LAP Berufsmatura Mathematik 28. Mai 2014

Transkript

1 LAP Berufsmatura Mathematik 8. Mai 04 Abschlussprüfung 04 Mathematik en Material Hilfsmittel Zeit Arbeitsblätter, Häuschenblätter netzunabhängiger, nicht programmierbarer Taschenrechner, Formelblatt 50 Minuten Hinweise Beschriften Sie alle Häuschenblätter mit Ihrem Namen und Vornamen. Sie müssen nicht der Reihe nach arbeiten. Kennzeichnen Sie aber jede Aufgabe mit der entsprechenden Nummer und trennen Sie die nächste Nummer mit einer waagrechten Linie ab. Der sweg muss überall übersichtlich dargestellt werden; unbelegte Resultate werden nicht berücksichtigt! Mehrfachlösungen sind nicht gestattet; Ungültiges ist deutlich zu streichen. Die gültigen Endergebnisse sind deutlich zu kennzeichnen. Die en und swege sind auf die bereitgelegten Häuschenblätter zu schreiben, nur die Grafiken werden direkt auf den Aufgabenblättern erstellt. Bewertung Aufgabe mögliche Punktzahl Aufgaben 00 erreichte Punktzahl Note: Unterschrift ExpertIn Unterschrift ExpertIn

2 LAP Berufsmatura Mathematik 8. Mai 04. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen ( /) Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die smenge des folgenden linearen Gleichungssystems. (Grundmenge G = QxQ) x 4x = x + x 6x xy + y = y 0 y 5 D x = Q { /}, D y = Q {0/5}. Gleichung: x = 6x 4x+6 4 xy+y x y y(x + ) (x + )y xy xy y = 4x y = 4x 4x + y = 0 8x + y = 0. Gleichung: x + x = y 0 y 5 4 y(x + ) = 6x 4 y(x + ) 4 xy 5x + y 5 = xy y 0x + 0 5x + 5y = 5 x + y = 7 8x y = 0 x + y = 7 7x = 7 x = y = 8 L = {( /8)}. Gleichungen und Ungleichungen ( /4) a) Bestimmen Sie die smenge der folgenden Wurzelgleichung mit G = R. 5x + 7 x = 5x + 5x + 7 x + 7 x = 4 5x + 7 x = 4x 4 5x + 7 x = x + 5x 5x + 7 x = 4x + 8x + 4 5x + 7 x = 0 = 9x 6x x ; = 6 ± = 6 ± 8 8 x = ; x = 9 Probe: = ; stimmt = ; falsch 9 9 L = {} Seite /9

3 LAP Berufsmatura Mathematik 8. Mai 04 b) Bestimmen Sie die smenge folgender Exponentialgleichungen mit G = Q. 8 x+ = 4 x 8 x+ = 4 x 8 x+ = 4 x ( ) x+ = ( ) x 9x+6 = x 9x+6 = x 9x + 6 = 4x 4 x = L = { } c) Bestimmen Sie die smenge der folgenden Logarithmengleichung mit G = R +. log 5 (x 7) + log 5 (6x + ) = log 5 (x 7) + log 5 (6x + ) = log 5 (x 7)(6x + ) = (x 7)(6x + ) = 5 8x + x 4x 7 = 5 8x 9x = 0 x ; = 9± = 9±05 6 x = 4; [x =.8 ] L = {4}. Quadratische Funktionen ( /5) Gegeben ist die Funktion der Parabel mit p: y = 6 x + x + : und eine Gerade g, welche durch die Punkte P(-7/) und Q(0/-5) geht. (Resultate, welche nicht ganzzahlig sind, sollen auf eine Dezimalstelle genau angegeben werden.) a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes und der Nullstellen der Parabel, sowie die Koordinaten ihres Schnittpunktes mit der y-achse. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden. c) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte beiden Funktionen. Wenn Sie b) nicht lösen konnten, rechnen Sie mit der Geraden mit der Gleichung g: y = x 4 d) Zeichnen Sie die Graphen der beiden Funktionen in das unten stehende Koordinatensystem ein. Tragen Sie alle berechneten Punkte ein und beschriften Sie sie. Seite /9

4 LAP Berufsmatura Mathematik 8. Mai 04 a) Scheitel: x S = ( =, y 6 ) S = = 5 S( 5) Nullstellen 0 = 6 x + x + x 4x 6 = 0 x = 4± ( 4) 4 ( 6) = 4± 0 x =.477, x = N (.5 0), N (7.5 0) S y (0 ), oder S y (0 4.), b) m = = ( 7) + b b = 5 y = x 5 c) 6 x + x + x + 4x + 6 = 6x 0 x 0x 56 = 0 (x + 4)(x 4) = 0 x = 4, x = 4 y =, y = 9 S ( 4 ), S (4 9) A Alternative: 6 x + x + = x 4 x + 4x + 6 = 9x 4 x + 5x 50 = 0 (x + 0)(x 5) = 0 x = 0, x = 5 y = 9, y =.5 S ( 0 9), S 4 (5.5) d) A Punkte eingezeichnet und beschriftet Seite 4/9

5 LAP Berufsmatura Mathematik 8. Mai Lineare Optimierung ( /7) Die Firma Bikedream möchte gerne in den Markt der E-Bikes einsteigen. Dabei will sie eine Damenversion (x) und eine Herrenversion (y) produzieren. Für die gesamte E-Bike-Sparte will die Firma mindestens CHF investieren, wobei ein Damenrad Kosten von CHF 0. und dasjenige der Herren solche von CHF 80. pro Stück verursacht. Im Ganzen hat Bikedream höchstens Arbeitsstunden für die E-Bike-Sparte zur Verfügung. Man hat errechnet, dass ein Herrenrad 0 Stunden und ein Damenrad 8 Stunden Arbeit verursacht. Weiter braucht ein Damenrad für den Rahmen 5 kg Grundmaterial und bei der Herrenversion sind es 6 kg davon. Der Lieferant von diesem Grundmaterial will aber nur einsteigen, wenn er mindestens 5 Tonnen liefern kann. Man ist sich auch sicher, dass man höchstens drei Mal so viele Damen- wie Herrenräder benötigt. Wegen der Auslastung der Abteilungen müssen aber mindestens ein Fünftel so viele Herren wie Damenräder hergestellt werden. Der Gewinn bei einem Herrenrad liegt bei CHF 600. und bei der Damenversion bei CHF a) Erstellen Sie für Bikedream die Definitionen und das Ungleichungssystem (keine Umformungen verlangt). b) Erstellen Sie die Zielfunktion für den maximalen Gewinn. c) Durch Veränderungen am Markt ergeben sich für Bikedream neu folgende Definitionen, Ungleichungssysteme und Zielfunktion für den maximalen Gewinn: a: y 5 x + 500; b: y 5 x ; c: y 6 x ; d: y 5 x; e: y 4x; Z = 900x + 400y; G = N 0 Χ N 0 d) Berechnen Sie Pmax und den dazugehörigen maximalen Gewinn? a) Damen: x G = N 0 Χ N 0 Herren: y a: 0x + 80y b: 8x + 0y c: 5x + 6y d: x y 5 e: y 5 x b) Z = 800x + 600y Seite 5/9

6 LAP Berufsmatura Mathematik 8. Mai 04 c) d) 5 x = 5 x \+ 5 x 500 = x; y = = 5000 P max ( 500/5 000) Z = = Der maximale Gewinn beträgt CHF bei 500 Damen- und Herrenrädern. 5. Finanzmathematik ( /) a) Curdin legt am Anfang des Jahres 00 CHF auf der Bank an. In den ersten 5 Jahren beträgt der Zinssatz.5%, danach 0.75%. Anfangs 009 erbt er von seinem Patenonkel einen bestimmten Betrag, welchen er auf das gleiche Konto einbezahlt. Anfangs 04 beträgt der Saldo auf seinem Konto CHF Wie gross war das Erbe? Nach 5 Jahren: K n = = Nach 7 Jahren: K n = = Anfangs 009: K 0 = Differenz: = Das Erbe beträgt CHF Seite 6/9

7 LAP Berufsmatura Mathematik 8. Mai 04 b) Curdin hat noch ein anderes Konto, das ihm seine Patentante zu seiner Geburt mit einem Saldo von CHF geschenkt hat und welches er so lange unangetastet lassen möchte, bis er sich von den Zinsen jedes Jahr eine einfache Ferienreise gönnen kann, ohne dass der Saldo kleiner wird. Wie viele Jahre muss er warten, wenn er mit CHF 750. für die Reise und mit einem durchschnittlichen Zinssatz von.5% rechnet? Kapital, welches jährlich einen Zins von CHF 750. abwirft: 00 z K = = = p.5 Zeit, bis dieses Kapital erreicht wird: n = lgk n lgk 0 lgq = lg lg40000 lg.05 = 4.98 Er muss 6 Jahre lang warten. c) Zu welchem Prozentsatz wird eine Maschine jährlich degressiv abgeschrieben, wenn sie neu CHF gekostet hat und ihr Buchwert nach 5 Jahren noch CHF beträgt? q = 5 K n K 0 5 = = p =.5% Die Maschine wurde mit jährlich mit.5% abgeschrieben. 6. Textaufgaben ( /6) Zwei Kapitalien ergeben in 5 Monaten zusammen CHF 4.75 Zinsen. Dabei wird das erste Kapital zu % und das zweite zu.5% verzinst. Vertauscht man die Zinssätze, so ergeben die beiden in der gleichen Zeit zusammen CHF Zinsen. Wie gross sind die beiden Kapitalien? 4.75 = k 5 + k = k k = 0k + 7.5k \ = 7.5k + 0k = 0k +.5k = 0k + 40k 7.5k = k = k = k = Das erste Kapital beträgt CHF und das zweite CHF Seite 7/9

8 LAP Berufsmatura Mathematik 8. Mai Lineare Funktionen ( /) Bei der Herstellung eines neuen DAB+-Radiogerätes entstehen Fixkosten von CHF Das Gerät soll am Markt für CHF 80. das Stück verkauft werden. Dazu will die Firma bei Stück Break-even erreichen. a) Erstellen Sie die Gleichungen für die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion. b) Zeichnen Sie den Sachverhalt in das folgende Koordinatensystem ein. (falls Sie a) nicht lösen konnten, nehmen Sie folgende Funktionen: y e = 00x; y k = 40x und y g = 60x ) c) Wie viel Radios muss die Firma absetzen, wenn sie im nächsten Jahr mindestens einen Gewinn von CHF machen will? d) Durch eine Rohstoffknappheit steigen die Herstellungskosten um 0%. Wie teuer muss die Firma das Gerät nun verkaufen, wenn sie Break-even spätestens bei einer Stückzahl von 000 erreichen will? a) y e = 80x Breakeven: y e = = y k = = m ; m = 00 y k = 00x y g = 80x b) 0 = 60x ; x = y e = 00 = ; B ( / ) Seite 8/9

9 LAP Berufsmatura Mathematik 8. Mai 04 c) y g = = 80x ; x = Sie muss mindestens Radios verkaufen. y g = = 60x ; x = Sie muss mindestens Radios verkaufen. d) y k = 0x Breakeven: y k = = y e = = m 000; m = 95 Das Radio muss neu für mindestens CHF 95. verkauft werden. y k = 68x Breakeven: y k = = y e = = m 000; m = 0.50 Das Radio muss neu für mindestens CHF 0.50 verkauft werden. 8. Algebraische Umformungen ( /) a) Fassen Sie den folgenden Term zu einem einzigen Logarithmus zusammen und vereinfachen Sie: log c (a 4b ) log c (a b) log c (ac + bc ) (a+b) (a b) log c (a 4b ) log c (a b) log c (ac + bc ) = log = log c (a b) c (a+b) c = c b) Vereinfachen Sie: x y x+y 6x 5y x xy y x y (x + y) x + y (x y) (x + y) (x y) (x + y) (x y) 6x + y x + y 6x 5y = = (4x 5y)(4x + 5y) (x y) (x + y) (x + y) (x y) (4x 5y) (4x + 5y) x xy y (x + y)(x y) 4x + 5y = (x y) (x + y) (x + y) (x y) (4x 5y) (4x + 5y) = 4x + 5y (4x 5y) (4x + 5y) = 4x 5y c) Vereinfachen Sie: a 0 ab a b (a 5 b) 4 a ab 0 a b (a 5 b) = a a 6 b 6 a b 0 a 0 0 b 0 = a b 0 = a = a Seite 9/9