Büchter & Henn: Elementare Analysis Lösungshinweise zu Kapitel 3

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Siegfried Huber
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Aufgabe 3. Wir nehmen als x- und y-einheit die Seitelänge der Kästchen und schätzen f(x+ ) f(x) f '(x) = f(x + ) f(x) (x + ) x Durch diese Regel kommt es vor, dass z.b. in Abb. 3.3 an dem ersten Hochpunkt links die Ableitung < 0 ist, obwohl sie 0 sein müsste.

2 dy Δy Wir ersetzen den Differentialquotienten f'(x) = durch einen Differenzenquotienten dx Δx mit geeignetem Wert für Δ x. f(a+ ) f(a). Mit Δ A= gilt f'(a).

1 Aufgabe 3. Wir nehmen als x- und y-einheit die Seitelänge der Kästchen und schätzen f(x+ ) f(x) f '(x) = f(x + ) f(x) (x + ) x Durch diese Regel kommt es vor, dass z.b. in Abb. 3.3 an dem ersten Hochpunkt links die Ableitung < 0 ist, obwohl sie 0 sein müsste. Der Nulldurchgang auf der x-achse ist links von der Hochpunktsabzisse. Abb. 3.3 Abb. 3.4 Abb. 3.5 Aufgabe 3.2 dy Δy Wir ersetzen den Differentialquotienten f'(x) = durch einen Differenzenquotienten dx Δx mit geeignetem Wert für Δ x. f(a+ ) f(a). Mit Δ A= gilt f'(a). Damit entspricht f (A) dem Preis für den (A+)-ten Quadratmeter. f ( ) f (2000) 2. Mit Δ T= gilt 00 = f '(A). Die Förderkosten für die 200-te Tonne betragen also 00 Geldeinheiten. 3. Die Bedeutung von Höhe über N.N ist nicht unbedingt klar: Die folgende Abb. links zeigt einen Querschnitt durch den Fluss; h = f(x) ist die Höhe des Flussufers bezüglich des Nullpunkts Normalnull (N.N.), was in Deutschland durch den mittleren Pegelstand der Nordsee definiert ist. Da Wasser nur abwärts fließen kann, ist f eine monoton fallende Funktion. Man kann eventuell vorhandene Staustufen als Unstetigkeitsstellen modellieren. Wegen des monotonen Fallens ist die Ableitung ansonsten negativ (oder zumindest nicht positiv). Die Ableitung f ist einheitenfrei. Anschaulicher ist jedoch die Einheit m pro km. Stand: Seite von 5

2 4. Für den obigen rechten Graphen wurden ein schnelles Aufheizen des Ofens, eine Backzeit von etwa 2 Stunden und eine Außentemperatur von 25 o C angenommen. Eine Einheit von f (t) ist 0 C pro Stunde; anschaulicher ist aber die Einheit 0 C pro Minute. f (0,3) = 500 bedeutet, dass beim Aufheizen zur Zeit t = 0,3 h = 8 min eine Aufheizung von 500 o C/h 8,3 o C/min vorliegt. 5. Wenn man statt x jetzt (x+) bekommt, so muss man für den zusätzlichen Euro f (x) Steuer zahlen. 6. Bei einem Preis von 0 Geldeinheiten kann man Stück der Ware verkaufen. Erhöht man den Preis um eine Geldeinheit, so muss man mit einem Rückgang der Verkaufszahlen um Stück rechnen. 7. An dieser Stelle steht die Ableitung der Exponentialfunktion noch nicht zur Verfügung! Wir nehmen daher als Schätzung die mittlere Änderungsrate von Anfang 993 (t = 0) bis Anfang 995 (t = 2): 2 0 Δb b(2) b(0),5,04,5,04 = = 0,04 Δt 2 2 Die Einheit ist Milliarde pro Jahr. Das sind ca. 4 Millionen pro Jahr oder,2 Millionen pro Monat. Aufgabe 3.3 Im folgenden Graphen sind mögliche Punkte A bis G eingezeichnet. Aufgabe 3.4 Die in der Aufgabe gegebenen Informationen sind in das folgende Schaubild eingetragen. Die Gerade g mit g(x) = 0,5 x 0,5 ist Tangente im Punkt (5 2). Wegen der Konvexität liegt der Graph von f oberhalb von g; daher geht f(x) für x. Außerdem folgt, dass f höchstens eine Nullstelle a mit a < hat. Beide Fälle keine Nullstelle und genau eine Nullstelle können vorkommen. Die folgende Abb. zeigt den Graph von g ohne Nullstelle, während der Graph von g 2 genau eine Nullstelle hat. Für die Konstruktion wurden Exponentialfunktionen vom Typ g(x) = a e b x + c verwendet. Stand: Seite 2 von 5

Aufgabe 3.5 Als Einheit setzen wir wieder die Kästchenbreite. Wir integrieren graphisch, d.h. rekonstruieren die Funktion f in der Schrittweite Δ x = aus ihrem Bestand f, durch die Näherung f(x+) f(x) + f '(x) Δ x = f(x) + f '(x).

3 Aufgabe 3.5 Als Einheit setzen wir wieder die Kästchenbreite. Wir integrieren graphisch, d.h. rekonstruieren die Funktion f in der Schrittweite Δ x = aus ihrem Bestand f, durch die Näherung f(x+) f(x) + f '(x) Δ x = f(x) + f '(x). Dabei setzen wir willkürlich f(0) = 0. Abb Abb Abb Aufgabe 3.6 Die reinen Bohrkosten bis zur Tiefe h (wobei h eine natürliche Zahl sein soll)) betragen in der Einheit $ h B(h) = ( h). n= Hinzu kommen die Festkosten F = 0 6 $. Diese Summe kann man algebraisch auswerten. Einfacher ist aber die graphische Abschätzung gemäß der folgenden Skizze, in der sich die Bohrkosten über den Flächeninhalt des grau gefärbten Trapezes bestimmen. Für die Bohrtiefe h (in m) sind folglich die Gesamtkosten (in $) genähert durch h ( h) = 5h h Stand: Seite 3 von 5

4 Aufgabe 3.7. Der Ballon steigt schnell auf, der Ballonfahrer hat den Gashahn voll aufgedreht. Die Steigegeschwindigkeit nimmt zu, wobei der Ballonfahrer durch Zurückdrehen des Gashahns die Geschwindigkeitszunahme langsam verringert. Nach 40 Minuten stellt der Ballonfahrer den Gashahn ab. Der Ballon wird schnell langsamer, bis er etwa 2 Minuten später zum Stillstand kommt und dann immer schneller zu sinken beginnt. Durch Abwerfen von Sandballast verringert der Ballonfahrer die Zunahme der Sinkgeschwindigkeit. Nach knapp 60 Minuten öffnet der Ballonfahrer nochmals den Gashahn voll, so dass die Sinkgeschwindigkeit stark zurückgeht, bis der Ballon dann nach 60 Minuten am Boden aufschlägt. Zwischen 0 und 40 Minuten und zwischen 58 und 60 Minuten ist die Beschleunigung positiv mit maximalem Wert zwischen 58 und 60 Minuten. Zwischen 40 und 58 Minuten ist die Beschleunigung negativ. Bei 40 und bei 58 Minuten zeigt das Schaubild eine Spitze, in der Realität ist dort ein Maximum bzw. ein Minimum mit Beschleunigung Null. 2. Die jeweils erreichte Höhe kann man durch die Anzahl der Kästchen bzw. Kästchenanteile zwischen Graphen und t-achse abschätzen. Dabei entspricht ein Kästchen der Höhe h = m 0min 0 = 00m. Die maximal erreichte Höhe nach 42 Minuten beträgt also min ca. 450 m. Danach sinkt er etwa 250 m bis zum Aufschlag. 3. Da der Ballon weniger sinkt als er vorher gestiegen ist, muss er auf einem Hügel gelandet sein. Aufgabe 3.8. Bei den Nullstellen des Graphen, also nach 7, 23 und 27 Sekunden, ändert die Maus ihre Richtung. 2. Nach 0 Minuten hat die Maus ihre größte Geschwindigkeit nach rechts, am Ende der Beobachtungsperiode, nach 40 Minuten, nach links erreicht. 3. Zur Abschätzung der zurückgelegten Strecke werden wieder die Kästchen zwischen Graph cm und t-achse bestimmt. Dabei entspricht ein Kästchen der Strecke a = 5s 0 = 50cm. s Am weitesten rechts ist die Maus nach 7 Sekunden mit etwa 240 cm. Am weitesten links ist die Maus nach 40 Sekunden mit etwa 60 cm (bestimmt durch Kästchen oberhalb Kästchen unterhalb der t-achse, also 240cm 75 cm + 25 cm 250 cm = 60 cm). 4. Die Maus wird langsamer zwischen 0 und 20 Sekunden und zwischen 25 und 40 Sekunden. Dabei werden die Geschwindigkeiten unterhalb der t-achse negativ gezählt, also vektoriell gesehen. 5. Die Maus erreicht wieder die Mitte zur Zeit h, die dadurch bestimmt ist, dass den Flächeninhalt bis zur Zeit h oberhalb der t-achse gleichgroß wie der Flächeninhalt bis zur Zeit h unterhalb der t-achse ist. Mit den Schätzwerten aus 3. ist die Maus nach 27 Sekunden etwa 90 cm rechts von der Mitte. Etwa nach 37 Minuten passiert sie also wieder die Mitte. 6. Die mittlere Geschwindigkeit v ist die konstante Geschwindigkeit, bei der die Maus nach 40 Sekunden denselben Ort, also nach 3. den Ort 60 cm links von der Mitte erreicht hat. 60cm cm Es gilt also v =,5. Achtung: Man könnte die mittlere Geschwindigkeit 40s s auch als die mittlere absolute Geschwindigkeit sehen (im Englischen unterscheidet man zwischen Speed (Betrag der Geschwindigkeit) und Velocity (Geschwindigkeit als gerichtete Größe). Dazu müsste man den Betrag des Geschwindigkeitsgraphen betrachten und hätte mit den Werten aus 3. den mittleren Geschwindigkeitsbetrag Stand: Seite 4 von 5

240 + 75 + 25 + 250 cm cm v = 5. 40 s s Aufgabe 3.9 Die Funktionsterm der Schadstoffrate ab dem 3. Jahr lässt sich umformen zu f(t) = 0,75 (t 7) 2, und es gilt f(3) = 3.

Erst nach 7 Jahren wird kein Schadstoff mehr eingeleitet.

5 cm cm v = s s Aufgabe 3.9 Die Funktionsterm der Schadstoffrate ab dem 3. Jahr lässt sich umformen zu f(t) = 0,75 (t 7) 2, und es gilt f(3) = 3. Das folgende Schaubild zeigt die jährliche Schadstoffrate S in m 3 /Jahr in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren ab Eingriff der Umweltbehörde. Erst nach 7 Jahren wird kein Schadstoff mehr eingeleitet. Die Einleitung bis dahin wird durch die Fläche zwischen Graph und t-achse bestimmt: Ein Kästchen entspricht m 3 Schadstoff, zusammen sind es also etwa 3 m 3. (Schon die Angabe der exakten Schadstoffratenfunktion zeigt, dass die Aufgabe nicht so ganz realistisch ist, sondern zum bequemen Rechnen formuliert wurde). Aufgabe 3.0 Damit man das in der Aufgabe beschriebene Spiel spielen kann, legt man am besten eine Overheadfolie auf den Ausdruck des Graphen. Die eigene Zeichnung der Änderungsratenfunktion wird auf die Folie geschrieben. Auf diese Folie wird die nächste Folie gelegt, auf der dann dazu eine Bestandsfunktion rekonstruiert wird. Wird die zweite Folie auf die ursprünglichen Graphen gelegt, so müsste das ggf. nach Verschieben in Richtung der y-achse wieder übereinstimmen Wir zeigen das beispielhaft am Beispiel der Abb. 3.29: (a) (b) (c) In Bild (a) wird der rote Graph der Ableitung f auf einer Folie gezeichnet. Auf diese Folie wird in (b) eine zweite Folie gelegt, auf welcher der blau-grüne Graph von f rekonstruiert wird. Nun kommt in (c) die Stunde der Wahrheit! Die obere Folie wird auf den Ausgangsgraphen gelegt. Nun ja, so ganz stimmen die beiden Graphen noch nicht überein Stand: Seite 5 von 5

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