Argumentieren und Beweisen

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1 M T E E T M Prozessbezogene Kompetenz pk1: rgumentieren und Beweisen XEL OY Prozessbezogene Kompetenzen Folie 1

2 pk1: rgumentieren und Beweisen rgumentieren pk1 im BP Kompetenzschulung Beispiele M T E E T M LITERTUR igner, M./ iegler,.: Das Buch der Beweise - eidelberg, Springer rgumentieren. mathematik lehren, eft 168 (Oktober 2011). efendehl-ebeker, L./ ußmann, S.: Beweisen rgumentieren. In: Leuders, T. [rsg.]: Mathematikdidaktik. Praxishandbuch für die Sekundarstufen I und II. Berlin: Cornelsen 2003, S Jahnke, T.: Optimal (und) begründet, in: mathematik lehren, eft 110, S Malle,.: Begründen, in: mathematik lehren, eft 110, S Meyer, M. Prediger, S. [rsg.]: Warum? rgumentieren, Begründen, Beweisen. Praxis der Mathematik in der Schule, eft 30 (Dezember 2009). Reiss, Kristina [rsg.]: Wege zum Beweisen. mathematik lehren, eft 155 (ugust 2009). Prozessbezogene Kompetenzen Folie 2

3 pk1: rgumentieren und Beweisen rgumentieren pk1 im BP Kompetenzschulung Beispiele M T E E T M» Überzeuge dich selbst, überzeuge deinen Freund, überzeuge deinen Feind das Letztere ist das, was man beim Beweisen machen muss! «[DVID TLL]» Begründen sollte (als logische ygiene ) so selbstverständlich werden wie das ändewaschen im lltag. «[KLUS ÄRTI]» Beweisen beginnt in der Schule schon lange, bevor diese Tätigkeit einen Namen hat.«[ns FREUDENTL] Prozessbezogene Kompetenzen Folie 3

4 pk1: rgumentieren und Beweisen rgumentieren pk1 im BP Kompetenzschulung Beispiele M T E E T M Definition Beweis : Unter einem Beweis eines mathematischen Satzes S versteht man dessen logische Deduktion aus anderen, bereits bewiesenen mathematischen Sätzen (oder xiomen) S 1, S 2,, S n.» Der im Unterricht stattfindende soziale Prozess, bestehend aus dem nzeigen eines Begründungsbedarfs und dem Versuch, diesen Begründungsbedarf zu befriedigen, wird als rgumentation bezeichnet. «(SCWRKOPF, 2000) Beweisen Begründen rgumentieren. Da der Begriff Beweisen häufig eng mit axiomatisch-deduktiver Erkenntnissicherung, mit formalem Charakter und mit Strenge der Schlussfolgerung verbunden ist, wird er oft ergänzt durch den breiteren Begriff Begründen. rgumentieren ist der Oberbegriff für verschiedene Tätigkeiten des (mathematischen) Begründens und Beweisens. Bildungsstandards (KMK): Die Kompetenz Mathematisch rgumentieren (K1) beinhaltet das Verbinden mathematischer ussagen zu logischen rgumentationsketten, aber auch das Verstehen und kritische Bewerten verschiedener Formen mathematischer rgumentationen. Prozessbezogene Kompetenzen Folie 4

5 pk1: rgumentieren und Beweisen rgumentieren pk1 im BP Kompetenzschulung Beispiele M T E E T M Das Begründen und Beweisen einer ussage (eines Satzes) geht immer von einer Menge von ussagen aus, die als richtig angesehen werden (rgumentationsbasis); ausgehend von dieser wird die zu begründende/ beweisende ussage mittels zulässiger Schlüsse gefolgert. Mathematisch Begründen und rgumentieren lernen bedeutet eine geeignete Begründungsbasis finden können nach Schlussregeln folgern können rgumentationsketten vervollständigen können mathematische rgumente bzgl. ihrer nwendbarkeit in einer Begründungssituation beurteilen können feststellen können, wann eine ussage begründet bzw. bewiesen werden muss prüfen können, ob eine gegebene rgumentationskette korrekt ist typische mathematische Fragen stellen und beantworten können wie: Ist das immer richtig? ibt es noch andere Lösungen? ilt auch die Umkehrung? Prozessbezogene Kompetenzen Folie 5

6 pk1: rgumentieren und Beweisen rgumentieren pk1 im BP Kompetenzschulung Beispiele M T E E T M Prozessbezogene Kompetenzen Folie 6

7 pk1: rgumentieren und Beweisen rgumentieren pk1 im BP Kompetenzschulung Beispiele M T E E T M Wie kann man rgumentationskompetenz im Unterricht vermitteln? rgumentieren lernen mit geeigneten ufgabenformaten und durch geeignete Fragen: Betrachten der Existenz ( ibt es...?"), Problematisierung der llgemeingültigkeit einer Behauptung ( Ist das immer so?") Problematisierung der Umkehrbarkeit ( ilt die ussage auch in der anderen Richtung? ) Betrachten funktionaler Beziehungen ( Wie verändert sich...?") Betrachten der Ursache ( Wie kommt das eigentlich? Warum ist das so? ) Betrachten der Schlussweise ( Ist das eine logische Folgerung? )... unter Einbeziehung der Satzfindung ( Kann man das herausfinden? ) Prozessbezogene Kompetenzen Folie 7

8 pk1: rgumentieren und Beweisen rgumentieren pk1 im BP Kompetenzschulung Beispiele M T E E T M Logische Schlussfolgerungen Logische Schlussweisen spielen im Unterricht selten eine explizite Rolle, sind aber basal für den Prozess des Begründens, rgumentierens und Beweisens. Deshalb sollten sie geschult werden. Problem: ussagen werden in lltagssituationen zuweilen als analog angesehen, die es nicht sind: Prozessbezogene Kompetenzen Folie 8

9 pk1: rgumentieren und Beweisen rgumentieren pk1 im BP Kompetenzschulung Beispiele M T E E T M rgumentationsanlässe in allen Unterrichtssituationen Mathematische usammenhänge entdecken, ewinnen einer Vermutung Sonderfälle finden nnahmen beim Modellieren diskutieren Den Mehrwert mathematischer Untersuchungen begründen Vorgehensweisen vergleichen eine gewonnene Vermutung bestätigen eine rgumentationskette nachvollziehen für eine Kommunikation Fehler finden, Widersprüche aufdecken Explorative Funktion des rgumentierens: Mittel zum Erkennen und Erforschen von usammenhängen, Mittel zur Entwicklung von Begriffen Demonstrative Funktion des rgumentierens: Mittel zur Darstellung, Ordnung und Sicherung mathematischen Wissens (FISCER/ MLLE 1985, S. 189) Lösungsansatz: Mehr die explorierende Funktion nutzen durch Forschungsaufträge oder das Erfinden von Mathegeschichten mit rgumentationen aber auch durch das Finden von Fehlern Prozessbezogene Kompetenzen Folie 9

10 pk1: rgumentieren und Beweisen rgumentieren pk1 im BP Kompetenzschulung Beispiele M T E E T M Stufenmodell zum Kompetenzaufbau Intuitive Phase Langsames ewöhnen an korrekte rgumentationen, auch durch Kontrastierung mit alltäglichen Schlussweisen (s.o.) und deren eventuelle Problematisierung Bewusste Phase I Begründungen nach den fünf rundtypen II Mathematische rgumentationsketten verstehen, nachvollziehen und wiedergeben III Mehrschrittige rgumentationen prüfen und vervollständigen (auch: Fehlerkulturaufgaben) IV Eigenständige mehrschrittige rgumentationsketten aufbauen ktivitäten auf verschiedenen Erkenntnisebenen zulassen (EIS- Modell, figurative Beweise,...) Prozessbezogene Kompetenzen Folie 10

11 pk1: rgumentieren und Beweisen rgumentieren pk1 im BP Kompetenzschulung Beispiele M T E E T M rgumentationsbasen in der Mathematik Begriffe (Definitionen): Primzahl, Prisma,... Verfahren: Formel zur Flächeninhaltsberechnung von Trapezen,... usammenhänge (geprüft!): Teilbarkeitssätze, Fünf rundtypen von Begründungen Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines Begriffs Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines Verfahrens Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines Satzes Begründen über den Schluss der Kontraposition Widerlegen einer ussage durch ngabe eines egenbeispiels Prozessbezogene Kompetenzen Folie 11

12 pk1: rgumentieren und Beweisen rgumentieren pk1 im BP Kompetenzschulung Beispiele M T E E T M 1. Begründung durch Identifizieren eines Objektes oder einer Relation ussage: Der ug ist eine Regionalbahn! Begründung: Er hält an jedem Bahnhof, den er passiert. 2. Begründung durch Identifizieren eines Verfahrens Objekt: Begründung: Das ist ein Parallelogramm, weil jeweils zwei gegenüberliegende Seiten parallel und gleichlang sind. ussage: Der Sportler ist gedopt. Begründung: Die korrekte nwendung eines geprüften Nachweisverfahrens für Doping hatte ein pos. Ergebnis ussage: 193 ist eine Primzahl. Begründung: -> Sieb des Eratosthenes 3. Begründung durch Identifizieren oder Realisieren eines usammenhangs Bekannt: Es ist ugust und die Bauern güllen. ussage: Morgen regnet es, allerdings nicht zu stark. Begründung: Bauernwettervorhersagen stimmen immer! + rechtliche rundlagen Bekannt: α = 30, β = 70 ussage: γ = 80 Begründung: Innenwinkelsummensatz für (ebene) Dreiecke Prozessbezogene Kompetenzen Folie 12

13 pk1: rgumentieren und Beweisen rgumentieren pk1 im BP Kompetenzschulung Beispiele M T E E T M 4. nwenden der Kontraposition eines Satzes Trifft ein, folgt B. => B Ist B nicht eingetroffen, so ist folglich auch nicht eingetroffen: kein B => kein Voraussetzung: Wenn es regnet (), ist der Boden nass (B). ussage: Es hat nicht geregnet. Begründung: Der Boden ist nicht nass, deshalb kann es nicht geregnet haben. Begriff: Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem mindestens zwei Seiten parallel verlaufen. Satz: Wenn ein Viereck ein Trapez ist, dann gilt... ussage: Das ist kein Trapez. Begründung: Es sind nicht mindestens zwei Seiten parallel. 5. Widerlegung einer Universalaussage durch ein egenbeispiel ussage: lle Rosen sind rot. Widerlegung: eigen einer andersfarbigen Rose. ussage: lle Vierecke sind Quadrate. Widerlegung: Das ist ein Viereck, aber kein Quadrat. Prozessbezogene Kompetenzen Folie 13

14 pk1: rgumentieren und Beweisen rgumentieren pk1 im BP Kompetenzschulung Beispiele M T E E T M Fazit 1: um Beurteilen und Weiterentwickeln von Begründungen spielt die Explizierung der genutzten Regeln und rgumentationsbasen eine zentrale Rolle. Je breiter das Spektrum der zunächst akzeptierten Darstellungsformen und Stützungen für Begründungen ist, desto mehr Lernende werden mit dem Beweisen beginnen können. Fazit 2: Eine Begründungskultur kann sich nicht erst etablieren, wenn alle Lernenden ein Bedürfnis nach Begründungen individuell verspüren, sondern wenn die Frage nach dem WRUM zu einem selbstverständlichen Bestandteil des Unterrichts wird. Fazit 3: rgumentieren kann in Lernsituationen, die auf sozialen ustausch untereinander setzen, gezielter angeregt werden als in lehrerdominierten Konstellationen. Die Moderation der Lehrkraft wird zur Überwachung der inhaltlichen und strukturellen Diskursqualitäten gebraucht. Prozessbezogene Kompetenzen Folie 14

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