Das Distributivgesetz kennenlernen und anwenden

Transkript

1 Johanna Harnischfeger (Hg.), Heiner Juen (Hg.) Das Distributivgesetz kennenlernen und anwen Fertige Stun zu Termen, Variablen & Gleichungen Nach der Lernmethodik von Dr. Heinz Klippert Downloadauszug aus dem Originaltitel: Mathematik Funktionen

2 Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für eigenen Gebrauch und Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen wer strafrechtlich verfolgt.

3 LS 04 LS 04 Terme vergleichen Distributivgesetz herleiten Zeit Lernaktivitäten Material Kompetenzen 1 EA 10 Die S versuchen einzeln, die Aufgabe zu lösen. Sie geben einige Paare der Zuordnung in der Tabelle an. Kartenspiel, M1.A1 Problemstellung modellieren Vermutungen äußern Argumentationen entwickeln und begrün Strategie entwickeln 2 GA 20 In Gruppen vergleichen die S ihre Ergebnisse und versuchen, Magnete oder die Anzahl der Randpunkte bei 100 Gitterpunkten pro Seite zu Klebstreifen, ermitteln. M2 (an Tafel Lösungswege entwickeln oder Wand) und begrün 3 GA 20 In neuen Gruppen wer die Ergebnisse verglichen. M1.A2 a), je Lösungen präsentieren Anschließend versuchen die S, einen Term zu fin, der die Gruppe 4 Bogen Anzahl Randpunkte bei n Punkten auf einer Seite angibt. M3, je Gruppe pe 1 Fachsprache anwen Die Lernspirale L01* Sie ist veranschaulichen eine Alternative für ihre eine Überlegung Einführungsstunde durch die Punktstreifen, thematischen die sie Schwerpunkt sinnvoll auf das als die Blatt L01. Papier Das dafür aufkleben. benötigte Material DIN-A4-Papier, befindet sich in die Unterichtseinheit Bogen Ballade. Sie hat einen anderen nicht im SH, sondern auf der Internetplattform: / klippert. Uhu, Scheren 4 GA 20 Die S diskutieren in ursprünglichen Gruppen (Asse, se, M3, M4, Könige, etc.) ihre Ergebnisse. je Gruppe Anschließend wer gegebenen Termen en die richtigen 1 Bogen Zerlegungen zugeordnet. DIN-A4-Papier 5 PI 20 Die Ergebnisse wer vorgestellt. ellt. Die S erkennen ndie Gleichwertigkeit der Terme. (Gefune Zerlegungen wer verglichen.) 6 GA HA Die S bearbeiten beiten die Aufgabe in Gruppen oder als Hausaufgabe. M1.A2 b) M1.A3 Erläuterungen zur Lernspirale Merkposten In dieser Lernspirale lernen die S Rechengesetze für Terme anschaulich kennen. Zum Ablauf im Einzelnen: 1. Arbeitsschritt: Die S erarbeiten die Problemstellung, indem sie M1.A1 lesen und zu lösen versuchen. 2. Arbeitsschritt: In Gruppen (Asse, Könige, Damen usw. gehen zusammen) tauschen die S ihre Ergebnisse aus. Der L befestigt M2 an der Wand oder an der Tafel, die S versuchen, ihre Überlegungen auf ein 100 x 100-Gitter ter zu übertragen. 3. Arbeitsschritt: In neuen Gruppen (Kreuz Bube bis Kreuz Ass; Kreuz 7 bis Kreuz 10 usw.) wer die bisherigen Überlegungen vorgestellt und verglichen. Anschließend bearbeiten die S M1.A2. Die Lehrkraft verteilt währenddessen für jede Gruppe ein Blatt Papier und 4 Bogen mit Pappstreifen zum Ausschnei. (Die vier längsten Streifen stehen jeweils für n Gitterpunkte, die nächsten vier je für n-1 Gitterpunkte, die nächsten vier je für n-2 Gitterpunkte und die letzten vier für 4 einzelne Gitterpunkte). Die S kleben ihr Ergebnis auf 1 das Blatt und lassen dieses Blatt und die unbe- nutzten Pappstreifen auf dem Tisch liegen. 4. Arbeitsschritt: Die S wechseln wieder in die ur-sprünglichen Gruppen zurück. Sie wandern in diesen Gruppen zu einzelnen Tischen mit Lösungen, an en Mitglieder aus ihrer Gruppe mitgearbeitet haben, und stellen sich dabei gegenseitig ihre Überlegungen vor. Anschließend bearbeiten sie an ihrem Gruppentisch M4. (Es sollten noch genügend unbenutzte Pappstreifen vorhan sein.) Für besonders schnelle S kann der L die Zusatzaufgaben und Blätter austeilen. 5. Arbeitsschritt: Von einem zufällig ausgewählten S pro Gruppe wer die Ergebnisse an der Tafel gesammelt und vorgestellt. Die S übertragen die Terme in ihr Arbeitsblatt (M1.A2). Die S erkennen das Distributivgesetz und weitere Regeln für das Zusammenfassen von Termen. 6. Arbeitsschritt: In Gruppen oder als Hausaufgabe erarbeiten die S noch einmal die anschauliche Darstellung verschieer Terme. Die Aufträge in M4 sollten Sie kopieren und auseinanderschnei. Die Gruppen ziehen sich dann jeweils eine Arbeitsanweisung. Durch die verschie langen Pappstreifen (n, n 1, n 2) und die einzelnen Gitterpunkte können die verschieen Möglichkeiten dargestellt wer.

4 LS 04.M1 04 Terme vergleichen Eine mathematische Zuordnung ordnet einer bestimmten Größe eine andere Größe zu. Beispielsweise kann man einer mit dem Auto gefahrenen Strecke Benzinverbrauch zuordnen. A1 Du siehst Quadrate mit 2, 3 und 4 Gitterpunkten je Seite. Zähle die Gesamtzahl aller Gitterpunkte pro Quadrat. Setze die Folge von Quadraten für 5 und 6 Gitterpunkte je Seite fort. Stelle die Zuordnung Anzahl der Gitterpunkte je Seite Gesamtzahl G der Gitterpunkte in der unten stehen Tabelle dar. Anzahl Gitterpunkte je Seite Gesamtzahl der Gitterpunkte A2 a) Nun sollt ihr einen Term fin, mit dem ihr für eine e beliebige Anzahl n von Gitterpunkten (n e N) je Seite die Gesamtzahl der Gitterpunkte auf dem Rand berechnen könnt. Versucht, eure Überlegungen mithilfe der Papp-Streifen darzustellen. Schneidet die Streifen dafür aus und klebt sie so auf das Plakat, dass man die Überlegungen, die zu eurem Term geführt haben, deutlich erkennt. nt. Schreibt passen Term unter das Bild. b) Die Terme der anderen Gruppen: A3 Färbe zu jedem Term ein passendes Rechteck. Nimm für jedes Rechteck eine andere Farbe. Notiere dann zu jedem Term einen anderen, der dasselbe Rechteck beschreibt, und überprüfe deine Überlegungen anhand der Zeichnung. a b c c b a 2 Klippert (a + b ) (a + b ) = c (a + b + c ) = 2c (a + b ) = (b + 2c ) a = a 2 + ab + ac = 2ac + 2 bc + 2c 2 = a b c c b a

5 LS 04.M2 Wie viele Gitterpunkte liegen auf 3 dem Rand eines squ Quadrats, auf dessen Seiten je 100 Gitterpunkte terp liegen?

6 LS 04.M3 je n Punkte je n 1 Punkte je n 2 Punkte 4 je 1 Punkt

7 LS 04.M4 Gruppenaufgaben a) Jetzt ist euch der folgende Term gegeben: 2n + 2 ( n 2 ) Klebt die passen Pappstreifen auf das Blatt! b) Jetzt ist euch der folgende Term gegeben: 4 ( n 1 ) Klebt die passen Pappstreifen auf das Blatt! c) Jetzt ist euch der folgende Term gegeben: en: 4 ( n 2 ) + 4 Klebt die passen sen Pappstreifen auf das Blatt! d) Jetzt ist euch der folgende Term gegeben: en: 4n 4 Klebt die passen Pappstreifen auf das Blatt! Zusatzaufgaben für besonders schnelle Schüler/-innen e) Jetzt ist euch der folgende Term gegeben: n + 2 ( n 1 ) + ( n 2 ) Klebt die passen Pappstreifen auf das Blatt! f) Jetzt ist euch der folgende Term gegeben: 5 2 ( n 1 ) + 2 ( n 2 ) + 2 Klebt die passen Pappstreifen auf das Blatt! g) Jetzt ist euch der folgende Term gegeben: n + 3 ( n 2 ) + 2 Klebt die passen Pappstreifen auf das Blatt!

8 LS 05 LS 05 Distributivgesetz anwen und üben Zeit Lernaktivitäten Material Kompetenzen 1 EA 15 Die S verdeutlichen sich das Distributivgesetz geometrisch und entwickeln ihre persönliche Merkregel. M1.A1 2 GA 20 Die S wen die Regel an. M1.A2 3 PI 10 Die S vergleichen und überprüfen ihre Ergebnisse. 4 EA 5 Die S lösen jeweils eine Aufgabe und suchen Tisch mit dem passen Tischkärtchen. Die S überprüfen gegenseitig ihre Tischwahl. 5 GA 20 Anschließend bearbeiten sie die Aufgaben (M4). Die Lösungen wer auf Folien dargestellt. 6 PI 20 Die S stellen ihre Lösungen nach dem Zufallsprinzip vor, Unklarheiten wer diskutiert und beseitigt. 7 GA Die S erledigen diese Aufgabe als Hausaufgabe abe oder HA Gruppenarbeit. M2, M3 M4, evtl. Folien (siehe Spot) evtl. Overhead- projektor M1.A3 mathematische Darstellung interpretieren mit mathematischen Formeln umgehen Ergebnisse überprüfen Fachsprache verwen Lösungswege darstellen Äußerungen anderer überprüfen und diskutieren Merkposten Bei Arbeitsschritt 5 müssen Sie damit rechnen, dass die Gruppenfindungsphase lange dauert. Da diese aber bereits Bestandteil der Übung ist, können Sie dies in Kauf nehmen. In M2 stehen jeweils die Kärtchen mit äquivalenten Termen in einer Zeile. Erläuterungen zur Lernspirale In dieser Lernspirale e wen die S das Distributivgesetz an und üben es. Zum Ablauf im Einzelnen: 1. Arbeitsschritt: Die S bearbeiten in Einzelarbeit M1.A1. Jeder S stellt seine persönliche Merkregel auf. Hier kommt es nicht auf exakte mathematische Formulierungen an, sondern darauf, dass jeder S einen Satz findet, er für einprägsam hält. 2. Arbeitsschritt: In Gruppen (oder zu zweit) bearbeiten die S M1.A2. 3. Arbeitsschritt: schritt Die S nehmen ihre Arbeitshefte mit, laufen durch die Klasse und vergleichen ihre Ergebnisse untereinander. Notizen: 4. Arbeitsschritt: Die Vorlage M2 sollte lte auf festes Papier kopiert, zerschnitten und die Kärtchen gemischt sein. Die S ziehen en jeweils ein Kärtchen. Während die S ihre Aufgabe lösen, verteilt der L die Lösungskarten (M3) auf verschieen Tischen als Tischkarten. 5. Arbeitsschritt: Alle S fin Tisch mit ihrem Term. Jede Tischgruppe überprüft, ob alle S am Tisch auch tatsächlich zu der betreffen Tischkarte gehören. Anschließend bearbeiten die S die Aufgabe M4 und schreiben ihre Lösung auf Folie. 6. Arbeitsschritt: Die Ergebnisse wer nach Zufallsprinzip präsentiert. 7. Arbeitsschritt: Entweder als Hausaufgabe oder als abschließende Gruppenarbeit wer die Terme aus M1.A3 ineinander umgeformt. 6

9 LS 05.M1 05 Distributivgesetz Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) Für alle rationalen Zahlen a, b, c und d gilt: ( a + b ) ( c + d ) = a ( c + d ) + b ( c + d ) = a c + a d + b c + b d Die drei Abbildungen veranschaulichen das Distributivgesetz. Vergleiche die Flächeninhalte: a b a b a b c d c d c d c d Es ist egal, ob du zuerst die kleinen Flächen berechnest und dann addierst oder zuerst die Längen addierst und dann die Gesamtfläche berechnest. a b A1 Sind die Flächeninhalte der drei Abbildungen tatsächlich gleich groß? Formuliere das, was die 3 Abbildungen bildu nzeigen, jeweils als Term! = = Versuche, dir eine Regel zu merken, mit deren Hilfe man einen Term mit dem Distributivgesetz in einen äquivalenten (gleichwertigen) Term umformen kann. Terme, die durch Umformungen (nicht nur durch das Distributivgesetz) ineinander überführt wer können, heißen äquivalent oder gleichwertig. 7 Tipp: Wenn dir keine Formulierung einfällt, schlage im Buch oder im Tafelwerk nach!

10 LS 05.M1 Vorsicht! Man darf nur gleiche Variablen addieren: a + a = 2 a = 2a a + b = a + b Außerdem gilt: a a = a 2 a b = ab Tipp: 5a + 7a = ( ) a = A2 Formt nun die folgen Terme auf die gleiche Weise wie Term in A1 um: a) p y + p z + x y + x z = = b) = 3 ( a + b ) + 5 ( a + b ) = c) = = ( 4 + a ) ( x + 6 ) d) Man kann das Distributivgesetz auch als Rechentrick anwen: Beispiele: = (100 1) 21 = = = = (90 3) (90 + 3) = = 8091 Rechne mit dem Trick: = = Denke dir nun selbst Aufgaben aus, die man mithilfe dieses Rechentricks leichter rechnen kann: = A3 Betrachtet die Terme, die ihr in LS 04.A2 aufgeschrieben habt. Sie waren ja offensichtlich äquivalent. Formt sie mithilfe des Distributivgesetzes nun jeweils ineinander um. 8 Klippert

11 LS 05.M2 Aufgabenkärtchen (Teil 1) Nr. 1: ( 3x + 2y ) ( a + z ) Nr. 9: 3x ( a + z ) + 2y ( a + z ) Nr. 17: a ( 3x + 2y ) + z ( 3x + 2y ) Nr. 25: 3 ( ax + zx ) + y ( 2a + 2z ) Nr. 2: ( x + 3y ) ( 2a + z ) Nr. 10: x ( 2a + z ) + 3y ( 2a + z ) Nr. 18: 2a (x + 3y ) + z ( x + 3y ) Nr. 26: x ( 2a + z ) + 3 (2ay + yz ) dass er keine e Klammern Tisch mit einem em em gleichwertigen ertigen Term. mern Nr. 3: (2x + y ) ( a + 3z ) Nr. 11: 2x ( a + 3z ) + y (a + 3z ) Nr. 19: a ( 2x + y ) + 3z ( 2x + y ) Nr. 27: a ( 2x + y ) + z ( 6x + 3y ) Forme Term so um, 9 Nr. 4: ( 3a + b ) ( 2c + x ) Nr. 12: 3a ( 2c + x ) + b ( 2c + x ) Nr. 20: 2c ( 3a + b ) + x ( 3a + b ) Nr. 28: c ( 6a + 2b ) + x ( 3a + b )

12 LS 05.M2 Aufgabenkärtchen (Teil 2) Nr. 5: ( a + 2b ) ( 3c + x ) Nr. 13: a ( 3c + x ) + 2b ( 3c + x ) Nr. 21: 3c ( a + 2b ) + x ( a + 2b ) Nr. 29: c ( 3a + 6b ) + x ( a + 2b ) Nr. 6: ( 2a + b ) ( c + 3x ) Nr. 14: 2a ( c + 3x ) + b ( c + 3x ) Nr. 22: c (2a + b ) + 3x ( 2a + b ) Nr. 30: c ( 2a + b ) + x (6a + 3b ) dass er keine e Klammern Tisch mit einem em Forme Term so um, em gleichwertigen ertigen Term. mern Nr. 7: x (2a + z ) y ( 6a + 3z ) Nr. 15: ( x 3y ) ( 2a + z ) Nr. 23: x ( 2a + z ) 3y ( 2a + z ) Nr. 31: 2a ( x 3y ) + z ( x 3y ) Forme Term so um, 10 Nr. 8: ( 2x + y ) ( a 3z ) Nr. 16: 2x ( a 3z ) + y ( a 3z ) Nr. 24: a ( 2x + y ) 3z ( 2x + y ) Nr. 32: a ( 2x + y ) z ( 6x + 3y )

13 LS 05.M3 Tischkarten (Teil 1) 2ax + xz + 6ay + 3yz 3ax + 3xz + 2ay + 2yz Kontrolliert gegenseitig, ob ihr eure Terme jeweils richtig umgeformt habt und am richtigen Tisch sitzt! Muss vielleicht jemand an einen anderen Tisch umziehen? Wenn ihr alle hier richtig sitzt, tragt bitte alle euren Namen und eure Term-Nummer ein: Kontrolliert gegenseitig, ob ihr eure Terme jeweils richtig umgeformt habt und am richtigen Tisch sitzt! Muss vielleicht jemand an einen anderen Tisch umziehen? Wenn ihr alle hier richtig sitzt, tragt bitte alle euren Namen und eure Term-Nummer ein:. Wenn ihr fertig seid, lasst euch eine neue Aufgabe geben und löst sie gemeinsam. Wenn ihr fertig seid, lasst euch eine neue e Aufgabe geben und löst sie gemeinsam. 2ax + 6xz + ay + 3yz 6ac + 3ax + 2bc + bx Kontrolliert gegenseitig, ob ihr eure Terme jeweils richtig umgeformt habt und am richtigen Tisch sitzt! Muss vielleicht jemand an einen anderen e Tisch umziehen? Wenn ihr alle hier richtig sitzt, tragt bitte alle euren Namen und eure Term-Nummer mer ein: Kontrolliert gegenseitig, ob ihr eure Terme jeweils richtig umgeformt habt und am richtigen Tisch sitzt! Muss vielleicht jemand an einen anderen Tisch umziehen? Wenn ihr alle hier richtig sitzt, tragt bitte alle euren Namen und eure Term-Nummer ein: Wenn ihr fertig seid, lasst euch eine neue Aufgabe geben und löst sie gemeinsam. 11 Wenn ihr fertig seid, lasst euch eine neue Aufgabe geben und löst sie gemeinsam.

14 LS 05.M3 Tischkarten (Teil 2) 3ac + ax + 6bc + 2bx 2ac + bc + 6ax + 3bx Kontrolliert gegenseitig, ob ihr eure Terme jeweils richtig umgeformt habt und am richtigen Tisch sitzt! Muss vielleicht jemand an einen anderen Tisch umziehen? Wenn ihr alle hier richtig sitzt, tragt bitte alle euren Namen und eure Term-Nummer ein: Kontrolliert gegenseitig, ob ihr eure Terme jeweils richtig umgeformt habt und am richtigen Tisch sitzt! Muss vielleicht jemand an einen anderen Tisch umziehen? Wenn ihr alle hier richtig sitzt, tragt bitte alle euren Namen und eure Term-Nummer ein: Wenn ihr fertig seid, lasst euch eine neue Aufgabe geben und löst sie gemeinsam. Wenn ihr fertig seid, lasst euch eine neue e Aufgabe geben und löst sie gemeinsam. 2ax + xz 6ay 3yz 2ax 6xz + ay 3yz Kontrolliert gegenseitig, ob ihr eure Terme jeweils richtig umgeformt habt und am richtigen Tisch sitzt! Muss vielleicht jemand an einen anderen Tisch umziehen? Wenn ihr alle hier richtig sitzt, tragt bitte alle euren Namen und eure Term-Nummer mer ein: Kontrolliert gegenseitig, ob ihr eure Terme jeweils richtig umgeformt habt und am richtigen Tisch sitzt! Muss vielleicht jemand an einen anderen Tisch umziehen? Wenn ihr alle hier richtig sitzt, tragt bitte alle euren Namen und eure Term-Nummer ein: Wenn ihr fertig seid, lasst euch eine neue Aufgabe geben und löst sie gemeinsam. 12 Wenn ihr fertig seid, lasst euch eine neue Aufgabe geben und löst sie gemeinsam.

15 LS 05.M4 Gruppenaufgaben a) Berechnet dunkel eingefärbten Flächeninhalt. Gebt zwei Terme an! a) Berechnet dunkel eingefärbten Flächeninhalt. Gebt zwei Terme an! x x x y x y z r z b) Zeichnet nun zwei Figuren, deren Flächeninhalte jeweils dem folgen Term entsprechen: 4x ( a + b ) b) Zeichnet nun zwei Figuren, deren Flächeninhalte jeweils dem folgen Term entsprechen: ( a + b ) 2t a) Berechnet dunkel eingefärbten Flächeninhalt. Gebt zwei Terme an! a) Berechnet dunkel eingefärbten Flächeninhalt. Gebt zwei Terme an! a a b a a c c 13 b) Zeichnet nun zwei Figuren, deren Flächeninhalte jeweils dem folgen Term entsprechen: 3y ( a + b ) b a b) Zeichnet nun zwei Figuren, deren Flächeninhalte jeweils dem folgen Term entsprechen: ( a + b ) 3z

16 Individuelle Förderung bei gleichzeitiger Lehrerentlastung Dieser Download ist ein Auszug aus dem Originaltitel Funktionen Über diesen Link gelangen Sie direkt zum Produkt: Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des Programms ms von Klippert Medien fin Sie unter ww.k 2016 Klippert Medien AAP Lehrerfachverlage GmbH Alle Rechte vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werks ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für eigenen Gebrauch und Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlags. Sind Internetadressen in diesem Werk angegeben, wur diese vom Verlag sorgfältig geprüft. Da wir auf die externen Seiten weder inhaltliche noch gestalterische Einflussmöglichkeiten haben, können wir nicht garantieren, dass die Inhalte zu einem späteren Zeitpunkt noch dieselben sind wie zum Zeitpunkt der Drucklegung. Der Persen Verlag übernimmt deshalb keine Gewähr für die Aktualität und Inhalt dieser Internetseiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind, und schließt jegliche Haftung aus. Autoren: Johanna Harnischfeger (Hg.), Heiner Juen (Hg.) Illustrationen: Steffen Jähde