Wie kann man Mathematik nachhaltig lernen?

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1 Wie kann man Mathematik nachhaltig lernen? Prof. Dr. Regina Bruder Technische Universität Darmstadt TU Darmstadt

2 Gliederung 1. Problemsicht: Entwicklungspotenziale im aktuellen MU 2. Vorstellungen, wie Lernen (von Mathematik) funktioniert 3. Ziele, Inhalte und Gestaltungskonzepte für einen langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht

3 Problemsicht Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen)»Bewerber scheitern vielfach an der Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnen.«die Taschenrechner sind schuld! Projekt Notstand in Mathematik der IHK Braunschweig ( April 2010) extrem hohe Zahl von Studienabbrecherinnen und Abbrechern in den MINT- Studienfächern

4 Projekt: PALMA (vom Hofe et al)

5 Problemsicht Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen) Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke»Bewerber scheitern vielfach an der Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnen.«

6 Beispiel: Die Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen beträgt 434. Wie lauten diese drei Quadratzahlen? Erwartungshorizont: (n-1)² + n² + (n+1)² = 434 3n² +2 = 434 n² = 144 Alternative Schülerlösung mit EXCEL! Was fördert diese Aufgabe als Übungsaufgabe im Unterricht mit welcher Rahmung und was prüft eine solche Aufgabe in einem Test?

7 Warum gibt es Bedarf nach Weiterentwicklung der Aufgabenkultur? Leistungsstarke Lernende werden im deutschen MU zu wenig gefördert! PISA 2003: Im Problemlösetest bessere Leistungen als in Mathematik Projekt PALMA: Leistungen sind mitunter besser vor einer mathematischen Behandlung (z.b. Anteilsbestimmungen - Lottoaufgabe) TIMS-Videostudie: In der BRD werden am wenigsten komplexe Aufgaben im Unterricht gestellt

8 Forschungsergebnisse zum Arbeiten mit Aufgaben im MU 100 Prozent Typ 1 - Algebra Komplexere Aufgaben - Algebra Typ 1 - Geometrie Komplexere Aufgaben - Geometrie 0 USA Deutschland Japan TIMS-Videostudie: BRD,USA,Japan 22 h pro Land mit insgesamt ca Aufgaben (J.NEUBRAND, 2003)

9 Problemsicht Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen) Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke Weiterentwicklung der Aufgabenkultur ist nötig»bewerber scheitern vielfach an der Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnen.«(n-1)² + n² + (n+1)² = 434

10 Vision für modernen MU: Was soll durch den Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

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12 Was ist wesentlich? Orientierung an der Curriculumspirale Abstände Figuren erkennen untersuchen erzeugen variieren berechnen Datensätze beschreiben darstellen strukturieren Objekte (und Prozesse) optimieren Algebraische Aspekte: Zahl Geometrische Aspekte: Raum - z.b. bei Verpackungen

13 Langfristiger mathematischer Kompetenzaufbau kann angelegt werden - innerhalb eines Schuljahres über verschiedene Unterrichtsthemen bzw. Leitideen hinweg in horizontaler Verknüpfung (z.b. Abschätzaufgaben in verschiedenen Kontexten) - innerhalb einer Leitidee, aber vertikal mit fachlicher Anreicherung angelegt über mehrere Klassenstufen. (Beispiel: Entfernungs- bzw. Abstandsbestimmungen, Anteilsbestimmungen) Benötigt wird ein lernförderliches unterrichtliches Umfeld.

14 Was ist wesentlich? Horizontale Vernetzung mit semantischen Netzen im MU: Einstiege, Voraussetzungen Algebraische Aspekte Geometrische Aspekte Anwendungen Anwendungen Was kommt dann? Weiterungen

15 Phänomene Teaching to the test So kann man nicht wirklich Mathe lernen und verstehen: Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren erarbeiten üben - Test schreiben - vergessen neues Thema... Vernetzte Begriffswelten? Nein, Inselwelten... Schüler: Ach, die Atome im Physikunterricht sind dieselben wie in Chemie?

16 Problemsicht Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen) Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke Weiterentwicklung der Aufgabenkultur Kompetenzaufbau langfristig denken: horizontal und vertikal vernetzt»bewerber scheitern vielfach an der Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnen.«(n-1)² + n² + (n+1)² = 434

17 Exkurs: Kognitive Stile Wie lösen Sie die folgende Aufgabe? Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P außerhalb von g. Gesucht ist ein Punkt H so, dass H auf g liegt und man von H aus den Punkt P unter einem Winkel von 30 anpeilt.

18 Problemsicht Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen) Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke Weiterentwicklung der Aufgabenkultur Kompetenzaufbau langfristig denken: horizontal und vertikal vernetzt Berücksichtigung unterschiedlicher Leistungspotenziale, Lernstile, Grund-und Fehlvorstellungen»Bewerber scheitern vielfach an der Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnen.«(n-1)² + n² + (n+1)² = 434 -immer Gruppenarbeit und offene Aufgaben für alle? ( 4 verschiedene Lernstile nach Gregory,2005)

19 Kognitive Stile Es ist eine offensichtliche Tatsache, dass Schüler individuelle Präferenzen beim Lernen aufweisen jede Unterrichtssituation auf jeden Schüler jeweils anders von motivierend bis hemmend wirkt auch Lehrer individuelle Präferenzen aufweisen und sich daher fast automatisch gewisse Einseitigkeiten des Lehrens und Lernens einstellen Korrelationen bestehen zwischen dem Stil der Lehrer und ihren Schülern (Sternberg 1994) Diejenigen Schüler weisen bessere Noten auf, deren Stil demjenigen der Lehrer entspricht (Sternberg 1994) Neu: Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen als Ergebnis einer Metaanalyse (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005)

20 Lernstil der Beach Balls Self-Expressive Learners (Intuitive/Feeling)

21 Lernstil der Beach Balls Self-Expressive Learners (Intuitive/Feeling) Gestalte eine Veranschaulichung für einen Schlüsselbegriff der Unterrichtseinheit Experimentier- & Entdeckungsfreude Spontanität & Kreativität Gleichschrittanweisungen zu folgen, immer die gleichen Schreibarbeiten zu machen

22 Lernstil der Puppies Interpersonal Learners (Sensing/Feeling)

23 Lernstil der Puppies Interpersonal Learners (Sensing/Feeling) Intuitiv, affektiv Benötigen Begründung für das Lernen Haben Bedürfnis nach Zusammenarbeit Detailorientiert und gründlich zu sein Korrigiert zu werden oder ein negatives Feedback zu erhalten

24 Lernstil der Microscopes Understanding (Intuitive/Thinking)

25 Lernstil der Microscopes Understanding (Intuitive/Thinking) Beurteile folgende Aussagen, ob sie jeweils stets, manchmal oder niemals wahr sind. Begründe deine Beurteilung schriftlich. Denken analytisch, kritisch Lernen gründlich Arbeiten alleine Neue Dinge ausprobieren offene Probleme lösen Perfektionisten 1. Ein Trapez ist ein Rechteck. Begründung 2. Ein Viereck ist ein reguläres Polygon. 3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck. 4. Ein Trapez hat parallele Schenkel. 5. Diagonale eines Parallelogramms halbieren einander. 6. Ein Rechteck ist ein Quadrat. 7. Ein Quadrat ist ein Rechteck. 8. Eine Raute ist ein Rechteck. 9. Ein Parallelogramm hat exakt drei rechte Winkel. 10. Vier Seiten einer Raute und eines Parallelogramms sind gleich lang und vier Ecken einer Raute und eines Parallelogramms sind gleich groß.

26 Lernstil der Clipboards Mastery (Sensing/Thinking)

27 Lernstil der Clipboards Mastery (Sensing/Thinking) Routinen, vorhersagbare Situationen Sinn für Details & Genauigkeit Ohne Anweisungen arbeiten, das große Bild sehen

28 Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005) Keine Diagnostik und Zuordnung der Lernenden nach Lernstilen Dennoch: Zuordnung Lernstil =>Unterrichtsmethode (math tools) Idee: Durch Variation in den Aufgaben und Darstellungen finden alle Lernstile stärkere Berücksichtigung im Unterricht Annahme: Die Unterschiedlichkeit des Zuganges zum Unterrichtsgegenstand nutzt allen Lernenden mehr, als wenn sie nur ihrem eigenen Lernstil entsprechend unterrichtet würden.

29 Gliederung 1. Problemsicht: Entwicklungspotenziale im aktuellen MU 2. Vorstellungen, wie Lernen (von Mathematik) funktioniert 3. Ziele, Inhalte und Gestaltungskonzepte für einen langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht

30 Denken lernen und kritischer Vernunftgebrauch: An unverstandener Mathematik lässt sich weder alltägliches noch mathematisches Denken schulen! Motivation: Eltern: Sie müssen unser Kind nur richtig motivieren, dann kann es das schon!

31 Bedingungen für Lernmotivation und Interesse bereichsspezifische Kompetenzerfahrungen Erfahrung, in einem Inhaltsbereich selbstbestimmt zu handeln soziale Einbindung in eine Domäne Motivation und Interesse der Lehrkräfte (BLK- Studie, Rheinberg)

32 Unterscheidung von Zielkategorien (nach Weinert): Intelligentes Wissen Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren identifizieren und realisieren können; typische Anwendungen kennen Handlungskompetenz Mathematisches Wissen vernetzen und in komplexen Situationen inner- und außermathematisch anwenden können Metakompetenz Reflexionsfähigkeit über den eigenen Lernstand und Lernprozess und Methodenbewusstheit in Verbindung mit einem angemessenen Bild von Mathematik

33 Beispiele für sich durchsetzende lerntheoretische Konstrukte: Theorie der Erkenntnisebenen Wege zur Erkenntnisgewinnung? (Bruner) (Galperin) enaktive Ebene - materielle Ebene (Muskelerinnerung) ikonische Ebene - Ebene der unmittelbaren Anschauung - Ebene der mittelbaren Anschauung (Computerbilder) - sprachliche Ebene symbolische Ebene - geistige Ebene

34 Beispiel: Innenwinkelsummensatz Motivation: Herausarbeiten, dass die Summe der Innenwinkel konstant bleibt aber wie groß ist sie? Vermutung durch Messen das ist aber kein zulässiges mathematisches Werkzeug

35 Beispiel: Innenwinkelsummensatz Motivation: Herausarbeiten, dass die Summe der Innenwinkel konstant bleibt aber wie groß ist sie? Vermutung durch Messen das ist aber kein zulässiges mathematisches Werkzeug Enaktiv: Winkel durch Körperdrehung ablaufen Ecken abreißen Ikonisch: Winkel messen Skizze mit parallel verschobener Dreiecksgrundseite durch gegenüberliegenden Eckpunkt Symbolisch: Beschriftung von Seiten und Winkeln und Aufstellen von Gleichungen mit Winkelgrößen

36 Nachhaltig Mathematik lernen bedeutet: Beim Wissenserwerb anknüpfen an bisheriges Wissen und Können Beim Wissenserwerb verschiedene Erkenntnisebenen durchlaufen Methoden und Argumentationen liefern, die mathematischer Natur sind Erweitern und Vernetzen: Innenwinkelsumme im Viereck? Kritisch Weiterdenken: Stimmt das immer?

37 Wann hat man Mathematik verstanden? Ein elementares Verständnis ist erreicht, wenn Identifizierungsund Realisierungshandlungen zum jeweiligen Begriff, Zusammenhang oder Verfahren ausgeführt werden können Identifizieren: Ist ein Modell für ein Prisma? Kann der Satz des Pythagoras angewendet werden? Ist die Gleichung/das GS mit lösbar? Formel anwendbar? Realisieren: Ein Beispiel für ein Prisma angeben Einen Satz auf eine Situation anwenden Ein Verfahren ausführen

38 Lern- bzw. Arbeitsprogramm Begriffsbestimmung (abstrakt) Brüche (gemeine Brüche und Dezimalzahlen) sind Schreibweisen für gebrochene Zahlen. Wenn zwei Brüche auf den gleichen Punkt eines Zahlenstrahls abgebildet werden, bezeichnen Sie die gleiche gebrochene Zahl. Alle Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, bezeichnen die gleiche gebrochene Zahl. Visuelle Unterstützung der Begriffserklärung (ikonisch) Wertgleiche Brüche beschreiben die gleiche gebrochene Zahl.

39 Lern- bzw. Arbeitsprogramm Begriffsbestimmung (Unterscheidung zwischen dem Zeichen und dem Bezeichneten) Begriffsaneignung Identifizieren Stellen die Brüche die gleiche gebrochene Zahl dar? Realisieren Gib zu jedem der folgenden Brüche mindestens 3 weitere an, die die gleiche Zahl darstellen! Verallgemeinerung (durch Klassenbildung) Nenne weitere Brüche, die durch das rechte (linke) Tor zu gehen hätten! Gibt es einen Bruch, der durch beide Tore gehen dürfte?

40 Modell der Lerntätigkeit nach Lompscher (1972, 1984) Ziele Produkte Handlung Inhalt Verlauf Motive Ergebnisse

41 Lernfortschritt erfordert: - Eine selbst gestellte Lernaufgabe - Erarbeitung einer Orientierungsgrundlage für die notw. Tätigkeiten Verortung von Lernfortschritten nach VYGOTSKI: Zone der nächsten Entwicklung Zone der aktuellen Leistung Modell der Lerntätigkeit nach Lompscher (1972, 1984) Ziele Motive Handlung Inhalt Verlauf Produkte Ergebnisse Zone der nächsten Entwicklung Zone der aktuellen Leistung 1. Probierorientierung 2. Orientierung am Bsp. 3. Feldorientierung Lernaufgabe Orientierungsgrundlage

42 Präzisierung einer Ziel-Vision für einen nachhaltigen, allgemeinbildenden MU für alle: Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - - kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und - Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

43 Reflexion und Hintergrund Jedes Ziel umfasst: - Intelligentes Wissen Handlungskompetenz Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, - auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. In welche Richtungen kann man fragen? (Wo ist Mathematik versteckt, wo hilfreich ) Typische Mathematikerfragen kennen Konkrete Fragen in einem Kontext finden auf verschiedenen Orientierungsleveln 1. Probierorientierung 2. Orientierung am Bsp. 3. Feldorientierung Metakompetenz Beurteilungskriterien für mathematikhaltige Fragestellungen

44 Gliederung 1. Problemsicht: Entwicklungspotenziale im aktuellen MU 2. Vorstellungen, wie Lernen (von Mathematik) funktioniert 3. Ziele, Inhalte und Gestaltungskonzepte für einen langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht

45 Lösungsansätze Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen) Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke Weiterentwicklung der Aufgabenkultur Kompetenzaufbau langfristig denken: horizontal und vertikal vernetzt Berücksichtigung unterschiedlicher Leistungspotenziale, Lernstile, Grund-und Fehlvorstellungen Regelmäßige vermischte Kopfübungen zum Wachhalten von mathematischem Grundwissen und -können

46 Kopfübungen Klasse 7 mit Diagnoseelementen 1 Berechne: Ordne der Größe nach: 1/7, 1/3, 1/2 3 Notiere 4,3 cm in der nächst größeren und der nächst kleineren Einheit 4 5,4 10,6 5 Wie viele Flächen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groß? 6 Berechne: - 3 (- 11) 3 7 Es ist genau 8.00 Uhr. Welchen Winkel schließen Minuten- und Stundenzeiger ein? 8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schüler; 2/3 kommen mit dem Bus zur Schule. Wie viele sind das? 9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft. Für wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche? 10 Berechne 20% von 45.

47 "Kopfübungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument 1 Berechne: Ordne der Größe nach: 1/7, 1/3, 1/2 3 Notiere 4,3 cm in der nächst größeren und der nächst kleineren Einheit 4 5,4 10,6 5 Wie viele Flächen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groß? 6 Berechne: - 3 (- 11) 3 7 Es ist genau 8.00 Uhr. Welchen Winkel schließen Minuten- und Stundenzeiger ein? 8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schüler; 2/3 kommen mit dem Bus zur Schule. Wie viele sind das? 9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft. Für wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche? 10 Berechne. 20% von Woche später: Ordne der Größe nach: 3/7, 3/4, 3/10 3 Gib als dm an: 1,82 m 4-5,4 + 10, 6 5 Aus welchen Flächen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen? 6 Schreibe drei Multiplikationen auf, deren Ergebnis 6 ist. 7 Richtig oder falsch: In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groß. 8 Gib 2/5 als Dezimalzahl an. 9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an, die auf der y-achse liegen. 10 Von 32 Schülern kommen 24 mit dem Bus. Wie viel Prozent sind das?

48 Was auch zum Abitur noch ohne Rechner gekonnt werden sollte Dreisatz, auch Maßstab Maßstab 1: cm werden gemessen Wie viele km sind das in der Natur? Prozent- und Zinsrechnung Jemand erhält am Jahresende 450 Zinsen. Das Guthaben wurde mit 3% verzinst. Wie viel Geld wurde zum Jahresbeginn eingezahlt, das diese Zinsen gebracht hat? Gleichungen: Gib jeweils die Lösungsmenge im Bereich der reellen Zahlen an! a) 6x - 1 = 2x + 15 b) 0 = (a + 3) (a - 4) g) 2a 3b = -11 und c) 2y = 81 d) sin x - 11 = 7 4a = 8b - 32 e) 3r 3-17 = 2r f) z 2 2z - 8 = 0 Freie Bilder zeichnen Schaubild einer Wurzelfunktion, Exponentialfunktion und Hyperbel Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche usw.

49 Beispiel zur notwendigen Ergänzung des Kerncurriculums im Sinne einer Schwerpunkt-setzung vom Projekt Notstand in Mathematik der IHK Braunschweig ( April 2010) Lernbereich: Quadratische Zusammenhänge Parabel - Erzeugung - Eigenschaften Quadratische Funktionen - Terme - Nullstellen - Vergleich zu linearen Funktionen Quadratische Gleichungen - grafische Lösung - quadratische Ergänzung - Anzahl der Lösungen

50 Lösungsansätze Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen) Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke Weiterentwicklung der Aufgabenkultur Kompetenzaufbau langfristig denken: horizontal und vertikal vernetzt Berücksichtigung unterschiedlicher Leistungspotenziale, Lernstile, Grund-und Fehlvorstellungen Regelmäßige vermischte Kopfübungen zum Wachhalten von mathematischem Grundwissen und -können

51 Lösungsansätze Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen) Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke Weiterentwicklung der Aufgabenkultur Kompetenzaufbau langfristig denken: horizontal und vertikal vernetzt Berücksichtigung unterschiedlicher Leistungspotenziale, Lernstile, Grund-und Fehlvorstellungen Regelmäßige vermischte Kopfübungen zum Wachhalten von mathematischem Grundwissen und -können

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53 Aufgabenformate und -typen Ziel- oder Strukturtyp Ein modernes Aufgabenkonzept oder ein Beitrag zur Weiterentwicklung der Aufgabenkultur bedeutet: Es kommen in einer Unterrichtseinheit alle 8 Strukturtypen von Aufgaben angemessen vor! Begründung: Diese Aufgabentypen bilden wesentliche Lerntätigkeiten ab, ermöglichen Vernetzung, bieten individuelle Freiräume und erfordern methodische Variabilität des Lernangebotes.

54 Erste und vertiefende Übung zu Nullstellenberechnungen von linearen Funktionen Wähle mindestens fünf der folgenden Aufgaben aus und löse sie (15min) Gesucht ist jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen: 1. f(x) = x f(x) = 2x f(x) = - 5x 2,5 4. Zeichne eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei x = Was kann eine Nullstelle einer linearen Funktion praktisch bedeuten? Level I

55 Erste und vertiefende Übung zu Nullstellenberechnungen von linearen Funktionen Wähle mindestens fünf der folgenden Aufgaben aus und löse sie (15min) Gesucht ist jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen: 1. f(x) = x f(x) = 2x f(x) = - 5x 2,5 4. Zeichne eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei x = Was kann eine Nullstelle einer linearen Funktion praktisch bedeuten? Gib die Gleichungen zweier linearer Funktionen an, die bei x = 4 ihre Nullstelle haben. 7. Notiere die Gleichung einer linearen Funktion, die keine Nullstelle hat. Level II 8. Überlege Dir einen Sachverhalt, der mit Hilfe einer linearen Funktion beschrieben werden kann, welche bei P(1;0) eine Nullstelle hat

56 Erste und vertiefende Übung zu Nullstellenberechnungen von linearen Funktionen Wähle mindestens fünf der folgenden Aufgaben aus und löse sie (15min) Gesucht ist jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen: 1. f(x) = x f(x) = 2x f(x) = - 5x 2,5 4. Zeichne eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei x = Was kann eine Nullstelle einer linearen Funktion praktisch bedeuten? Gib die Gleichungen zweier linearer Funktionen an, die bei x = 4 ihre Nullstelle haben. 7. Notiere die Gleichung einer linearen Funktion, die keine Nullstelle hat. 8. Überlege Dir einen Sachverhalt, der mit Hilfe einer linearen Funktion beschrieben werden kann, welche bei P(1;0) eine Nullstelle hat Warum können lineare Funktionen nie mehr als eine Nullstelle haben? 10. Finde einen Ausdruck zur Bestimmung der Nullstelle für eine beliebige lineare Funktion: f(x) = mx + b und gib dazu evtl. notwendige Bedingungen für m,x und b an! Level III

57 Kein gelungenes Beispiel für ein binnendifferenzierendes Aufgabenset zum nachhaltigen Lernen

58 Weiterentwicklung der Aufgabenkultur Bereitstellen und systematisches Einsetzen solcher Aufgabentypen im Unterricht, die nachhaltiges Lernen von Mathematik fördern Formulierung von Aufgaben so, dass sie ein hohes Aktivierungspotenzial für die Lernenden besitzen Entwicklungsgemäße und entwicklungsfördernde Lernangebote (Lompscher, Vygotski) und nicht nur Lernanforderungen in Form von Aufgaben mit hohem Lernpotenzial stellen, sondern auch zu deren Bewältigung befähigen (heuristische Bildung) Individuellen Lernzuwachs herausarbeiten Verantwortung für eigenes Lernen übernehmen Zulassen, Fördern und Reflektieren individueller Lösungswege

59 Langfristiger Kompetenzaufbau bezüglich eines mathematischen Blickes in die Welt, kann heißen: a) Die Umwelt/Lebenswelt mit mathematischem/logischem Blick kritisch prüfen: Stimmt das? Kann das denn sein? Warum ist das so? b) Den Mehrwert von Mathematik erfahren: Wo kommt Mathematik vor wo ist Mathematik versteckt? Wie fragen Mathematiker? Was wissen wir jetzt besser/genauer mit Mathematik als vorher? Beispiele: - wir können Größen abschätzen - wir können Dinge, Sachverhalte, Anteile miteinander vergleichen

60 Wo kann es (individuell unterschiedlich) schwierig werden? Problemlösen beim Modellieren! Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Kompetenzaspekte: -Intelligentes Wissen Mathematik Realität 2 4 -Handlungskompetenz Probierorientierung Musterorientierung Feldorientierung -Metakompetenz Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

61 Unterrichtskonzept von MABIKOM Unterrichtseinstieg KÜ Lernprotokoll Wahlaufgaben, Aufgabenset KÜ KÜ Checkliste LHA Blütenaufgaben Lernkontrolle

62 Kontakt: