Ü B U N G M A S C H I N E N E L E M E N T E

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1 Ü B U N G M A S C H I N E N E L E M E N T E Zylindrische Pressverbände: Tragfähigkeitsnachweis nach DIN 7190 Stephan Voigt, M.Eng.

2 Agenda 1. Einleitung 1.1 Wirkprinzip 1. Herleitung der Berechnungsgrundlagen 1.3 Wiederholung: Toleranzen und Passungen 1.4 Möglichkeiten der Auslegung zylindrischer Pressverbände. Auslegung zylindrischer Pressverbände bei rein elastischer Beanspruchung.1 Vorgehensweise. Beispiel zu rein elastischen Beanspruchung 3. Auslegung zylindrischer Pressverbände bei elastisch-plastischer Beanspruchung 3.1 Vorgehensweise 3. Beispiel zu elastisch-plastischen Beanspruchung 4. Montage und Betrieb zylindrischer Pressverbände

3 1 Einleitung 1.1 Wirkprinzip Beim Fügen der mit Übermaß versehenen Teile (Welle und Nabe) entsteht die elastische Fugenpressung pp F. Nabe unter Innendruck, Welle unter Außendruck DD Ia Außendurchmesser des Innenteils (Welle) DD Ii Innendurchmesser des Innenteils (Welle) DD Aa Außendurchmesser des Außenteils (Nabe) DD Ai Innendurchmesser des Außenteils (Nabe) DD F DD Ia DD Ai Stephan Voigt, M.Eng. 3

4 Nach dem Montageverfahren wird unterschieden: Längspressverband Fügen bei RT durch Aufpressen Einpressgeschwindigkeit mm s 1 Glättung der Oberflächen durch plastische Verformung und Abscheren Fase zwingend erforderlich Gefahr des Schabens Beim Fügen ungehärteter Stahlteile: Gefahr des Fressens (kaltverschweißen) Schmierung Querpressverband Kraftfreies Fügen durch Erwärmung des Außenteils (Schrumpfsitz) oder Abkühlen des Innenteils (Dehnsitz) Glättung der Oberflächen durch plastische Verformung Lösen mittels Drucköl Druckölpressverband Stephan Voigt, M.Eng. 4

5 Kraftübertragung mittels Reibschluss LL F FF a DD F MM t FF a Axialkraft FF a FF R SS R = νν FF N SS R = νν pp F AA SS R = νν pp F ππ DD F LL F SS R νν Haftbeiwert SS R Rutschsicherheit DD F Fügedurchmesser LL F Fügelänge Drehmoment MM t MM R = FF R DD F = νν FF N DD F = νν pp F AA DD F = νν pp F ππ DD F LL F SS R SS R SS R SS R SS R Stephan Voigt, M.Eng. 5

6 Treten Axial- und Tangentialkräfte gleichzeitig auf, so gilt: FF res = FF a + FF t = FF a + 4 MM t DD F FF R res SS R Damit kann der erforderliche Fugendruck pp F erf zur Übertragung einer Axialkraft und/oder eines Drehmomentes ermittelt werden: pp F erf = FF a + 4 MM t DD F νν ππ DD F LL F SS R Stephan Voigt, M.Eng. 6

7 Haftbeiwerte Beim Lösen (Demontage): νν l = gemessene Lösekraft berechnete Normalkraft = FF Lö_mess FF N_ber Beim Rutschen (Schadensfall): νν r = gemessene Rutschkraft berechnete Normalkraft = FF Ru_mess FF N_ber Einfluss der Kraftrichtung Lösen Rutschen Umfangsrichtung νν lu νν ru Längsrichtung νν ll νν rl Weitere Einflussfaktoren: Art des Pressverbandes, Werkstoffpaarung, Rauheit und Schmierungszustand der Fügeflächen, Beanspruchung (rein elastisch oder elastisch-plastisch) Unterschied zu Reibungszahl μμ = gemessene Kraft gemessene Normalkraft = FF mess FF N_mess Stephan Voigt, M.Eng. 7

8 Haftbeiwerte von Längspressverbänden bei zügiger Beanspruchung Haftbeiwerte bei Querpressverbänden in Längs- und Umfangsrichtung beim Rutschen Stephan Voigt, M.Eng. 8

9 Rutschsicherheit Erfahrungswerte in Abhängigkeit der Belastung ruhend schwellend wechselnd 1,5 1,8, Werte in Abhängigkeit der Einsatzbedingungen Axialer Kraftfluss (z.b. Kupplungsnaben), konstantes Drehmoment, sichere Reibungszahl 1,3 1,5 Bei bekanntem Lastkollektiv und Berechnung mit größtmöglichem Drehmoment,0,5 Aufgeschrumpfte Zahnräder, Berechnung mit größtmöglichem Drehmoment,5 3,5 Aufgeschrumpfte Zahnradbandagen bei umlaufender Welle 5 50 SS R Doppelte Werte bei Wechselbiegung, hohe Werte bei unsicheren Angaben über Belastung, Betriebstemperatur, Haftbeiwert, Fertigungsqualität etc; kleinere Werte für Rutschen in Umfangsrichtung, wenn axiales Rutschen durch Anschlag (z.b. Wellenbund) verhindert wird Stephan Voigt, M.Eng. 9

10 1. Herleitung der Berechnungsgrundlagen Betrachtung eines Volumenelementes rr dφφ drr dzz eines Hohlzylinders unter Innendruck: Kräftegleichgewicht in radialer Richtung σσ r + dσσ r dzz rr + drr dφφ = σσ r dzz rr dφφ + σσ t dzz drr sin dφφ σσ r + dσσ r rr + drr = σσ r rr + σσ t drr dφφ σσ r rr + σσ r drr + dσσ r rr + dσσ r dσσ r = σσ r rr + σσ t drr σσ r + dσσ r rr drr = σσ t σσ t = d drr (rr σσ r) Stephan Voigt, M.Eng. 10

11 Verformungen in radialer Richtung Dehnung in radialer Richtung εε r = duu drr Dehnung in tangentialer Richtung εε t = rr + uu dφφ rr dφφ rr dφφ = uu rr Dehnung = Längenänderung Ausgangslänge Mit uu = rr εε t bzw. duu = rr dεε t folgt: εε r = rr dεε t drr εε r = d drr (rr εε t) Stephan Voigt, M.Eng. 11

12 Mit dem Hookschen Gesetz des ebenen Spannungszustandes εε r = 1 EE (σσ r νν σσ t ) εε t = 1 EE (σσ t νν σσ r ) νν Querkontraktion (Poisson-Zahl) folgt die Differentialgleichung. Ordnung (mit nichtkonstanten Koeffizienten) für die Radialspannung σσ r : Die allgemeine Lösung lautet: d σσ r drr + 3 rr dσσ r drr = 0 σσ r (rr) = CC 1 + CC rr σσ t (rr) = CC 1 CC rr CC 1, CC Integrationskonstanten Anmerkung: Lösen der obigen Differentialgleichung Rückführung auf Differentialgleichung 1. Ordnung mit dσσ r drr = zz σσ r Reduktion der Ordnung durch Ansatz σσ r rr = uu rr σσ r1 (rr) Stephan Voigt, M.Eng. 1

13 Für einen Hohlzylinder unter Innendruck (Außenteil bzw. Nabe) gelten die Randbedingungen: rr a σσ r rr = rr i = pp F σσ r rr = rr a = 0 rr i Einsetzen in σσ r (rr) = CC 1 + CC /rr liefert die beiden Gleichungen zur Ermittlung der Integrationskonstanten: pp F = CC 1 + CC rr i 0 = CC 1 + CC rr a Lösung des Gleichungssystems: CC 1 = pp F rr i rr a rr i = pp F QQ 1 QQ CC = pp F rr i rr a rr a rr = pp rr i F i 1 QQ Dabei ist QQ das Durch- bzw. Halbmesserverhältnis QQ = rr i rr a = DD i DD a = DD F DD a Stephan Voigt, M.Eng. 13

14 Mit den nun bekannten Integrationskonstanten ergeben sich die Spannungen (als Funktionen des Radius ) zu σσ r (rr) = pp F rr i QQ rr 1 QQ σσ t (rr) = pp F rr i + QQ rr 1 QQ Siehe Randbedingungen! Die Randwerte sind σσ ri = σσ r (rr = rr i ) = pp F σσ ra = σσ r (rr = rr a ) = 0 σσ ti = σσ t (rr = rr i ) = pp F 1 + QQ 1 QQ σσ ta = σσ t (rr = rr a ) = pp F QQ 1 QQ Spannungsverläufe σσ t + rr i rr a Positiv Zug! σσ r Negativ Druck! Stephan Voigt, M.Eng. 14

15 Verformung der Hohlwelle unter Innendruck, Aufweitung des Innendurchmessers: Δdd i = εε ti DD i Δdd i = 1 EE σσ ti νν A σσ ri DD i = 1 EE pp F 1 + QQ 1 QQ + νν pp F DD i = pp F DD i 1 EE 1 + QQ 1 QQ + νν σσ ri = σσ r (rr = rr i ) = pp F σσ ti = σσ t (rr = rr i ) = pp F 1 + QQ 1 QQ Stephan Voigt, M.Eng. 15

16 Für einen Hohlzylinder unter Außendruck (Innenteil bzw. Welle) gelten die Randbedingungen: σσ r rr = rr i = 0 σσ r rr = rr a = pp F rr i rr a Einsetzen in σσ r (rr) = CC 1 + CC /rr liefert die beiden Gleichungen zur Ermittlung der Integrationskonstanten: 0 = CC 1 + CC rr i pp F = CC 1 + CC rr a Lösung des Gleichungssystems: CC 1 = pp F rr a rr a rr i = pp F 1 1 QQ CC = pp F rr i rr a rr a rr = pp rr i F i 1 QQ Dabei ist QQ das Durch- bzw. Halbmesserverhältnis QQ = rr i rr a = DD i DD a = DD i DD F Stephan Voigt, M.Eng. 16

17 Mit den nun bekannten Integrationskonstanten ergeben sich die Spannungen (als Funktionen des Radius ) zu σσ r (rr) = pp F 1 rr i rr 1 QQ σσ t (rr) = pp F 1 + rr 1 QQ rr i Siehe Randbedingungen! Die Randwerte sind σσ ri = σσ r (rr = rr i ) = 0 σσ ra = σσ r rr = rr a = pp F σσ ti = σσ t (rr = rr i ) = pp F 1 QQ σσ ta = σσ t (rr = rr a ) = pp F 1 + QQ 1 QQ Spannungsverläufe σσ t rr i rr a Negativ Druck! σσ r Negativ Druck! Stephan Voigt, M.Eng. 17

18 Verformung der Hohlwelle unter Außendruck, Stauchung des Außendurchmessers: Δdd a = εε ta DD a Δdd a = 1 EE σσ ta νν σσ ra DD a = 1 EE pp F 1 + QQ 1 QQ + νν pp F DD a σσ ra = σσ r (rr = rr a ) = pp F = pp F DD a 1 EE 1 + QQ 1 QQ νν σσ ta = σσ t rr = rr a = pp F 1 + QQ 1 QQ Stephan Voigt, M.Eng. 18

19 Zusammenfassung der Ergebnisse mit Index AA für Außenteil (Nabe) und Index II für Innenteil (Welle) Stephan Voigt, M.Eng. 19

20 Spannungsverläufe: Überblick Später! Radialspannungen Tangentialspannungen Welle Nabe Druck Druck Druck Zug (!!) Spezialfall Vollwelle Aus σσ ri (rr) = pp F 1 rr Ii rr 1 QQ und σσ ti (rr) = pp F 1 + rr Ii rr 1 QQ folgt mit rr Ii = 0: σσ ri rr = σσ ti rr = pp F Stephan Voigt, M.Eng. 0

21 1.3 Wiederholung: Toleranzen und Passungen Maße, Abmaße und Toleranzen Zur Funktionssicherstellung müssen Abstände von Oberflächen (Passflächen) entsprechend genau hergestellt werden. Absolut exakte Abmessungen sind jedoch nicht realisierbar! Angabe von zulässigen Abweichungen! Grundlage ist das ISO-System für Abmaße und Toleranzen nach DIN ISO 86. Maße und Abmaße an: - einer Welle (Kleinbuchstaben) - einer Bohrung (Großbuchstaben) Stephan Voigt, M.Eng. 1

22 Begriffe Welle: Kurzbezeichnung für alle Außenmaße Bohrung: Kurzbezeichnung für alle Innenmaße Nennmaß NN: Bezugsmaß für die Abmaße Istmaß II: am fertigen Werkstück messbares Maß Grenzmaße: Höchstmaß GG o und Mindestmaß GG u, zwischen denen das Istmaß liegen muss Oberes Abmaß EEEE bzw. eeee (extreme superior): Differenz zwischen Höchstmaß GG o und Nennmaß NN Unteres Abmaß EEII bzw. eeii (extreme inferior): Differenz zwischen Mindestmaß GG u und Nennmaß NN Istabmaß AA i : Differenz zwischen Istmaß II und Nennmaß NN Toleriertes Maß: Nennmaß mit angegebenen Grenzabmaßen Nulllinie: dem Nennmaß NN entsprechende Bezugslinie für die Abmaße Maßtoleranz, Toleranz TT: Differenz zwischen Höchstmaß GG o und Mindestmaß GG u bzw. Differenz zwischen oberem Abmaß EEEE oder eeee und unterem Abmaß EEEE oder eeee Stephan Voigt, M.Eng.

23 ISO-Toleranzsystem Nach DIN ISO 86 sind 0 Grundtoleranzgrade definiert. Sie bestimmen die zulässigen Abweichungen, also die Größe der Maßtoleranz TT. Stephan Voigt, M.Eng. 3

24 Schließlich muss festgelegt werden, wo sich das Toleranzfeld bzgl. der Nulllinie befinden soll. Toleranzfeldlage Wegen Verwechslungsgefahr nicht enthalten: i, l, o, q, w bzw. I, L, O, Q, W a bis g beide Abmaße negativ; A bis G beide Abmaße positiv; h/h ein Abmaß = 0 Abmaße sind Tabellen zu entnehmen, Größe des Toleranzfeldes wird durch Toleranzgrad bestimmt! Stephan Voigt, M.Eng. 4

25 Obere Abmaße eeee (von Wellen) Stephan Voigt, M.Eng. 5

26 Untere Abmaße eeee (von Wellen) Stephan Voigt, M.Eng. 6

27 Untere Abmaße EEEE (von Bohrungen) Stephan Voigt, M.Eng. 7

28 Obere Abmaße EEEE (von Bohrungen) Stephan Voigt, M.Eng. 8

29 Beispiel eines tolerierten Maßes: 90F6 Großbuchstabe: Nennmaß: Bohrung NN = 90 mm Unteres Abmaß bei Toleranzfeld F: EEEE = 36 µm Toleranzgrad 6: Oberes Abmaß: TT = µm EESS = EEEE + TT = 58 µm Höchst- und Mindestmaß: GG u = 90,036 mm; GG o = 90,058 mm +0,058 Alternative Angabe: 90 +0,036 Stephan Voigt, M.Eng. 9

30 Passungsarten, Passungssysteme Definition Passung: Ist die Beziehung, die sich aus dem Maßunterschied zweier zu paarender Passteile (Bohrung und Welle) ergibt. Je nach Wahl der Toleranzfelder ergibt sich so eine Spielpassung Bewegungsfreiheit vorhanden; loser Sitz; bspw. für leichte Demontage oder Drehgelenke Übermaß- oder Presspassung kein Freiheitsgrad; fester Sitze; bspw. für Pressverbindungen Übergangspassung Anwendung zwischen Spiel- und Übermaßpassung; enger, aber noch beweglicher Sitz; bspw. für Kupplungen auf Wellenenden Stephan Voigt, M.Eng. 30

31 Spielpassung Höchstspiel SS g SS g = EEEE eeee = GG ob GG uw Mindestspiel SS k = EEEE eeee = GG ub GG ow Beispiel: 40H7/e6 SS k Bohrung Welle oberes Abmaß EEEE = 5 µm eeee = 50 µm unteres Abmaß EEEE = 0 µm eeee = 66 µm Höchstmaß GG ob = NN + EEEE = 40,05 mm GG ow = NN + eeee = 39,950 mm Mindestmaß GG ub = NN + EEEE = 40,000 mm GG uw = NN + eeee = 39,934 mm Maßtoleranz TT B = GG ob GG ub = 5 µm TT W = GG ow GG uw = 16 µm Passung Höchstspiel SS g = GG ob GG uw = 91 µm Mindestspiel SS k = GG ub GG ow = 50 µm 40 H7 40 e6 Passtoleranz TT P = SS g SS k = 41 µm Stephan Voigt, M.Eng. 31

32 Übermaßpassung Höchstübermaß UU k UU g = eeee EEEE = GG ow GG ub Mindestübermaß UU k = eeee EEEE = GG uw GG ob Beispiel: 40H7/u6 UU g Bohrung Welle oberes Abmaß EEEE = 5 µm eeee = 76 µm unteres Abmaß EEEE = 0 µm eeee = 60 µm Höchstmaß GG ob = NN + EEEE = 40,05 mm GG ow = NN + eeee = 40,076 mm Mindestmaß GG ub = NN + EEEE = 40,000 mm GG uw = NN + eeee = 40,060 mm Maßtoleranz TT B = GG ob GG ub = 5 µm TT W = GG ow GG uw = 16 µm Passung Höchstübermaß UU g = GG ow GG ub = 76 µm Mindestübermaß UU k = GG uw GG ob = 35 µm 40 H7 40 u6 Passtoleranz TT P = UU g UU k = 41 µm Stephan Voigt, M.Eng. 3

33 Übergangspassung Höchstspiel UU g SS g SS g SS g = EEEE eeee = GG ob GG uw Höchstübermaß UU g = eeee EEEE = GG ow GG ub Beispiel: 40H7/n6 UU g Bohrung Welle oberes Abmaß EEEE = 5 µm eeee = 33 µm unteres Abmaß EEEE = 0 µm eeee = 17 µm Höchstmaß GG ob = NN + EEEE = 40,05 mm GG ow = NN + eeee = 40,033 mm Mindestmaß GG ub = NN + EEEE = 40,000 mm GG uw = NN + eeee = 40,017 mm Maßtoleranz TT B = GG ob GG ub = 5 µm TT W = GG ow GG uw = 16 µm Passung Höchstspiel SS g = GG ob GG uw = 8 µm Höchstübermaß UU g = GG ow GG ub = 33 µm 40 H7 40 n6 Passtoleranz TT P = SS g + UU g = 41 µm Stephan Voigt, M.Eng. 33

34 Passungssysteme Einheitsbohrung Toleranzfeldlage der Bohrung: H Wellenmaß wird entsprechend den Anforderungen angepasst Einheitswelle Toleranzfeldlage der Welle: h Bohrungsmaß wird entsprechend den Anforderungen angepasst Stephan Voigt, M.Eng. 34

35 Passungswahl System Einheitsbohrung ist zu bevorzugen! Stephan Voigt, M.Eng. 35

36 1.4 Möglichkeiten der Auslegung zylindrischer Pressverbände Man unterscheidet: Rein elastische Beanspruchung Sämtliche Spannungen bleiben unterhalb der Streck- bzw. Dehngrenzen (bzw. Fließgrenzen). Naben Im Grenzfall darf gelten: σσ A = RR ea Bei Grauguss ist σσ A zul 0,5 RR m Wellen Maßgebend ist die Quetschgrenze: σσ I zul = RR edi RR e(z)i Bei Grauguss (hohe Druckfestigkeit) kann der Nachweis entfallen. Stephan Voigt, M.Eng. 36

37 Elastisch-Plastische Beanspruchung Sowohl im Außen- als auch im Innenteil erreicht ein Teil der Spannungen die Streckgrenze. ideal-plastisches Werkstoffverhalten Es werden die Plastizitätsdurchmesser DD PA und DD PI eingeführt, wobei gilt: DD F < DD PA < DD Aa DD F > DD PI > DD Ii Bei Außenteilen aus spröden Werkstoffen ist nur rein elastische Beanspruchung zulässig. Werkstoffe gelten als spröde, sofern AA < 10 % ZZ < 30 % Ein volles Innenteil ist entweder rein elastisch oder vollplastisch beansprucht! Stephan Voigt, M.Eng. 37

38 Auslegung zylindrischer Pressverbände bei rein elastischer Beanspruchung.1 Vorgehensweise Der zur Kraftübertragung notwendige Fugendruck zwischen Welle und Nabe wird durch das Übermaß UU erzeugt. Dabei gilt: UU erf < UU < UU zul Falls UU < UU erf : Schadensfall Rutschen Falls UU > UU zul : Schadensfall Fließen bzw. Bruch UU erf = Δdd Ai min Δdd Ia max UU zul = Δdd Ai max Δdd Ia min DD Ia min DD Ai max DD Ia max DD Ai min DD F Δdd Ia min UU erf Δdd Ai min Δdd Ia max UU zul Δdd Ai max Kleinste Welle Größter Nabeninnendurchmesser Größte Welle Kleinster Nabeninnendurchmesser Stephan Voigt, M.Eng. 38

39 Für das Übermaß UU bei einem Fugendruck pp F folgt mit und Δdd Ai = pp F DD Ai 1 EE A Δdd Ia = pp F DD Ia 1 EE I 1 + QQ A 1 QQ + νν A A 1 + QQ I 1 QQ νν I I UU = Δdd Ai Δdd Ia = pp F DD F 1 EE A 1 + QQ A 1 QQ + νν A + 1 A EE I 1 + QQ I 1 QQ νν I I = pp F DD F KK KK = 1 + QQ A EE A 1 QQ + νν A + EE A mit A EE I 1 + QQ I 1 QQ νν I I Dabei ist DD F DD Ai DD Ia. Somit ist der Zusammenhang zwischen Übermaß und Fugendruck (Pressung) hergestellt. Einflussgrößen sind die Abmessungen der zu fügenden Teile (DD F, QQ I, QQ A ) sowie werkstoffspezifische Größen wie E-Modul und Poisson-Zahl. Zu ermitteln ist dann das erforderliche Mindestübermaß UU erf (gegen Rutschen) und das maximal zulässige Höchstübermaß UU zul (gegen Fließen/Bruch). Stephan Voigt, M.Eng. 39

40 Glättung, Übermaßverlust Infolge der Einebnung der Oberflächen beim Fügen (Längspress- oder Querpressverband) ist der sogenannte Übermaßverlust UU V zu berücksichtigen: UU V 0,8 RR z Ai + RR z Ia Damit ist UU w = UU UU V das wirksame Übermaß bzw. Haftmaß (nach dem Fügen). Die Formel für UU V gilt streng genommen nur für die Paarungen aus Stahl/Stahl und Stahl/Guss. Stephan Voigt, M.Eng. 40

41 Rauhtiefen in Abhängigkeit des Fertigungsverfahren Stephan Voigt, M.Eng. 41

42 Mindestübermaß Mit dem ermittelten Mindestfugendruck zur Übertragung der Axial- und/oder Tangentialkräfte pp F erf = FF res νν ππ DD F LL F SS R und dem Übermaßverlust UU V folgt das erforderliche Mindestübermaß UU erf = pp F erf DD F EE A KK + UU V Zulässiges Höchstübermaß Mit einem werkstoff- und geometrieabhängigen zulässigen Höchstwert des Fugendruckes pp F zul und dem Übermaßverlust UU V folgt das zulässige Höchstübermaß UU zul = pp F zul DD F EE A KK + UU V Stephan Voigt, M.Eng. 4

43 Notation in der DIN 7190 Anstelle der eben vorgestellten Formel UU = pp F DD F EE A KK + UU V zur direkten Ermittlung des gesucht Übermaßes, werden in der DIN 7190 weitere Berechnungsgrößen verwendet. Es wird zunächst das bezogene Übermaß ZZ = pp F KK EE A ermittelt, woraus dann das wirksame Übermaß UU w = ZZ DD F und abschließend das Übermaß selbst berechnet wird: UU = UU w + UU V Je nach verwendetem Fugendruck erfolgt die Indizierung erf bzw. zul. Stephan Voigt, M.Eng. 43

44 Zulässiger Fugendruck Bei Verwendung der modifizierten Schubspannungshypothese MSH (einfacherer Formelsatz und bessere Übereinstimmung mit experimentell ermittelten Ergebnissen als GEH Faktor / 3) gilt σσ v MSH = σσ t σσ r + 4 ττ t 3 RR e SS F SS F = 1,0 1,3 ist die Sicherheit gegen Fließen. Bei spröden Werkstoffen ist RR e durch 0,3 0,5 RR m und SS F durch SS B = 1,0 zu ersetzen. Mit den Gleichungen für σσ ra rr = rr i = σσ rai und σσ ta rr = rr i = σσ tai des Außenteils und ττ t νν ru pp F folgt: 1 1 QQ A + νν ru pp F 3 RR ea SS F Wegen νν ru 1 kann vereinfacht geschrieben werden: 1 QQ A pp F 3 RR ea SS F Stephan Voigt, M.Eng. 44

45 Damit ergibt sich der zulässige Fugendruck des Außenteils zu pp F zul A = 1 QQ A RR ea 3 SS F Analoge Betrachtungen für das Innenteil (als Hohlwelle mit QQ I 0) liefern Bei Vollwellen gilt σσ ri = σσ ti = pp F, weshalb pp F zul I = 1 QQ I 3 SS F RR ei σσ v MSH = pp F 3 RR ei SS F ist, woraus folgt: pp F zul I = 3 SS F RR ei Stephan Voigt, M.Eng. 45

46 Passungsauswahl Mit Kenntnis von UU erf und UU zul folgt die größtmögliche Passtoleranz zu TT P max = UU zul UU erf System Einheitsbohrung Toleranzfeldlage H Bohrung H6 Bohrung H7 Bohrung H8 Ab Bohrung H9 Welle mit IT5 Welle mit IT6 Welle mit IT7 Welle mit gleichem Toleranzgrad TT B 0,6 TT P max TT B 0,5 TT P max Schritt 1: Festlegung des Toleranzgrades der Bohrung Wegen EEEE = 0 folgt EEEE = TT B Stephan Voigt, M.Eng. 46

47 Schritt : Wellentoleranz TT W heraussuchen (meist ein Toleranzgrad kleiner als die Bohrung) Schritt 3: Ermittlung des unteres Abmaßes der Welle: eeee EEEE + UU erf Schritt 4: Ermittlung des oberes Abmaßes der Welle: eeee = eeee + TT W Damit folgen das Höchst- und Mindestübermaß UU g UU k UU g = eeee EEEE = eeee UU k = eeee EEEE Stephan Voigt, M.Eng. 47

48 Die Übermaße UU g und UU k sind die vor dem Fügen messbaren Übermaße. Nach dem Fügen ergeben sich die wirksamen Übermaße (auch Haftmaße genannt): UU wg = UU g UU V UU wk = UU k UU V Der Übermaßverlust UU V ist bereits bei der Berechnung von UU erf und UU zul berücksichtigt, so dass gilt: UU erf < UU k < UU g < UU zul Stephan Voigt, M.Eng. 48

49 Festigkeitsnachweis Der Tragfähigkeitsnachweis ist mit dem Höchstübermaß UU g zu führen. Die zugehörige Pressung kann aus UU g = pp Fg DD F EE A KK + UU V gewonnen werden. Mit UU wg = UU g UU V ist pp Fg = UU wg EE A DD F KK Analog kann mit UU wk = UU k UU V der kleinste Fugendruck pp Fk ermittelt werden. Stephan Voigt, M.Eng. 49

50 Die bereits eingeführte modifizierte Schubspannungshypothese MSH bei vernachlässigbar kleinen Schubspannungen lautet: σσ v MSH = σσ t σσ r + 4 ττ t σσ t σσ r σσ v zul Gemäß den Spannungsverläufen sind die kritischen Stellen: Innenfaser Nabe σσ vai = σσ tai σσ rai = pp Fg 1 + QQ A 1 QQ + pp Fg = pp Fg A 1 QQ σσ v zul A Innenfaser (dünnwandige) Hohlwelle σσ vii = σσ tii σσ rii = pp Fg 1 QQ I σσ v zul Die zulässige Spannung ist σσ v zul = bzw. 3 RR e SS F σσ v zul = 3 0,3 0,5 RR m SS B Stephan Voigt, M.Eng. 50

51 . Beispiel zur rein elastischen Beanspruchung Auf eine Getriebewelle aus Vergütungsstahl C30 (RR e = 300 N mm ) ist ein Ritzel aus Einsatzstahl 17CrNiMo7 (RR e = 600 N mm ) unter Ölschmierung kalt aufgepresst. Es ist ein ruhend wirkendes Drehmoment MM t = 500 Nm zu übertragen. Für eine rein elastische Beanspruchung ist eine geeignete Übermaßpassung zu ermitteln. Weitere gegebene Größen: Haftbeiwert νν = 0,07 (Folie 8) Rutschsicherheit SS R = 1,5 (Folie 9) Sicherheit gegen Fließen SS F = 1, (Folie 44) Stephan Voigt, M.Eng. 51

52 Erforderliches Übermaß Der erforderliche Fugendruck zur Übertragung des gegebenen Drehmoments beträgt: pp F erf = MM t νν ππ DD F LL F SS R = 51,8 N mm Mit der Hilfsgröße KK = 1 + QQ AA 1 QQ AA + 1 = 3,08 KK = 1 + QQ A 1 QQ A + νν A + EE A EE I 1 + QQ I 1 QQ I νν I (wobei QQ A = DD F /DD Aa = 0,59 ist) und dem Übermaßverlust ergibt sich das erforderliche Übermaß zu UU V = 0,8 RR za + RR zi = 8 µm UU erf = pp F erf DD F EE KK + UU V = 4, µm Stephan Voigt, M.Eng. 5

53 Zulässiges Übermaß Die zulässigen Pressungen für Innen- und Außenteil betragen: pp F zul I = 3 SS F RR ei = 89 N mm pp F zul A = 1 QQ A 3 SS F RR ea = 187 N mm Mit dem kleineren der beiden Werte folgt: UU zul = pp F zul A DD F EE KK + UU V = 13 µm Stephan Voigt, M.Eng. 53

54 Passungswahl Für das Höchst- und Mindestübermaß der gewählten Passung muss gelten: UU erf < UU k < UU g < UU zul Schritt 1: Festlegung des Toleranzgrades der Bohrung Toleranzgrad 7 EEEE = TT B = 5 µm (Folie 3) Schritt : Wellentoleranz Toleranzgrad 6 TT W = 16 µm (Folie 3) Schritt 3: Unteres Abmaß der Welle Es muss gelten: eeee EEEE + UU erf = 67, µm Toleranzfeldlage u mit eeee = 70 µm (Folie 6) Schritt 4: Oberes Abmaß der Welle eeee = eeee + TT W = 86 µm Stephan Voigt, M.Eng. 54

55 Es folgen Höchst- und Mindestübermaß mit UU g UU k UU g = eeee EEEE = eeee = 86 µm UU k = eeee EEEE = 55 µm Festigkeitsnachweis Mit UU g bzw. UU wg = UU g UU V ergibt sich die größte Fugenpressung: pp Fg = UU wg EE DD F KK = 118 N mm Damit gilt am Innenrand der Nabe schließlich σσ vai = pp Fg 1 QQ A = 364 N mm 577 N mm = 3 RR ea SS F = σσ v zul Stephan Voigt, M.Eng. 55

56 Spannungsverläufe Nabe Stephan Voigt, M.Eng. 56

57 3 Auslegung zylindrischer Pressverbände bei elastisch-plastischer Beanspruchung 3.1 Vorgehensweise Der Einfachheit halber ist das folgende Berechnungsverfahren bei elastisch-plastischer Beanspruchung an Voraussetzungen gebunden: 1) Volles Innenteil QQ I = 0 Innenteil wird elastisch, Außenteil elastisch-plastisch beansprucht! ) Welle und Nabe bestehen aus ähnlichen Werkstoffen EE A = EE I = EE und νν A = νν I = νν Grenzfugendruck für Innen- und Außenteil Der Fugendruck pp F bei elastisch-plastischer Beanspruchung des Außenteils muss im Bereich pp F zul A = 1 QQ A 3 RR ea < pp F pp PA SS PA = pp F zul A p liegen, d.h. pp F ist insbesondere größer als der zulässige Fugendruck bei rein elastischer Beanspruchung. Dabei ist pp PA der Grenzfugendruck bei vollplastischer Beanspruchung und SS PA = 1, 1,3 die Sicherheit gegen vollplastische Beanspruchung Stephan Voigt, M.Eng. 57

58 Der Grenzfugendruck pp PA ist von der Geometrie des Außenteils abhängig: pp PA = RR ea 3 für dickwandiges Außenteil mit QQ A < 1 ee RR ea 3 ln QQ A für dünnwandiges Außenteil mit QQ A 1 ee Weiterhin darf der wirkende Fugendruck pp F nicht den Grenzfugendruck pp PI des Innenteils überschreiten: pp F pp F zul I p = pp PI SS PI = RR ei 3 SS PI mit SS PI = 1,1 Infolge der gegebenen Verformungsbehinderung durch das Außenteil genügt diese sehr kleine Sicherheit. Bringt man die Bedingungen für Innen- und Außenteil zusammen, so folgt: RR ei > 1 QQ A RR ea Andernfalls ist das Innenteil bereits vollplastisch beansprucht, wenn das Außenteil noch rein elastisch beansprucht ist. Stephan Voigt, M.Eng. 58

59 Mindestübermaß Mit dem bezogenen Plastizitätsdurchmessers ζζ kann das erforderliche Mindestübermaß bestimmt werden: UU erf = 3 RR ea EE ζζ k DD F + UU V ζζ ist definiert als: ζζ = DD PA DD F Wegen DD F < DD PA < DD Aa muss gelten: 1 < ζζ < 1 QQ A Einflussgrößen sind neben dem Fugendruck pp F sowohl Streckgrenze RR ea als auch Durchmesserverhältnis QQ A des Außenteils. Stephan Voigt, M.Eng. 59

60 Werte für ζζ Zwischenwerte durch lineare Interpolation! Zur Ermittlung des erforderlichen Übermaßes muss der erforderliche Fugendruck pp F erf verwendet werden! kleinster bezogener Plastizitätsdurchmesser ζζ k Stephan Voigt, M.Eng. 60

61 Alternative Berechnung des bezogenen Plastizitätsdurchmessers ζζ Mithilfe der Plastizitätstheorie lässt sich ζζ als Lösung der folgenden transzendenten Gleichung herleiten: ln ζζ QQ A ζζ pp F RR ea = 0 Iteratives Lösungsverfahren Startwert: ζζ 1 = 1 Iterationsvorschrift: ζζ i+1 = ζζ i 1 ln ζζ i QQ A ζζ i pp F RR ea 1 QQ A ζζ i Abbruchbedingung: ζζ i+1 ζζ i < Kontrolle: 1 ζζ 1 QQ A Stephan Voigt, M.Eng. 61

62 Zulässiges Übermaß Zur Ermittlung des zulässigen Übermaßes ist zunächst der zulässige bezogene Plastizitätsdurchmesser zu berechnen: ζζ zul = ζζ(pp F zul A p ) Damit ist: UU zul = 3 RR ea EE ζζ zul DD F + UU V Stephan Voigt, M.Eng. 6

63 Passungswahl Wie bei rein elastischer Beanspruchung ist eine Passung auszuwählen, so dass gilt: UU erf < UU k < UU g < UU zul Dabei ist UU g = eeee EEEE = eeee und UU k = eeee EEEE. Stephan Voigt, M.Eng. 63

64 Größte Fugenpressung Bislang wurde auf Basis einer Fugenpressung der bezogene Plastizitätsdurchmesser und anschließend das zugehörige Übermaß bestimmt. Zur Berechnung der größten Fugenpressung ist aus UU = 3 RR ea EE ζζ DD F + UU V für UU = UU g der korrespondierende (größte) bezogene Plastizitätsdurchmesser ζζ g zu berechnen. Mit UU g UU V = UU wg folgt: ζζ g = UU wg 3 EE RR ea DD F 0,93 UU wg EE RR ea DD F Stephan Voigt, M.Eng. 64

65 Damit ist der größte Fugendruck gegeben durch: pp Fg = RR ea ln ζζ g QQ A ζζ g Zu zeigen bleibt, dass gilt pp Fg < pp F zul A p und pp Fg < pp F zul I p Abschließend ist das Querschnittsverhältnis qq g zu prüfen. Stephan Voigt, M.Eng. 65

66 Querschnittsverhältnis Das Verhältnis aus plastisch beanspruchter Ringfläche qq PA zu gesamten Ringfläche des Nabenquerschnittes qq A sollte den Erfahrungswert 0,3 nicht überschreiten. Ringfläche des plastisch beanspruchten Bereiches als Funktion von ζζ: qq PA (ζζ) = ππ 4 DD PA DD F = ππ 4 DD F ζζ 1 Ringfläche des Nabenquerschnittes: qq A = ππ 4 DD Aa DD F = ππ 4 DD A 1 QQ A Quotient: qq(ζζ) = qq PA(ζζ) qq A = QQ A ζζ 1 0,3 1 QQ A Zu zeigen ist, dass gilt: qq g = qq ζζ = ζζ g 0,3 Stephan Voigt, M.Eng. 66

67 3. Beispiel zur elastisch-plastischen Beanspruchung Ein Pressverband soll in der Fuge bei einem Haftbeiwert von νν = 0, eine wechselnd wirkende Betriebskraft FF = 180 kn übertragen. Gegebene Größen Geometrie DD Aa = 100 mm DD F = 50 mm DD Ii = 0 LL F = 60 mm Werkstoffe und Oberfläche RR ea = 400 N mm RR ei = 460 N mm RR za = 1 µm RR zi = 8 µm Stephan Voigt, M.Eng. 67

68 Prüfung der Voraussetzungen Kann das Außenteil zum Teil plastisch beansprucht werden, bevor dass Innenteil vollpastisch beansprucht wird? RR ei > 1 QQ A RR ea 460 > 1 0,5 400 = 100 Ist die erforderliche Fugenpressung größer als die für das Außenteil zulässige Fugenpressung bei rein elastischer Beanspruchung? pp F erf = FF B νν ππ DD F LL F SS R = 10 N mm pp F zul A = 1 QQ A 3 RR ea = 173 N mm Nach Folie 9 ist für SS R =, anzusetzen (wechselnde Last). Stephan Voigt, M.Eng. 68

69 Zulässige Fugenpressung für Außen- und Innenteil Wegen QQ A 1/ee ist der Grenzfugendruck gegeben durch pp PA = RR ea 3 ln QQ A = 30 N mm Mit der Sicherheit gegen vollplastische Verformung SS PA = 1,5 (Folie 57) folgt: pp F zul A p = pp PA SS PA = 56 N mm > pp F erf Für das Innenteil ergibt sich mit SS PI = 1,1: pp F zul I p = pp PI SS PI = 3 RR ei SS PI = 48 N mm > pp F erf Stephan Voigt, M.Eng. 69

70 Ermittlung der Passung Der bezogene Plastizitätsdurchmesser kann in MathCAD mittels while-schleife berechnet werden: Für pp F = pp F erf, QQ A = 0,5 und RR ea = 400 N mm ergibt sich ein Wert von ζζ kk = 1,117 Stephan Voigt, M.Eng. 70

71 Mit dem Übermaßverlust UU V = 0,8 RR za + RR zi = 16 µm lautet das erforderliche Übermaß: UU erf = 3 RR ea EE ζζ k DD F + UU V = 153 µm Passung Einheitsbohrung mit Toleranzgrad 7: H7 EEEE = 0 und EEEE = TT B_IT7 = 5 µm Gesucht ist nun ein Wellentoleranzfeld mit: UU k = eeee EEEE > UU erf za mit eeee = 180 µm Welle mit Toleranzgrad 6: eeee = eeee + TT B_IT6 = 196 µm Mindestübermaß: UU g = eeee EEEE = 196 µm Höchstübermaß: UU k = eeee EEEE = 155 µm Stephan Voigt, M.Eng. 71

72 Beanspruchung bei Höchstübermaß Mit folgt: ζζ zul = ζζ pp F = pp F zul = 1,31 UU zul = 3 RR ea EE ζζ zul DD F + UU V = 04 µm Es gilt also: UU zul > UU g = 196 µm Stephan Voigt, M.Eng. 7

73 Die größte Fugenpressung ergibt sich mit pp Fg = RR ea ln ζζ g QQ A ζζ g wobei ζζ g aus ζζ g 0,93 UU wg EE RR ea DD F = 1,8 mit UU wg = UU g UU V folgt. Damit ist pp F g = 50 N mm und weiter pp F g < pp F zul A p Abschließend ist qq g = qq ζζ = ζζ g = QQ A ζζ g 1 1 QQ A = 0,1 0,3 Stephan Voigt, M.Eng. 73

74 4. Montage und Betrieb zylindrischer Pressverbände Einpresskraft Beim Längspressverband kann die Einpresskraft wie folgt ermittelt werden: FF e = AA F pp F νν ll Dabei ist AA F = DD F ππ LL F die Fügefläche, pp F der tatsächliche Fugendruck und νν ll der Haftbeiwert für das Lösen in Längsrichtung (Folie 8) Nach Messung des tatsächlichen Übermaßes UUU mit UU g > UUU > UU k ergibt sich pp F aus pp F = UU UU V pp UU g UU Fg = UU w pp V UU Fg wg Stephan Voigt, M.Eng. 74

75 Fügetemperatur Mit dem Einführspiel SS u = DD F /1000 gilt für die notwendige Temperatur des Außenteils Dabei ist θθ R die Raumtemperatur und αα A der Längenausdehnungskoeffizient des Nabenwerkstoffs. Ist zusätzlich das Abkühlen der Welle nötig, so ist θθ A = θθ R + UU + SS u αα A DD F Dabei ist θθ I die Temperatur der Welle und θθ A = θθ R + UU + SS u αα A DD F αα I αα A (θθ I θθ R ) αα I der Längenausdehnungskoeffizient des Wellenwerkstoffs. Stephan Voigt, M.Eng. 75

76 Werkstoffkennwerte Fügetemperaturen Stephan Voigt, M.Eng. 76

77 Methoden zum Erwärmen der Nabe Medium zum Erwärmen max. Temperatur in CC Anwendungen, Beispiele, Besonderheiten Elektro-Heizkern 50 Kleine Naben, Hülsen Elektro-Heizplatte 100 Wälzlager bei geringer Vorspannung Ölbad 400 Große Naben, sehr gleichmäßige Erwärmung Heißluftofen 400 bis 650 Große Naben, Oxidschicht auf Fügeflächen Elektro-Ofen 700 Ringbrenner 700 Ölbenetzte Fügeflächen, variabel, gut steuerbar, durch Schutzgas Oxidschicht vermeidbar Sperrige Naben, schwierig handhabbar, Gefahr der Überhitzung Methoden zum Abkühlen der Welle Medium zum Unterkühlen Trockeneis, Kohlensäureschnee min. Temperatur in CC -78 Anwendungen, Beispiele, Besonderheiten Langsames Abkühlen, Gefahr der Vereisung erfordert Gegenmaßnahmen Flüssige Luft (Sauerstoff) -150 Gefahr der Frostschädigung, Explosionsgefahr Flüssiger Stickstoff -196 Gefahr der Frostschädigung, gute Entlüftung erforderlich Stephan Voigt, M.Eng. 77

78 Tatsächlich übertragbare Kraft Mit dem gemessenen Übermaß UUU und der so bekannten tatsächlichen Fugenpressung pp F kann die übertragbare Kraft FF res ermittelt werden (siehe Folie 6) FF res = FF a + 4 MM t DD F = pp F νν ππ DD F LL F Drehzahleinfluss Durch die mit steigender Drehzahl größer werdende Fliehkraft nimmt der Fugendruck ab, wodurch sich die übertragbaren Kräfte verringern. Dies muss Berücksichtigung finden, wenn für die Umfangsgeschwindigkeit gilt: vv > 30 m s 1 bei Paarungen Stahl/Stahl und QQ A 0,5 vv > 1 m s 1 bei Paarungen Stahl/Stahl und QQ A 0, vv > 8 m s 1 bei eine GJL-Nabe und QQ A 0, Stephan Voigt, M.Eng. 78

79 Die Grenzdrehzahl, bei der der Fugendruck zu Null wird, lässt sich bei gleichem Werkstoff von Welle und Nabe berechnen zu: nn g = ππ DD Aa pp F 3 + νν 1 QQ A ρρ Der mit steigender Drehzahl einhergehende Verlust übertragbarer Kraft ergibt sich zu ΔFF res = FF res nn nn g mit der Betriebsdrehzahl nn. Stephan Voigt, M.Eng. 79