Modelle und Methoden für einen langfristigen und nachhaltigen Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht

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1 Modelle und Methoden für einen langfristigen und nachhaltigen Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht Prof. Dr. Regina Bruder Technische Universität Darmstadt Universität Kassel

2 Gliederung 1. Problemsichten und Entwicklungspotenziale zum aktuellen Mathematikunterricht 2. Von der Problemdiagnose zur Therapie: Bereitstellen kompetenzorientierter Lern- und Beurteilungsgelegenheiten 3. Theoretischer Hintergrund: Kompetenzentwicklungsmodelle

3 Problemsicht Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen)»Bewerber scheitern vielfach an der Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnen.«die Taschenrechner sind schuld! Projekt Notstand in Mathematik der IHK Braunschweig ( April 2010) extrem hohe Zahl von Abbrechern in den MINT- Studienfächern

4 Beispiel: Die Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen beträgt 434. Wie lauten diese drei Quadratzahlen? Erwartungshorizont: (n-1)² + n² + (n+1)² = 434 3n² +2 = 434 n² = 144 Alternative Schülerlösung mit EXCEL!

5 Entwicklungspotenzial: Leistungsstarke Lernende werden zu wenig gefördert! PISA 2003: Im Problemlösetest bessere Leistungen als in Mathematik TIMS-Videostudie (MU): In der BRD werden am wenigsten komplexe Aufgaben im Unterricht gestellt (J. Neubrand) Projekt PALMA: Leistungen sind mitunter besser vor einer mathematischen Behandlung als danach (z.b. Anteilsbestimmungen gelingen in Kl.5 besser als in Kl.6 )

6 Was ist wesentlich? Orientierung an der Curriculumspirale Abstände Figuren erkennen untersuchen erzeugen variieren berechnen Datensätze beschreiben darstellen strukturieren Objekte (und Prozesse) optimieren Algebraische Aspekte: Zahl Geometrische Aspekte: Raum - z.b. bei Verpackungen

7 Langfristiger mathematischer Kompetenzaufbau kann angelegt werden - innerhalb eines Schuljahres über verschiedene Unterrichtsthemen bzw. Leitideen hinweg in horizontaler Verknüpfung (z.b. Abschätzaufgaben in verschiedenen Kontexten) - innerhalb einer Leitidee, aber vertikal mit fachlicher Anreicherung angelegt über mehrere Klassenstufen. (Beispiel: Entfernungs- bzw. Abstandsbestimmungen, Anteilsbestimmungen) Benötigt wird ein lernförderliches unterrichtliches Umfeld.

8 Phänomene Teaching to the test So kann man nicht wirklich Mathe lernen und verstehen: Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren erarbeiten üben Test schreiben - vergessen neues Thema... Vernetzte Begriffswelten? Nein, Inselwelten... Schüler: Ach, die Atome im Physikunterricht sind dieselben wie in Chemie? S. aus Kl.9: Eine Tabelle aufstellen? Sowas haben wir vielleicht mal in Kl.6 gemacht, das kann ich doch jetzt nicht mehr! Schulleiter an L. in NS: Wieso fragen Sie im Test in Kl.10 die binomischen Formeln ab, das wurde doch schon viel früher behandelt. Sie wollen doch auch, dass unsere SuS das Abitur bestehen?

9 Kompetenzbegriff als Chance? Den Kompetenzbegriff ernst nehmen, das heisst dann auch die bisherige sequenzierte Beurteilungs-und Bewertungskultur grundlegend ändern: Verfügbarkeit von mathematischem Basiskönnen fördern und auch regelmäßig prüfen Feedback geben anhand der drei Bezugsnormen - individuelle Bezugsnorm (wie hast Du Dich in den verschiedenen Kompetenzbereichen entwickelt? Wo liegt Dein Entwicklungspotenzial? Blick auf die individuellen Lernprozesse, weniger auf das Ergebnis) - soziale Bezugsnorm (Deine Entwicklung in der Lerngruppe, verbale Kopfnoten ) - sachliche Bezugsnorm (wie ist Dein aktueller Entwicklungsstand gemessen an den fachbezogenen Standards? Verbal differenziert und als Fachnote)

10 Problemsicht - Zwischenstand Fehlende Verfügbarkeit von mathematischem Grundkönnen Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke Umgang mit verschiedenen Lösungswegen Leistungsstarke werden zu wenig gefördert»bewerber scheitern vielfach an der Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnen.«(n-1)² + n² + (n+1)² = 434 teaching to the test und Insellernen dem Kompetenzbegriff entgegen stehende Bewertungskultur Didaktische Konzepte berücksichtigen kaum unterschiedliche Lernstile! -immer Gruppenarbeit und offene Aufgaben für alle? ( 4 verschiedene Lernstile nach Gregory, 2005)

11 Kognitive Stile Es ist eine offensichtliche Tatsache, dass Schüler individuelle Präferenzen beim Lernen aufweisen jede Unterrichtssituation auf jeden Schüler jeweils anders von motivierend bis hemmend wirkt auch Lehrer individuelle Präferenzen aufweisen und sich daher fast automatisch gewisse Einseitigkeiten des Lehrens und Lernens einstellen Korrelationen bestehen zwischen dem Stil der Lehrer und ihren Schülern (Sternberg 1994) Diejenigen Schüler weisen bessere Noten auf, deren Stil demjenigen der Lehrer entspricht (Sternberg 1994) Neu: Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen als Ergebnis einer Metaanalyse (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005)

12 Lernstil der Beach Balls Self-Expressive Learners (Intuitive/Feeling) Gestalte eine Veranschaulichung für einen Schlüsselbegriff der Unterrichtseinheit Experimentier- & Entdeckungsfreude Spontanität & Kreativität Gleichschrittanweisungen zu folgen, immer die gleichen Schreibarbeiten zu machen

13 Lernstil der Puppies Interpersonal Learners (Sensing/Feeling) Intuitiv, affektiv Benötigen Begründung für das Lernen Haben Bedürfnis nach Zusammenarbeit Detailorientiert und gründlich zu sein Korrigiert zu werden oder ein negatives Feedback zu erhalten

14 Lernstil der Microscopes Understanding (Intuitive/Thinking) Beurteile folgende Aussagen, ob sie jeweils stets, manchmal oder niemals wahr sind. Begründe deine Beurteilung schriftlich. Denken analytisch, kritisch Lernen gründlich Arbeiten alleine Neue Dinge ausprobieren offene Probleme lösen Perfektionisten 1. Ein Trapez ist ein Rechteck. Begründung 2. Ein Viereck ist ein reguläres Polygon. 3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck. 4. Ein Trapez hat parallele Schenkel. 5. Diagonale eines Parallelogramms halbieren einander. 6. Ein Rechteck ist ein Quadrat. 7. Ein Quadrat ist ein Rechteck. 8. Eine Raute ist ein Rechteck. 9. Ein Parallelogramm hat exakt drei rechte Winkel. 10. Vier Seiten einer Raute und eines Parallelogramms sind gleich lang und vier Ecken einer Raute und eines Parallelogramms sind gleich groß.

15 Lernstil der Clipboards Mastery (Sensing/Thinking) Routinen, vorhersagbare Situationen Sinn für Details & Genauigkeit Ohne Anweisungen arbeiten, das große Bild sehen

16 Lernstile Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005) Keine Diagnostik und Zuordnung der Lernenden nach Lernstilen Dennoch: Zuordnung Lernstil =>Unterrichtsmethode (math tools) Idee: Durch Variation in den Aufgaben und Darstellungen finden alle Lernstile stärkere Berücksichtigung im Unterricht Annahme: Die Unterschiedlichkeit des Zuganges zum Unterrichtsgegenstand nutzt allen Lernenden mehr, als wenn sie nur ihrem eigenen Lernstil entsprechend unterrichtet würden.

17 Schlussfolgerungen (Ausschnitt) Didaktische Analyse Berücksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der Aufgabenwahl (vor allem für Einstiege, Übungen und Langfristige HA) 1. Welche Fähigkeiten, Verfahren und Schlüsselbegriffe müssen die Lernenden beherrschen? 2. Welche Kernbegriffe, Muster oder Prinzipien müssen die Lernenden vertieft verstehen? 3. Wie werden die Lernenden persönlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken? 4. Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden, visualisieren, anwenden oder mit ihnen experimentieren?

18 Vision für modernen MU: Was soll durch den Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

19 Langfristiger Kompetenzaufbau bezüglich eines mathematischen Blickes in die Welt, kann heißen: a) Die Umwelt/Lebenswelt mit mathematischem/logischem Blick kritisch prüfen: Stimmt das? Kann das denn sein? Warum ist das so? b) Den Mehrwert von Mathematik erfahren: Wo kommt Mathematik vor wo ist Mathematik versteckt? Wie fragen Mathematiker? Was wissen wir jetzt besser/genauer mit Mathematik als vorher? Beispiele: - wir können Größen abschätzen - wir können Dinge, Sachverhalte, Anteile miteinander vergleichen und darstellen und kennen typische Darstellungsfehler...

20 Gliederung 1. Problemsichten und Entwicklungspotenziale zum aktuellen Mathematikunterricht 2. Von der Problemdiagnose zur Therapie: Bereitstellen kompetenzorientierter Lern- und Beurteilungsgelegenheiten 3. Theoretischer Hintergrund: Kompetenzentwicklungsmodelle

21 Lerngelegenheiten um Kompetenzen zu zeigen Kompetenzen sind die bei Individuen verfügbaren oder durch sie erlernbaren kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten um die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu können (Weinert 2001) 1. Problemlöseprozesse bei der Einführung neuer Lerninhalte (durch entdeckendes Lernen, eigenständig zur Zone der nächsten Entwicklung Wygotski )

22 Was ist wesentlich? Horizontale Vernetzung mit semantischen Netzen im MU: Einstiege, Voraussetzungen Geometrische Aspekte Algebraische Aspekte Anwendungen Anwendungen Was kommt dann? Weiterungen

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24 Lerngelegenheiten um Kompetenzen zu zeigen Kompetenzen sind die bei Individuen verfügbaren oder durch sie erlernbaren kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten um die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu können (Weinert 2001) 1. Problemlöseprozesse bei der Einführung neuer Lerninhalte (durch entdeckendes Lernen, eigenständig zur Zone der nächsten Entwicklung Wygotski ) 2. Problemlöseprozesse in variablen Situationen beim Üben und Anwenden Phänomen: Die SuS wissen eigentlich, welche math. Inhalte sie anwenden sollen, wenn Anwendungsaufgaben gestellt werden das Problem konzentriert sich allein auf das wie Vorschlag: Kompetenztrainingslager in der Phase komplexer Übungen und Anwendungen

25 Idee: Kompetenztrainingslager Hintergrund: Übungskonzept (ml 147, 2008) Erste Übung mit Identifizierungs- und Realisierungsaufgaben für die neuen Stoffelemente (in unmittelbarer Verbindung mit der Einführung) Vielfältige Übung (auch vertiefende Übung genannt) Vertiefend, binnendifferenzierend und als produktive bzw. intelligente Übung gestaltet Aufgabenset Blütenaufgaben (xx-) (x--), (x-x) (-xx) ((-)-(-)) (-x-) Komplexe Übungen und Anwendungen Vernetzungen der aktuellen Stoffelemente mit bereits bekannten herstellen; Komplexität erhöhen und Transfer ermöglichen Projektartiges Trainingslager mit Schwerpunkt Argumentieren oder Modellieren oder Problemlösenlernen auch an neuen Inhalten

26 Vorstellungen zu einem langfristigen Kompetenzaufbau Trainingslager Begründen/ Beweisen Leitidee Raum und Form usw. Trainingslager Problemlösen Trainingslager Modellieren Argumentieren Problemlösen Modellieren...mit expliziter Förderung von allg. fachspez. Kompetenzen in Trainingslagern in ca. 2-4h

27 Unterscheidung von Zielkategorien (nach Weinert): Intelligentes Wissen Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren identifizieren und realisieren können; typische Anwendungen und Bearbeitungsstrategien kennen Handlungskompetenz Mathematisches Wissen vernetzen und in komplexen/variablen Situationen inner- und außermathematisch anwenden können Metakompetenz Reflexionsfähigkeit über den eigenen Lernstand und Lernprozess und Methodenbewusstheit in Verbindung mit einem angemessenen Bild von Mathematik

28 Gestaltungselemente für Kompetenztrainingslager (2-4h) I. Check up zur Selbsteinschätzung und Wahl des Lernpfades Handlungskompetenz Intelligentes Wissen und Metakompetenz Selbstlernelemente in Form von anforderungsdifferenzierten Wahlaufgaben bzw. Blütenaufgaben; ggf. mit Stationenzirkel oder Gruppenpuzzle, Tandembogen o.ä. mit einem Kompetenzschwerpunkt an ggf. noch unbekannten mathematischen Inhalten Beispiel: Argumentieren lernen anhand platonischer Körper (warum ex. nur 5?) Welches Kompetenzentwicklungsmodell steht hier dahinter? Argumentieren lernen anhand von Teilbarkeitsuntersuchungen oder von Zahlenfolgen weiterführend Modellieren lernen mit dynamischen Systemen bis zum Problemlösen lernen mit einfachen DGL Reflexionsanteile (lehrergesteuert) zum Bewusstmachen von Problemlösestrategien, des Modellierungskreislaufes und typischer Mathematisierungsmuster, von Argumentationsbasen und logischen Schlussweisen II. Check up zur erneuten Selbsteinschätzung und Ableitung der nächsten Lernziele

29 Gliederung 1. Problemsichten und Entwicklungspotenziale zum aktuellen Mathematikunterricht 2. Von der Problemdiagnose zur Therapie: Bereitstellen kompetenzorientierter Lern- und Beurteilungsgelegenheiten 3. Theoretischer Hintergrund: Kompetenzentwicklungsmodelle

30 Mögliche Zugänge, Kompetenzentwicklungsmodelle zu generieren Grundlage für die Entwicklung von Lernumgebungen mit expliziter Berücksichtigung der Dimensionen durch eigene Lernsequenzen Empirischer Zugang: eng abgegrenzte Modellannahmen mit Itembatterien prüfen Kompetenzdimensionen beschreiben (Bsp: HEUREKO)

31 Könnensdimensionen- Beispiel Funktionale Zusammenhänge und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl.9: G A S N Emprisch gesichertes Kompetenzstrukturmodell zu Darstellungswechseln mit 5 Dimensionen: DFG-SPP 1293: Kompetenzmodelle

32 Mögliche Zugänge, Kompetenzentwicklungsmodelle zu generieren Grundlage für die Entwicklung von Lernumgebungen mit expliziter Berücksichtigung der Dimensionen durch eigene Lernsequenzen Empirischer Zugang: Modellannahmen mit Itembatterien prüfen Kompetenzdimensionen beschreiben (Bsp: HEUREKO) Theoretischer Zugang: Lerntheoretisch begründetes Stufenmodell der Kompetenzentwicklung (Wygotski, Tätigkeitstheorie) Didaktische Modelle zur Umsetzung (atomistisch/holistisch) (empirische Prüfung für beides notwendig)

33 Lernfortschritt erfordert: - Eine selbst gestellte Lernaufgabe - Erarbeitung einer Orientierungsgrundlage für die notw. Tätigkeiten Verortung von Lernfortschritten nach VYGOTSKI: Zone der nächsten Entwicklung Zone der aktuellen Leistung Modell der Lerntätigkeit nach Lompscher (1972, 1984) Ziele Motive Handlung Inhalt Verlauf Produkte Ergebnisse Zone der nächsten Entwicklung Zone der aktuellen Leistung 1. Probierorientierung 2. Orientierung am Bsp. 3. Feldorientierung Lernaufgabe Orientierungsgrundlage

34 Zum lerntheoretischen Hintergrund Lernfortschritt erfordert nach dem Tätigkeitskonzept (Giest &Lompscher 72(2004), ) -Eine selbst gestellte Lernaufgabe -Erarbeitung einer Orientierungsgrundlage für die notwendigen Tätigkeiten auf verschiedenen Leveln: I Probierorientierung (trial and error) II Musterorientierung, beispielgebunden III Feldorientierung (erkennbar an der Fähigkeit, eigene Beispiele zu generieren)

35 Entwicklungsstufen beim Argumentieren Grundtypen von mathematischen Begründungen Begründen durch Bezug auf eine Definition Begründen durch Bezug auf einen Satzes Begründen durch Anwenden eines Verfahrens Begründen in Form eines Widerspruchsbeweises (Kontraposition) Widerlegen einer Aussage durch Angabe eines Gegenbeispiels

36 Entwicklungsstufen - Argumentieren In welchen Etappen kann mathematische Argumentationskompetenz schrittweise aufgebaut werden? Die Argumentationsbasis beim Begründen/Beweisen besteht aus einer Menge von Aussagen, die als richtig angesehen werden zusammen mit den Schlussweisen, die als zulässig anerkannt werden. Im Prozess des Begründen- und Beweisen-Lernens sollten also folgende Schritte mit aufsteigender Schwierigkeit expliziert werden: Bewusstmachen von Argumentationsbasen Arbeiten mit vorgegebenen Argumentationsbasen Bewusster Übergang von einer Argumentationsbasis zu einer anderen.

37 Entwicklungsstufen - Argumentieren Mathematisch Begründen und Beweisen lernen bedeutet dann: Lernen mathematische Argumente bzgl. ihrer Anwendbarkeit in einer Begründungssituation zu beurteilen Lernen nach Schlussregeln zu folgern (z.b. Drittengleichheit ) und Argumentationsketten zu vervollständigen Lernen festzustellen, wann eine Aussage begründet bzw. bewiesen werden muss Lernen zu prüfen, ob eine gegebene Argumentationskette korrekt ist Logische Fähigkeiten entwickeln anhand z.b. folgender Fragen: Ist das richtig? (p-q-formel, Gauß-Algorithmus, Höhensatz.im rechtwinkligen Dreieck..) Gibt es noch andere Lösungen? Gilt auch die Umkehrung? (Wenn ein Viereck ein Drachenviereck ist, dann stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht.) Wie kommt das eigentlich?

38 Entwicklungsstufen beim Argumentierenlernen (Theoretisches Modell) Das folgende Modell ist als Stufenmodell von Argumentationsanforderungen zu verstehen und eignet sich als Hintergrund für kompetenzbezogene Selbsteinschätzungen und Leistungsbeurteilungen: Intuitive Phase: Schrittweises Gewöhnen an sprachlich-logisch und fachinhaltlich korrekte Argumentationen (Lehrervorbild) Bewusste Phase: I Begründungen nach den Grundtypen ausführen II Mathematische Argumentationsketten verstehen, nachvollziehen und wiedergeben III Mathematische Argumentationen prüfen und vervollständigen. IV Eigenständig mehrschrittige Argumentationsketten aufbauen

39 Didaktische Modelle zum langfristigen Kompetenzaufbau Das spielgemäße Konzept Übungskonzept in drei Phasen mit Kompetenztrainingslager

40 Mögliche Zugänge, Kompetenzentwicklungsmodelle zu generieren Theoretische Entwicklungsmodelle ex. zum Problemlösen und zum Argumentieren, auch zum Modellieren. Eine Verknüpfung beider Zugänge steht noch aus. (Komplexe Forschungsaufgabe!) Empirischer Zugang: Modellannahmen mit Itembatterien prüfen Theoretischer Zugang: Lerntheoretisch begründetes Stufenmodell (Wygotski, Tätigkeitstheorie) Didaktische Modelle zur Umsetzung (z.b. atomistisch/holistisch) Empirische Prüfung der spezifischen Effekte

41 Problemdiagnose Therapie Fehlende Verfügbarkeit von mathematischem Grundkönnen Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke Umgang mit verschiedenen Lösungswegen Leistungsstarke werden zu wenig gefördert teaching to the test und Insellernen dem Kompetenzbegriff entgegen stehende Bewertungskultur Didaktische Konzepte berücksichtigen kaum unterschiedliche Lernstile! Kompetenzbegriff ernst nehmen und spezifisch grundwissenorientierte Lernangebote (Kopfübungen) sowie explizit kompetenzorientierte Lernangebote bereit stellen (Trainingslager) im Rahmen eines gestuften, differenzierenden Übungskonzeptes in Verbindung mit einer dreifach bezugsnormorientierten auch qualitativen Beurteilung anhand von Kompetenzentwicklungsmodellen

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