonalisierende Ähnlichkeitstransformation S sowie deren Inverse S 1 an, für die S 1 AS diagonal ist [mit b = 0, wie in Teilaufgabe (b)]. 4

6 Aufgabe 5: Taylorreihe und Lagrange-Multiplikatoren (5 Punkte) (a) ( Punkte) Finden Sie die Taylorreihe der Funktion f(x, y) = cos (x + y + x ) um den Punkt (x, y) = (0, 0) bis einschließlich der Ordnung O (x, y, xy), indem Sie von der bekannten Reihenentwicklung für die Cosinus-Funktion ausgehen. (b) ( Punkte) Eine Ellipse sei definiert durch x a + y b = 1 (1) Betrachten Sie ein Rechteck, dessen Eckpunkte auf der Ellipse liegen und dessen Kanten parallel zu Haupt- bzw. Nebenachse der Ellipse verlaufen. Wie ist der Eckpunkt P = (p 1, p ) T (siehe Skizze) zu wählen, damit die Fläche des Rechtecks maximal wird? Was ist der Wert der maximalen Fläche? Hinweis: Maximieren Sie hierzu die Fläche des Rechtecks, A(p 1, p ) = 4p 1 p, unter der Nebenbedingung, dass der Punkt P auf der durch Gleichung (1) definierten Ellipse liegen muss. ê y P ê x 5

7 Aufgabe 6: Differentialgleichung mit Substitution und Separation der Variablen (5 Punkte) Finden Sie die Lösung der Differentialgleichung y (x) = y/x + 1 (y/x), für x 1 und 0 y < 1, mit y(1) = 0. () Gehen Sie wie folgt vor: (a) ( Punkte) Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung durch die Substitution y = x sin u(x) in eine separable Differentialgleichung für u(x) übergeht. Sie dürfen dabei annehmen, dass 0 u(x) < /. Wie lautet die Anfangsbedingung für u(1)? (b) ( Punkte) Lösen Sie die separable Differentialgleichung für u(x), und folgern Sie daraus die gesuchte Lösung y(x) von Gleichung (). 6