Fakultät für Physik Jan von Delft, Katharina Stadler, Frauke Schwarz T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 2013/14.

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2 Fakultät für Physik Jan von Delft, Katharina Stadler, Frauke Schwarz T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 013/14 Nachklausur: T0 Datum: Dienstag Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studiengang: ECTS-Punkte: 9 / 6 (zutreffendes umkreisen) Übungsgruppe: Jede Aufgabe ist auf einem eigenen Blatt zu lösen. Wer kariert-liniertes Schreibpapier bevorzugt, möge das entsprechende Deckblatt vom Klausurpaket abreissen und hinter jedes zu beschreibende Blatt legen das Muster scheint durch! Extra Blätter: sind hinten beigefügt; weitere sind auf Nachfrage von aufsichtführenden Personen erhältlich; sollten oben links nicht beschrieben werden, um Platz zum Tackern lassen; sollten (auf jedem Blatt) mit Ihrem Namen und der Nummer der darauf bearbeiteten Aufgabe versehen werden; sollten den Korrektoren mittels dem Vermerk SIEHE EXTRABLATT auf der entsprechenden Seite des Klausurpakets mitgeteilt werden (sonst werden sie übersehen!); sollten bei Abgabe von einer aufsichtführenden Person hinten an das Klausurpaket angetackert werden. Achten Sie darauf, dass alle relevanten Blätter abgegeben werden. Fehlende Aufgaben werden mit null Punkten bewertet. Es sind keine Hilfsmittel erlaubt. Bearbeitungszeit, Gesamtpunktzahl: Bachelor (9 ECTS-Punkte): 180 min für 1 Aufgaben, insgesamt 60 Punkte Lehramt und Nebenfach (6 ECTS-Punkte): 10 min für 8 Aufgaben, ingesamt 40 Punkte Für Lehramt und Nebenfach: Es dürfen beliebige 8 der 1 Aufgaben bearbeitet werden; die ersten 8 befassen sich mit dem für Lehramt und Nebenfach relevanten Stoff. Werden mehr als 8 Aufgaben bearbeitet, dann wird die Gesamtpunktzahl aus der Summe der besten 8 gebildet. Aufgabe Summe Punktzahl Erreichte Punktzahl Korrektor

3 Aufgabe 1: Gradient, Divergenz und Rotation in kartesischen Koordinaten (a) (3 Punkte) Betrachten Sie das Skalarfeld f : R \(0, 0) T R f(r) = y r, r = x + y. (i) Geben Sie den Einheitsvektor in Richtung maximaler Steigung am Punkt r = (x, y) T an. (ii) Wie lautet hier der Einheitsvektor in Richtung der Konturlinien? (iii) Wie lautet die Gleichung y(x) für die Konturlinie auf der Höhe f(r) = H mit 0 < H < 1? xy (b) ( Punkte) Gegeben ist nun das Vektorfeld v(r) = xz. Bestimmen Sie das Vektoreld w(r) = v(r) sowie die Divergenz von w(r). x 1

4 Aufgabe : Orthonormalbasis Gegeben sind drei Vektoren v 1 = 1, v = 1, v 3 = (a) (1 Punkt) Zeigen Sie, dass die drei Vektoren v 1, v und v 3 linear unabhängig sind. (b) (,5 Punkte) Wenden Sie das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren an, um aus diesen Vektoren eine Orthonormalbasis zu konstruieren. (c) (1,5 Punkte) Wie sieht die Darstellung des Vektors a = 3v 1 v 3 als Linearkombination der in (b) erhaltenen orthonormalen Basisvektoren aus?

5 Aufgabe 3: Lineare Abbildungen (a) (3 Punkte) Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen (bezüglich der Standardbasis) von folgenden linearen Abbildungen in drei Dimensionen: (i) A: Rotation um die z-achse um den Winkel π gegen den Uhrzeigersinn. (ii) B: Streckung um einen Faktor 3 in z-richtung. Auf welchen Punkt x wird der Punkt x = (, 1, 3) T durch die Abbildung A abgebildet? Ist die Matrix der Abbildung AB orthogonal? (Begünden Sie Ihre Antwort!) (b) ( Punkte) Gegeben sind die Vektoren v 1 = 1, v = 1, v 3 = Durch die lineare Abbildung C werden diese Vektoren auf die Vektoren 0 0 ṽ 1 = 1, ṽ = 3, ṽ 3 = 1. 1 abgebildet. (i) Drücken Sie die Vektoren der Standardbasis e 1, e und e 3 durch Linearkombinationen von v 1, v und v 3 aus. Auf welche Vektoren wird die Standardbasis durch die lineare Abbildung C abgebildet? (ii) Wie lautet die Matrixdarstellung der Abbildung C bezüglich der Standardbasis? 3

6 Aufgabe 4: Invertierbarkeit und Diagonalisierung einer Matrix Gegeben ist die Matrix ( A = 1 a + 1 a ), a R. (a) (1 Punkt) Für welche Werte von a ist die Matrix A nicht invertierbar? (b) (3 Punkte) Bestimmen Sie die Eigenwerte λ j und die zugehörigen Eigenvektoren v j von A (j = 1, ). (c) (1 Punkt) Für welche Werte von a sind die Eigenwerte entartet? Welchen Wert nehmen die Eigenwerte dann an? Bonus: (d) (1 Bonus-Punkt) Geben Sie die diagonalisierende Ähnlichkeitstransformation S für A, sowie deren Inverse S 1 an, so dass S 1 AS eine diagonale Matrix ist. 4

7 Aufgabe 5: Wegintegral Eine Murmel rollt eine Murmelbahn hinab, deren zeitlicher Verlauf γ(t) in Zylinderkoordinaten gegeben ist über wobei t [0, t f ]. ( ) t ρ(t) = H, t f φ(t) = ωt mit ω = 8π, t f ( ( ) ) t z(t) = H 1, (a) (1,5 Punkte) Skizzieren Sie den qualitativen Verlauf der Bahn. Überlegen Sie sich hierzu, wie der Radius ρ mit der Höhe z zusammenhängt und wieviele Umdrehungen umlaufen werden. (b) ( Punkte) Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit v(t). (c) (1,5 Punkte) Bestimmen Sie die Arbeit W = dr F(r), die das Kraftfeld der Gravitation γ F(r) = mge z entlang der Bahn leistet, indem Sie das Wegintegral explizit berechnen. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. t f 5

8 Aufgabe 6: Volumen einer Flasche Die Form einer zylindersymmetrischen Flasche (kleine Skizze), mit Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z), sei wie folgt durch Angabe der Höhe als Funktion des Radius definiert (die große Skizze zeigt einen Querschnitt entlang der z-achse): h(ρ) = { 4 für ρ < π cot(ρ ) + 3 für π < ρ < 3π z 4 h(ρ) Bestimmen Sie das Volumen der Flasche. 3π π 0 π 3π ρ (a) (1.5 Punkte) Geben Sie zunächst die Integrationsbereiche für ρ, φ und z für das Volumenintegral an. (b) (3.5 Punkte) Berechnen Sie nun explizit das Volumen V. Vereinfachen Sie Ihr Ergebnis soweit wie möglich. Hinweis 1: Die Fallunterscheidung in h(ρ) führt zur Aufteilung des Volumenintegrals in eine Summe von zwei separat zu berechnenden Volumenintegralen. Hinweis : Es gilt cot x = cos x sin x. Die Stammfunktion von dx cot x lautet ln sin(x). 6

9 Aufgabe 7: Taylor-Reihe und Lagrange-Multiplikatoren (a) ( Punkte) Bestimmen Sie die Taylorreihe der Funktion f(x) = e x+y (x, y) = (0, 0) bis einschließlich Ordnung O (x, y, xy). um den Punkt (b) (3 Punkte) Ein Ellipsoid sei definiert durch x a + y b + z c = 1. (1) Betrachten Sie einen Quader, dessen Eckpunkte auf dem Ellipsoid liegen und dessen Kanten parallel zu den Symmetrieachsen des Ellipsoids ver- P laufen. Wie ist der Eckpunkt P = (x p, y p, z p ) T des Quaders, der im positiven Quadranten liegt (x p > 0, y p > 0, z p > 0), zu wählen, damit das Volumen des Quaders maximal wird? Was ist der Wert des maximalen Volumens? Hinweis: Maximieren Sie hierzu das Volumen des Quaders, V (x p, y p, z p ) = 8 x p y p z p, unter der Nebenbedingung, dass der Punkt P auf dem durch Gleichung (1) definierten Ellipsoid liegen muss. 7

10 Aufgabe 8: Differentialgleichung mit Substitution und Separation der Variablen (a) Finden Sie die Lösung der Differentialgleichung Bonus: Gehen Sie wie folgt vor: y (x) = sin x y tan x, für x [0, π [ und y(0) = 0. () (i) (3 Punkte) Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung durch die Substitution y(x) = [ln u(x)] cos x in eine separable Differentialgleichung für u(x) übergeht. Sie dürfen dabei annehmen, dass u(x) > 0. Wie lautet die Anfangsbedingung für u(0)? (ii) ( Punkte) Lösen Sie die separable Differentialgleichung für u(x), und folgern Sie daraus die gesuchte Lösung y(x) von Gleichung (). Verwenden Sie hierzu die Stammfunktion ˆ tan x = ln(cos x) + const. für x [0, π [. (3) (b) (1 Bonus-Punkt) Zeigen Sie nun explizit durch Integration mittels Substitution, dass Gleichung (3) gilt. 8

11 Aufgabe 9: Lineare Differentialgleichung (a) ( Punkte) Finden Sie explizit die Lösung der homogenen Differentialgleichung, ẍ + ẋ = 0, mit den Anfangsbedingungen x(0) = 0 und ẋ(0) = 1. Hinweis: Am schnellsten findet man die Lösung mit einem Exponentialansatz. (b) (3 Punkte) Die Greensche Funktion ist hier definiert durch die Differentialgleichung (d t + d t )G(t)=δ(t). Zeigen Sie, dass G(t) = θ(t)x(t) mit x(t) = 1 (1 e t ) diese definierende Gleichung erfüllt. 9

12 Aufgabe 10: Fourier-Reihe Gegeben ist die Funktion f : I R, x f(x) = x, wobei I = [ π, π ]. (a) (1 Punkt) Skizzieren Sie die Funktion. (b) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der Funktion f(x), d. h. finden Sie die Fourier-Koeffizienten f k in der Darstellung f(x) = 1 e ikx fk, L wobei L die Länge des Intervalls ist, auf dem f(x) definiert ist, und k = πn, mit n Z. L k 10

13 Aufgabe 11: Satz von Stokes Gegeben ist eine Fläche S mit der Form einer umgestülpten Schüssel (siehe Skizze), in Kugelkoordinaten definiert über r (θ, φ) = R a(θ) e r mit a(θ) = (1 14 ) cos θ, θ [0, π ], φ [0, π[, Querschnitt entlang z-achse z r(θ, φ) θ R 3-dimensionale Ansicht von schräg oben und ein Vektorfeld V(r, θ, φ) = sin φ e r. (a) (1 Punkt) Berechnen Sie V(r, θ, φ). Hinweis: Die Rotation eines Vektorfeldes A = A r e r + A θ e θ + A φ e φ ist gegeben über 1 ] A = e r [ θ (sin θa φ ) φ A θ r sin θ +e θ 1 r [ 1 ] sin θ φa r r (ra φ ) +e φ 1 r [ r (ra θ ) θ A r ]. (b) (,5 Punkte) Berechnen Sie das Flächenintegral Φ = ds ( V ) explizit. Hierfür S dürfen Sie verwenden, dass das Flächenelement ds der Fläche S gegeben ist über ( ds = R a (θ) sin θe r 1 ) 4 a(θ) sin θ e θ dθdφ (4) (c) (1,5 Punkt) Berechnen Sie das Flächenintegral Φ = ds ( V ), indem Sie es mit S Hilfe des Satz von Stokes in ein Wegintegral über den Rand der Fläche umschreiben und dieses explizit berechnen. Hinweis 1: Der Rand der Fläche ist ein Kreis mit Radius R in der xy-ebene und kann daher parametrisiert werden über r(φ) = Re r, θ = π und φ [0, π[. Hinweis : Es gilt: φ e r = sin θ e φ Bonus: (d) (1 Bonus-Punkt) Berechnen Sie das Flächenelement ds explizit, beweisen Sie also die Angabe in Gleichung (4). Hinweis: Sie dürfen folgende Relationen verwenden: e r e θ = e φ und zyklisch permutiert. θ e r = e θ, φ e r = sin θ e φ, 11

14 Aufgabe 1: Residuensatz Betrachten Sie folgendes Integral: I = 1 πi ˆ dω f(ω) mit f(ω) = e iωt (ω + 1) (ω i). (a) (1 Punkt) Finden Sie die Pole der Funktion f(z) in der komplexen Ebene. Um Pole welcher Ordnung handelt es sich? (b) (.5 Punkt) Berechnen Sie für die Funktion f(z) das Residuum für jeden der Pole. Hinweis: Für einen Pol n-ter Ordnung z 0 berechnet sich das Residuum um z = z 0 über Res (f(z), z 0 ) = 1 (n 1)! lim z z 0 d n 1 ( dz n 1 ) (z z 0 ) n f(z) (c) (1.5 Punkte) Berechnen Sie das Integral I = 1 dω f(ω), indem Sie das Integral für πi t < 0 in der unteren Halbebene und für t > 0 in der oberen Halbebene zu einem Konturintegral in Form eines Halbkreises mit Radius R schließen und dieses Konturintegral berechnen. Skizzieren Sie die Kontur und die von ihr eingeschlossenen Pole. Sie dürfen verwenden, dass das Konturintegral dasselbe Ergebnis wie das Integral I auf der reellen Achse liefert. Bonus: (d) (1 Bonus-Punkt) Warum muss das Konturintegral für t < 0 in der unteren Halbebene und für t > 0 in der oberen Halbebene geschlossen werden? 1

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