Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz. Suchverfahren / Uninformierte Suche

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1 Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz Suchverfahren / Uninformierte Suche Prof. Dr. Manfred Schmidt-Schauß SoSe 08 Stand der Folien: 9. pril 08

2 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Motivation für Suchverfahren Beispiele: Spiele: Suche nach dem besten Zug Logik: Suche nach einer Herleitung einer ussage genten: Suche nach der optimalen nächsten ktion Planen: Suche nach einer Folge von ktionen eines intelligenten genten. Optimierung: Suche eines Maximums einer mehrstelligen Funktion auf den reellen Zahlen M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

3 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Repräsentation eines Suchproblems nfangssituationen Nachfolgerfunktion Ein Test auf Zielsituation M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

4 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Repräsentation eines Suchproblems nfangssituationen Nachfolgerfunktion Ein Test auf Zielsituation Normalerweise nicht gegeben: Der gesamte Suchgraph! (Entspricht online-graph-lgorithmen) M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

5 Beispiele: Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Schach nfangssituation: Eine Stellung im Spiel Nachfolgerfunktion: Mögliche Züge Zielsituation: Wenn man gewonnen hat Gesucht: Zug der zum Gewinn führt Deduktionssystem nfangssituation: Zu beweisende ussage, Menge von xiomen und bewiesenen Sätzen Nachfolgerfunktion: Deduktionsregeln Zielsituation: Beweis Gesucht: Beweis für Planen nfangssituation: Startort; und: Formale Beschreibung des interessierenden Bereichs z.b. Fahrplan, Nachfolgerfunktion: Zugverbindungen usw. Zielsituation: ngekommen am Zielort. Gesucht: Plan, der Reise ermöglicht. M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

6 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Beispiel: n Damen Platziere auf n n Schachbrett n Damen, so dass keine die andere bedroht M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

7 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Beispiel: n Damen, mögliche Lösung Platziere auf n n Schachbrett n Damen, so dass keine die andere bedroht M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 6/8

8 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Beispiel: n Damen, mögliche Suche Platziere die Damen zeilenweise nacheinander, und backtracke bei Konflikt. M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 7/8

21 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Beispiel: Missionare und Kannibalen Missionare und Kannibalen sind auf einer Seite eines Flusses. Boot mit maximal zwei Plätzen Bedingung: uf keiner Uferseite Kannibalen in der Überzahl Gesucht: Plan zur Überquerung des Flusses M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 8/8

22 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Eine Kodierung des Problems Zustand: (#M, #K, Boot (< oder >), #M, # K) Start: (M, K, <, 0M, 0K) Ziel: (0M, 0K, >, M, K) Nachfolger des Startzustands: (M, K, >, M, 0K) verboten (M, K, >, M, 0K) verboten (M, K, >, M, K) (M, K, >, 0M, K) (M, K, >, 0M, K) M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 9/8

23 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Suchbaum (usschnitt) (,,<,0,0) (,,>,,0) (,,>,,0) (,,>,,) (,,>,0,) (,,>,0,) (,,<,,0) (,,<,0,) (,,<,0,0) (,,<,0,0) (,,<,0,) (,,<,0,0) M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 0/8

24 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Suchbaum (usschnitt) (,,<,0,0) (,,>,,0) (,,>,,0) (,,>,,) (,,>,0,) (,,>,0,) (,,<,,0) (,,<,0,) (,,<,0,0) (,,<,0,0) (,,<,0,) (,,<,0,0) Ineffizienzen: Doppelte Knoten Schon versuchte Situationen nicht noch einmal Verwende gerichteten Graphen statt Baum M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 0/8

25 Suchgraph Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung (,,<,0,0) (,,>,0,) (,,>,,) (,,<,0,) (,0,>,0,) (,,<,0,) (,,>,,) (,,<,,) (0,,>,,) (0,,<,,0) (0,,>,,) (0,,<,,) (0,0,>,,) (,,>,0,) M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

26 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Lösung zur Variante mit einem Ruder-Kannibale lle Missionare können rudern, aber nur ein Kannibale. Eine Lösung mit Zuständen ist rechts: (,,,<,0,0,0) (,,,>,,,0) (,,,<,0,,0) (,0,0>,0,,) (,0,,<,0,,0) (,0,,>,,,0) (,,,<,,,0) (,,0,>,,,) (,,0,<,,0,) (0,,0,>,,0,) (0,,,<,,0,0) (0,,0,>,,,) (,,0,<,,,) (0,0,0,>,,,) (,,0,>,0,,) M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

27 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Modellierung des Problems ist wichtig! Nicht-Berücksichtigung wichtiger Tatsachen: Kannibalen: Ein-und ussteigen aus dem Boot ist nicht berücksichtigt! Sollte man die Zustände während des Bootfahrens berücksichtigen? Die gewählte Repräsentation bestimmt die Struktur des Suchraumes. Z.B. Modellierung: Missionare und Kannibalen haben eine Identität Zustand: Menge der Identitäten auf der Startseite und B falls das Boot auf der Startseite Start: {M, M, M, K, K, K, B} Ziel: Ist diese Repräsentation besser / schlechter? M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

28 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Modellierung () Start {M, M, M, K, K, K, B} hat (!) Nachfolger. {M, M, K, K, K }. {M, M, K, K, K }. {M, M, K, K, K }. {M, M, M, K, K } 5. {M, M, M, K, K } 6. {M, M, M, K, K } 7. {M, K, K, K } 8. {M, K, K, K } 9. {M, M, K, K } 0. {M, M, K, K }. {M, M, K, K }. {M, K, K, K }. {M, M, K, K }. {M, M, K, K } 5. {M, M, K, K } 6. {M, M, K, K } 7. {M, M, K, K } 8. {M, M, K, K } 9. {M, M, M, K } 0. {M, M, M, K }. {M, M, M, K } Davon sind erlaubt In dieser Repräsentation ist die Suche sehr viel schwieriger! M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

29 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Suchraum, nzahl der Zustände nzahl Zustände bei Varianten des MK-Problems: MK normal: = MK Ruder-Kannibale = 8 MK Ruder-Missionare, = 7 Ruder-Kannibale (hat eine Lösung) MK Namen: 6 = 8 ber: i.a. sind Zustandsräume sehr groß bzw. unendlich. M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

30 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Suchraum, Suchgraph Suche nach Lösung = Suche in einem gerichten Graphen ber: Der Graph ist nicht explizit gegeben! Suchgraph (Suchraum) gegeben durch: Knoten: Situation, Zustände Kanten: implizit als Nachfolger-Funktion N nfangssituation Zieltest: Entscheidbarer Test, ob Knoten Zielknoten Entsprechung: online-suche in nicht explizit gegebenen Graphen. M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 6/8

31 Eigenschaften Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Verzweigungsrate des Knotens K (branching factor): nzahl der direkten Nachfolger von K, also N(K). K K K... K n K n N(K) = {K,..., K n } N(K) = n Mittlere Verzweigungsrate des Suchraumes: Durchschnittliche Verzweigungsrate aller Knoten. M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 7/8

32 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Wahl und Optimierung der Repräsentation Hinweise und Heuristiken: Symmetrien ausnutzen. Z.B lle Missionare gleich, d.h. die nzahl ist ausreichend. Nicht relevante Information weglassen. Z.B. den Zustand auf dem Fluss, Zustände während des Ein-ussteigens. Verbotene / irrelevante Zustände nicht erzeugen. M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 8/8

33 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Eigenschaften() Größe des Suchraumes ab Knoten K in Tiefe d: nzahl Knoten, die von K aus in d Schritten erreichbar sind D.h. N d (K), wobei N (M) = {N(L) L M} und N i (K) = N(N i (K)). K K K K K5 K6 K7 K8 K9 K0 K K K K K5 K6 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 9/8

34 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Eigenschaften() Größe des Suchraumes ab Knoten K in Tiefe d: nzahl Knoten, die von K aus in d Schritten erreichbar sind D.h. N d (K), wobei N (M) = {N(L) L M} und N i (K) = N(N i (K)). K K K K K5 K6 K7 K8 K9 K0 K K K K K5 K6 Größe des Suchraums ab K in Tiefe = 5 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 9/8

35 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Eigenschaften() Größe des Suchraumes ab Knoten K in Tiefe d: nzahl Knoten, die von K aus in d Schritten erreichbar sind D.h. N d (K), wobei N (M) = {N(L) L M} und N i (K) = N(N i (K)). K K K K K5 K6 K7 K8 K9 K0 K K K K K5 K6 Größe des Suchraums ab K in Tiefe = 5 Größe des Suchraums ab K in Tiefe = 8 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 9/8

36 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Eigenschaften () Eine Suchstrategie ist vollständig, wenn sie einen Zielknoten nach endlichen vielen Schritten findet, falls dieser existiert, und erreichbar ist. M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 0/8

37 Einführung Blind Search n-damen Missionare & Kannibalen Modellierung Kombinatorische Explosion Üblicherweise: mittlere Verzweigungrate > Suche ist exponentiell in der Tiefe des Suchraums das nennt man auch: kombinatorische Explosion Die meisten Suchprobleme sind NP-hart (NP-vollständig), wenn der vollständige Suchraum in der Problembeschreibung enthalten ist. M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

38 Blind Search Einführung Blind Search Tiefensuche It. Vertiefen Rückw.- & Bidir. Suche Eingabe: Blind Search = Nicht-informierte Suche Nur der Suchgraph ist (implizit) gegeben keine anderen Informationen (z.b. Heuristik) Menge der initialen Knoten Menge der Zielknoten, bzw. eindeutige Festlegung der Eigenschaften der Zielknoten Nachfolgerfunktion N usgabe: Pfad zum Zielknoten (falls dieser existiert) M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

39 Nicht-informierte Suche, allg. lgorithmus Nicht-informierte Suche Datenstrukturen: L = Menge von Knoten, markiert mit Weg dorthin Eingabe: Setze L := Menge der initialen Knoten mit leerem Weg lgorithmus: Wenn L leer ist, dann breche ab. Wähle einen beliebigen Knoten K aus L. Wenn K ein Zielknoten ist, dann gebe aus: Zielknoten und Weg dorthin (d.h. Weg im Graphen dorthin) Wenn K kein Zielknoten, dann nehme Menge N(K) der direkten Nachfolger von K und verändere L folgendermaßen: L := (L N(K)) \ {K} (Wege entsprechend anpassen) Mache weiter mit Schritt M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

40 Nicht-informierte Suche, allg. lgorithmus Nicht-informierte Suche Datenstrukturen: L = Menge von Knoten, markiert mit Weg dorthin Eingabe: Setze L := Menge der initialen Knoten mit leerem Weg lgorithmus: Wenn L leer ist, dann breche ab. Wähle einen beliebigen Knoten K aus L. Wenn K ein Zielknoten ist, dann gebe aus: Zielknoten und Weg dorthin (d.h. Weg im Graphen dorthin) Wenn K kein Zielknoten, dann nehme Menge N(K) der direkten Nachfolger von K und verändere L folgendermaßen: L := (L N(K)) \ {K} (Wege entsprechend anpassen) Mache weiter mit Schritt Keine Strategie!, nichtdeterministisch M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

41 Tiefensuche Einführung Blind Search Tiefensuche It. Vertiefen Rückw.- & Bidir. Suche lgorithmus Tiefensuche Datenstrukturen: L = Liste (Stack) von Knoten, markiert mit Weg dorthin Eingabe: Füge die initialen Knoten in die Liste L ein. lgorithmus: Wenn L die leere Liste ist, dann breche ab. Wähle ersten Knoten K aus L, sei R die Restliste. Wenn K ein Zielknoten ist, dann gebe aus: Zielknoten und Weg dorthin (d.h. Weg im Graphen dorthin) Wenn K kein Zielknoten, dann sei N(K) die (geordnete) Liste der direkten Nachfolger von K, mit dem Weg dorthin markiert L := N(K) ++ R. (wobei ++ Listen zusammenhängt) Mache weiter mit. M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

42 Beispiel Tiefensuche M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

43 Beispiel Tiefensuche m nfang: 6 7 L := [(, [])] M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

44 Beispiel Tiefensuche Knoten 6 7 K := (, []) R := [] NF (K) = [,,, 5] L := [(, []), (, []), (, []), (5, [])]++R = [(, []), (, []), (, []), (5, [])] M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

45 Beispiel Tiefensuche Knoten 6 7 K := (, []) R := [(, []), (, []), (5, [])] NF () = [6, 7] L := [(6, [, ]), (7, [, ])]++R = [(6, [, ]), (7, [, ]), (, []), (, []), (5, [])] M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

46 Beispiel Tiefensuche Knoten 6 K := (6, [, ]) R := [(7, [, ]), (, []), (, []), (5, [])] NF (6) = [] L := []++R = [(7, [, ]), (, []), (, []), (5, [])] 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

47 Beispiel Tiefensuche Knoten 6 K := (7, [, ]) R := [(, []), (, []), (5, [])] NF (7) = [] L := [(, [,, 7])]++R = [(, [,, 7]), (, []), (, []), (5, [])] 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

48 Beispiel Tiefensuche Knoten 6 K := (, [,, 7]) R := [(, []), (, []), (5, [])] NF () = [] L := []++R = [(, []), (, []), (5, [])] 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

49 Beispiel Tiefensuche Knoten 6 K := (, []) R := [(, []), (5, [])] NF () = [8] L := [(8, [, ])]++R = [(8, [, ]), (, []), (5, [])] 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

50 Beispiel Tiefensuche Knoten 6 K := (8, [, ]) R := [(, []), (5, [])] NF (8) = [] L := [(, [,, 8])]++R = [(, [,, 8]), (, []), (5, [])] 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

51 Beispiel Tiefensuche Knoten 6 K := (, [,, 8]) R := [(, []), (5, [])] NF () = [6] L := [(6, [,, 8, ])]++R = [(6, [,, 8, ]), (, []), (5, [])] 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

52 Beispiel Tiefensuche Knoten 6 K := (6, [,, 8, ]) R := [(, []), (5, [])] Ziel(6) == True gebe,,8,,6 aus 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

53 Tiefensuche in Haskell dfs ::(a -> Bool) -- Zieltest (goal) -> (a -> [a]) -- Nachfolgerfunktion (succ) -> [a] -- Startknoten -> Maybe (a, [a]) -- Ergebnis: Just (Zielknoten,Pfad) -- oder Nothing dfs goal succ stack = -- Einfuegen der nfangspfade, dann iterieren mit go go [(k,[k]) k <- stack] where go [] = Nothing -- lles abgesucht, nichts gefunden go ((k,p):r) goal k = Just (k,p) -- Ziel gefunden otherwise = go ([(k,k :p) k <- succ k] ++ r) M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 6/8

54 Eigenschaften der Tiefensuche Komplexität (worst-case) bei fester Verzweigungrate c > : Platz: linear in der Tiefe Zeit: exponentiell in der Tiefe des Zielknotens Vollständigkeit: Nicht vollständig, wenn der Suchgraph unendlich groß ist M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 7/8

55 Unvollständigkeit der Tiefensuche 5 Zielknoten wird nie besucht! 6 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 8/8

56 Varianten der Tiefensuche Tiefensuche mit Tiefenbeschränkung k Wenn Tiefe k überschritten, setze NF (K) = Findet Zielknoten, die maximal in Tiefe k liegen In Haskell: dfsbistiefe goal succ stack maxdepth = -- wir speichern die Tiefe mit in den Knoten auf dem Stack: go [(k,maxdepth,[k]) k <- stack] where go [] = Nothing -- lles abgesucht, nichts gefunden go ((k,i,p):r) goal k = Just (k,p) -- Ziel gefunden i > 0 = go ([(k,i -, k :p) k <- succ k] ++ r) otherwise = go r -- Tiefenschranke erreicht M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 9/8

57 Varianten der Tiefensuche () Tiefensuche mit Sharing Merke bereits besuchte Knoten, um Knoten nicht doppelt zu besuchen (bei zyklischen Suchgraphen!) Speichern der besuchten Knoten: Hashtabelle Platz: nzahl der besuchten Knoten (wegen Speicher für schon untersuchte Knoten) Zeit: n log(n) mit n = nzahl der untersuchten Knoten. Pragmatische Verbesserung: Nur maximal l viele Knoten speichern (damit der Platz beschränkt ist) M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 0/8

58 Tiefensuche mit Sharing dfssharing goal succ stack = -- Einfuegen der nfangspfade, dann mit iterieren mit go, -- letzes rgument ist die Merkliste go [(k,[k]) k <- stack] [] where go [] mem = Nothing -- lles abgesucht, nichts gefunden go ((k,p):r) mem goal k = Just (k,p) -- Ziel gefunden k elem mem = go r mem -- Knoten schon besucht otherwise = go ([(k,k :p) k <- succ k] ++ r) (k:mem) M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

59 Varianten beim Backtracking Vorgestelltes Verfahren Chronologisches Backtracking Varianten Dynamic Backtracking Dependency-directed Backtracking bkürzungen, wenn sichergestellt ist, dass kein Zielknoten übersehen wird. M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

60 Breitensuche Einführung Blind Search Tiefensuche It. Vertiefen Rückw.- & Bidir. Suche lgorithmus Breitensuche Datenstrukturen: L = Menge von Knoten markiert mit Weg Eingabe: Füge die initialen Knoten in die MengeL ein. lgorithmus: Wenn L leer ist, dann breche ab. Wenn L einen Zielknoten K enthält, dann gebe aus: K und Weg dorthin. Sonst, sei N(L) Menge aller direkten Nachfolger der Knoten von L, mit einem Weg dorthin markiert. Mache weiter mit Schritt und L := N(L). M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

61 Beispiel Breitensuche M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

62 Beispiel Breitensuche m nfang: 6 7 L := {(, [])} M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

63 Beispiel Breitensuche Iteration 6 L := {(, [])} NF (L) = {,,, 5} L := {(, []), (, []), (, []), (5, [])} 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

64 Beispiel Breitensuche Iteration 6 L := {(, []), (, []), (, []), (5, [])} NF (L) = NF () NF () NF () NF (5) = {6, 7, 8, 9, 0, } L := {(6, [, ]), (7, [, ]), (8, [, ]), (9, [, ]), (0, [, 5]), (, [, 5])} 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

65 Beispiel Breitensuche Iteration 6 L := {(6, [, ]), (7, [, ]), (8, [, ]), (9, [, ]), (0, [, 5]), (, [, 5])} NF (L) = NF (6) NF (7) NF (8) NF (9) NF (0) NF () = {,,, 5} L := {(, [,, 7]), (, [,, 8]), (, [,, 9]), (5, [, 5, 0])} 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

66 Beispiel Breitensuche Iteration 6 L := {(, [,, 7]), (, [,, 8]), (, [,, 9]), (5, [, 5, 0])} NF (L) = NF () NF () NF () NF (5) = {6, 7} L := {(6, [,, 8, ]), (7, [,, 9, ])} 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

67 Beispiel Breitensuche Iteration 6 L := {(6, [,, 8, ]), (7, [,, 9, ])} L enhält Zielknoten gebe,,8,,6 aus 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

68 Breitensuche in Haskell bfs goal succ start = go [(k,[k]) k <- start] -- Pfade erzeugen where go [] = Nothing -- nichts gefunden go rs = case filter (goal. fst) rs of -- ein Zielknoten enthalten? -- Nein, mache weiter mit allen Nachfolgern [] -> go [(k,k :p) (k,p) <- rs, k <- succ k] -- Ja, dann stoppe: (r:rs) -> Just r M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

69 Eigenschaften Einführung Blind Search Tiefensuche It. Vertiefen Rückw.- & Bidir. Suche Komplexität (worst-case) bei fester Verzweigungrate c > Platz: nzahl der Knoten in Tiefe d, d.h. O(c d ) = exponentiell in der Tiefe d! Zeit: nzahl } der Knoten {{ in Tiefe d } + (n log n) = }{{} n Mengenbildung O(c d ( + d log c)) Vollständigkeit Die Breitensuche ist vollständig! (bei endlicher Verzweigungrate) M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 6/8

70 Fazit: Tiefen- und Breitensuche Tiefensuche Breitensuche Zeit O(c d ) O(c d ( + d log c)) Platz O(c d) O(c d ) Vollständig nein ja M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 7/8

71 Iteratives Vertiefen iterative deepening Kompromiss a la Vollständige Tiefensuche Pseudo-lgorithmus: k := 0; Tiefensuche mit Tiefenschranke k; wenn Ziel gefunden dann breche ab, und gebe Ziel und Weg aus sonst k := k + ; 5 gehe zu M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 8/8

72 Iteratives Vertiefen in Haskell idfs goal succ stack = let -- alle Ergebnisse mit sukzessiver Erh"ohung der Tiefenschranke allesuchen = [dfsbistiefe goal succ stack i i <- [..]] in case filter isjust allesuchen of [] -> Nothing -- Trotzdem nichts gefunden (r:rs) -> r -- sonst erstes Ergebnisse M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 9/8

73 Beispiel: Iterative Tiefensuche Reihenfolge der Knotenbesuche k = 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 0/8

74 Beispiel: Iterative Tiefensuche Reihenfolge der Knotenbesuche k =,,,,5 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 0/8

79 Beispiel: Iterative Tiefensuche Reihenfolge der Knotenbesuche k =,,6,7,,8,,9,5,0, 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 0/8

90 Beispiel: Iterative Tiefensuche Reihenfolge der Knotenbesuche k =,,6,7,,,8,,,9,,5,0,5, 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 0/8

105 Beispiel: Iterative Tiefensuche Reihenfolge der Knotenbesuche k = 5,,6,7,,,8,,6 Ziel 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 0/8

114 Beispiel: Iterative Tiefensuche Reihenfolge der Knotenbesuche besuchte Knoten! 7 M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 0/8

115 Eigenschaften der iterativen Tiefensuche Komplexität (worst-case) bei mittlerer Verzweigungsreate c > Platz: Linear in der Tiefe Zeit:? (wird gleich behandelt) Vollständigkeit Die iterative Tiefensuche ist vollständig (bei endlicher Verzweigungrate) M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

116 Zeitbedarf iteratives Vertiefen () Näherung: n i= a i an+ a Tiefensuche mit Tiefenbeschränkung k k lle Knoten besuchen: c i i= c ist (mittlere) Verzweigunsrate. Im Mittel besuchte Knoten (Zielknoten in Tiefe k): 0.5 ( k c i ) 0.5 ( ck+ c ) i= Iteratives Vertiefen bis Tiefe k, im Mittel, Zielknoten in Tiefe k: k Tiefensuchen für Tiefe,..., k +Tiefensuche für Tiefe k (Hälfte der Knoten) = k i= c i+ ck+ c ( c ) M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

117 Zeitbedarf iteratives Vertiefen () Näherung: = k i= n i= a i an+ a c i+ ck+ c ( c ) = k c i+ i= c ( ck+ c ) ( k c i ) c k i= c ( ck+ c ) ck+ c (( c ) c ) ( ck+ c ) = ( ck+ ) c ck+ (c ) c ( c ) ( ck+ ) ( ck+ (c ) c ) M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

118 Zeitbedarf iteratives Vertiefen () Faktor Iteratives Vertiefen Tiefensuche bis k: c k+ ck ( (c ) c ) 0.5 ( ck+ c ) = c k+ (c ) 0.5 ( ck+ c ) Tabelle der ca.-werte des Faktors q = c + ist c q, 67, 5..., + = c + M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren /8

119 Bemerkungen zur iterativen Tiefensuche llgemeine Idee dabei: Spare Platz, opfere Zeit (speichern vs. neu berechnen) Gegensätzlich zum dynamischen Programmieren: Dort: Opfere Platz für schnellere Zeit M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 5/8

120 Varianten Einführung Blind Search Tiefensuche It. Vertiefen Rückw.- & Bidir. Suche Nutze Platz: Speichere Knoten, die bereits expandiert wurden, und betrachte sie nicht neu keine wiederholten Expansionen Speichere einen Teil des letzten Suchbaums (z.b. den linken Teil), damit er beim nächsten mal nicht betrachtet werden muss. Kombiniere Breitensuche mit Tiefensuche: erst in die Breite, ab dort dann Tiefensuche M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 6/8

121 Rückwärtssuche Idee Suche nicht vom Start das Ziel, sondern umgekehrt Statt Nachfolgerfunktion benutze Vorgängerfunktion Lohnswert? Lohnt, wenn die Verzweigungsrate der Vorgängerfunktion kleiner ist, als die der Nachfolgerfunktion Problematisch: Finde algorithmische Beschreibung der Vorgängerfunktion M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 7/8

122 Bidirektionale Suche Suche vorwärts (ab Start) und rückwärts (von einem Ziel) Erfordert Vergleich der momentan expandierten Knoten (Speichern und Schnittmenge) Vorteil z.b. bei Breitensuche: Platz: statt c d nur (c d/ ) Doppelt so tief suchen in gleichem Platz (wenn #Eingangsknoten #usgangsknoten) Nachteil: Schnittbildung nach jedem Schritt, und Vorgängerund Nachfolgerfunktion nötig. M.Schmidt-Schauß KI SoSe 08 Suchverfahren 8/8