Gute Argumente für mathematisches Argumentieren

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1 Gute Argumente für mathematisches Argumentieren Prof. Dr. Regina Bruder FB Mathematik, TU Darmstadt MNU Hamburg,

2 Vision für modernen MU: Was soll durch den Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter

3 Gliederung 1. Problemsichten - Argumentieren im Alltag und in der Mathematik: Phänomene und Schwierigkeiten 2. Was heisst es mathematisch Argumentieren zu erlernen? - Grundtypen für Begründungsaufgaben - Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung 3. Argumentationsanlässe im MU 3

4 Argumentieren im Alltag erfolgt oft anders als in der Mathematik Ich hoffe, er ist pünktlich. Bisher war er immer pünktlich! Dann bin ich beruhigt. Euler hat mit dieser Formel Primzahlen berechnet: n² + n + 17 Ich hoffe, die Formel stimmt! Bisher hat es bei allen n, die ich ausprobiert habe, immer geklappt!...? Funktionen des Beweisens in der Mathematik: Beweise sind Mittel zur Darstellung, Ordnung und Sicherung mathematischen Wissens (demonstrative Funktion) Beweise sind Mittel zum Erkennen und Erforschen von Zusammenhängen (explorative Funktion) 4

5 Lehrer: Du hast 10 Bleistifte und 20 Buntstifte. Wie alt bist du? Julia: 30 Jahre alt! Lehrer: Aber du weißt doch genau, dass du nicht 30 Jahre alt bist! Julia: Ja, klar. Aber das ist nicht meine Schuld. Du hast mir die falschen Zahlen gegeben. Quelle: "Je mehr Löcher, desto weniger Käse - Mathematik verblüffend einfach" von Holger Dambeck (Kiepenheuer & Witsch) 5

6 Ergebnisse einer PISA-Vorstudie: x x+3 4x 6

7 Problemsichten und Entwicklungspotenzial Beweisen in der Lebenswelt: Überzeugen, Sicherheit gewinnen, Rechtsprechung -im Vergleich zur Rolle von Beweisen in der Mathematik mit demonstrativer und explorativer Funktion Elschenbroich (2002): Ein Beweis auf Schulniveau ist eine nicht durch rationale Argumentation zu erschütternde Antwort auf die Frage nach dem Warum. Sprachliche Schwierigkeiten - dann auch fachsprachliche und sprachlogische Defizite Kaum Wissen über Argumentationsbasen und zulässige Schlussweisen Beim Argumentieren Kommunikationselemente mit aufnehmen und damit Aktivitäten auf verschiedenen Erkenntnisebenen zulassen (EIS-Modell, figurative Beweise...) Wenig Einsicht der SuS in Beweisnotwendigkeiten... 7

8 Gliederung 1. Problemsichten - Argumentieren im Alltag und in der Mathematik: Phänomene und Schwierigkeiten 2. Was heisst es mathematisch Argumentieren zu erlernen? - Grundtypen für Begründungsaufgaben - Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung 3. Argumentationsanlässe im MU 8

9 Worum geht es beim Erlernen mathematischen Argumentierens? Alltag: Ich konnte meine Hausaufgaben nicht machen weil... Ich brauche mehr Taschengeld, weil... Welche Argumente wirken besonders überzeugend? Ziel des MU als Beitrag zur Allgemeinbildung (Heymann, 1996): Systematische Auseinandersetzung mit der Zulässigkeit von Argumenten und Schlussweisen - aber wie? 9

10 Die drei Erkenntnisebenen nach Bruner: enaktiv ikonisch symbolisch (EIS-Modell) Viele Lernende haben Schwierigkeiten mit der symbolischen Erkenntnisebene 10

11 Beispiel: Innenwinkelsummensatz für ebene Dreiecke Motivation: Herausarbeiten, dass die Summe der Innenwinkel konstant bleibt aber wie groß ist sie? Vermutung durch Messen das ist aber kein zulässiges mathematisches Werkzeug Enaktiv: Winkel durch Körperdrehung ablaufen Ecken abreißen und aneinander legen Ikonisch: Winkel messen Skizze mit parallel verschobener Dreiecksgrundseite durch gegenüberliegenden Eckpunkt Symbolisch: Beschriftung von Seiten und Winkeln und Aufstellen von Gleichungen mit Winkelgrößen 11

12 Nachhaltig Mathematik lernen bedeutet: Beim Wissenserwerb anknüpfen an bisheriges Wissen und Können Beim Wissenserwerb verschiedene Erkenntnisebenen durchlaufen (EIS) Methoden und Argumentationen liefern, die mathematischer Natur sind Erweitern und Vernetzen: Innenwinkelsumme im Viereck? Kritisch weiter denken: Stimmt das immer? Auch auf der Kugel? 12

13 Argumentieren im MU meint......jegliche Aktivitäten des Suchens, Auswählens, Verwendens und des Beurteilens von Argumenten und deren Verknüpfung in vielfältigen innerund außermathematischen Zusammenhängen. (ml 168, 2011) Unterscheidung: Mathematisches Argumentieren setzt stets eine definierte Argumentationsbasis voraus und ist an bestimmte Schlussweisen gebunden. Ziel ist das Erzeugen und Sichern von Wissen weniger ein adressatengerechter Informationsaustausch. Kommunizieren ist eine Ereignisabfolge wechselseitiger Äußerungen und Interpretationen (Euler, 1994). 13

14 Welche Argumente und Schlussweisen sind zulässig? Argumentationsbasen in der Mathematik: Begriffe (Definitionen): Primzahl, Prisma, Bestimmtes Integral... Zusammenhänge (geprüft!): Satzgruppe des Pythagoras, Teilbarkeitssätze Verfahren (unter den erforderlichen Anwendungsbedingungen): Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen oder zur Flächeninhaltsberechnung von Trapezen... Annahmen beim Mathematisieren (Voraussetzungen annehmen, um math. Verfahren oder Sätze anwenden zu können) 14

15 Welche Argumente und Schlussweisen sind zulässig? Logische Schlussregeln: Abtrennungsregel oder Schluss aus einer Universalaussage: Beispiele: Gleichseitige Dreiecke haben drei gleiche Winkel ABC ist gleichseitig ABC hat drei gleiche Winkel Jede durch 8 teilbare Zahl ist auch durch 4 teilbar: 24 ist durch 8 teilbar. 24 ist auch durch 4 teilbar. 15

16 Grundtypen von Begründungen im MU 1. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines Begriffes 2. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines Verfahrens 3. Begründen durch Identifizieren oder Realisieren eines Satzes (verwenden i.d.r. Schluss aus Universalaussage oder ggf. auch Drittengleichheit) 4. Begründen über den Schluss der Kontraposition 5. Widerlegen einer Aussage durch Angabe eines Gegenbeispiels 16

17 1. Begründung durch Identifizieren eines Objektes oder einer Relation Aussage: Begründung: Der Zug ist eine Regionalbahn! Er hält an jedem Bahnhof, den er passiert Objekt: Begründung: Das ist ein Parallelogramm, weil jeweils zwei gegenüberliegende Seiten parallel und gleichlang sind. 17

18 2. Begründung durch Realisieren eines Verfahrens Aussage: Der Sportler ist gedopt. Begründung: Die korrekte Anwendung eines geprüften Nachweisverfahrens für Doping hatte ein pos. Ergebnis Aussage: Das lineare Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung: 5x+3y = 22 8x-4y = 0 Begründung: Die Anwendung des Additionsverfahrens ist gerechtfertigt und führt zur Lösung x= 2 und y= 4. Alternative: Die Interpretation der beiden Gleichungen als lineare Funktionen zeigt, dass die beiden Geraden weder identisch noch parallel sind. 18

19 4. Anwenden der Kontraposition eines Satzes Trifft A zu, folgt B wahr. A => B Ist B nicht eingetroffen, so ist folglich auch A nicht eingetroffen. kein B => kein A Voraussetzung: Wenn es regnet (A), ist der Boden nass (B). Aussage: Es hat nicht geregnet. Begründung: Der Boden ist nicht nass, deshalb kann es nicht geregnet haben

20 4. Anwenden der Kontraposition eines Satzes Trifft A zu, folgt B wahr. A => B Ist B nicht eingetroffen, so ist folglich auch A nicht eingetroffen. kein B => kein A Voraussetzung: Wenn es regnet (A), ist der Boden nass (B). Aussage: Es hat nicht geregnet. Begründung: Der Boden ist nicht nass, deshalb kann es nicht geregnet haben Begriff: Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem mindestens zwei Seiten parallel verlaufen. Satz: Wenn ein Viereck ein Trapez ist, dann gilt... Aussage: Begründung: Das ist kein Trapez. Es sind nicht mindestens zwei Seiten parallel. 20

21 Die Argumentationsbasis beim Begründen und Beweisen besteht aus einer Menge von Aussagen, die als richtig angesehen werden zusammen mit den Schlussweisen, die als zulässig anerkannt werden. Begründen gilt als Vorform oder Elementarform des Beweisens. Def. Unter einem Beweis einer Aussage A versteht man eine Kette (endlich) von Umformungen, die mit Hilfe gültiger Schlussregeln vorgenommen werden und die von wahren oder als wahr angenommenen Aussagen ausgehen und zu der Aussage A führen. 21

22 Stufenmodell zum Kompetenzaufbau Intuitive Phase Schrittweises Gewöhnen an sprachlich-logisch und fach-inhaltlich korrekte Argumentationen (Lehrervorbild) und Lerngelegenheiten zur Sicherung eines grundlegenden (Erst-) Verständnisses (Lernprotokoll) 22

23 Intuitive Phase bis zur Diagnose von elementarem Verständnis warum gilt das? Mehrwert? 23

24 Stufenmodell zum Kompetenzaufbau Intuitive Phase Schrittweises Gewöhnen an sprachlich-logisch und fach-inhaltlich korrekte Argumentationen (Lehrervorbild) Bewusste Phase I II Begründungen nach den fünf Grundtypen ausführen (Bezug auf eine Definition, Bezug auf einen Satz, Anwenden eines Verfahrens, Widerspruchsbeweis, Angeben eines Gegenbeispiels) Mathematische Argumentationsketten verstehen, nachvollziehen und wiedergeben III Mehrschrittige Argumentationen prüfen und vervollständigen IV Eigenständig mehrschrittige Argumentationen aufbauen 24

25 Gliederung 1. Problemsichten - Argumentieren im Alltag und in der Mathematik: Phänomene und Schwierigkeiten 2. Was heisst es mathematisch Argumentieren zu erlernen? - Grundtypen für Begründungsaufgaben - Stufenmodell zur Kompetenzentwicklung 3. Argumentationsanlässe im MU 25

26 3. Argumentationsanlässe im MU in allen Unterrichtssituationen - Mathematische Zusammenhänge entdecken, Gewinnen einer Vermutung - Sonderfälle finden - Annahmen machen beim Modellieren - Den Mehrwert mathematischer Untersuchungen begründen - Vorgehensweisen vergleichen (Explorative Funktion des Argumentierens) - Eine gewonnene Vermutung bestätigen (beweisen) - Eine Argumentationskette nachvollziehen (Zweispaltenbeweis) für eine Kommunikation - Fehler finden, Widersprüche aufdecken (Demonstrative Funktion des Argumentierens) 26

27 Beobachtung: Fragen: Das arithmetische Mittel ist etwas größer als das geometrische Mittel. Ist das immer so? Warum denn? Beschreibungsebene der Mathematik: Vermutung: a b > 2 a b a,b pos. reell Begründung durch eine geometrische Interpretation: a b a 2 b 27

28 Mathematik treiben: Forschungsaufträge Neue Teilbarkeitsregeln erfinden (für die 12, 15, 20, 50...) Wie viele Diagonalen hat ein n-eck? Warum gibt es nur 5 Platonische Körper? Ist das eine Mogelpackung? Welche Größe hat der Schuh? Umsetzung in heterogenen Lerngruppen: Schrittweises Hinführen an Verallgemeinerungen durch Blütenaufgaben (Lernstile beachten!) 28

29 Blütenaufgabe : Rechenzauber (ab Kl.5) - als Lern- und Testaufgabe geeignet Torsten hat sich einen Zaubertrick ausgedacht. Er sagt: Denke dir eine Zahl. Verdopple deine Zahl und addiere 9. Multipliziere das Ganze nun mit 4 und ziehe 36 ab. Torsten behauptet, dass er anhand des Ergebnisses sofort die gedachte Zahl benennen kann. a) Jan denkt sich die Zahl 5. Welches Ergebnis nennt er Torsten? b) Beim nächsten Versuch hat Jan das Ergebnis 64. Welche Zahl hatte er sich gedacht? c) Wie kann Torsten schnell und einfach die gedachte Zahl berechnen? Erkläre, warum dieser Trick immer funktioniert. 29

30 DGS als Hilfsmittel zum Gewinnen von Vermutungen P Fernsehshow früher (Ungarn 1979): A 0 B The semicircular disc glides along two legs of a right angle. Which line describes point P on the perimeter of the half circle? 1) Übersetze die Aufgabe aus der englischen Sprache in die deutsche Sprache. 2) Baue eine Vorrichtung aus Bierdeckeln, Stecknadeln oder ähnlichen Materialien, um die Aufgabenstellung anschaulich demonstrieren zu können. 3) Zeichne dann selbst mehrere Lagen des Halbkreises beim Heruntergleiten. 4) Beschreibe die Kurve, auf der der Punkt P sich dabei bewegt, so präzise wie möglich. 5) Finde eine Begründung für die Kurvenform. Quelle:Distler Bensheim 30

31 A 0 P B Ausprobieren mit Bierdeckel (I) DGS (II) A P 0 B A P (III) math. Zusammenhänge finden 0 B 31

32 Beweisen bzw. im Sinne der Bildungsstandards Argumentieren lernen mit geeigneten Aufgabenformaten: Ist das richtig? Gilt das immer? (p-q-formel, Gauß-Algorithmus, Höhensatz...) Gilt auch die Umkehrung? (Wenn ein Viereck ein Drachenviereck ist, dann stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht.) Wie kommt das eigentlich? Warum ist das so? (Der konvergierende Faltwinkel, Beispiele entwickeln nach dem EIS-Modell) Kann das stimmen? Rechner als Kontrollinstrument... und unter Einbeziehung der Satzfindung: Kann man das herausfinden? (Diagonalenzahl im konvexen n-eck, Mittelwertsatz...) 32

33 Moderate Forderungen bzgl. Beweisdarstellungen Beweisschema als Strukturierungshilfe oder Beweisbäume/Lösungsgraphen Feststellung Begründung Einsicht in die Beweisnotwendigkeit fördern durch Diskussion zugelassener Beweismittel (analog im Alltag!) Beispiel: 6 ist stets ein Teiler von n³+11n für natürliche n. Einstieg: Vergewisserung an Beispielen: Die Aussage gilt für n=1. Beweisvarianten: vollst. Induktion oder Teilbarkeitseigenschaften 33

34 Beispiel: Zu zeigen ist, dass 6 ein Teiler ist von n³+11n für natürliche Zahlen n. Feststellung Begründung n³+11n = n³+ (12n n) sinnvolle Zerlegung, um Symmetrien zu erzeugen; nur noch zu zeigen, dass n³-n durch 6 teilbar, da 12n durch 6 teilbar ist n³-n = n (n²-1) = n (n+1) (n-1) Zerlegung mit 3.binomischer Formel 6 teilt n(n+1)(n-1) weil das Produkt dreier aufeinander folgender natürlicher Zahlen immer durch 2 und durch 3 teilbar ist qed 34

35 Argumentationsanlass: Wie ist das entstanden? Aufklären warum ist das so? Kann das sein? Die Einparkformel nachvollziehen (Abstand 0 zum Nachbarauto realistisch?) Rekonstruktion der Formen der Kirchenfenster? 35

36 Argumentationsanlass: Wie ist das entstanden? Aufklären warum ist das so? Kann das sein? Die Einparkformel nachvollziehen (Abstand 0 zum Nachbarauto realistisch?) Rekonstruktion der Formen der Kirchenfenster? Zahlentricks aufklären: Multipliziere die Zahl Deiner vollen Lebensjahre mit 2. Addiere 5! Multipliziere die Summe mit 5! Nenne mir das Ergebnis! Wenn man von diesem Ergebnis die letzte Ziffer weg streicht und von der so erhaltenen Zahl 2 subtrahiert, erhält man das Alter der Person. Fehler aufklären: a = b Einen Leserbrief schreiben a 2 = ab a 2 + a 2-2ab = ab + a 2-2ab 2(a 2 - ab) = a 2 ab 2 = 1 36

37 Reflexionen zum mathematischen Argumentieren (analog gültig für Modellieren und Problemlösen) Was hat uns geholfen die Aufgabe zu lösen? (den/einen Beweis zu finden) Welche mathematischen Zusammenhänge haben wir nutzen können? (Form der zweispaltigen Beweisdarstellung als Unterstützung) Welche Strategien waren hilfreich, um eine lückenlose Argumentation aufzubauen? - Kombiniertes Vorwärts- Rückwärtsarbeiten mit umstrukturierten Wissensspeichern 37

38 Aufgabe 18 zum Üben (Problemlösen) (Calimero, Band 5, s. 26) Einem Rechteck mit den Seitenlängen 9 cm und 5 cm wird ein Parallelogramm P einbeschrieben, indem von jedem Eckpunkt des Rechtecks aus im Uhrzeigersinn eine gleich lange Strecke x abträgt. Bestimme die Länge von x so, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms möglichst klein ist. Hinweis: Den Flächeninhalt des Parallelogramms erhältst du, indem du vom Flächeninhalt des Rechtecks den Flächeninhalt der vier Dreiecke subtrahierst. x x 9 cm x x 5 cm 38

39 Lösungsmöglichkeiten: Rein algebraisch : Einen Term zur Bestimmung des Flächeninhaltes über die Teilflächen bilden: 45-(x(5-x)+x(9-x))=45-(5x-x²+9x-x²)=2x²-14x+45 Eine Parabel erkennen, zeichnen=> Extrema bestimmen => interpretieren x x x 5 cm x 9 cm 39

40 Aufgabe 18 zum Üben (Problemlösen) (Calimero, Band 5, s. 26) Einem Rechteck mit den Seitenlängen 9 cm und 5 cm wird ein Parallelogramm P einbeschrieben, indem von jedem Eckpunkt des Rechtecks aus im Uhrzeigersinn eine gleich lange Strecke x abträgt. Bestimme die Länge von x so, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms möglichst klein ist. Hinweis: Den Flächeninhalt des Parallelogramms erhältst du, indem du vom Flächeninhalt des Rechtecks den Flächeninhalt der vier Dreiecke subtrahierst. Oder alternativ (offener): Untersuche den Flächeninhalt des Parallelogramms. x x 9 cm x x 5 cm Die offene Formulierung der Aufgabenstellung und die Verwendung von TC zum Experimentieren wird die ganze Lerngruppe eher ansprechen. Die klassische Formulierung der Aufgabe wird nur die SuS aktivieren, die den algebraischen Lösungsweg umsetzen können. 40

41 Durch Experimentieren : Die Konstruktion der Figur ist vom Lehrer vorgegeben. Die Veränderung des Flächeninhaltes des Parallelogramms bei der Veränderung der Variable x ist zu beobachten. Beobachtungen schriftlich festhalten => eine Lösung vorschlagen. 41

42 Veränderungen des Unterrichts, damit mathematisches Argumentieren mehr Raum erhält und bewusst erlernt wird Inhaltlich durch - bewusstes Erlernen der 5 Grundtypen des Begründens - vielfältige Lernanlässe zum Argumentieren nutzen und Alltagsbezüge herstellen - Nutzung des Rechnerpotenzials zum Explorieren und zur Kontrolle Methodisch durch - Ermöglichen und Zulassen der drei Erkenntnisebenen (EIS-Modell) bzw. verschiedener Lösungswege - Forschungsaufträge - Blütenaufgaben (nicht alle erreichen alles) - Kompetenztrainingslager zum Explizitmachen des Argumentierens

43 Aktueller Literaturhintergrund für die Schule: Wege zum Beweisen. mathematik lehren, Heft155, Friedrich Verlag 2009 Beweisen lernen. MatheWelt in ml 155 Argumentieren. mathematik lehren, Heft 168, Friedrich Verlag 2011 Wie wirst du ein Pythagoreer? MatheWelt in ml Vielen Dank für Ihr Interesse! 43