Organisatorisches. Warum formale Modellierung? Modellierung Das Prinzip. Modellierung Beispiele. Modellierung Beispiele. Arten der Modellierung

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1 Organisatorisches Veranstalter: Formale Modellierung Vorlesung 1 vom : Einführung Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2015 Christoph Lüth christoph.lueth@dfki.de MZH 3110, Tel Termine: Vorlesung: Montag, 16 18, MZH 1470 Übung: Donnerstag, 14 16, MZH 5210 Webseite: 16:21: [17] 2 [17] Warum formale Modellierung? Modellierung Das Prinzip Modell?! Welt Modell Modell Grundlegendes Prinzip der Naturwissenschaften Die Vasa, 10. August [17] 4 [17] Modellierung Beispiele Modellierung Beispiele 2Mg + O 2 2MgO x(t) = v 0 t cos(β) y(t) = v 0 t sin(β) g 2 t2 5 [17] 6 [17] Modellierung Beispiele Arten der Modellierung Physikalischen Systeme: Modellierung durch kontinuierliche Mathematik (Analysis, DGL) Frage: wie modellieren wir Programme und ihr Verhalten? Modellierung von Programmen: Berechenbarkeitsbegriff Turing-Maschinen, rekursive Funktionen,... ( ) 2 ( ) 3 T1 a1 = Modellierung der Eigenschaften: formale Logik T 2 a 2 Formale Logik ist die Grundlage der Modellierung in der Informatik 7 [17] 8 [17]

2 Was ist mit der UML? Lernziele Allgemeine Modellierungssprache für problemorientierte Spezifikationen 1. Modellierung Formulierung von Eigenschaften Ziel ist nicht der Beweis von Eigenschaften Nur bestimmte Aspekte sind formal Als Grundlage nicht geeignet 2. Beweis Formaler Beweis der Eigenschaften 3. Spezifikation und Verifikation Eigenschaften von Programmen 9 [17] 10 [17] Themen Der Theorembeweiser Isabelle Formale Logik: Aussagenlogik (A B, A B), Prädikatenlogik ( x.p) Formales Beweisen: natürliches Schließen Induktion, induktive Datentypen, Rekursion Berechenbarkeitsmodelle Die Gödel-Theoreme Spezifikation und Verifikation: Formale Modellierung von Programmen Temporale Logik Modellprüfung Interaktiver Theorembeweiser Entwickelt in Cambridge und München Est (?), ca. 500 Benutzer Andere: PVS, Coq, ACL-2 Vielfältig benutzt: VeriSoft (D) L4.verified (AUS) SAMS (Bremen) 11 [17] 12 [17] Formale Logik Geschichte Gottlob Frege ( ) Formale (symbolische) Logik: Rechnen mit Symbolen Programme: Symbolmanipulation Auswertung: Beweis Curry-Howard-Isomorphie: funktionale Programme = konstruktiver Beweis Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (1879) Georg Cantor ( ), Bertrand Russel ( ), Ernst Zermelo ( ) Einfache Mengenlehre: inkonsistent (Russel s Paradox) Axiomatische Mengenlehre: Zermelo-Fränkel David Hilbert ( ) Hilbert s Programm: mechanisierte Beweistheorie Kurt Gödel ( ) Vollständigkeitssatz, Unvollständigkeitssätze 13 [17] 14 [17] Grundbegriffe der formalen Logik Ableitbarkeit Th P Syntaktische Folgerung Gültigkeit Th = P Semantische Folgerung Klassische Logik: P P Entscheidbarkeit Aussagenlogik Konsistenz: Th Nicht alles ableitbar Vollständigkeit: jede gültige Aussage ableitbar Prädikatenlogik erster Stufe Unvollständigkeit Gödels 1. Unvollständigkeitssatz: Jede Logik, die Peano-Arithmetik formalisiert, ist entweder inkonsistent oder unvollständig. Gödels 2. Unvollständigkeitssatz: Jede Logik, die ihre eigene Konsistenz beweist, ist inkonsistent. Auswirkungen: Hilbert s Programm terminiert nicht. Programme nicht vollständig spezifierbar. Spezifikationssprachen immer unvollständig (oder uninteressant). Mit anderen Worten: Es bleibt spannend. 15 [17] 16 [17]

3 Nächste Woche Aussagenlogik Erstes Übungsblatt 17 [17]

4 Heute Einführung in die formale Logik Formale Modellierung Vorlesung 2 vom : Aussagenlogik und natürliches Schließen Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2015 Aussagenlogik Beispiel für eine einfache Logik Guter Ausgangspunkt Natürliches Schließen Wird auch von Isabelle verwendet. Buchempfehlung: Dirk van Dalen: Logic and Structure. Springer Verlag, :21: [17] 2 [17] Fahrplan Teil I: Formale Logik Einführung Aussagenlogik (PL): Syntax und Semantik, Natürliches Schließen Konsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik Prädikatenlogik (FOL): Syntax und Semantik Konsistenz & Vollständigkeit von FOL FOL mit induktiven Datentypen FOL mit rekursiven Definitionen Logik höherer Stufe (HOL): Syntax und Eigenschaften Berechungsmodelle (Models of Computation) Die Unvollständigkeitssätze von Gödel Teil II: Spezifikation und Verifikation Formalisierung von Aussagen Beispielaussagen: 1. John fuhr weiter und stieß mit einem Fußgänger zusammen. 2. John stieß mit einem Fußgänger zusammen und fuhr weiter. 3. Wenn ich das Fenster öffne, haben wir Frischluft. 4. Wenn wir Frischluft haben, dann ist = 4 5. Wenn = 4, dann haben wir Frischluft. 6. John arbeitet oder ist zu Hause. 7. Euklid war ein Grieche oder ein Mathematiker. Probleme natürlicher Sprache: Mehrdeutigkeit Synonyme Versteckte (implizite) Annahmen 3 [17] 4 [17] Formale Logik Beispiel für eine Logik Ziel: Formalisierung von Folgerungen wie Wenn es regnet, wird die Straße nass. Nachts ist es dunkel. Sprache L = {,,, } Es regnet. Es ist hell. Schlußregeln: Also ist die Straße nass. Eine Logik besteht aus Einer Sprache L von Formeln (Aussagen) Einer Semantik, die Formeln eine Bedeutung zuordnet Schlußregeln (Folgerungsregeln) auf den Formeln. Also ist es nicht nachts. Aus folgt Aus folgt Aus und folgt α Beispielableitung: gilt immer β γ δ Damit: Gültige ( wahre ) Aussagen berechnen. 5 [17] 6 [17] Aussagenlogik Wann ist eine Formel gültig? Sprache Prop gegeben durch: 1. Variablen (Atome) V Prop (Menge V gegeben) 2. Prop 3. Wenn φ, ψ Prop, dann φ ψ Prop φ ψ Prop φ ψ Prop φ ψ Prop 4. Wenn φ Prop, dann φ Prop. NB. Präzedenzen: vor vor vor, Semantische Gültigkeit = P Übersetzung in semantische Domäne Variablen sind wahr oder falsch Operationen verknüpfen diese Werte Syntaktische Gültigkeit P Formale Ableitung Natürliches Schließen Sequenzenkalkül Andere (Hilbert-Kalkül, gleichungsbasierte Kalküle, etc.) 7 [17] 8 [17]

5 Semantik Semantische Gültigkeit und Folgerung Domäne: {0, 1} (0 für falsch, 1 für wahr) Definition (Semantik aussagenlogischer Formeln) Für Valuation v : V {0, 1} ist [[ ]] v : Prop {0, 1} definiert als [[w]] v = v(w) (mit w V ) [[ ]] v = 0 [[φ ψ]] v = min([[φ]] v, [[ψ]] v ) [[φ ψ]] v = max([[φ]] v, [[ψ]] v ) [[φ ψ]] v = 0 [[φ]] v = 1 und [[ψ]] v = 0 [[φ ψ]] v = 1 [[φ]] v = [[ψ]] v Semantische Gültigkeit: = φ = φ gdw. [[φ]] v = 1 für alle v Semantische Folgerung: sei Γ Prop, dann Γ = ψ gdw. [[ψ]] v = 1 wenn [[φ]] v = 1 für alle φ Γ [[ φ]] v = 1 [[φ]] v 9 [17] 10 [17] Beweisen mit semantischer Folgerung Die Wahrheitstabellenmethode: Berechne [[φ]] v für alle Möglichkeiten für v Beispiel: = (φ ψ) ( ψ φ) Syntakische Gültigkeit: Natürliches Schließen Sprache L = {,,, } Schlußregeln: φ ψ φ ψ ψ φ ψ φ (φ ψ) ( ψ φ) α β γ [ ]. δ Problem: Aufwand exponentiell 2 a zur Anzahl a der Atome Beispielableitung: Vorteil: Konstruktion von Gegenbeispielen 11 [17] 12 [17] Natürliches Schließen (ND) für Aussagenlogik Natürliches Schließen Die Regeln Vorgehensweise: φ ψ φ ψ I φ ψ φ E L φ ψ ψ E R 1. Erst Kalkül nur für,, 2. Dann Erweiterung auf alle Konnektive. Für jedes Konnektiv: Einführungs- und Eliminationsregel NB: konstruktiver Inhalt der meisten Regeln [φ]. ψ φ ψ I φ φ φ ψ ψ [φ ]. φ E raa 13 [17] 14 [17] Die fehlenden Konnektive Die fehlenden Schlußregeln Einführung als Abkürzung: [φ] φ = def φ φ ψ φ ψ def = ( φ ψ) def = (φ ψ) (ψ φ). φ φ φ I E φ φ ψ I L ψ φ ψ I R φ ψ [φ]. σ σ [ψ]. σ E Ableitungsregeln als Theoreme. φ ψ ψ φ I φ ψ φ φ ψ ψ E L ψ φ ψ φ E R 15 [17] 16 [17]

6 Zusammenfassung Formale Logik formalisiert das (natürlichsprachliche) Schlußfolgern Logik: Formeln, Semantik, Schlußregeln (Kalkül) Aussagenlogik: Aussagen mit,,,, als abgeleitete Operatoren Semantik von Aussagenlogik [[ ]] v : Prop {0, 1} Natürliches Schließen: intuitiver Kalkül Nächste Woche: Konsistenz und Vollständigkeit von Aussagenlogik 17 [17]

7 Fahrplan Teil I: Formale Logik Formale Modellierung Vorlesung 3 vom : Konsistenz und Vollständigkeit der Aussagenlogik Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2015 Einführung Aussagenlogik (PL): Syntax und Semantik, Natürliches Schließen Konsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik Prädikatenlogik (FOL): Syntax und Semantik Konsistenz & Vollständigkeit von FOL FOL mit induktiven Datentypen FOL mit rekursiven Definitionen Logik höherer Stufe (HOL): Syntax und Eigenschaften Berechungsmodelle (Models of Computation) Die Unvollständigkeitssätze von Gödel Teil II: Spezifikation und Verifikation 16:21: [12] 2 [12] Das Tagesmenü Eigenschaften der Aussagenlogik (PL) Γ φ vs. Γ = φ: Korrektheit Konsistenz Vollständigkeit Eigenschaften der Aussagenlogik Prop bildet eine Boolesche Algebra: = (φ ψ) σ φ (ψ σ) = (φ ψ) σ φ (ψ σ) = φ ψ ψ φ = φ ψ ψ φ = φ (ψ σ) (φ ψ) (φ σ) = φ (ψ σ) (φ ψ) (φ σ) = (φ ψ) φ ψ = (φ ψ) φ ψ = φ φ φ = φ φ φ = φ φ 3 [12] 4 [12] Eigenschaften der Aussagenlogik Rechnen in Prop: Substitutivität: wenn = φ 1 φ 2, dann = ψ [ ] [ φ1 p ψ φ2 ] p für Atom p. Sei φ ψ gdw. = φ ψ, dann ist eine Äquivalenzrelation Damit: algebraisches Umformen als Beweisprinzip Beispiele: = (φ (ψ σ)) (φ ψ σ) = φ ψ φ Anwendung: konjunktive und disjunktive Normalformen (CNF/DNF) Eigenschaften der Aussagenlogik Operatoren durch andere definierbar: = (φ ψ) (φ ψ) (ψ φ) = (φ ψ) ( φ ψ) = φ ψ ( φ ψ) = φ ψ ( φ ψ) = φ ψ ( φ ψ) = φ (φ ) = (φ φ) = (φ φ) (, ) und (, ) sind ausreichend (functional complete) Ein Operator reicht: A B (Sheffer-Strich), A B (weder-noch) 5 [12] 6 [12] Korrektheit (Soundness) Γ φ: Ableitbarkeit Γ = φ: semantische Wahrheit Ist alles wahr, was wir ableiten können? (Korrektheit) Ist alles ableitbar, was wahr ist? (Vollständigkeit) Theorem 1 (Korrektheit von ND in der Aussagenlogik) Wenn Γ φ, dann Γ = φ Beweis: Induktion über der Ableitung Γ φ Nützliches Korollar: Γ = φ dann Γ φ Konsistenz Nur konsistente Logiken (Mengen von Aussagen) sind sinnvoll. Definition 2 (Konsistenz) Menge Γ von Aussagen konsistent gdw. Γ Lemma 3 (Charakterisierung von Konsistenz) Folgende Aussagen sind äquivalent: (i) Γ konsistent (ii) Es gibt kein φ so dass Γ φ und Γ φ (iii) Es gibt ein φ so dass Γ φ (iv) Γ inkonsistent (Γ ) (v) Es gibt ein φ so dass Γ φ und Γ φ (vi) Für alle φ, Γ φ 7 [12] 8 [12]

8 Maximale Konsistenz Eigenschaften maximal konsistenter Mengen Wenn Γ {φ} inkonsistent, dann Γ φ (Beweis: I) Wenn es v gibt so dass [[ψ]] v = 1 für ψ Γ, dann Γ konsistent. Definition 4 (Maximale Konsistenz) Γ maximal konsistent gdw. (i) Γ konsistent, und (ii) wenn Γ Γ und Γ konsistent, dann Γ = Γ Lemma 5 (Konstruktion maximal konsistenter Mengen) Für jedes konsistente Γ gibt es maximal konsistentes Γ mit Γ Γ Wenn Γ { φ} inkonsistent, dann Γ φ (Beweis: raa) Lemma 6 Wenn Γ maximal konsistent, dann geschlossen unter Ableitbarkeit: Γ φ dann φ Γ. Wenn Γ maximal konsistent ist, dann: (i) entweder φ Γ oder φ Γ (ii) φ ψ Γ gdw. φ, ψ Γ (iii) φ ψ Γ gdw. (wenn φ Γ dann ψ Γ) 9 [12] 10 [12] Vollständigkeit Zusammenfassung Lemma 7 Wenn Γ konsistent, dann gibt es v so dass [[φ]] v = 1 für φ Γ. Damit: Wenn Γ φ dann gibt es v so dass [[ψ]] v = 1 für ψ Γ, [[φ]] v = 0. Wenn Γ φ dann Γ = φ. Theorem 8 (Vollständigkeit von ND in der Aussagenlogik) Wenn Γ = φ, dann Γ φ Aus Entscheidbarkeit von = folgt Entscheidbarkeit von Aussagenlogik ist eine Boolesche Algebra. Äquivalenzumformung als Beweisprinzip Aussagenlogik und natürliches Schließen sind korrekt und vollständig. Beweis der Vollständigkeit: maximale Konsistenz Konstruktion des Herbrand-Modells, Aufzählung aller (wahren, ableitbaren) Aussagen Ausagenlogik ist entscheidbar: für Γ und φ, Γ φ oder Γ φ. Nächste VL: Prädikatenlogik 11 [12] 12 [12]

9 Fahrplan Teil I: Formale Logik Formale Modellierung Vorlesung 4 vom : Prädikatenlogik erster Stufe Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2015 Einführung Aussagenlogik (PL): Syntax und Semantik, Natürliches Schließen Konsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik Prädikatenlogik (FOL): Syntax und Semantik Konsistenz & Vollständigkeit von FOL FOL mit induktiven Datentypen FOL mit rekursiven Definitionen Logik höherer Stufe (HOL): Syntax und Eigenschaften Berechungsmodelle (Models of Computation) Die Unvollständigkeitssätze von Gödel Teil II: Spezifikation und Verifikation 16:21: [16] 2 [16] Das Tagesmenü Eine Beispielspezifikation Das Flugbuchungssystem Von Aussagenlogik zur Prädikatenlogik Logik mit Quantoren Semantik der Prädikatenlogik Natürliches Schließen mit Quantoren Das Flugbuchungssystem soll eine Menge von Flügen verwalten, Anfragen beantworten und Buchungen vornehmen. Ein Flug hat einen Startflughafen und ein Zielflughafen (durch ihr IATA-Kürzel repräsentiert), eine eindeutige Kennung, einen Starttermin, eine Ankunftsermin, sowie eine Anzahl von verfügbaren Plätzen. Eine Flugbuchung für einen durch die Flugnummer und Starttermin identifizierten Flug soll eine Anzahl von Plätzen auf diesem Flug reservieren. Sind die verfügbaren Plätze für einen Flug erschöpft, können keine weiteren Buchungen vorgenommen werden. Eine Anfrage besteht aus den Daten (Start, Ziel, Datum) für einen Flug, und liefert die Anzahl freier Plätze auf diesem Flug zurück. 3 [16] 4 [16] Beschränkungen der Aussagenlogik Prädikatenlogik: Erweiterung der Sprache Beschränkung der Aussagenlogik: Die Menge unserer Atome ist unstrukturiert und flach. Wir können nicht zwischen Logik (Meta-Ebene) und Objekt unterscheiden. Wir können keine strukturellen Eigenschaften beschreiben. Wir können keine Aussagen über Existenz von Objekten machen. Ziel: Formalisierung von Aussagen wie Ein Flug hat eine eindeutige Kennung. Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates sterblich. Alle Zahlen sind ein Produkt von Primfaktoren. Terme beschreiben die zu formalisierenden Objekte. Formeln sind logische Aussagen. Eine Signatur Σ beschreibt Prädikate und Funktionen: Prädikatensymbole: P 1,..., P n, = mit Arität ar(p i ) N, ar( =) = 2 Funktionssymbole: f1,..., f m mit Arität ar(t i ) N Menge X von Variablen (abzählbar viele) Konnektive:,,,, abgeleitet:,,,, Die Trennung zwischen Termen und Formeln ist der wesentliche Abstraktionsschritt in der Prädikatenlogik. 5 [16] 6 [16] Terme Formeln Menge Form Σ der Formeln (zur Signatur Σ) gegeben durch: Menge Term Σ der Terme (zur Signatur Σ) gegeben durch: FormΣ Variablen: X Term Σ Funktionssymbol f Σ mit ar(f ) = n und t1,..., t n Term Σ, dann f (t 1,..., t n ) Term Σ Sonderfall: n = 0, dann ist f eine Konstante, f Term Σ Wenn φ FormΣ, dann φ Form Σ Wenn φ, ψ FormΣ, dann φ ψ Form Σ, φ ψ Form Σ, φ ψ Form Σ, φ ψ Form Σ Wenn φ FormΣ, x X, dann x.φ Form Σ, x.φ Form Σ Prädikatensymbol p Σ mit ar(p) = m und t1,..., t m Term Σ, dann p(t 1,..., t m ) Form Σ Sonderfall: t 1, t 2 Term Σ, dann t 1 = t 2 Form Σ 7 [16] 8 [16]

10 Freie und gebundene Variable Definition (Freie und gebundene Variablen) Variablen in t Term, p Form sind frei, gebunden, oder bindend: (i) x bindend in x.φ, x.ψ (ii) Für x.φ und x.φ ist x in Teilformel φ gebunden (iii) Ansonsten ist x frei FV(φ): Menge der freien Variablen in φ Beispiel: (q(x) x. y.p(f (x), z) q(a)) r(x, z, g(x)) Formel (Term) s geschlossen, wenn FV(s) = Abschluss einer Formel: Cl(φ) = z 1... z k.φ für FV(φ) = {z 1,..., z k } Semantik: Strukturen Definition (Struktur A zur Signatur Σ) A = (A, f, P) mit (i) A nicht-leere Menge (Universum) (ii) für f Σ mit ar(f ) = n, n-stellige Funktion f A : A n A (iii) für P Σ mit ar(p) = n, n-stellige Relation P A A n Für a A, Konstante a Term Σ Damit Auswertung von geschlossenen Termen: [[ ]] A : Term Σ A [[a]] A = a [[f (t 1,..., t n ]] A = f A ([[t 1 ]] A,..., [[t n ]] A ) 9 [16] 10 [16] Semantische Gültigkeit Auswertung von Formeln: [[ ]] A : Form Σ {0, 1} [[ ]] A = 0 [[ φ]] A = 1 [[φ]] A [[φ ψ]] A = min([[φ]] A, [[ψ]] A ) [[φ ψ]] A = max([[φ]] A, [[ψ]] A ) [[φ ψ]] A = max(1 [[φ]] A, [[ψ]] A ) [[φ ψ]] A = 1 [[φ]] A [[ψ]] A { 1 [[t1 ]] [[P(t 1,..., t n )]] A = A,..., [[t n ]] A P A 0 sonst { 1 [[t1 ]] [[t 1 = t 2 ]] A = A = [[t 2 ]] A 0 sonst [[ x.φ]] A = min({[[φ [ a x] ]]A a A}) [[ x.φ]] A = max({[[φ [ a x] ]]A a A}) Syntaktische Gültigkeit: Natürliches Schließen Die alten Regeln blieben ( I, E, I, E L, E R, raa,,... ) Mutatis mutandis: FormΣ statt Prop Dazu benötigen wir Regeln für die Quantoren. Zu behandelnde Probleme: Substitution Bindung Damit semantische Gültigkeit (Wahrheit): A = φ gdw. [[Cl(φ)]] A = 1, = φ gdw. A = φ für alle A 11 [16] 12 [16] Substitution t [ s x] ist Ersetzung von x durch s in t Definiert durch strukturelle Induktion: y [ { s] def s x = y x = y x y f (t 1,..., t n ) [ s] def [ x = f (t s [ 1 x],..., s tn x] ) [ s] def x = (φ ψ) [ s] def x = φ [ s [ x] ψ s ] x (φ ψ) [ s] def x = φ [ s [ x] ψ s ] x P(t 1,..., t n ) [ s] def [ x = P(t s [ 1 x],..., s tn x] ) y.φ x = y ( y.φ) [ s] y.(φ [ s x] ) x y, y FV (s) def x = z.((φ [ z [ y] ) s x] ) x y, y FV(s) mit z FV(s) FV(φ) (z frisch) Natürliches Schließen mit Quantoren φ x.φ I ( ) x.φ φ [ t] E ( ) x (*) Eigenvariablenbedingung: x nicht frei in offenen Vorbedingungen von φ (x beliebig) ( ) Ggf. Umbenennung durch Substitution Gegenbeispiele für verletzte Seitenbedingungen 13 [16] 14 [16] Der Existenzquantor φ [ t] x.φ x I ( ) x.φ x.φ = def x. φ (*) Eigenvariablenbedingung: x nicht frei in ψ, oder einer offenenen Vorbedingung außer φ ( ) Ggf. Umbenennung durch Substitution ψ [φ]. ψ E ( ) Zusammenfassung Prädikatenlogik: Erweiterung der Aussagenlogik um Konstanten- und Prädikatensymbole Gleichheit Quantoren Semantik der Prädikatenlogik: Strukturen Bilden Operationen und Prädikate der Logik ab Das natürliche Schließen mit Quantoren Variablenbindungen Umbenennungen bei Substitution Eigenvariablenbedingung Das nächste Mal: FOL at work, FOL in Isabelle Nächste VL: Vollständigkeit 15 [16] 16 [16]

11 Organisatorisches Formale Modellierung Vorlesung 5 vom : Eigenschaften der Prädikatenlogik erster Stufe Christoph Lüth Die Übung am Donnerstag, fällt aus! Universität Bremen Sommersemester :21: [15] 2 [15] Fahrplan Das Tagesmenü Teil I: Formale Logik Einführung Aussagenlogik (PL): Syntax und Semantik, Natürliches Schließen Konsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik Prädikatenlogik (FOL): Syntax und Semantik Konsistenz & Vollständigkeit von FOL FOL mit induktiven Datentypen FOL mit rekursiven Definitionen Logik höherer Stufe (HOL): Syntax und Eigenschaften Berechungsmodelle (Models of Computation) Die Unvollständigkeitssätze von Gödel Wiederholung: natürliches Schließen mit FOL Regeln für die Gleichheit Beispiele: Graphen, natürliche Zahlen Vollständigkeit von FOL Unentscheidbarkeit von FOL Teil II: Spezifikation und Verifikation 3 [15] 4 [15] Natürliches Schließen mit Quantoren Der Existenzquantor φ x.φ I ( ) x.φ φ [ t] E ( ) x x.φ = def x. φ [φ] (*) Eigenvariablenbedingung: x nicht frei in offenen Vorbedingungen von φ (x beliebig) φ [ t] x.φ x I ( ) x.φ ψ. ψ E ( ) ( ) Ggf. Umbenennung durch Substitution Gegenbeispiele für verletzte Seitenbedingungen (*) Eigenvariablenbedingung: x nicht frei in ψ, oder einer offenenen Vorbedingung außer φ ( ) Ggf. Umbenennung durch Substitution 5 [15] 6 [15] Regeln für die Gleichheit Reflexivität, Symmetrie, Transitivität: x = x refl x = y y = x sym x = y y = z trans x = z Wiederholung: Konsistenz und Vollständigkeit Korrektheit: wenn Γ φ dann Γ = φ Beweis: Induktion über Struktur der Ableitung Kongruenz: x 1 = y 1,..., x n = y n f (x 1,..., x n ) = f (y 1,..., y n ) cong Konsistenz: wenn Γ = φ dann Γ φ Beweis: Konstruktion der maximal konsistenten Theorie Substitutivität: x 1 = y 1,..., x m = y m P(x 1,..., x m ) P(y 1,..., y m ) subst Wenn Γ konsistent, gibt es Valuation die Γ wahr macht. Frage:Korrektheit und Konsistenz für Prädkatenlogik? 7 [15] 8 [15]

12 Korrektheit des natürlichen Schließens Lemma 1 (Korrektheit von ND) Wenn Γ φ, dann Γ = φ Beweis: Induktion über der Ableitung Γ φ Neu hier: Fall x.φ(x) Beweis folgt durch Definition von A = x.φ(x) Vorbereitende Definitionen Definition 2 (Theorien, Henkin-Theorien) (i) Eine Theorie ist eine unter Ableitbarkeit geschlossene Menge T Form Σ (ii) Henkin-Theorie: Für jedes x.φ(x) T gibt es Witness c mit x.φ(x) φ(c) T Definition 3 T ist konservative Erweiterung von T wenn T Σ(T ) = T Alle Theoreme in T in der Sprache von T sind schon Theoreme in T Beispiel:,, und volle Aussagenlogik Lemma 4 (Konservative Erweiterung bewahrt Konsistenz) T konsistent, T konservative Erweiterung, dann T konsistent. 9 [15] 10 [15] Maximal konsistente Theorien Konstruktion maximal konsistenter Theorien Definition 5 Sei T Theorie zur Signatur Σ: Σ = Σ {c φ x.φ(x) T } T = T { x.φ(x) φ(c φ ) x.φ(x) geschlossen } Lemma 6 T konservative Erweiterung von T Lemma 7 Sei T Theorie, und seien T 0 = T, T n+1 = T n, T ω = n 0 T n Dann ist T ω eine Henkin-Theorie und konservativ über T Lemma 8 (Lindenbaum) Jede konsistente Theorie ist in einer maximal konsistenten Theorie enthalten (Henkin-Erweiterung) 11 [15] 12 [15] Vollständigkeit von ND Entscheidbarkeit Lemma 9 (Existenz von Modellen) Wenn Γ konsistent, dann hat Γ ein Modell. Beweis: Maximal konsistente Henkin-Erweiterung als Modell Herbrand-Modell, universelles Term-Modell Korrollar: Wenn Γ φ, dann Γ = φ Theorem 10 (Vollständigkeit von ND) Γ φ gdw. Γ = φ Theorem 11 (Kompaktheit) Γ hat ein Modell gdw. jede endliche Teilmenge Γ hat ein Modell Aus Vollständigkeit folgt nicht Entscheidbarkeit: Theorem 12 (Church) Prädikatenlogik ist unentscheidbar. Beweis: Kodierung eines unentscheidbaren Theorie in FOL Hier: Kodierung von Turing-Maschinen konstruiere Formel U so dass U gdw. Turing-Maschine M akzeptiert Eingabe w 13 [15] 14 [15] Zusammenfassung Prädikatenlogik erster Stufe (FOL) Natürliches Schließen in FOL: Substitution und Eigenvariablenbedingung. FOL ist konsistent, vollständig, aber nicht entscheidbar. 15 [15]

13 Fahrplan Teil I: Formale Logik Formale Modellierung Vorlesung 6 vom : FOL mit induktiven Datentypen und Rekursion Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2015 Einführung Aussagenlogik (PL): Syntax und Semantik, Natürliches Schließen Konsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik Prädikatenlogik (FOL): Syntax und Semantik Konsistenz & Vollständigkeit von FOL FOL mit induktiven Datentypen FOL mit rekursiven Definitionen Logik höherer Stufe (HOL): Syntax und Eigenschaften Berechungsmodelle (Models of Computation) Die Unvollständigkeitssätze von Gödel Teil II: Spezifikation und Verifikation 16:21: [12] 2 [12] Das Tagesmenü Die natürlichen Zahlen Modellierung natürlicher Zahlen als Beispiel für einen induktiven Datentyp Der einfachste Datentyp Aber hinreichend (Turing-mächtig) Beweis durch Induktion und Gleichungen Modelle der natürlichen Zahlen Wie in FOL formulieren? Axiomatisch Was sind die Modelle? 3 [12] 4 [12] Regeln für die Gleichheit Reflexivität, Symmetrie, Transitivität: Kongruenz: x = x refl x = y y = x sym x = y y = z trans x = z x 1 = y 1,..., x n = y n f (x 1,..., x n ) = f (y 1,..., y n ) cong Axiomatisierung der natürlichen Zahlen Axiome (erster Versuch): x. s(x) 0 x. y. s(x) = s(y) x = y x. x 0 y. x = s(y) x. 0 + x = x x. y. s(x) + y = s(x + y) (N1) (N2) (N3) (A1) (A2) Substitutivität: x 1 = y 1,..., x m = y m P(x 1,..., x m ) P(y 1,..., y m ) subst Beweise in ND (N1)(N2)(A1)(A2) x. s(0) + x = s(x) 5 [12] 6 [12] Modelle für Presburger-Arithmetik Induktionsschema Angefangen mit 0 und s Axiome (N1), (N2) Füge hinzu: (N3) und x.x s }.{{.. } s(x) (K n ) n Mehrere Kopien von N weg, Zyklen weg Z bleibt. N is das Standardmodell. Alle anderen Strukturen N + Z, N + Z + Z,... sind Nichtstandardmodelle. Axiome für die Multiplikation: x 0 = 0 x s(y) = x y + x Induktionsschema: (P(0) x.p(x) P(s(x))) x.p(x) P($) Formelschema def $ ausgezeichnetes, neues Symbol ( Loch ) und P(t) = P($) [ ] t $ (M1) (M2) (ISNat) 7 [12] 8 [12]

14 Hilft das Induktionsschema zum Beweisen? Und was ist mit den Modellen? Es gelten: (N1), (N2), (ISNat) (N3) (N1), (N2), (ISNat) (K n ) Ist Z jetzt weg? Sei PA = def (N1), (N2), (ISNat)+ neues Symbol und Axiome 0, s(0), s(s(0)),... Beweise in ND (N1)(N2)(A1)(A2)(ISNat) x. x + 0 = x... und auch (N1)(N2)(A1)(A2)(ISNat) x. y. x + s(y) = s(x + y)... und auch (N1)(N2)(A1)(A2)(ISNat) x. y. x + y = y + x Theorem (Kompaktheit) Γ hat ein Modell gdw. jede endliche Teilmenge Γ hat ein Modell Theorem (Löwenheim-Skolem Theorem) Wenn FOL-Theorie T ein unendliches Modell M hat, dann hat es Modelle beliebiger Größe (Kardinalität). Also hat PA Modell, das aber größer ist als N Es kann in FOL keine Axiomatiserung für N geben, die keine Nichtstandardmodelle hat 9 [12] 10 [12] Axiomatisierungen der natürlichen Zahlen Zusammenfassung Presburger-Arithmetik 5 Axiome: (N1)(N2)(A1)(A2)(ISNat) Konsistent und vollständig Entscheidbar (Aufwand 2 2 cn, n Länge der Aussage) Enthält Nichtstandardmodelle Jede Axiomenmenge zur Formalisierung der Natürlichen Zahlen hat Nichtstandardmodelle Induktionsschema für erzeugte Datentypen Peano-Arithmetik 7 Axiome: (N1)(N2)(A1)(A2)(M1)(M2)(ISNat) Konsistent, aber unvollständig (bzgl. Standard-Modellen) Strukturelle Induktionsschema Einfach, aber zum Beweisen zu rigide Enthält Nichtstandardmodelle Nicht entscheidbar 11 [12] 12 [12]

15 Fahrplan Teil I: Formale Logik Formale Modellierung Vorlesung 7 vom : FOL mit Induktion und Rekursion Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2015 Einführung Aussagenlogik (PL): Syntax und Semantik, Natürliches Schließen Konsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik Prädikatenlogik (FOL): Syntax und Semantik Konsistenz & Vollständigkeit von FOL FOL mit induktiven Datentypen FOL mit rekursiven Definitionen Logik höherer Stufe (HOL): Syntax und Eigenschaften Berechungsmodelle (Models of Computation) Die Unvollständigkeitssätze von Gödel Teil II: Spezifikation und Verifikation 16:21: [11] 2 [11] Das Tagesmenü Beweis der Eigenschaften von Funktion Beweis von Eigenschaften von Funktionen mit FOL-ND Rekursive Funktionen und wohlfundierte Induktion Terminierende Funktionen und abgeleitete Induktionsschemata Definiere und half: x.0 x x. y.x y s(x) s(y) half(0) = 0 half(s(0)) = 0 x. half(s(s(x))) = s(half(x)) (L1) (L2) (H1) (H2) (H3) Axiomatische Definition von Theorien ist gefährlich Beweise (Presburger)(L1)(L2)(H1)(H2)(H3) x. half(x) x 3 [11] 4 [11] Mehr Information Besser zum beweisen wäre wenn man gleich hätte [ ] half(c) c half(0) 0 half(s(0)) s(0) x. half(x) x. half(s(s(c))) s(s(c)) Wohlfundierte Induktion Wohlfundiertes Induktionsschema ( y.( x.x < y P(x)) P(y)) x.p(x) Vergleiche: half(0) = 0 (H1) half(s(0)) = 0 x. half(s(s(x))) = s(half(x)) Generiere Induktionschema aus rekursiven Funktionsdefinitionen [ ] P(c) P(0) P(s(0)). P(s(s(c))) (H2) (H3) < wohlfundierte Relation: X N.X x X. y X. (y < x) x.p(x) 5 [11] 6 [11] Beweis mit wohlfundierter Induktion <-Relation x.0 < s(x) x, y.x < y s(x) < s(y) Zulässige Induktionsschema Wann darf man die Rekursionsstruktur verwenden? Definierte Funktion muss... eindeutig definiert sein und... Beweise < ist wohlfundiert [ x.x < c half(x) x c = 0 c = 0 c = s(0). u.c = s(s(u)) half(c) c [ ] x.x < c P(x) []. P(c) x.p(x) x.x < c half(x) x c = s(0). half(c) c x. half(x) x [] x.x < c half(x) x u.c = s(s(u)). half(c) c ] P i P j, i j terminierend P 0 f (x 1,..., x n ) = t 0. P n f (x 1,..., x n ) = t n Rekursive Definition nach wohlfundierter Relation garantiert Terminierung Für jeden atomaren, rekursiven Aufruf f (t 1,..., t n ) erzeuge Terminierungshypothese P i (x 1,..., x n ) > (t 1,..., t n ) 7 [11] 8 [11]

16 Grenzen x.x < 101 f (x) = f (f (x + 11)) x. (x < 101) f (x) = x 10 f terminiert immer f ist { x 10 if x > 100 f (x) := 91 if x 100 Definition der geeigneten wohlfundierten Relation extrem schwierig. f (99) = f ( f ( ) ) = f (100) = f ( f ( ) ) = f (101) = 91 f (87) = f ( f ( 9 8 ) ) = f ( f ( f ( ) ) ) = f ( f ( 9 9 ) ) = f ( f ( f ( ) ) ) = f ( f ( ) ) = f ( f ( f ( ) ) ) = f ( f ( ) ) = f (91) = f ( f ( ) ) = f (92) = f ( f ( ) ) = f (93).... e t c... = f (99) ( s i e h e l i n k s ) = 91 9 [11] 10 [11] Zusammenfassung Strukturelle Induktionsschema Einfach, aber zum Beweisen zu rigide Wohlfundiertes Induktionsschema Mächtig und flexibel, wenig Hilfestellung beim Beweisen Wohlfundierte Relation aus Rekursionsstruktur terminierender Funktionen Angepasst an Beweisproblem und vorhandene Definitionsgleichungen Terminierungsbeweis notwendig (einfache Fälle automatisierbar, i.a. unentscheidbar) Axiomatisierung von Hand fehleranfällig Kernkonzept in Isabelle: konservative Erweiterung Dazu nötig: Rekursion und Induktion als abgeleitetes Prinzip 11 [11]

17 Fahrplan Formale Modellierung Vorlesung 8 vom : Logik Höherer Stufe Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2015 Alles über Logik höherer Stufe (Higher-order Logic, HOL): Typen und Terme Die Basis-Axiome Definierte Operatoren 16:21: [16] 2 [16] Fahrplan Teil I: Formale Logik Einführung Aussagenlogik (PL): Syntax und Semantik, Natürliches Schließen Konsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik Prädikatenlogik (FOL): Syntax und Semantik Konsistenz & Vollständigkeit von FOL FOL mit induktiven Datentypen FOL mit rekursiven Definitionen Logik höherer Stufe (HOL): Syntax und Eigenschaften Berechungsmodelle (Models of Computation) Die Unvollständigkeitssätze von Gödel Teil II: Spezifikation und Verifikation Logik höherer Stufe Ziel: Formalisierung von Mathematik Logik für Erwachsene Problem: Mögliche Inkonsistenz (Russel s Paradox) Lösung: Restriktion vs. Ausdrucksstärke Alternative Grundlagen: Andere Typtheorien (Martin-Löf, Calculus of Constructions) Ungetypte Mengenlehre (ZFC) HOL: guter Kompromiss, weit verbreitet. Klassische Logik höherer Stufe nach Church Schwächer als ZFC, stärker als Typtheorien 3 [16] 4 [16] Warum Logik höherer Stufe? Vermeidung von Inkonsistenzen Aussagenlogik: keine Quantoren Logik 1. Stufe: Quantoren über Terme x y. x = y y = x Logik 2. Stufe: Quantoren über Prädikaten und Funktionen P.(P 0 x.p x P (S x)) x.p x Logik 3. Stufe: Quantoren über Argumenten von Prädikaten Logik höherer Stufe (HOL): alle endlichen Quantoren Keine wesentlichen Vorteile von Logik 2. Ordnung Russell s Paradox R = {X X X} Abhilfe: Typen Gödel s 2. Unvollständigkeitssatz: Jede Logik, die ihre eigene Konsistenz beweist, ist inkonsistent. Unterscheidung zwischen Termen und Aussagen Dadurch in HOL keine Aussage über HOL 5 [16] 6 [16] Typen Terme Typen Type gegeben durch Terme Term gegeben durch Typkonstanten: c C Type (Menge C Type durch Signatur gegeben) Prop, Bool C Type: Prop alle Terme, Bool alle Aussagen Typvariablen: α V Type (Menge V Type fest) Funktionen: s, t Type dann s t in Type Konstanten: c C (Menge C durch Signatur gegeben) Variablen: v V Applikation: s, t Term dann s t Term Abstraktion: x V, t Term dann λx. t Term Konvention: Funktionsraum nach rechts geklammert α β γ für α (β γ) Konventionen: Applikation links geklammert, mehrfache Abstraktion λx y z. f x y z für λx. λy. λz. ((f x) y) z 7 [16] 8 [16]

18 Basis-Syntax = :: α α Bool :: Bool Bool Bool ι :: (α Bool) α :: Bool Bool :: Bool :: Bool if :: Bool α α α :: (α Bool) Bool :: (α Bool) Bool :: Bool Bool Bool :: Bool Bool Bool Einbettung (wird weggelassen) trueprop :: Bool Prop Basis-Operatoren: =,, ι Syntaktische Konventionen: Bindende Operatoren:,, ι x.p (λx.p) Infix-Operatoren:,,, = Mixfix-Operator: if b then p else q if b p q Basis-Axiome I: Gleichheit Reflexivität: Substitutivität: Extensionalität: t = t refl s = t P s subst P t f x = g x ext ( ) (λx. f x) = (λx. g x) ( ) Eigenvariablenbedingung: x nicht frei in offenen Vorbedingungen Einführungsregel: (P Q) (Q P) (P = Q) iff 9 [16] 10 [16] Abgeleitete Operatoren Basis-Axiome II: Implikation und Auswahl (λx. x) = (λx. x) P (P = λx. ) P Q.( x.p x Q) Q P. P P P P Q R. (P Q R) R P Q R. (P R) (Q R) R if P then x else y ιz.(p = z = x) (P = z = y) Einführungsregel Implikation: [P]. Q P Q impl Eliminationsregel Implikation: P Q Q P mp Eliminationsregel Auswahloperator: (ιx.x = a) = a the_eq HOL ist klassisch: (P = ) (P = ) true_or_false 11 [16] 12 [16] Die Basis-Axiome (Isabelle-Syntax) Eigenschaften der Logik höherer Stufe refl : t = t subst : [[s = t; P(s)]] = P(t) ext : [[ x.fx = gx]] = (λx.fx) = (λx.gx) impl : [[P = Q]] = P Q mp : [[P Q; P]] = Q iff : (P Q) (Q P) (P = Q) the_eq : (ιx.x = a) = a true_or_false : (P = ) (P = ) Konsistent (soweit wir wissen) Unvollständig... und damit unentscheidbar Beweis: folgt aus den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen 13 [16] 14 [16] Erweiterungen Zusammenfassung Weitere Operatoren Weitere Typen: natürliche Zahlen, Datentypen Alle Erweiterungen sind konservativ und damit konsistenzbewahrend Logik höherer Stufe (HOL): Syntax basiert auf dem einfach getypten λ-kalkül Drei Basis-Operatoren, acht Basis-Axiome Rest folgt durch konservative Erweiterung Donnerstag 15 [16] 16 [16]

19 Fahrplan Teil I: Formale Logik Formale Modellierung Vorlesung 9 vom : Berechnungsmodelle Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2015 Einführung Aussagenlogik (PL): Syntax und Semantik, Natürliches Schließen Konsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik Prädikatenlogik (FOL): Syntax und Semantik Konsistenz & Vollständigkeit von FOL FOL mit induktiven Datentypen FOL mit rekursiven Definitionen Logik höherer Stufe (HOL): Syntax und Eigenschaften Berechungsmodelle (Models of Computation) Die Unvollständigkeitssätze von Gödel Teil II: Spezifikation und Verifikation 16:21: [13] 2 [13] Fahrplan für heute Die Churchsche Behauptung Eine Behauptung von Church Registermaschinen Rekursiv definierbare Funktionen Universelle Berechenbarkeit Church s Thesis (1936) Intuitiv berechenbare Funktionen sind genau die durch Rekursion definierbaren. Nicht beweisbar: das Konzept intuitiv berechenbar ist nicht formalisierbar. Aber: es gibt sehr viele, unterschiedliche (und meist voneinandar unabhängig gefundene) formale Definition von Berechenbarkeit, die alle gleich mächtig sind. Es spricht alles für die Churchsche Behauptung. 3 [13] 4 [13] Registermaschinen Variation von Turing-Maschinen, konzeptionell etwas einfacher. Registermaschinen (Minsky) Sequenz von Registern R 1, R 2,..., die natürliche Zahlen enthalten Programm besteht aus: Endliche Anzahl von Zuständen S 0, S 1, S 2,..., und für i > 0, Anweisung (S 0: terminaler Zustand) Anweisungen: (j, +, k) (j,, k, l) R j 1 S i S k R j + 1 S i S k S l Erhöhe R j um 1 und gehe zu S k Wenn R j = 0, gehe zu S l ; ansonsten verringere R j um 1 und gehe zu S k. Beispielprogramme Programm 1: Programm 2: 1: (1,, 1, 2) 2: (2,, 3, 0) 3: (1, +, 2) 1: (3,, 1, 2) 2: (2,, 3, 6) 3: (3, +, 4) 4: (1, +, 5) 5: (1, +, 2) 6: (3,, 7, 0) 7: (2, +, 6) R 1 := R 2; R 2 := 0 R 3 := 0; R 1 := R R 2 ; R 2 := R 2 5 [13] 6 [13] Berechenbarkeit durch Registermaschine NB: Jede Registermaschine hat endlich viele Register, aber Gesamtanzahl unbeschränkt. Eine Registermaschine R berechnet eine Funktion f : N k N (mit einem Programm P), wenn beim Start (von S 1 ) mit Registerinhalt (n 1, n 2,..., n k, 0,...) die Maschine schließlich mit Registerinhalt f (n 1,..., n k ) in R 1 anhält. Aber welche Funktionen sind berechenbar? 7 [13] Theorem 1: Berechenbare Funktionen (i) Die Projektionen π i (n 1,..., n k ) = n i ist berechenbar. (ii) const 0 : N N und succ : N N sind berechenbar. (iii) Komposition: Sei f mit Arität k berechenbar, und g 1,..., g k mit Arität l berechenbar, dann ist h berechenbar: h = def f (g 1 (n 1,..., n l ),..., g k (n 1,..., n l )) (iv) Rekursion: Seien f und g berechenbar mit Arität k bzw. k + 2, dann ist h berechenbar: h(n 1,..., n k, 0) = def f (n 1,..., n k ) h(n 1,..., n k, n k+1 + 1) = def g(n 1,..., n k, n k+1, h(n 1,..., n k, n k+1 )) (v) Minimalisierung (µ-operator): Sei f berechenbar mit Arität k + 1, dann ist g berechenbar: g(n 1,..., n k ) = n mit f (n 1,..., n k, n) = 0 und m. m < n f (n 1,..., n k, m) > 0 8 [13]

20 Berechenbarkeit, Rekursion, Primitive Rekursion Primitiv rekursive Funktionen: kleinste unter (i) (iv) abgeschlosene Klasse von Funktionen Rekursive Funktionen: kleinste unter (i) (v) abgeschlossene Klasse von Funktionen Primitiv rekursive Funktionen sind total, aber nicht jede totale rekursive Funktion ist primitiv rekursiv. (Gegenbeispiel: Ackermann) Es gilt der Umkehrschluss: Theorem 2 Jede rekursive Funktion ist berechenbar. Kodierung von Programmen Programme können durch Zahlen kodiert werden (Gödel-Kodierung): (j, +, k) 2 j 5 k (j,, k, l) 2 j 3 5 k 7 l i 1,..., i n 2 i1 3 i2... p in n 1 Notation: f n,k ist die durch n kodierte Funktion der Arität k. Theorem 3 (Universelle Funktionen) Es gibt universelle rekursive Funktion u so dass u(n, k, m) = r wenn n ein Programm kodiert, k ein k-tupel (m 1,..., m k ) und f n,k (m 1,..., m k ) = r, und ansonsten u(n, k, m) undefiniert. 9 [13] 10 [13] Rekursive Funktionen und Peano-Arithmetik Weitere Modelle von Berechenbarkeit Turing-Maschinen (remember those?) Theorem 4 (Rekursion ist PA) Jede rekursive Funktion ist in PA definierbar. Ohne Multiplikation funktioniert der Beweis nicht. Deshalb: nicht jede rekursive Funktion in Presburger-Arithmetik definierbar. Chomsky-Grammatiken (Typ 0) λ-kalkül Kombinatorlogik π-kalkül Neuronale Netze Gegenbeispiel: Aktoren (Carl Hewitt) Literaturlage nicht eindeutig [13] 12 [13] Zusammenfassung Behauptung von Church: intuitiv berechenbare Funktionen sind genau durch Turing-Maschinen berechenbare. Vielzahl von formalen Berechnungsmodellen, welche die gleiche Mächtigkeit haben. Wir haben gesehen: Registermaschinen Rekursive Funktionen In Peano-Arithmetik definierbare Funktionen Beweis der Mächtigkeit durch Kodierung: Berechnungen können in Zahlen kodiert werden Damit universelle Berechnungen (Compiler!) möglich Nächste Woche: Grenzen der Beweisbarkeit die Gödelschen Unvollständigkeitssätze 13 [13]

21 Fahrplan Teil I: Formale Logik Formale Modellierung Vorlesung 10 vom : Die Unvollständigkeitssätze von Gödel Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2015 Einführung Aussagenlogik (PL): Syntax und Semantik, Natürliches Schließen Konsistenz & Vollständigkeit der Aussagenlogik Prädikatenlogik (FOL): Syntax und Semantik Konsistenz & Vollständigkeit von FOL FOL mit induktiven Datentypen FOL mit rekursiven Definitionen Logik höherer Stufe (HOL): Syntax und Eigenschaften Berechungsmodelle (Models of Computation) Die Unvollständigkeitssätze von Gödel Teil II: Spezifikation und Verifikation 16:21: [16] 2 [16] Das Tagesmenü Gödels erster Unvollständigkeitssatz Jede konsistente Theorie, die hinreichend expressiv ist, um die natürlichen Zahlen zu formalisieren, erlaubt die Formulierung von wahren Aussagen, die weder beweisbar noch widerlegbar sind. Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze Zu jeder Formel ϕ gibt es eine natürliche Zahl, die diese Formel eindeutig kodiert ϕ Zu jedem ND-Beweis D für ϕ gibt es eine natürliche Zahl, die diesen Beweis eindeutig kodiert D Beweisbarkeit von ϕ in N ist als Prädikat Provable( ϕ ) formalisierbar in PA Konstruktion einer Formel mit Aussage Ich bin nicht beweisbar ϕ Prov( ϕ ) 3 [16] 4 [16] Gödel-Kodierung Folgende Funktion ist definierbar in PA: (n, m) = def 2 n 3 m Es gibt eindeutige Projektionen (ebenfalls definierbar in PA): Gödel-Kodierung für Terme Signatur Σ = (F, P), Variablen X Variablen x 1, x 2, X: xi def = (0, i) Left((n, m)) = n Right((n, m)) = m Funktionen f 1, F: Kodierung von Sequenzen (p k ist die k-te Primzahl): fi def = (1, i) n 0,..., n k 1 = def 2 n0+1 3 n1+1 5 n2+1 p nk 1+1 k Alternative Definition nach Cantor: (n, m) = n + m2 + 3x + 2y 2 Terme fi (t 1,... t n ) def = f i, t1,... tn 5 [16] 6 [16] Gödel-Kodierung für Formeln Signatur Σ = (F, P), Variablen X Prädikate p 1, P, = def p 1, = = def p 2 Atome Konnektive und Quantoren pi def = (2, i) pi (t 1,... t n ) def = p i, t1,... tn = (3, 1), = (3, 2), = (3, 3) = (3, 4), = (3, 5), = (3, 6), = (3, 7) Gödel-Kodierung für Formeln II Signatur Σ = (F, P), Variablen X ϕ = (, ϕ ) ψ ϕ =, ψ, ϕ mit {,,, } Q x i. ϕ = Q, x i, ϕ mit Q {, } Lemma 1 (Eigenschaften der Gödel-Kodierung) Sei G = def { ϕ ϕ Variable, Term, oder Formel } G ist entscheidbar n = ϕ : ϕ = n ist eindeutig definiert auf G Substitutionsfunktion subst(n, x, t) = m definierbar auf G ϕ[t/x] = subst( ϕ, x, t ) 7 [16] 8 [16]

22 Gödel-Kodierung für Ableitungen Gödel-Kodierung für Ableitungen Gödel Kodierung für Hypothesen Liste: [ϕ1,..., ϕ n ] { 1 if n = 0 = (4, ϕ 1 ),..., (4, ϕn ) if n > 0 if h = 1 n h if h = (4, n) h = ((4, n), m) n m if h = ((4, q), m), (q = n) D 1 φ D2 ψ φ ψ I = (5, D ), 1 D φ, 2 ψ, φ ψ D φ ψ E φ L = (6, ), D φ ψ, φ Definition von Konkatenation und Streichen von Hypothesen 9 [16] 10 [16] Gödel-Kodierung für Ableitungen Gödel-Kodierung für Ableitungen D 1 φ D ψ φ ψ I D 2 φ ψ ψ = (5, ), E = (6, ), D ψ D 1 φ,, φ ψ D 2 φ ψ, ψ Entsprechend für RAA, I, E Definiere Der(p, h, z): p ist Beweis für z aus Hypothesen h Der(p, h, z) = def (4, z) h Hypothese p 1, h 1, z 1, p 2, h 2, z 2. Der(p 1, h 1, z 1 ) Der(p 2, h 2, z 2 ) h = h 1 h 2 p = (5, ), p 1, p 2, z 1 z 2 p 1, h 1, z 1, u. Der(p 1, h 1, z 1 ) h = Streiche(u, h 1 ) p = (5, ), p 1, u z 2... I I 11 [16] 12 [16] Beweisbarkeit Fixpunkt-Theorem Peano-Axiome + Erweiterung: PA Sei Ax : N Prädikat Ax(n) n = ϕ ϕ PA Prov(p, f ): p is Gödelnummer eines ND-Beweis für f Prov(p, f ) h.(der(p, h, f ) g.g h Ax(g)) Theorem 2 (Fixpoint Theorem) For each formula ϕ(x) with only one free variable x there exists a formula ψ such that ϕ( ψ ) ψ Thm(f ): f ist ein Theorem Thm(f ) p. Prov(p, f ) 13 [16] 14 [16] Gödels erster Unvollständigkeitssatz Jede konsistente Theorie, die hinreichend expressiv ist, um PA zu formalisieren erlaubt die Formulierung von wahren Aussagen, die weder beweisbar noch widerlegbar sind. Fixpunktsatz anwenden auf ϕ(x) = def Thm(x) Es gibt ψ so dass ψ Thm( ψ ) Gödel sentence: Ich bin nicht beweisbar Es gilt PA = ψ Thm( ψ ) Annahme: PA ψ, dann PA = Thm( ψ ) PA = x. Prov(x, ψ ) Prov(n, ψ ) for some n PA = Prov(n, ψ ) for some n ψ Thm( ψ ) PA = Thm( ψ ) Widerspruch also ist ψ wahr in PA, aber PA ψ Zusammenfassung Gödels erster Unvollständigkeitssatz Jede konsistente Theorie, die hinreichend expressiv ist, um die Peano-Arithmetik (PA) zu formalisieren, ist entweder konsistent oder unvollständig (erlaubt die Formulierung von wahren Aussagen, die weder beweisbar noch widerlegbar sind). Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz When PA konsistent ist, können wir die Konsistenz von PA nicht herleiten (PA Consis PA ). Beweis durch Kodierung von Formeln und Ableitbarkeit in PA Reflektion der Beweisbarkeit in einer Formel Konstruktion einer Formel mit der Aussage Ich bin nicht beweisbar 15 [16] 16 [16]

23 Fahrplan Formale Modellierung Vorlesung 11 vom : Formale Modellierung von Software Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2015 Teil I: Formale Logik Teil II: Spezifikation und Verifikation Formale Modellierung von Software Temporale Logik und Modellprüfung Zusammenfassung, Rückblick, Ausblick 16:21: [24] 2 [24] Das Tagesmenü Algebraische Spezikation Modellierung von Software: Spezifikation Modellierung des Verhaltens (nicht des Programmes) Ein weites Feld: Entwicklungsmodelle, Vorgehensmodelle,... Informelle Sprachen (UML) Hier: formale Spezifikation Idee: Spezifikation ist Signatur, Programme sind Algebren Mathematische Grundlage: universelle Algebra Geschichtliches: Entstanden um 1976 (ADJ-Gruppe) In den 80ern Vielzahl von algebraischen Sprachen Ende 90er Entwicklung der Einheitssprache CASL Beispielsprachen: CASL, OBJ, Maude 3 [24] 4 [24] Die Grundidee Ein klassisches Beispiel Ein Stack hat zwei Sorten und vier Operationen: Deklaration von Typen und Operationen in Signatur Gewünschte Eigenschaften als Axiome Semantik: lose (alle Algebren) vs. initial (Termalgebra) typedecl a stack axiomatization empty :: " a stack" push :: " a stack => a => a stack" pop :: " a stack => a stack" top :: " a stack => a" Axiome: pop und top invers zu push where a1: "top (push s x) = x" a2: "pop (push s x) = s" pop, top partiell? Keine Seiteneffekte 5 [24] 6 [24] Modellbasierte Spezifikation Das klassische Beispiel Grundidee: Konstruktion eines (nicht-ausführbaren) Modells Basiert auf konsistenter, ausdrucksstarker Logik: Mengenlehre (getypt, ungetypt), Typtheorie HOL Geschichtliches: VDM, entwickelt früher 70er (IBM-Labor Wien) Früher industrieller Einsatz Standardisierung in den 90ern (VDM, Z) Beispielsprachen: VDM, Z, B Der Stack modellbasiert: Sehr einfach der Stack ist eine Liste type_synonym a stack = " a list" definition empty :: " a stack" where "empty == []" definition push :: " a stack => a => a stack" where "push s a == a# s" definition pop :: " a stack => a stack" where "pop s == tl s" definition top :: " a stack => a" where "top s == hd s" 7 [24] 8 [24]

24 Vor- und Nachteile Weitere Modellierungssprachen Algebraische Spezifikationen: Abstrakter, leichter zu schreiben aber werden leicht inkonsistent JML light-weight oder code-based specification Modellbasierte Spezifikationen: UML semi-formal Konsistenz garantiert, ausdrucksmächtiger aber manchmal zu mächtig 9 [24] 10 [24] Java Modeling Language (JML) Zentral: funktionale Korrektheit Design by contract Spezifikation nahe am Code (Annotationen) Vor/Nachbedingungen, Invarianten Werkzeuge: ESC/Java2, Mobius JML: Erstes Beispiel public abstract class LinearSearch { //@ requires j >= 0; public abstract /*@ boolean f(int j); //@ ensures 0 <= \result; //@ ensures (\exists int j; 0 <= j && j <= \result; f(j)); public abstract /*@ int limit(); /*@ public requires (\exists int i; 0 <= i && i <= limit(); assignable ensures f(\result) (\forall int i; 0<= i && i < \result;! public int find() } 11 [24] 12 [24] UML als formale Spezifikationssprache Diagramme in UML 2.3 Diagrammtyp Modellierte Aspekte Formal Klassendiagramm Statische Systemstruktur Ja Paketdiagramm Pakete, Namensräume Nein Objektdiagramm Zustand von Objekten (Ja) Kompositionsstrukturdiagramm Kollaborationen Nein Komponentendiagramm Dynamische Systemstruktur (Nein) Verteilungsdiagramm Implementierungsaspekte Nein Use-Case-Diagramm Ablauf en gros Nein Aktivitätsdiagramm Ablauf en detail Nein Zustandsdiagramm Zustandsübergänge Ja Sequenzdiagramm Kommunikation Ja Kommunikationsdiagramm Struktur der Kommunikation (Ja) Zeitverlaufsdiagramm Echtzeitaspekte (Ja) Quelle: Wikipedia 13 [24] 14 [24] OCL OCL Basics Object Constraint Langauge Getypte Sprache Mathematisch präzise Sprache für UML Dreiwertige Logik OO meets Z Ausdrücke immer im Kontext: Entwickelt in den 90ern Formale Constraints an UML-Diagrammen Invarianten an Klassen, Interfaces, Typen Vor/Nachbedingungen an Operationen oder Methoden 15 [24] 16 [24]

25 OCL Syntax Undefiniertheit in OCL Invarianten: context class inv: expr Vor/Nachbedingungen: context Type :: op(arg1 : Type) : ReturnType pre: expr post: expr Undefiniertheit propagiert (alle Operationen strikt) Ausnahmen: Boolsche Operatoren (and, or beidseitig nicht-strikt) Fallunterscheidung Test auf Definiertheit: oclisundefined mit { true e = oclisundefined(e) = false otherwise expr ist ein OCL-Ausdruck vom Typ Boolean Resultierende Logik: dreiwertig 17 [24] 18 [24] Dreiwertige Logik OCL Typen Wahrheitstabelle (starke Kleene-Logik, K 3 ): Fun Fact: K 3 hat keine Tautologien Basistypen: Boolean, Integer, Real, String OclAny, OclType, OclVoid Collection types: Set, OrderedSet, Bag, Sequences Modelltypen Alternative: schwache Kleene-Logik (alle Operatoren strikt) 19 [24] 20 [24] Basistypen und Operationen Integer (Z) Real (R) Integer Subklasse von Real round, floor von Real nach Integer String (Zeichenketten) substring, toreal, tointeger, characters etc. Boolean (Wahrheitswerte) or, xor, and, implies Sowie Relationen auf Real, Integer, String Collection Types Set, OrderedSet, Bag, Sequence Operationen auf allen Kollektionen: Set Bag size, includes, count, isempty, flatten Kollektionen werden immer flachgeklopft union, intersection, union, intersection, count Sequence first, last, reverse, prepend, append 21 [24] 22 [24] Collection Types: Iteratoren Iteratoren: Funktionen höherer Ordnung Alle definiert über iterate : coll-> iterate(elem: Type, acc: Type= expr expr[elem, acc]) iterate(e: T, acc: T= v) { acc= v; for (Enumeration e= c.elements(); e.hasmoreelements();){ e= e.nextelement(); acc.add(expr[e, acc]); // acc= expr[e, acc] } return acc; } Zusammenfassung Formale Spezifikation definieren das Verhalten eines Softwaresystems Verschiedene Ansätze: Algebraische Spezifikation (axiomatisch, abstrakt) Modellbasierte Spezifikation (konkret, konsistent) Leichtgewichtige Spezifikation (annotierter Code) In der Praxis oft hybride Ansätze (z.b. UML) Iteratoren sind alle strikt 23 [24] 24 [24]

26 Fahrplan Formale Modellierung Vorlesung 12 vom : Temporale Logik und Modellprüfung Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2015 Teil I: Formale Logik Teil II: Spezifikation und Verifikation Formale Modellierung von Software Temporale Logik und Modellprüfung Zusammenfassung, Rückblick, Ausblick 16:21: [19] 2 [19] Organisatorisches Tagesmenu: Temporale Logik und Modellprüfung Modellierung des Programmes als endliche Zustandsmaschine Übung am Donnerstag fällt aus Ersatztermin? Abstraktion über Zuständen, Zustandsübergang als primäres Konzept Temporale Logik: Logik über Pfade von Zustandsübergängen Temporal im Sinne von tempus fugit 3 [19] 4 [19] Endliche Zustandsmaschine Definition (Finite State Machine, FSM) Eine FSM ist M = Σ, mit Σ eine endliche Menge von Zuständen, und Σ Σ eine Zustandsübergangsrelation, mit linkstotal: s Σ. s Σ. s s Varianten dieser Definition: Anfangszustände; Zustandsvariablen oder benannte Zustandsübergänge NB: Kein Endzustand, und keine Ein/Ausgabe (Unterschied zu Automaten) Wenn eine Funktion ist (rechtseindeutig), dann ist die FSM deterministisch, ansonsten nicht-deterministisch. Jede nicht-deterministische FSM kann durch die Power-State-Konstruktion deterministisch gemacht werden. Einfaches Beispiel Getränkemaschine für Kaffee Nimmt 10c oder 20c Münzen Kleiner Kaffe 10c, großer Kaffee 20c Nimmt nicht mehr als zwei Münzen Geldrückgabe 5 [19] 6 [19] Linear Temporal Logic (LTL) and Pfade Lineare Temporale Logik (LTL) LTL ist die Logik über Ausführungspfade in einer FSM. Wir definieren erst Pfade, dann LTL-Formeln, dann eine Erfülltheitsrelation. Definition (Pfade) Für eine FSM M = Σ, ist ein Pfad in M eine (unendliche) Sequenz s 1, s 2, s 3,... mit s i Σ und s i s i+1 für alle i. def Notation: Sei p = s 1, s 2, s 3,... ein Pfad, dann ist p i = s i (Selektion) und p i = def s i, s i+1,... (Suffix ab Position i). φ ::= q True, false, atomar φ φ 1 φ 2 φ 1 φ 2 φ 1 φ 2 Aussagenlog. Formeln X φ Nächster Zustand F φ Irgendwann G φ Immer φ 1 U φ 2 Bis Präzendenzen: unäre Operatoren; dann U; dann, ; dann. Eine atomare Formel p ist ein Zustandsprädikat. Andere (äquivalente) Möglichkeit: Zustände mit atomaren Prädikaten zu benennen (Kripke-Stuktur). Andere Operatoren wie φ R ψ (release) oder φ W ψ (schwaches until). 7 [19] 8 [19]