Kapitel 28 Clusteranalyse 28.1 Einführung

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1 Kapitel 28 Clusteranalyse 28.1 Einführung Die Clusteranalyse dient dazu, eine Menge von Objekten derart in Gruppen (Cluster) zu unterteilen, daß die derselben Gruppe zugeordneten Objekte eine möglichst hohe Ähnlichkeit aufweisen, während gleichzeitig die Objekte unterschiedlicher Gruppen deutlich verschieden voneinander sind. Dabei muß vor der Durchführung einer Clusteranalyse eine Vorstellung darüber bestehen, in welchem Sinne die Ähnlichkeit der Objekte für die vorliegende Fragestellung sinnvoll definiert und gemessen werden kann. Handelt es sich bei den betrachteten Objekten beispielsweise um Personen, können diese sehr einfach in zwei in sich homogene und voneinander verschiedene Cluster unterteilt werden, indem alle Frauen dem einen und alle Männer dem anderen Cluster zugeordnet werden. In diesem Fall würde die Ähnlichkeit zweier Personen ausschließlich über das Geschlecht definiert. Oftmals genügt es jedoch nicht, zur Messung der Ähnlichkeit eine einzelne Variable (wie in dem Beispiel die Variable Geschlecht) zu betrachten, sondern es ist eine Kombination aus mehreren Merkmalen erforderlich. Möchte zum Beispiel ein Marktforscher die Kunden eines Versandhauses in Kundengruppen unterteilen, wird er sehr wahrscheinlich jeden Kunden durch mehrere Eigenschaften charakterisieren wie zum Beispiel dessen Bestellfrequenz (Anzahl von Bestellungen in einer bestimmten Zeitperiode), die am häufigsten bestellten Güterkategorien, den durchschnittlichen Wert einer Bestellung, den Anteil der zurückgeschickten Waren, die bevorzugte Zahlungsart und die Art, in der die Bestellung aufgegeben wurde (telefonisch, per Post oder über das Internet). Dabei werden zwei Kunden als ähnlich angesehen, wenn sie sich in der Gesamtheit dieser sechs Merkmale ähneln. Um die Ähnlichkeit zweier Objekte (in diesem Fall zweier Kunden) zu messen, wird daher ein Verfahren benötigt, mit dem jeweils Kombinationen aus mehreren Merkmalen miteinander verglichen werden können. Denkbar wäre beispielsweise, die einzelnen Merkmale durch ein geeignetes Aggregationsverfahren (zum Beispiel durch Addition der Einzelwerte) zu einem Indexwert zu verschmelzen. Als ähnlich können dann solche Objekte gelten, deren Indexwerte nahe beieinander-

2 692 Kapitel 28 Clusteranalyse liegen. Eine derartige Vorgehensweise bietet den Vorteil, daß sie sehr flexibel gehandhabt und das Aggregationsverfahren in Abhängigkeit von dem konkreten Anwendungsfall angepaßt werden kann. So wäre etwa eine einfache Addition der Merkmalsausprägungen für einen Vergleich der Kunden des Versandhauses aufgrund der Verschiedenartigkeit der betrachteten Merkmale vollkommen ungeeignet. Dennoch läßt sich die Ähnlichkeit von Kunden mit Hilfe von Indexwerten messen, sofern der Marktforscher ein geeigneteres Aggregationsverfahrens wählt. Diese Flexibilität bei der Berechnung von Indexwerten ist jedoch zugleich mit mehreren Nachteilen verbunden. Zum einen kann die Berechnung der Indexwerte sehr aufwendig sein, und der Anwender muß jeden Schritt der Berechnung selbst konzipieren und umsetzen, zum anderen ist das Verfahren wenig transparent und zudem manipulierbar, da die Wahl des Aggregationsverfahrens erheblichen Einfluß auf die abschließende Gruppenbildung haben kann. Damit sind aber die Ergebnisse von Dritten nicht ohne weiteres nachvollziehbar, wodurch ihre Aussagekraft und Zuverlässigkeit erheblich eingeschränkt wird. Die Hierarchische Clusteranalyse bei SPSS stellt dagegen ein standardisiertes Verfahren zur Bildung von Clustern dar, wobei die Ähnlichkeit der betrachteten Objekte ebenfalls anhand mehrerer Merkmale (Variablen) gemessen werden kann. Dabei können Sie sowohl ordinal- als auch intervallskalierte Daten verwenden. Es liegt zunächst nahe, mit Hilfe der Clusteranalyse die einzelnen Fälle der Datendatei zu Clustern zusammenzufassen, ebenso ist es jedoch auch möglich, die in der Datei enthaltenen Variablen auf ihre Ähnlichkeit hin zu untersuchen und entsprechende Cluster aus den Variablen zu bilden. Um die Hierarchische Clusteranalyse auszuführen, wählen Sie den Befehl STATISTIK KLASSIFIZIEREN HIERARCHISCHE CLUSTER Die Beispieldaten: Auswahl der Teilnehmer für die Währungsunion Vom 1. Januar 1999 an bildet der Euro die gemeinsame Währung von elf souveränen Nationalstaaten. Während die geldpolitischen Kompetenzen von diesem Zeitpunkt an bei der Europäischen Zentralbank liegen, verbleiben die Finanz- und Wirtschaftspolitiken in nationaler Verantwortung der einzelnen Mitgliedstaaten, die zudem - neben anderen Unterschieden - verschiedenartige Sozial- und Rechtssysteme aufweisen. Damit der Euro trotz dieser unterschiedlichen Strukturen innerhalb seines Geltungsbereichs eine nachhaltig stabile Währung werden kann und übermäßige Spannungen innerhalb des Währungsgebiets vermieden werden, sollen nach dem Maastrichter Vertrag nur solche Länder an der Währungsunion teilnehmen dürfen, die eine Stabilitäts-Konvergenz aufweisen. Damit ist gemeint, daß die Länder ähnliche gesamtwirtschaftliche Rahmenbedingungen in die Währungsunion einbringen sollen. Dabei wird jedoch nicht auf ein umfassendes

3 28.2 Die Beispieldaten: Auswahl der Teilnehmer für die Währungsunion 693 Bild der gesamtwirtschaftlichen Situation eines Landes abgestellt 303, sondern die geforderte Ähnlichkeit der Länder wird im wesentlichen an den folgenden Vorgaben gemessen: 304 ¾ Preisniveaustabilität: Gefordert wird ein hoher Grad an Preisstabilität. Ein Mitgliedstaat soll eine anhaltende Preisstabilität aufweisen. Insbesondere soll die Inflationsrate im letzten Jahr vor der Prüfung (für den Beginn der Währungsunion ist dies 1997) nicht mehr als 1½ Prozentpunkte über der Inflationsrate der (höchstens) drei Mitgliedstaaten mit der höchsten Preisniveaustabilität liegen. ¾ Defizit des öffentlichen Haushalts: Das Defizit des öffentlichen Gesamthaushalts soll das Volumen von 3% des Bruttoinlandsprodukts nicht übersteigen. ¾ Schuldenstand des öffentlichen Haushalts: Der öffentliche Schuldenstand soll nicht mehr als 60% des Bruttoinlandsprodukts betragen. ¾ Langfristige Zinssätze: Der durchschnittliche langfristige Nominalzinssatz soll in dem Jahr vor der Prüfung nicht mehr als 2 Prozentpunkte über dem entsprechenden Zinssatz der (höchstens) drei Mitgliedstaaten mit der höchsten Preisniveaustabilität liegen. ¾ Wechselkurse: Jeder Teilnehmerstaat soll seit mindestens zwei Jahren am Wechselkursmechanismus des Europäischen Währungssystems (ohne Unterbrechung) teilgenommen und die normalen Bandbreiten ohne große Spannungen eingehalten haben. Am 25. März 1998 hat die EU-Kommission ihren Konvergenzbericht 305 vorgelegt, in dem sie die Mitgliedstaaten der Europäischen Union hinsichtlich ihrer Qualifikation zur Teilnahme an der Währungsunion beurteilt. Sie kommt dabei zu dem Ergebnis, daß elf Länder 306 einen hohen Grad an dauerhafter Konvergenz erreicht haben, während sie dies den beiden Ländern Griechenland und Schweden nicht bescheinigt. Weiterhin stand für die beiden Länder Dänemark und Großbri- 303 Beispielsweise bleiben Größen wie das Bruttoinlandsprodukt pro Kopf der Bevölkerung oder die Arbeitslosenquote unberücksichtigt, da ihnen (zumindest im Sinne des Vertrags von Maastricht) für die Konvergenz der Länder im Vorfeld der Währungsunion keine herausragende Bedeutung beigemessen wird, auch wenn sie unstrittig eine wesentliche Rolle bei der Charakterisierung der Wirtschaftslage eines Landes spielen. 304 Die Vorgaben sind in Artikel 109 j des Maastricht-Vertrags formuliert und in den dem Vertrag beigefügten Protokollen (Protokoll über das Verfahren bei einem übermäßigen Defizit und Protokoll über die Konvergenzkriterien nach Artikel 109 j des Vertrags zur Gründung der Europäischen Gemeinschaft) konkretisiert. Im folgenden werden die Kriterien etwas vereinfacht wiedergegeben, da das Beispiel zur Erläuterung der Clusteranalyse andernfalls unnötig kompliziert werden würde. Insbesondere ist zu beachten, daß die im folgenden aufgeführten Kriterien lediglich Richtwerte und keine festen Grenzwerte darstellen und bei der Beurteilung der Konvergenz der Länder weitere Faktoren zu berücksichtigen sind. 305 Europäische Kommission (1998): Bericht über den Konvergenzstand 1998 (gemäß Artikel 109 j Absatz 1 EG-Vertrag), Brüssel. 306 Dies sind Belgien, Deutschland, Spanien, Frankreich, Irland, Italien, Luxemburg, Niederlande, Österreich, Portugal und Finnland.

4 694 Kapitel 28 Clusteranalyse tannien bereits vor dem Erstellen des Berichts fest, daß diese nach eigenem Wunsch nicht von Beginn an an der Währungsunion teilnehmen wollten. 307 Ebenfalls am 25. März 1998 hat auch das Europäische Währungsinstitut (EWI) einen Konvergenzbericht 308 vorgelegt und dabei leicht abweichende Akzente gesetzt. Insbesondere hat das EWI betont, daß in zahlreichen Ländern noch erhebliche Anstrengungen zur Konsolidierung des öffentlichen Haushalts erforderlich sind. Dies gelte neben Griechenland insbesondere auch für Italien und Belgien, die eine öffentliche Verschuldung von mehr als 120% aufwiesen (siehe Abbildung 28.1). Freilich wurde aus dieser Tatsache nicht explizit abgeleitet, daß Belgien und Italien nicht von Beginn an zu den Teilnehmern der Währungsunion zählen sollten. Mitgliedstaat Inflation Defizit Schulden WKM Zinssätze (Januar 1998) (1997) (1997) (seit 1997) (Januar 1998) Belgien 1,4 2,1 122,2 ja 5,7 Dänemark 1,9-0,7 65,1 ja 6,2 Deutschland 1,4 2,7 61,3 ja 5,6 Griechenland 5,2 4,0 108,7 nein 9,8 Spanien 1,8 2,6 68,8 ja 6,3 Frankreich 1,2 3,0 58,0 ja 5,5 Irland 1,2-0,9 66,3 ja 6,2 Italien 1,8 2,7 121,6 ja 6,7 Luxemburg 1,4-1,7 6,7 ja 5,6 Niederlande 1,8 1,4 72,1 ja 5,5 Österreich 1,1 2,5 66,1 ja 5,6 Portugal 1,8 2,5 62,0 ja 6,2 Finnland 1,3 0,9 55,8 ja 5,9 Schweden 1,9 0,8 76,6 nein 6,5 Großbritannien 1,8 1,9 53,4 nein 7,0 Quelle: Kommission der Europäischen Union (1998, S. 16). Anmerkungen: Inflation: Ermittelt nach dem harmonisierten Verbraucherpreisindex (HVPI). Veränderung des arithmetischen Mittels der letzten 12 Monate gegenüber dem entsprechenden Wert der Vorperiode. Defizit: Defizit des öffentlichen Gesamthaushalts in % des BIP. Schulden: Schuldenstand des öffentlichen Gesamthaushalts in % des BIP. WKM: Ununterbrochene Teilnahme am Wechselkursmechanismus (mindestens seit Beginn 1997). Zinssätze: Langfristige Zinssätze; durchschnittliche Laufzeit: 10 Jahre; Durchschnitt der letzten 12 Monate. Abbildung 28.1: Kennzahlen zur Beurteilung der Konvergenz der Mitgliedstaaten der EU, März 1998 Im folgenden sollen die Mitgliedstaaten der EU mit Hilfe der Clusteranalyse zu Gruppen ähnlicher Länder (im oben formulierten Sinne) zusammengefaßt werden. Die Grundlage der Analyse bilden dabei die Daten, die dem Konvergenzbericht 307 Dennoch prüft die Kommission deren Konvergenzergebnisse und kommt dabei zu einem positiven Urteil. 308 Europäisches Währungsinstitut (1998): Konvergenzbericht - Nach Artikel 109j des Vertrags zur Gründung der Europäischen Gemeinschaft vorgeschriebener Bericht, Frankfurt/Main.

5 28.3 Die Methodik der Clusteranalyse 695 der EU-Kommission zugrunde lagen. 309 Diese werden in der Tabelle aus Abbildung 28.1 wiedergegeben und finden sich auf der Begleit-CD in der Datei Konvergenz.sav Die Methodik der Clusteranalyse Maße für die Ähnlichkeit von Objekten Bei der Clusterbildung sollen Objekte mit hoher Ähnlichkeit demselben und Objekte mit geringer Ähnlichkeit (bzw. mit großer Unähnlichkeit) unterschiedlichen Clustern zugeordnet werden. Daher wird ein Maß benötigt, das die Ähnlichkeit von Objekten quantifiziert. Bei der Hierarchischen Clusteranalyse von SPSS stehen mehrere solcher Maße zur Verfügung, zwischen denen der Anwender je nach konkretem Anwendungsfall wählen kann. Ein Großteil dieser Maße ermittelt genaugenommen nicht die Ähnlichkeit, sondern die Unähnlichkeit der untersuchten Objekte. Daher werden diese Maße auch als Distanzmaße bezeichnet. Quadrierte Euklidische Distanz Als Voreinstellung verwendet die Hierarchische Clusteranalyse bei SPSS als Distanzmaß die quadrierte Euklidische Distanz. Dies ist ein sehr gebräuchliches Maß, daß bei vielen Anwendungsfällen sinnvoll verwendet werden kann. 310 Die Maßzahl für die Unähnlichkeit der beiden Objekte X und Y berechnet sich nach der quadrierten Euklidischen Distanz als: v D 2 = ( X i Y i ) i= 1 2 Dabei gibt v die Anzahl der zur Bewertung der Ähnlichkeit berücksichtigten Variablen an. Die quadrierte Euklidische Distanz errechnet sich damit als Summe der quadrierten Differenzen zwischen den Variablenwerten der beiden betrachteten Objekte. So ergibt sich beispielsweise für Belgien und Dänemark nach der quadrierten Euklidischen Distanz - gemessen an den Variablen Inflation, Defizit, Schulden, WKM und Zinssätze (vgl. Abbildung 28.1, S. 694) - eine Unähnlichkeit von: Dabei ist zu beachten, daß dies eine starke Vereinfachung des sehr komplexen Sachverhalts der Konvergenz darstellt. Insbesondere läßt sich eine nachhaltige Konvergenz mit Sicherheit nicht an den in einem Jahr realisierten gesamtwirtschaftlichen Daten messen. Daher kann das Ergebnis einer solchen Clusteranalyse niemals die abschließende Entscheidungsgrundlage für die Aufnahme eines Landes in die Währungsunion bilden, sondern nur ein Aspekt bei der Beurteilung der Gesamtsituation sein. 310 Zu den übrigen bei der Hierarchischen Clusteranalyse in SPSS zur Verfügung stehenden Distanz- und Ähnlichkeitsmaße siehe Abschnitt Distanz- und Ähnlichkeitsmaße, S In der Variablen WKM wurde der Wert Ja durch 1 und der Wert Nein durch 0 ersetzt.

6 696 Kapitel 28 Clusteranalyse D 2 B, DK = (1,4-1,9) 2 + (2,1 - (-0,7)) 2 + (122,2-65,1) 2 + (1-1) 2 + (5,7-6,2) 2 = 3.268,75. Um nun die Clusterbildung für die 15 Mitgliedstaaten der EU durchführen zu können, muß der Distanzwert für alle Paare berechnet werden, die sich aus den 15 Ländern bilden lassen. 312 Dimension der Variablen - Werte standardisieren Die quadrierte Euklidische Distanz hat mit allen anderen Distanzmaßen, die auf den Differenzen der Variablenwerte basieren, den wesentlichen Nachteil gemeinsam, daß die ermittelte Größe der Distanz erheblich von den Dimensionen abhängt, in denen die Variablen gemessen werden. Beispielsweise wird die Inflationsrate bei den Konvergenzdaten als Prozentzahl angegeben. Ebenso ließe sich der Wert 1,4% jedoch auch in der Form 0,014 anführen. Die quadrierte Differenz zwischen den Inflationszahlen von Belgien und Dänemark würde dann jedoch nicht mehr (1,4-1,9) 2 = 0,25 betragen, sondern nur noch (0,014-0,019) 2 = 0, Entscheidend ist dabei, daß sich nicht nur der Wert der Distanz verringert, sondern auch das Gewicht, mit dem die Differenzen zwischen den Inflationsraten in den für die Gesamtdistanz berechneten Wert eingehen. So wird der oben berechnete Distanzwert von 3.268,75 im wesentlichen von den unterschiedlichen Schuldenständen in Dänemark und Belgien geprägt. Die für den Schuldenstand berechnete quadrierte Differenz beträgt (122,2-65,1) 2 = 3260,41. Im Vergleich dazu ist die quadrierte Differenz zwischen den Inflationsraten mit 0,25 verschwindend gering. Diese Problematik ergibt sich vor allem dann, wenn die Variablen in unterschiedlichen Dimensionen (Kilogramm, Euro, Dollar, Zentimeter, Wachstumsraten etc.) gemessen werden, kann aber auch eintreten, wenn allen Variablen die gleiche Dimension zugrunde liegt. 313 Um dem entgegenzuwirken, kann man die Variablenwerte vor der Berechnung der Distanzen standardisieren. Damit werden alle Variablen unabhängig von ihrer ursprünglichen Dimension auf ein einheitliches Niveau angeglichen. Ein sehr gebräuchliches Verfahren zur Standardisierung von Variablen ist die Berechnung von sogenannten Z-Werten. Dabei werden die Werte 312 Dies ist einer der Gründe dafür, daß sich die Hierarchische Clusteranalyse nur für kleine Stichproben (ungefähr bis zu 100 Fälle) eignet, da die Zahl der zu berechnenden Distanzwerte mit zunehmender Stichprobengröße erheblich ansteigt. 313 Werden beispielsweise Personen anhand ihrer Konsumgewohnheiten miteinander verglichen, wobei die monatlichen Ausgaben für unterschiedliche Güterkategorien betrachtet werden, lassen sich alle Variablen einheitlich in Euro messen. Da jedoch die Ausgaben für verschiedene Güterkategorien systematisch unterschiedlich hoch ausfallen (so werden bei den meisten Personen die Ausgaben für Lebensmittel erheblich über denen für Tageszeitungen liegen), treten auch systematisch unterschiedlich große Differenzen auf: Während beim Vergleich von Personen mit durchschnittlichem verfügbaren Einkommen selten Unterschiede von mehr als 100 DM bei den Ausgaben für Tageszeitungen auftreten werden, steht zu vermuten, daß ein solcher Unterschied bei den Ausgaben für Lebensmittel nicht außergewöhnlich ist. Entsprechend werden die einzelnen Güterkategorien mit unterschiedlichem Gewicht in die gemessenen Distanzen zwischen den Konsumgewohnheiten eingehen.

7 28.3 Die Methodik der Clusteranalyse 697 einer Variablen so transformiert, daß die Variable anschließend einen Mittelwert von 0 und eine Standardabweichung von 1 hat. 314 Die Verwendung von Z-Werten anstelle der ursprünglichen Variablen ist in einer Clusteranalyse in vielen Fällen sehr hilfreich, es sei jedoch ausdrücklich darauf hingewiesen, daß auch andere Arten der Transformation verwendet werden können und diese in manchen Fällen gegenüber den Z-Werten vorzuziehen sind. 315 So gehen durch die Berechnung von Z-Werten nicht nur die Unterschiede in den Niveaus der Variablen verloren, sondern auch die absoluten Streuungen der Werte innerhalb einer Variablen. Diese können jedoch wertvolle Informationen enthalten, die möglicherweise die Ergebnisse der Clusteranalyse verbessern würden. Daher sind in einigen Fällen Standardisierungsverfahren vorzuziehen, die lediglich die Niveaus, nicht aber die Streuungen der Variablen angleichen Hierarchisches Vorgehen bei der Clusterbildung Die Distanzwerte, die sich für die möglichen Paare von Objekten (in diesem Beispiel für alle Paare, die sich aus den 15 Mitgliedstaaten der EU bilden lassen) ergeben, stellen die Grundlage der Clusteranalyse dar. Dabei liegt es nahe, Länder mit geringen Distanzwerten zu einem Cluster zusammenzufassen und Länder, zwischen denen große Distanzen bestehen, unterschiedlichen Clustern zuzuordnen. Genau dies geschieht auch bei der Clusteranalyse, allerdings sind auf dem Weg von den 15 einzelnen Ländern bis zu den abschließenden Clustern unterschiedliche Vorgehensweisen denkbar. Die Hierarchische Clusteranalyse bei SPSS verwendet das Verfahren des hierarchischen Agglomerierens, das mehrere Schritte umfaßt: ¾ Zunächst wird jedes einzelne Objekt (im Beispiel jeder der 15 Mitgliedstaaten) als eigenständiger Cluster angesehen. Die beiden Cluster, zwischen denen die geringste Distanz besteht, werden zu einem gemeinsamen Cluster zusammengefaßt. Damit verringert sich die Zahl der verbleibenden Cluster um eins. ¾ Für die nun vorhandenen Cluster (von denen einer zwei Objekte enthält) werden erneut Distanzwerte für alle Paare berechnet, die sich aus den Clustern bilden lassen, um anschließend wieder die beiden Cluster mit der geringsten Distanz zusammenzufassen. ¾ Diese Prozedur wird so lange fortgesetzt, bis sämtliche Objekte zu einem Cluster zusammengefaßt wurden. 314 Mit dem Befehl STATISTIK, DESKRIPTIVE STATISTIK, UNIVARIATE STATISTIKEN können Sie Z-Werte berechnen und als neue Variable in der Datendatei speichern. Wenn Sie Z-Werte manuell berechnen möchten, können Sie von jedem Wert der betreffenden Variablen den Variablenmittelwert abziehen und das Ergebnis anschließend durch die Standardabweichung der Variablen dividieren. 315 Zu den in der Hierarchischen Clusteranalyse von SPSS zur Verfügung stehenden Standardisierungsverfahren siehe Abschnitt Werte transformieren, S. 715.

8 698 Kapitel 28 Clusteranalyse Das abschließende Resultat der Prozedur, das in einem sämtliche Objekte umfassenden Cluster besteht, ist selbstverständlich nicht das Ergebnis, das man sich von der Clusteranalyse erhofft hat. So besteht das eigentliche Ergebnis der Clusteranalyse auch nicht in diesem abschließenden Resultat, sondern vielmehr in dem Weg (den einzelnen Schritten der Clusterbildung), auf dem dieses Resultat erreicht wurde. Dieser Weg wird in dem Output der Clusteranalyse bei SPSS detailliert beschrieben, so daß sich exakt nachvollziehen läßt, welche Objekte auf der ersten Stufe zusammengefaßt wurden (und somit die größte Ähnlichkeit besitzen), welche Clusterbildung auf der zweiten Stufe erfolgte etc. Das Ergebnis besteht damit in einer Folge unterschiedlicher Aggregationsstufen (von dem einen Extrem, bei dem jedes Objekt einen eigenen Cluster bildet, bis zum anderen Extrem, bei dem sämtliche Objekte zu einem Cluster vereint sind), aus denen die gewünschte Stufe ausgewählt werden kann. Die beschriebene Vorgehensweise wird als hierarchisches Verfahren bezeichnet, da die Zuordnung zu den Clustern nur in einer Richtung erfolgt. Objekte, die einmal zu einem Cluster zusammengefaßt wurden, werden auf den späteren Stufen der Clusterbildung nicht mehr getrennt, auch wenn sich durch die Aufteilung der Objekte auf verschiedene Cluster insgesamt eine geringere Distanz ergeben würde. Nicht-hierarchische Verfahren lassen es dagegen zu, daß einmal gebildete Cluster auf späteren Stufen wieder aufgespaltet werden. Zudem gibt es Verfahren, die nicht zunächst jedes einzelne Objekt als eigenständigen Cluster ansehen und die Einzel-Cluster nach und nach zusammenfassen, sondern genau umgekehrt zunächst alle Objekte als einen gemeinsamen Cluster betrachten, der nach und nach in kleinere Cluster aufgespaltet wird, bis jedes Objekt einen eigenständigen Cluster bildet Messung der Ähnlichkeit von Clustern Wie im vorhergehenden Abschnitt beschrieben, werden auf der ersten Stufe der Hierarchischen Clusteranalyse die beiden Objekte mit der geringsten Distanz zusammengefaßt. Hierzu genügt es, für alle Paare von Objekten die Distanzwerte zu berechnen und das Paar mit dem kleinsten Distanzwert auszuwählen. Bereits auf der zweiten Stufe lassen sich die zu vereinigenden Cluster jedoch nicht mehr so einfach ermitteln. Auf dieser Stufe gibt es bereits einen Cluster, der zwei Objekte enthält. Dies verursacht eine zusätzlich Schwierigkeit, da noch nicht festgelegt wurde, wie die Distanz zwischen zwei Clustern (von denen mindestens einer mehr als ein Objekt umfaßt) gemessen wird. Zur Messung der Distanz zwischen zwei Clustern sind unterschiedliche Methoden denkbar. So gibt es eine sehr einfache Methode, die aus den beiden Clustern lediglich die beiden einzelnen Objekte betrachtet, die am nächsten beieinanderliegen. Die Distanz zwischen diesen Einzelobjekten wird zugleich als Distanz zwischen den beiden Clustern angesehen. Umgekehrt gibt es eine Methode, bei der lediglich die am weitesten voneinander entfernt liegenden Objekte betrachtet werden. Beide Methoden haben den Vorteil, daß sie sehr einfach angewandt werden können und ohne komplizierte Berechnungen auskommen. Dem steht jedoch der

9 28.4 Interpretation der Prozedurergebnisse 699 Nachteil gegenüber, daß sie lediglich ein Objekt pro Cluster betrachten und damit nur einen Teil der zur Verfügung stehenden Informationen auswerten. Daher folgt die Hierarchische Clusteranalyse bei SPSS als Voreinstellung einem anderen Ansatz, der als Linkage zwischen den Gruppen bezeichnet wird. Dabei werden für alle Paare, die sich aus den in unterschiedlichen Clustern enthaltenen Objekten bilden lassen, die Distanzwerte berechnet. Die Distanz zwischen zwei Clustern wird anschließend als arithmetisches Mittel der Distanzen zwischen den einzelnen Objekten berechnet Interpretation der Prozedurergebnisse Der Output der Hierarchischen Clusteranalyse umfaßt mehrere Komponenten, die den gesamten Vorgang der Clusterbildung beschreiben. Die im folgenden dargestellten Prozedurergebnisse beziehen sich auf das Beispiel zur Auswahl der Teilnehmer für die Währungsunion. Dazu wurden folgende Einstellungen vorgenommen, die weiter unten in den abgebildeten Dialogfeldern wiedergegeben werden: ¾ Datendatei: Die Ursprungsdaten finden Sie auf der Begleit-CD in der Datei Konvergenz.sav. ¾ Variablen: Die Clusteranalyse basiert auf den Variablen preise, defizit, schulden, zinsen und wkm. Für die Fallbeschriftung wurde die Variable land verwendet, siehe die Abbildung auf S ¾ Statistiken: In dem Dialogfeld der Schaltfläche Statistik wurden die Optionen Zuordnungsübersicht und Distanz-Matrix angekreuzt, siehe S ¾ Grafiken: In dem Dialogfeld der Schaltfläche Diagramm wurden die Optionen Dendrogramm und Alle Cluster (Gruppe Eiszapfen) angekreuzt, siehe S ¾ Methoden: In dem Dialogfeld der Schaltfläche Methode wurden die Cluster- Methode Linkage zwischen den Gruppen, das Maß Quadrierter Euklidischer Abstand (Intervall) und die Transformation in Z-Werte (nach Variablen) ausgewählt, siehe S ¾ Speichern: In dem Dialogfeld der Schaltfläche Speichern wurde die Option Bereich von Lösungen mit den Werten Von 2 bis 5 gewählt, siehe S Distanzmatrix Zu Beginn der Clusteranalyse müssen für alle Paare, die sich aus den betrachteten Objekten bilden lassen, Distanzwerte berechnet werden. Diese Werte können Sie sich in einer sogenannten Distanzmatrix ausgeben lassen. Abbildung 28.2 zeigt die 316 Zu den weiteren bei der Hierarchischen Clusteranalyse in SPSS zur Verfügung stehenden Methoden für die Berechnung der Distanz oder Ähnlichkeit zweier Cluster siehe Abschnitt Cluster-Methode, S. 710.

10 700 Kapitel 28 Clusteranalyse Distanzmatrix für die 15 Mitgliedstaaten der EU. Die Matrix ist symmetrisch, so daß alle Distanzwerte zweimal aufgeführt werden. Es genügt, entweder das obere rechte oder das untere linke Dreieck der Matrix zu betrachten. So gibt der erste Wert in der Spalte DK an, daß die Unähnlichkeit von Belgien und Dänemark durch den Distanzwert von 7,35 quantifiziert wird. Dieser Wert wird auch in der Spalte B für die Zeile DK wiedergegeben. 317 Fall 1:B 2:DK 3:D 4:EL 5:E 6:F 7:IRL 8:I 9:L 10:NL 11:A 12:P 13:FIN 14:S 15:UK Näherungsmatrix 1:B 2:DK 3:D 4:EL 5:E 6:F 7:IRL 8:I 9:L 10:NL 11:A 12:P 13:FIN 14:S 15:UK 7,35 4,57 36,87 3,97 5,30 7,42 1,17 21,42 3,38 3,92 4,76 5,85 9,77 13,12 7,35 5,00 38,98 4,19 6,21,52 8,44 5,02 2,17 4,88 3,93 1,53 6,93 9,14 4,57 5,00 39,32,66,10 5,33 5,54 10,94,96,14,49 1,36 8,45 8,01 36,87 38,98 39,32 31,01 41,79 44,88 26,93 60,80 37,92 41,47 32,44 41,70 25,80 24,06 3,97 4,19,66 31,01 1,12 5,06 3,47 12,24 1,11,94,07 1,70 7,19 6,73 5,30 6,21,10 41,79 1,12 6,31 6,47 11,62 1,59,19,91 1,84 9,46 8,63 7,42,52 5,33 44,88 5,06 6,31 9,18 4,83 2,85 4,73 4,80 1,46 7,65 9,95 1,17 8,44 5,54 26,93 3,47 6,47 9,18 24,34 4,81 5,24 4,47 7,21 9,67 11,70 21,42 5,02 10,94 60,80 12,24 11,62 4,83 24,34 8,94 11,03 10,85 5,54 15,00 15,23 3,38 2,17,96 37,92 1,11 1,59 2,85 4,81 8,94 1,02 1,01,81 6,87 8,29 3,92 4,88,14 41,47,94,19 4,73 5,24 11,03 1,02,84 1,22 8,43 8,36 4,76 3,93,49 32,44,07,91 4,80 4,47 10,85 1,01,84 1,36 7,28 6,61 5,85 1,53 1,36 41,70 1,70 1,84 1,46 7,21 5,54,81 1,22 1,36 7,04 7,52 9,77 6,93 8,45 25,80 7,19 9,46 7,65 9,67 15,00 6,87 8,43 7,28 7,04 1,33 13,12 9,14 8,01 24,06 6,73 8,63 9,95 11,70 15,23 8,29 8,36 6,61 7,52 1,33 Dies ist eine Unähnlichkeitsmatrix Quadriertes euklidisches Distanzmaß Abbildung 28.2: Distanzmatrix der Clusteranalyse für die 15 Mitgliedstaaten der EU Aus den Distanzwerten ergibt sich bereits ein erster Eindruck von der Ähnlichkeit bzw. der Unähnlichkeit der betrachteten Länder. 318 So fällt unmittelbar auf, daß Griechenland (EL) zu beinahe allen anderen Ländern Distanzen mit einem Wert über 30 aufweist, während der überwiegende Teil der insgesamt ausgewiesenen Distanzwerte im einstelligen Bereich liegt. Offenbar besteht ein relativ starker Unterschied zwischen Griechenland und den übrigen EU-Ländern. Ähnliches gilt - mit geringerer Intensität - für Luxemburg. Auf der anderen Seite zeichnet sich eine Gruppe von Ländern ab, die wechselseitig relativ geringe Distanzen aufweisen. Zu dieser Gruppe können etwa Spanien, Portugal, Frankreich, Deutschland und Österreich gezählt werden. Die geringste Distanz besteht offenbar zwischen Spanien und Portugal (0,07). Dies sind somit die beiden Länder, die bei der folgenden Clusterbildung bereits im ersten Schritt zu einem Cluster vereint werden. 317 Beachten Sie, daß die Werte in Abbildung 28.2 auf standardisierten Werten (in diesem Fall auf Z-Werten) basieren. Daher stimmt der für das Länderpaar Belgien - Dänemark ausgewiesene Distanzwert nicht mit dem oben (S. 696) für die Ursprungswerte berechneten Wert von 3.268,75 überein. 318 Beachten Sie, daß der Begriff der Ähnlichkeit im Zusammenhang mit einer Clusteranalyse immer nur vor dem Hintergrund der in die Analyse einbezogenen Variablen interpretiert werden darf. Wenn sich im folgenden zeigt, daß zwei Länder eine hohe Ähnlichkeit (oder Unähnlichkeit) aufweisen, gilt dies somit ausschließlich für die Kombination der fünf betrachteten Wirtschaftsdaten. Jede darüber hinausgehende Verallgemeinerung ist, sofern sie nicht durch weitere Erkenntnisse oder eine zugrundeliegende Theorie begründet werden kann, unzulässig.

11 28.4 Interpretation der Prozedurergebnisse Tabelle der Agglomerationsschritte Die Agglomerationstabelle zeigt der Verlauf der Clusterbildung von der ersten Stufe (jedes Objekt bildet einen eigenständigen Cluster) bis zu letzen Stufe (alle Objekte sind zu einem Cluster zusammengefaßt). Abbildung 28.3 zeigt die Tabelle für die Clusterbildung aus den 15 EU-Ländern. Zuordnungsübersicht Schritt Zusammengeführte Cluster Erstes Vorkommen des Clusters Nächster Cluster 1 Cluster 2 Koeffizienten Cluster 1 Cluster 2 Schritt 5 12, , , , , , , , , , , , , , Abbildung 28.3: Agglomerationstabelle der Clusteranalyse für die 15 EU-Länder Jede Zeile der Tabelle beschreibt eine Stufe der Clusterbildung. Die jeweilige Stufe wird in der ersten Spalte (Schritt) angegeben. Die erste Zeile beschreibt somit die Clusterbildung der ersten Stufe, also das erste Zusammenfassen zweier einzelner Länder zu einem Cluster. Die Spalten 2 und 3 mit der gemeinsamen Überschrift Zusammengeführte Cluster geben an, welche Länder (bzw. - auf späteren Stufen - welche Cluster) zusammengefaßt wurden. Leider werden die Cluster nur durch fortlaufende Nummern bezeichnet. Die Bedeutung der Nummern können Sie aus der Distanzmatrix (Abbildung 28.2) ablesen, in der für die Zeilen- und Spaltenbeschriftungen sowohl die Länderkürzel als auch die von SPSS zugewiesenen Nummern angegeben werden. Wie bereits aus der Distanzmatrix zu ersehen war, wurden in der ersten Stufe die Cluster mit den Nummern 5 und 12 (Spanien und Portugal) zusammengefaßt. Die zwischen diesen Clustern gemessene Distanz wird in der Spalte Koeffizienten angegeben. Sie beträgt - wie bereits aus der Distanzmatrix mit etwas geringerer Genauigkeit hervorging - 0,068. Im zweiten Schritt wurden die Cluster mit den Nummern 3 und 6 (Deutschland und Frankreich) vereint. Die Distanz zwischen diesen Ländern liegt mit 0,097 über dem Wert, der für die auf der ersten Stufen vereinten Länder berechnet wurde. Der Anstieg der Distanzwerte, der sich auf allen folgenden Stufen der Clusterbildung fortsetzt, ergibt sich zwangsläufig aus der hier verwendeten Vorgehensweise, bei der zunächst die Cluster mit der größten Ähnlichkeit (also mit der geringsten Distanz) zusammengefaßt werden, anschließend die Cluster mit der zweitgrößten Ähnlichkeit etc.

12 702 Kapitel 28 Clusteranalyse Es ist zu erkennen, daß die Distanzwerte zunächst recht moderat ansteigen, während auf den späteren Stufen (ungefähr ab der zehnten Stufe) ein beschleunigter Anstieg beobachtet werden kann. Dies ist eine sehr typische Entwicklung der Distanzwerte im Verlauf der Clusterbildung. Inhaltlich ist dies so zu interpretieren, daß auf den unteren Stufen noch eine Reihe von Clustern mit recht hoher Ähnlichkeit gefunden wurden, während auf den späteren Stufen auch sehr unähnliche Cluster zusammengefaßt werden mußten. Während also die bis zur neunten Stufe gebildeten Cluster in sich noch recht homogen zu sein scheinen, entstehen von der zehnten Stufe an heterogene Zusammenschlüsse. Dies ist ein erster Hinweis darauf, daß die Clusterbildung möglicherweise nach der neunten Stufe sinnvoll beendet und die bis dahin durchgeführte Clustereinteilung als abschließendes Ergebnis verwendet werden kann. Für die dritte Stufe weist die Tabelle das Zusammenfassen der Cluster 3 und 11 aus. Wie aus der Distanzmatrix (Abbildung 28.2) hervorgeht, ist die Nummer 3 Deutschland und die Nummer 11 Österreich zugewiesen. Nun wurde Deutschland allerdings bereits auf der zweiten Stufe mit Frankreich vereint und steht somit nicht mehr als eigenständiger Cluster zur Verfügung. Aus diesem Grund bezeichnet die Nummer 3 in der dritten Zeile nicht den einzelnen Staat Deutschland, sondern den Cluster, in dem Deutschland enthalten ist, in diesem Fall also den Cluster aus Deutschland und Frankreich. Folglich wurde dieser Cluster auf der dritten Stufe mit Österreich zu einem aus drei Ländern bestehenden Cluster vereint. Allgemein gelten für die Nummern zur Identifikation der Cluster folgende Regeln: ¾ Zunächst bezeichnet eine Nummer ein einzelnes Objekt (hier also ein einzelnes Land). Die Zuordnung der Nummern zu den Objekten geht unter anderem aus der Distanzmatrix hervor. ¾ Sobald ein Objekt mit anderen zu einem Cluster zusammengefaßt wurde, bezeichnet die dem Objekt zugeordnete Nummer stets den gesamten Cluster und nicht mehr das einzelne Objekt. Dabei gilt, daß für einen mehrere Objekte umfassenden Cluster stets die niedrigste in Frage kommende Nummer ausgewiesen wird. ¾ Bezieht sich eine Nummer nicht mehr auf ein einzelnes Objekt, sondern bereits auf ein Cluster aus mehreren Objekten, wird in der zugehörigen Spalte unter der Überschrift Erstes Vorkommen des Clusters angegeben, auf welcher Stufe der betreffende Cluster in dieser Form gebildet wurde. So wird etwa für Stufe 10 mitgeteilt, daß die Nummer 2 den Cluster bezeichnet, der auf der vierten Stufe gebildet wurde, während sich die Nummer 3 auf den in der achten Stufe gebildeten Cluster bezieht. Auf der achten Stufe bezeichnete die Nummer 3 dagegen den Cluster, der aus Stufe 6 hervorgegangen ist. ¾ Die letzte Spalte der Tabelle (Nächster Schritt) gibt für jede Stufe der Clusterbildung an, auf welcher späteren Stufe der gerade neu gebildete Cluster mit einem anderen Cluster zusammengefaßt wird. So ist für den auf der ersten Stufe aus Spanien und Portugal gebildeten Cluster abzulesen, daß dieser in Stufe 6 mit einem anderen Cluster zusammengefaßt werden wird.

13 28.4 Interpretation der Prozedurergebnisse Eiszapfendiagramm Ein Eiszapfendiagramm stellt den Verlauf der Clusterbildung in grafischer Form dar. Das Diagramm enthält damit ausschließlich Informationen, die bereits in der Agglomerationstabelle enthalten waren, bereitet diese aber in anschaulicherer Form auf. Abbildung 28.4 zeigt das Eiszapfendiagramm für die 15 Mitgliedstaaten der EU. 319 Das Diagramm beschreibt, von unten nach oben gelesen, den Ablauf der Clusterbildung. Jede Zeile des Diagramms bezieht sich auf eine Stufe des Agglomerationsprozesses. Somit stellt die unterste Zeile den ersten Agglomerationsschritt dar. Die mit Kreuzen vollständig ausgefüllten Spalten repräsentieren jeweils ein einzelnes Objekt (Mitgliedsland der EU). Die erste Spalte, mit der Überschrift 4:EL, repräsentiert somit Griechenland, die dritte Spalte (also die zweite vollkommen mit Kreuzen ausgefüllte Spalte) repräsentiert Luxemburg etc. Das Eiszapfendiagramm ist nun folgendermaßen zu interpretieren: ¾ In der untersten Zeile (erste Agglomerationsstufe) sind die beiden benachbarten Spalten für Griechenland und Luxemburg durch einen Freiraum voneinander getrennt. Dies symbolisiert, daß die beiden Länder unterschiedlichen Clustern zugeordnet sind. Dies gilt ebenso für die in dem Diagramm nebeneinander angeordneten Länder Luxemburg und Großbritannien, Großbritannien und Schweden etc. ¾ Die benachbarten Spalten für Portugal (12:P) und Spanien (5:E) sind in der untersten Zeile nicht durch einen Freiraum getrennt. Vielmehr wird der Raum zwischen den beiden Spalten durch ein Kreuz ausgefüllt, so daß eine Verbindung zwischen den Spalten entsteht. Diese Verbindung zeigt an, daß Spanien und Portugal in der ersten Stufe der Clusterbildung vereint werden und somit anschließend einen gemeinsamen Cluster bilden. ¾ Nach der ersten Agglomerationsstufe bestehen somit 14 Cluster (dieser Wert wird in der Spalte mit der Überschrift Anzahl der Cluster angegeben), von denen 13 aus einzelnen Ländern und einer aus den beiden Ländern Spanien und Portugal gebildet werden. ¾ Entsprechend beschreibt die zweite Zeile von unten den zweiten Agglomerationsschritt. Dabei werden, wie bereits aus der Agglomerationstabelle (Abbildung 28.3) bekannt, Frankreich und Deutschland zu einem Cluster vereint. Der dabei neu entstehende Cluster wird im dritten Schritt mit Österreich zu einem drei Länder umfassenden Cluster verbunden. ¾ Griechenland bleibt als einziges Land bis zur letzten Stufe als eigenständiger Cluster bestehen. Erst ganz zum Schluß wird Griechenland in den Cluster der übrigen Länder aufgenommen. Ähnlich ergeht es Luxemburg, das bis zur vorletzten Stufe einen eigenständigen Cluster bildet. Beides ist nicht verwunder- 319 Dem Diagramm wurde mit dem Befehl FORMAT, TABELLENVORLAGEN die vordefinierte Ansicht Eiszapfendiagramm zugewiesen. Zur Verwendung von Tabellenansichten siehe Abschnitt 7.3.3, Tabellenvorlagen.

14 704 Kapitel 28 Clusteranalyse lich, nachdem bereits in der Distanzmatrix (Abbildung 28.2, S. 700) zu erkennen war, daß Luxemburg und insbesondere Griechenland hohe Distanzwerte zu den übrigen Ländern aufweisen. Vertikales Eiszapfendiagramm Fall 4:EL 9:L 15:UK 14:S 13:FIN 10:NL 12:P Anzahl der Cluster 1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 2 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 3 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 4 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 5 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 6 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 7 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 8 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 9 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 10 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 11 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 12 X X X X X X X X X X X X X X X X X X 13 X X X X X X X X X X X X X X X X X 14 X X X X X X X X X X X X X X X X 5:E 11:A 6:F 3:D 7:IRL 2:DK 8:I 1:B Abbildung 28.4: Eiszapfendiagramm der Clusteranalyse für die 15 EU-Länder Dendrogramm Auch in einem Dendrogramm (oder auch Baumdiagramm) wird der Ablauf der Clusterbildung von der ersten bis zur letzten Stufe grafisch dargestellt. Im Gegensatz zum Eiszapfendiagramm stellt das Dendrogramm jedoch nicht nur dar, welche Clusterbildung auf den einzelnen Stufen vorgenommen wird, sondern es zeigt zudem, wie groß die Distanz (also die Unähnlichkeit) zwischen den jeweils zusammengefaßten Clustern ist. Abbildung 28.5 gibt ein Dendrogramm für die Clusterbildung von 13 EU-Ländern wieder. Das Diagramm setzt sich in etwas antiquierter Form aus einzelnen Textzeichen zusammen, worunter nicht nur das optische Erscheinungsbild, sondern insbesondere auch die Präzision der Darstellung erheblich leidet. Aus diesem Grund ist das Dendrogramm der Clusterbildung für alle 15 EU-Länder recht schwer zu interpretieren, so daß die Bedeutung des Dendrogramms im folgenden an einem vereinfachten Beispiel erläutert wird. Dazu wurden die beiden Länder Griechenland und Luxemburg aus der Clusteranalyse ausgeklammert. 320 Das Dendrogramm in Abbildung 28.5 bezieht sich somit nur auf die verbliebenen 13 EU-Länder. Alle übrigen Einstellungen der Clusteranalyse wurden dagegen unverändert beibehalten. 320 Um Luxemburg und Griechenland aus der Analyse auszuschließen, können Sie mit dem Befehl DATEN, FÄLLE AUSWÄHLEN einen Filter anwenden. Wählen Sie in dem Dialogfeld die Option Wenn Bedingung erfüllt, und geben Sie die Bedingung land ~= 'L' & land ~= 'EL' an. Zum Umgang mit Filtern siehe im einzelnen Abschnitt 10.4, Einzelne Fälle zur Analyse auswählen.

15 28.4 Interpretation der Prozedurergebnisse 705 * * * * H I E R A R C H I C A L C L U S T E R A N A L Y S I S * * * * Dendrogram using Average Linkage (Between Groups) Rescaled Distance Cluster Combine C A S E Label Num E P NL F I I A D I I IRL I FIN I I DK I I B I I I S UK Abbildung 28.5: Dendrogramm einer Clusterbildung für 13 EU-Länder (ohne Griechenland und Luxemburg) Das Dendrogramm ist von links nach rechts zu lesen und beschreibt in dieser Richtung die einzelnen Stufen der Clusterbildung. Jede Zeile des Diagramms repräsentiert ein einzelnes Objekt (eines der 13 berücksichtigten EU-Länder). Die oberste Zeile (E) bezieht sich auf Spanien, die zweite Zeile (P) auf Portugal etc. In jeder Zeile wird eine waagerechte Linie dargestellt, wobei die Länge der Linien erheblich variiert. So erstreckt sich die Linie der dritten Zeile von unten (I = Italien) bis zur Mitte der Grafik, während die Linie der zweiten Zeile (von oben) nur sehr kurz ist. Das Pluszeichen am Ende der Linie von Portugal soll gemeinsam mit dem Pluszeichen, das sich auf der gleichen Höhe in der Linie von Spanien befindet, eine Verbindung zwischen Spanien und Portugal symbolisieren. Diese Verbindung zeigt an, daß die beiden Länder zu einem Cluster verbunden werden. In der gleichen Weise wird angezeigt, daß auch Irland und Finnland zu einem Cluster zusammengefaßt werden (Zeilen IRL und FIN). Die Verbindungslinie zwischen Irland und Finnland liegt allerdings wesentlich weiter rechts als die Linie zwischen Spanien und Portugal. Dies zeigt zum einen an, daß die Bildung des Clusters Irland - Finnland auf einer späteren Stufe des Agglomerationsprozesses erfolgte als die Bildung des Clusters Spanien - Portugal, zum anderen ergibt sich daraus, daß zwischen den beiden einzelnen Clustern Irland und Finnland eine größere Distanz (Unähnlichkeit) besteht als zwischen den einzelnen Clustern Spanien und Portugal. Die Größe der Distanzen kann an der Skala Rescaled Distance Cluster Combine abgelesen werden. Allerdings gehen aus der Skala nicht die tatsächlichen (und in der Distanzmatrix wiedergegebenen) Distanzwerte hervor, sondern die Skala bezieht sich auf Distanzwerte, die so transformiert wurden, daß sie sich in dem Wertebereich von 0 bis 25 darstellen lassen. Somit können Sie aus dem Dendrogramm nicht die absoluten Distanzwerte ablesen, sondern lediglich die Relationen der Distanzen zueinander.

16 706 Kapitel 28 Clusteranalyse Insgesamt ist das Dendrogramm somit folgendermaßen zu lesen: ¾ In den ersten beiden Schritten der Agglomeration wurde ein Cluster aus Spanien und Portugal und ein weiterer Cluster aus Frankreich und Österreich gebildet. 321 (Tatsächlich wurden im ersten Schritt Spanien und Portugal und im zweiten Schritt Frankreich und Österreich vereint, dies ist im Dendrogramm jedoch nicht zu erkennen.) Dabei wiesen die zusammengefaßten Länder (auf einer Skala von 0 bis 25) eine Distanz von ungefähr 0,5 auf. ¾ In der dritten Stufe wurde der aus Frankreich und Österreich bestehende Cluster mit Deutschland vereint. Zwischen den beiden vereinten Clustern bestand (auf einer Skala von 0 bis 25) eine Distanz von ca. 1,5. ¾ Im vierten Schritt wurden Irland und Finnland - deren Distanz zueinander auf einer Skala von 0 bis 25 mit 5 quantifiziert wird - zusammengefaßt. ¾ Im letzten Schritt wurde ein Cluster aus Großbritannien und Schweden mit einem alle übrigen 11 Länder umfassenden Cluster vereint Cluster-Zuordnungen als Variablen speichern In die Datendatei wurden beim Ausführen der Clusteranalyse vier neue Variablen mit den Namen clu5_1, clu4_1, clu3_1 und clu2_1 eingefügt. 322 Diese Variablen geben für jedes der 15 Länder an, welchem Cluster dieses Land zugeordnet wird, wenn insgesamt fünf, vier, drei oder zwei Cluster gebildet werden. Die Tabelle in Abbildung 28.6 gibt die Variablen land (mit den Wertelabels) und die vier durch die Clusteranalyse erstellten Variablen wieder. Dabei sind die Fälle so geordnet, daß die Länder in der Reihenfolge ihrer Cluster-Zuordnung aufgeführt werden. Aus den Werten der Variablen clu5_1 geht folgendes hervor: Werden die 15 EU- Länder in insgesamt fünf Cluster unterteilt, empfiehlt die Clusteranalyse eine Einteilung, bei der ein Cluster Belgien und Italien umfaßt, ein zweiter Cluster Schweden und Großbritannien beinhaltet, Luxemburg und Griechenland jeweils einen eigenständigen Cluster bilden und die übrigen neun Länder im fünften Cluster zusammengefaßt werden. Bei einer Aufteilung der Länder in nur vier Cluster (clu4_1) würden Belgien und Italien ebenfalls dem großen Cluster zugeordnet, während die übrigen Einteilungen unverändert blieben. Beachten Sie, daß die Nummern, die zur Identifikation der Cluster verwendet werden, keine inhaltliche Bedeutung haben. Insbesondere stellen die Nummern keine Rangfolge oder Bewertung der Cluster dar. Anstatt mit Nummern hätten die Cluster ebenso mit Buchstaben oder Symbolen gekennzeichnet werden können. 321 Beachten Sie, daß sich das Dendrogramm auf eine Clusteranalyse für nur 13 und nicht für alle 15 EU-Länder bezieht. Der Prozeß der Clusterbildung weicht daher von den oben betrachteten Ergebnissen ab. 322 Mit den voreingestellten Optionen der Clusteranalyse erzeugt SPSS diese Variablen nicht. Sie wurden durch die Einstellungen in dem Dialogfeld der Schaltfläche Speichern angefordert. Beachten Sie auch, daß in diesem Abschnitt wieder die Clusterbildung der 15 Länder betrachtet wird.

17 28.4 Interpretation der Prozedurergebnisse 707 land clu5_1 clu4_1 clu3_1 clu2_1 Belgien Italien Dänemark Deutschland Spanien Frankreich Irland Niederlande Österreich Portugal Finnland Schweden Großbritannien Luxemburg Griechenland Abbildung 28.6: Tabelle mit den Cluster-Zuordnungen der 15 EU- Länder für unterschiedliche Agglomerationsstufen Auffällig ist, daß Griechenland in allen vier Einteilungen stets alleine einen eigenständigen Cluster bildet. Selbst in dem Fall, daß alle 15 Länder in nur zwei Cluster unterteilt werden, besteht einer der beiden Cluster nur aus Griechenland, während der andere Cluster die übrigen 14 Länder beinhaltet. Damit besteht offenbar ein erheblicher (relativer) Unterschied zwischen Griechenland und den übrigen EU- Ländern, der größer ist, als alle übrigen Unterschiede zwischen Ländern oder Ländergruppen. Es sei nochmals betont, daß diese Tatsache kein inhaltliches Urteil zuläßt. Ohne die Betrachtung der Ausgangsdaten (Abbildung 28.1, S. 694) ist nicht ersichtlich, ob Griechenland eine wesentlich günstigere oder eine wesentlich ungünstigere Wirtschaftslage vorzuweisen hat als die übrigen 14 Länder. Auch Luxemburg bleibt in den Fällen von fünf, vier und drei Clustern als eigenständiger Cluster erhalten. Erst wenn die Länder in nur zwei Cluster unterteilt werden, wird Luxemburg mit dem großen Block der übrigen Länder vereint. Werden nun ergänzend die der Clusteranalyse zugrundeliegenden Ausgangsdaten (Abbildung 28.1, S. 694) herangezogen, wird deutlich, daß sich Luxemburg im positiven und Griechenland im negativen Sinne von den übrigen Ländern abheben. So hat Griechenland kein einziges der fünf zugrunde gelegten Kriterien (siehe S. 693) erfüllt. Luxemburg dagegen hat nicht nur sämtliche Kriterien erfüllt, sondern zudem als einziges Land sämtliche Referenzwerte mit deutlichem Abstand (und nicht nur so gerade eben) unterschritten. Besonders deutlich wird dies bei den Kennzahlen für den öffentlichen Haushalt. So liegt der Schuldenstand mit 6,7% des BIP nur etwas über einem Zehntel des zulässigen Volumens, und anstelle eines öffentlichen Defizits hat Luxemburg einen Überschuß in Höhe von 1,7% des BIP realisiert. Interessant ist auch, daß Belgien und Italien in der Variablen clu5_1 gemeinsam einen eigenen Cluster bilden. Während die EU-Kommission in ihrem Konvergenzbericht die Teilnahme dieser Länder an der Währungsunion vom Starttermin an empfohlen hat, hob das EWI in seinem Bericht stärker die hohen Schulden des

18 708 Kapitel 28 Clusteranalyse öffentlichen Haushalts in diesen Ländern hervor (freilich ohne explizit von der Aufnahme Belgiens und Italiens in die Währungsunion abzuraten). Ohne daß sich daraus unmittelbar inhaltliche Schlußfolgerungen ableiten ließen, zeigt nun auch die Clusteranalyse, daß Belgien und Italien insofern eine Sonderrolle einnehmen, als ihre Distanzen zu den übrigen Ländern offenbar größer sind als die Distanzen zwischen den meisten anderen EU-Ländern. Dies gilt ebenso für Großbritannien und Schweden (die nicht von Beginn an Teilnehmer der Währungsunion sind). Deren Sonderposition erklärt sich im wesentlichen daraus, daß beide Länder nicht die Voraussetzung der Teilnahme am Wechselkursmechanismus erfüllen Einstellungen der Clusteranalyse Allgemeine Vorgehensweise Abbildung 28.7: Dialogfeld des Befehls STATISTIK, KLASSIFIZIEREN, HIERARCHISCHE CLUSTER Um eine Hierarchische Clusteranalyse mit SPSS durchzuführen, öffnen Sie das Dialogfeld aus Abbildung 28.7 mit dem Befehl STATISTIK KLASSIFIZIEREN HIERARCHISCHE CLUSTER... Nehmen Sie in diesem Dialogfeld folgende Einstellungen vor: ¾ Fälle oder Variablen? Geben Sie in der Gruppe Cluster an, ob Fälle oder Variablen zu Clustern zusammengefaßt werden sollen. ¾ Variable(n): Verschieben Sie die bei der Clusteranalyse zu berücksichtigenden Variablen in das Feld Variable(n). Wenn Sie Fälle zu Clustern zusammenfassen (wie in dem Beispiel dieses Kapitels), werden die Werte dieser Variablen als Grundlage der Clusterbildung verwendet. Führen Sie dagegen eine Cluster-

19 28.5 Einstellungen der Clusteranalyse 709 bildung von Variablen durch, werden ausschließlich die in der Liste Variable(n) angegebenen Variablen zu Clustern zusammengefaßt. 323 Die übrigen Variablen der Datendatei bleiben dagegen unberücksichtigt. ¾ Fallbeschriftung: Die einzelnen Fälle der Datendatei werden in dem Output der Clusteranalyse mit fortlaufenden Nummern gekennzeichnet. Da diese Nummern nicht immer mit den Fallnummern aus der Datendatei übereinstimmen (so kann sich eine Abweichung ergeben, wenn einzelne Fälle herausgefiltert wurden), ist eine Zuordnung anhand der Nummern häufig schwierig. Um diese zu erleichtern, können Sie die Fälle im Output zusätzlich mit den Werten einer Variablen kennzeichnen. Geben Sie diese Variable in dem Feld Fallbeschriftung an. Die Angabe einer Variablen für Fallbeschriftungen ist optional und nicht möglich, wenn Variablen zu Clustern zusammengefaßt werden. ¾ Anzeigen: Kreuzen Sie an, ob der Output der Clusteranalyse nur Statistiken (Agglomerationstabelle und Distanzmatrix), nur Diagramme (Dendrogramm und Eiszapfendiagramm) oder beides enthalten soll. Genauere Angaben können Sie in den Dialogfeldern der Schaltflächen Statistik und Diagramm vornehmen. ¾ Methode (S. 709): Geben Sie in dem Dialogfeld dieser Schaltfläche an, welches Distanzmaß verwendet werden soll, nach welchem Verfahren die Distanzen zwischen zwei Clustern zu bestimmen sind und ob die Werte der Ursprungsvariablen standardisiert werden sollen. ¾ Statistik (S. 716): Wählen Sie in dem Dialogfeld dieser Schaltfläche die im Output der Clusteranalyse mitzuteilenden Statistiken aus. Die Schaltfläche steht nur zur Verfügung, wenn in der Gruppe Anzeigen die Option Statistik angekreuzt ist. ¾ Diagramm (S. 717): In dem Dialogfeld dieser Schaltfläche können Sie auswählen, welche Grafiken durch die Clusteranalyse erstellt werden sollen. Die Schaltfläche ist nur aktiv, wenn in der Gruppe Anzeigen die Option Diagramme angekreuzt ist. ¾ Speichern (S. 719): Hier können Sie festlegen, ob in die Datendatei neue Variablen mit den Cluster-Zuordnungen der einzelnen Fälle eingefügt werden sollen. Wenn Sie Variablen zu Clustern zusammenfassen, steht eine entsprechende Option nicht zur Verfügung, und die Schaltfläche Speichern ist inaktiv Methode der Clusteranalyse auswählen Mit der Schaltfläche Methode öffnen Sie das in Abbildung 28.8 dargestellte Dialogfeld. Die Abbildung zeigt die Einstellungen, die für das in diesem Kapitel betrachtete Beispiel verwendet wurden. 323 Als Kriterium für das Zusammenfassen der Variablen dienen dabei die Werte, welche die Variablen in den einzelnen Fällen der Datei aufweisen.

20 710 Kapitel 28 Clusteranalyse Abbildung 28.8: Dialogfeld der Schaltfläche Methode zum Auswählen der technischen Verfahren der Clusteranalyse Cluster-Methode Wählen Sie in der Dropdown-Liste Cluster-Methode das Verfahren, nach dem die Distanzwerte für Cluster, die mehr als ein Objekt beinhalten, berechnet werden. 324 Sie können zwischen folgenden sieben Verfahren wählen: ¾ Linkage zwischen den Gruppen: Um die Distanz zwischen zwei Clustern zu ermitteln, werden aus den in den beiden Clustern enthaltenen Objekten gedanklich alle Paare konstruiert, die aus jedem der beiden Cluster ein Objekt enthalten. Für jedes dieser Paare wird in der üblichen Weise die Distanz berechnet. Das arithmetische Mittel der Distanzen wird als Distanz zwischen den beiden Clustern angesehen. ¾ Linkage innerhalb der Gruppen: Hierbei werden sämtliche Paare betrachtet, die sich aus den in den beiden Clustern enthaltenen Objekten bilden lassen. Dies beinhaltet auch solche Paare, die aus zwei Objekten desselben Clusters bestehen. Für jedes Paar wird die Distanz berechnet, und das arithmetische Mittel aller Distanzen ergibt die Distanz zwischen den beiden Clustern. 325 ¾ Nächstgelegener Nachbar: Aus jedem der beiden Cluster wird nur ein Objekt betrachtet. Es werden die beiden Objekte ausgewählt, zwischen denen die ge- 324 An dieser Stelle wird nicht die Maßzahl zum Quantifizieren der (Un-)Ähnlichkeit (wie zum Beispiel die quadrierte Euklidische Distanz) gewählt, sondern das Verfahren, nach dem diese Maßzahl für Cluster mit mehr als einem Objekt berechnet wird. Siehe hierzu ausführlicher Abschnitt , Messung der Ähnlichkeit von Clustern, S Die Maßzahl selbst können Sie in der Gruppe Maß auswählen (s.u.). 325 Diese Methode bewirkt somit, daß auf jeder Stufe des Agglomerationsprozesses die beiden Cluster zusammengefaßt werden, bei denen die durchschnittliche Distanz innerhalb des durch das Zusammenfassen neu entstehenden Clusters möglichst gering ist.