Langfristiger Kompetenzaufbau in heterogenen Lerngruppen

Transkript

1 Langfristiger Kompetenzaufbau in heterogenen Lerngruppen Prof. Dr. Regina Bruder Technische Universität Darmstadt MNU Hannover

2 Gliederung 1. Problemsichten und Entwicklungspotenziale (im aktuellen MU) 2. Vorstellungen, wie Lernen (von Mathematik) funktioniert 3. Ziele, Inhalte und Gestaltungskonzepte für einen langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht

3 Problemsicht Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen)»Bewerber scheitern vielfach an der Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnen.«die Taschenrechner sind schuld! Projekt Notstand in Mathematik der IHK Braunschweig ( April 2010) extrem hohe Zahl von Abbrechern in den MINT- Studienfächern

4 Vision für modernen MU: Was soll durch den Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

5 Langfristiger Kompetenzaufbau bezüglich eines mathematischen Blickes in die Welt, kann heißen: a) Die Umwelt/Lebenswelt mit mathematischem/logischem Blick kritisch prüfen: Stimmt das? Kann das denn sein? Warum ist das so? b) Den Mehrwert von Mathematik erfahren: Wo kommt Mathematik vor wo ist Mathematik versteckt? Wie fragen Mathematiker? Was wissen wir jetzt besser/genauer mit Mathematik als vorher? Beispiele: - wir können Größen abschätzen - wir können Dinge, Sachverhalte, Anteile miteinander vergleichen

6 Projekt: PALMA (vom Hofe et al)

7 Warum gibt es Bedarf nach Weiterentwicklung der Aufgabenkultur? Leistungsstarke Lernende werden zu wenig gefördert! PISA 2003: Im Problemlösetest bessere Leistungen als in Mathematik Projekt PALMA: Leistungen sind mitunter besser vor einer mathematischen Behandlung (z.b. Anteilsbestimmungen - Lottoaufgabe) TIMS-Videostudie (MU): In der BRD werden am wenigsten komplexe Aufgaben im Unterricht gestellt

8 Problemsicht Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen) Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke Leistungsstarke werden zu wenig gefördert»bewerber scheitern vielfach an der Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnen.«

9 Was ist wesentlich? Orientierung an der Curriculumspirale Abstände Figuren erkennen untersuchen erzeugen variieren berechnen Datensätze beschreiben darstellen strukturieren Objekte (und Prozesse) optimieren Algebraische Aspekte: Zahl Geometrische Aspekte: Raum - z.b. bei Verpackungen

10 Um welche prototypischen Sachverhalte geht es? Schätzen und Überschlagen von Größen (sinnhaft!!) Annahmen machen! Schaffen es die Luftballons bis über den nahe gelegenen Berg? Alternative Verpackungen finden Erfüllt die Konfektschachtel die Kriterien einer Mogelpackung? Wie viel Liter Wasser passen in diesen Fasswagen?

11 Langfristiger mathematischer Kompetenzaufbau kann angelegt werden - innerhalb eines Schuljahres über verschiedene Unterrichtsthemen bzw. Leitideen hinweg in horizontaler Verknüpfung (z.b. Abschätzaufgaben in verschiedenen Kontexten) - innerhalb einer Leitidee, aber vertikal mit fachlicher Anreicherung angelegt über mehrere Klassenstufen. (Beispiel: Entfernungs- bzw. Abstandsbestimmungen, Anteilsbestimmungen) Benötigt wird ein lernförderliches unterrichtliches Umfeld.

12 Phänomene Teaching to the test So kann man nicht wirklich Mathe lernen und verstehen: Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren erarbeiten üben - Test schreiben - vergessen neues Thema... Vernetzte Begriffswelten? Nein, Inselwelten... Schüler: Ach, die Atome im Physikunterricht sind dieselben wie in Chemie?

13 Problemsicht Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen) Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke Leistungsstarke werden zu wenig gefördert Kompetenzaufbau langfristig anlegen: horizontal und vertikal vernetzt statt teaching to the test»bewerber scheitern vielfach an der Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnen.«

14 Exkurs: Kognitive Stile Wie lösen Sie die folgende Aufgabe? Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P außerhalb von g. Gesucht ist ein Punkt H so, dass H auf g liegt und man von H aus den Punkt P unter einem Winkel von 30 anpeilt.

15 Problemsicht Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen) Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke Weiterentwicklung der Aufgabenkultur Kompetenzaufbau langfristig denken: horizontal und vertikal vernetzt Berücksichtigung unterschiedlicher Leistungspotenziale, Lernstile, Grund-und Fehlvorstellungen»Bewerber scheitern vielfach an der Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnen.«-immer Gruppenarbeit und offene Aufgaben für alle? ( 4 verschiedene Lernstile nach Gregory,2005)

16 Kognitive Stile Es ist eine offensichtliche Tatsache, dass Schüler individuelle Präferenzen beim Lernen aufweisen jede Unterrichtssituation auf jeden Schüler jeweils anders von motivierend bis hemmend wirkt auch Lehrer individuelle Präferenzen aufweisen und sich daher fast automatisch gewisse Einseitigkeiten des Lehrens und Lernens einstellen Korrelationen bestehen zwischen dem Stil der Lehrer und ihren Schülern (Sternberg 1994) Diejenigen Schüler weisen bessere Noten auf, deren Stil demjenigen der Lehrer entspricht (Sternberg 1994) Neu: Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen als Ergebnis einer Metaanalyse (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005)

17 Lernstil der Beach Balls Self-Expressive Learners (Intuitive/Feeling) Gestalte eine Veranschaulichung für einen Schlüsselbegriff der Unterrichtseinheit Experimentier- & Entdeckungsfreude Spontanität & Kreativität Gleichschrittanweisungen zu folgen, immer die gleichen Schreibarbeiten zu machen

18 Lernstil der Puppies Interpersonal Learners (Sensing/Feeling) Intuitiv, affektiv Benötigen Begründung für das Lernen Haben Bedürfnis nach Zusammenarbeit Detailorientiert und gründlich zu sein Korrigiert zu werden oder ein negatives Feedback zu erhalten

19 Lernstil der Microscopes Understanding (Intuitive/Thinking) Beurteile folgende Aussagen, ob sie jeweils stets, manchmal oder niemals wahr sind. Begründe deine Beurteilung schriftlich. Denken analytisch, kritisch Lernen gründlich Arbeiten alleine Neue Dinge ausprobieren offene Probleme lösen Perfektionisten 1. Ein Trapez ist ein Rechteck. Begründung 2. Ein Viereck ist ein reguläres Polygon. 3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck. 4. Ein Trapez hat parallele Schenkel. 5. Diagonale eines Parallelogramms halbieren einander. 6. Ein Rechteck ist ein Quadrat. 7. Ein Quadrat ist ein Rechteck. 8. Eine Raute ist ein Rechteck. 9. Ein Parallelogramm hat exakt drei rechte Winkel. 10. Vier Seiten einer Raute und eines Parallelogramms sind gleich lang und vier Ecken einer Raute und eines Parallelogramms sind gleich groß.

20 Lernstil der Clipboards Mastery (Sensing/Thinking) Routinen, vorhersagbare Situationen Sinn für Details & Genauigkeit Ohne Anweisungen arbeiten, das große Bild sehen

21 Lernstile Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005) Keine Diagnostik und Zuordnung der Lernenden nach Lernstilen Dennoch: Zuordnung Lernstil =>Unterrichtsmethode (math tools) Idee: Durch Variation in den Aufgaben und Darstellungen finden alle Lernstile stärkere Berücksichtigung im Unterricht Annahme: Die Unterschiedlichkeit des Zuganges zum Unterrichtsgegenstand nutzt allen Lernenden mehr, als wenn sie nur ihrem eigenen Lernstil entsprechend unterrichtet würden.

22 Gliederung 1. Problemsicht: Entwicklungspotenziale im aktuellen MU 2. Vorstellungen, wie Lernen (von Mathematik) funktioniert 3. Ziele, Inhalte und Gestaltungskonzepte für einen langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht

23 Denken lernen und kritischer Vernunftgebrauch: An unverstandener Mathematik lässt sich weder alltägliches noch mathematisches Denken schulen! Motivation: Eltern: Sie müssen unser Kind nur richtig motivieren, dann kann es das schon!

24 Bedingungen für Lernmotivation und Interesse bereichsspezifische Kompetenzerfahrungen Erfahrung, in einem Inhaltsbereich selbstbestimmt zu handeln soziale Einbindung in eine Domäne Motivation und Interesse der Lehrkräfte (BLK- Studie, Rheinberg)

25 Unterscheidung von Zielkategorien (nach Weinert): Intelligentes Wissen Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren identifizieren und realisieren können; typische Anwendungen kennen Handlungskompetenz Mathematisches Wissen vernetzen und in komplexen Situationen inner- und außermathematisch anwenden können Metakompetenz Reflexionsfähigkeit über den eigenen Lernstand und Lernprozess und Methodenbewusstheit in Verbindung mit einem angemessenen Bild von Mathematik

26 Beispiele für sich durchsetzende lerntheoretische Konstrukte: Theorie der Erkenntnisebenen Wege zur Erkenntnisgewinnung? (Bruner) (Galperin) enaktive Ebene - materielle Ebene (Muskelerinnerung) ikonische Ebene - Ebene der unmittelbaren Anschauung - Ebene der mittelbaren Anschauung (Computerbilder) - sprachliche Ebene symbolische Ebene - geistige Ebene

27 Beispiel: Innenwinkelsummensatz Motivation: Herausarbeiten, dass die Summe der Innenwinkel konstant bleibt aber wie groß ist sie? Vermutung durch Messen das ist aber kein zulässiges mathematisches Werkzeug

28 Beispiel: Innenwinkelsummensatz Motivation: Herausarbeiten, dass die Summe der Innenwinkel konstant bleibt aber wie groß ist sie? Vermutung durch Messen das ist aber kein zulässiges mathematisches Werkzeug Enaktiv: Winkel durch Körperdrehung ablaufen Ecken abreißen Ikonisch: Winkel messen Skizze mit parallel verschobener Dreiecksgrundseite durch gegenüberliegenden Eckpunkt Symbolisch: Beschriftung von Seiten und Winkeln und Aufstellen von Gleichungen mit Winkelgrößen

29 Nachhaltig Mathematik lernen bedeutet: Beim Wissenserwerb anknüpfen an bisheriges Wissen und Können Beim Wissenserwerb verschiedene Erkenntnisebenen durchlaufen Methoden und Argumentationen liefern, die mathematischer Natur sind Erweitern und Vernetzen: Innenwinkelsumme im Viereck? Kritisch Weiterdenken: Stimmt das immer? Auch auf der Kugel?

30 Zum lerntheoretischen Hintergrund Lernfortschritt erfordert nach dem Tätigkeitskonzept (Giest &Lompscher 72(2004), ) -Eine selbst gestellte Lernaufgabe -Erarbeitung einer Orientierungsgrundlage für die notwendigen Tätigkeiten auf verschiedenen Leveln: I Probierorientierung (trial and error) II Musterorientierung, beispielgebunden III Feldorientierung

31 Wie kann man mathematische Modellierungskompetenz langfristig aufbauen? Probierorientierung Orientierung am Muster Mathematik Realität Mathematisches Modell Übergang zur Feldorientierung 2 Realmodell 1 3 Realsituation 5 Mathematische Ergebnisse 4 Reale Ergebnisse S: Lösen von Beispielaufgaben mit Feedback und Vergleich verschiedener Aufgaben bzgl. ähnlicher Vorgehensweisen S: Lösen von Aufgaben zu den Teilhandlungen des Modellierens in wenig variierenden Kontexten mit schrittweiser Erweiterung L: Musterlösungen mit Kommentierung stehen zur Orientierungsbildung zur Verfügung Aufgabentyp: Weg und Ziel sind wichtig! S: Reflexion des Modellierungskreislaufes und der Teilhandlungen bzgl. Einsatz von Mathematik und von Strategien Transfer auf andere Kontexte, eigene Beispiele finden

32 - Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt?

33 - Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt? Vergleichen verschiedener Verpackungen miteinander Frage: Welche Mathematik wird wofür benötigt? Art des Materials Form Handhabbarkeit Herstellungsverfahren Ökologische Aspekte

34 Vergleichen verschiedener Verpackungen miteinander nach Art des Materials mit Optimierungsideen allerdings in Abhängigkeit von der Art der Herstellung

35 Fallbeispiel: Bier in Glasflasche oder Alu-Dose Die ökologischen Stellschrauben innerhalb eines Produktlebenswegs sind je nach Umweltproblemfeld an unterschiedlichen Stellen zu finden. Entsorgung + Recycling Distribution g PO4-Äquivalente pro l Füllgut Abfüllung UBC-Recycling 1 Sekundäre- 5 und tertiäre Verpackung 0 2 Kunststoff-Herstellung. Etikettherstellung Verschlussherstellung Getränkebehälterherstellung kg CO2-Äquivalente pro 1000 l Bier Fallbeispiel 1: Regionaler Vertrieb Treibhauseffekt Distribution k g C O 2-Ä quiv alente pro 1000 l B ier Treibhauseffekt Fallbeispiel 2: Deutschland weiter Vertrieb Prozessschrottaufbereitung Dosenbandherstellung Primär-Aluminium-Herstellung, Blechherstellung für Kronkorken 0 2. Glas T100 UZ25 4. Alu T100 Glas MW Alu-Dos 0 5. Glas T Alu T680 UZ11 MW EW Quelle: IntJLCA (Basis: IFEU-Studie im Auftrag der GDA)

36 - Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt? Vergleichen und Analysieren von Verpackungen Kreation einer neuen Leckerei mit Verpackung Frage: Welche Mathematik wird wofür benötigt? Realsituationen mathematisch beschreiben: unter Berücksichtigung von Material- und Kostenoptimierung bei der Herstellung von Verpackungen Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge mathematisch beschreiben? Nutzerfreundlichkeit Schutz und Haltbarkeit des Verpackungsinhalts ökologischer Aspekte Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine mathematische Beschreibung bieten?

37 Gliederung 1. Problemsichten und Entwicklungspotenziale (im aktuellen MU) 2. Vorstellungen, wie Lernen (von Mathematik) funktioniert 3. Ziele, Inhalte und Gestaltungskonzepte für einen langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht

38 Langfristiger binnendiff. math. Kompetenzaufbau erfordert Diagnose, Prophylaxe und Therapie Ziel- und Inhaltstransparenz für die Lernenden sichern Wachhalten von Basiswissen Vermeiden von (neuen) hemmenden Unterschieden Innerhalb eines mathematischen Lernbereiches wird differenziert nach Abstraktionsgrad, Komplexität, Kontext und Offenheit Förderung der Selbstregulation Vielseitige kognitive Aktivierung der Lernenden durch vielfältige Aufgabentypen und Wahlmöglichkeiten Reaktion auf existierende Unterschiede der Lernenden Übungskonzept

39 Übungskonzept mit drei Phasen Erste Übung mit Identifizierungs- und Realisierungsaufgaben für alle Stoffelemente (Begriffe, Zusammenhänge, Verfahren und typische Anwendungen) Vielfältige Übung (auch vertiefende Übung genannt) Vertiefend, binnendifferenzierend und als produktive bzw. intelligente Übung gestalten Komplexe Übungen und Anwendungen Vernetzungen der aktuellen Stoffelemente mit bereits bekannten herstellen; Komplexität erhöhen und Transfer ermöglichen Trainingslager für Problemlösen, Argumentieren, Modellieren

40 Blütenaufgaben mit aufsteigender Komplexität und Offenheit für Lern- und Leistungssituationen: An der Anlegestelle einer großen Fähre steht: Karte 1 Person 50 Blockkarte 8 Personen 380 Blockkarte 20 Personen 900 a) Welchen Preis hat eine Gruppe von 4 Personen zu zahlen? b) Wie viele Karten bekommt man für 300? c) Handelt es sich bei der Preistabelle um eine proportionale Zuordnung? Begründe. a) (x x -) b) (- x x) c) (x - -) d) ((-) (-)) d) Für 24 Schüler rechnet Frank einen Preis von 1140 aus. Maike meint, dass die Gruppe noch günstiger fahren kann. Hat Maike recht? Begründe. e) Die Fährgesellschaft will eine Blockkarte für 50 Personen einführen. Was wäre ein angemessener Preis? Quelle: Jordan, Univ. Kassel, 2004

41 Problemsicht Klagen über fehlendes mathematisches Grundkönnen (IHK, Hochschulen) Gesunder Menschenverstand bleibt mitunter auf der Strecke Leistungsstarke werden zu wenig gefördert Kompetenzaufbau langfristig anlegen: horizontal und vertikal vernetzt statt teaching to the test Berücksichtigung unterschiedlicher Leistungspotenziale, Lernstile, Grund-und Fehlvorstellungen»Bewerber scheitern vielfach an der Aufgabe, die Fläche eines Rechtecks mit den Kantenlängen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnen.«-immer Gruppenarbeit und offene Aufgaben für alle? ( 4 verschiedene Lernstile nach Gregory,2005)

42 Unterrichtskonzept von MABIKOM Unterrichtseinstieg KÜ Lernprotokoll Wahlaufgaben, Aufgabenset KÜ KÜ Checkliste LHA Blütenaufgaben Lernkontrolle

43 "Kopfübungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument 1 Berechne: Ordne der Größe nach: 1/7, 1/3, 1/2 3 Notiere 4,3 cm in der nächst größeren und der nächst kleineren Einheit 4 5,4 10,6 5 Wie viele Flächen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groß? 6 Berechne: - 3 (- 11) 3 7 Es ist genau 8.00 Uhr. Welchen Winkel schließen Minuten- und Stundenzeiger ein? 8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schüler; 2/3 kommen mit dem Bus zur Schule. Wie viele sind das? 9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft. Für wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche? 10 Berechne. 20% von Woche später: Ordne der Größe nach: 3/7, 3/4, 3/10 3 Gib als dm an: 1,82 m 4-5,4 + 10, 6 5 Aus welchen Flächen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen? 6 Schreibe drei Multiplikationen auf, deren Ergebnis 6 ist. 7 Richtig oder falsch: In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groß. 8 Gib 2/5 als Dezimalzahl an. 9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an, die auf der y-achse liegen. 10 Von 32 Schülern kommen 24 mit dem Bus. Wie viel Prozent sind das?

44 Was auch zum Abitur noch ohne Rechner gekonnt werden sollte Dreisatz, auch Maßstab Maßstab 1: cm werden gemessen Wie viele km sind das in der Natur? Prozent- und Zinsrechnung Jemand erhält am Jahresende 450 Zinsen. Das Guthaben wurde mit 3% verzinst. Wie viel Geld wurde zum Jahresbeginn eingezahlt, das diese Zinsen gebracht hat? Gleichungen: Gib jeweils die Lösungsmenge im Bereich der reellen Zahlen an! a) 6x - 1 = 2x + 15 b) 0 = (a + 3) (a - 4) g) 2a 3b = -11 und c) 2y = 81 d) sin x - 11 = 7 4a = 8b - 32 e) 3r 3-17 = 2r f) z 2 2z - 8 = 0 Freie Bilder zeichnen Schaubild einer Wurzelfunktion, Exponentialfunktion und Hyperbel Schrägbild einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche usw.

45

46 Aufgabenformate und -typen Ziel- oder Strukturtyp Ein modernes Aufgabenkonzept oder ein Beitrag zur Weiterentwicklung der Aufgabenkultur bedeutet: Es kommen in einer Unterrichtseinheit alle 8 Strukturtypen von Aufgaben angemessen vor! Begründung: Diese Aufgabentypen bilden wesentliche Lerntätigkeiten ab, ermöglichen Vernetzung, bieten individuelle Freiräume und erfordern methodische Variabilität des Lernangebotes.

47 Erste und vertiefende Übung zu Nullstellenberechnungen von linearen Funktionen Wähle mindestens fünf der folgenden Aufgaben aus und löse sie (15min) Gesucht ist jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen: 1. f(x) = x f(x) = 2x f(x) = - 5x 2,5 4. Zeichne eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei x = Was kann eine Nullstelle einer linearen Funktion praktisch bedeuten? Level I

48 Erste und vertiefende Übung zu Nullstellenberechnungen von linearen Funktionen Wähle mindestens fünf der folgenden Aufgaben aus und löse sie (15min) Gesucht ist jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen: 1. f(x) = x f(x) = 2x f(x) = - 5x 2,5 4. Zeichne eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei x = Was kann eine Nullstelle einer linearen Funktion praktisch bedeuten? Gib die Gleichungen zweier linearer Funktionen an, die bei x = 4 ihre Nullstelle haben. 7. Notiere die Gleichung einer linearen Funktion, die keine Nullstelle hat. Level II 8. Überlege Dir einen Sachverhalt, der mit Hilfe einer linearen Funktion beschrieben werden kann, welche bei P(1;0) eine Nullstelle hat

49 Erste und vertiefende Übung zu Nullstellenberechnungen von linearen Funktionen Wähle mindestens fünf der folgenden Aufgaben aus und löse sie (15min) Gesucht ist jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen: 1. f(x) = x f(x) = 2x f(x) = - 5x 2,5 4. Zeichne eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei x = Was kann eine Nullstelle einer linearen Funktion praktisch bedeuten? Gib die Gleichungen zweier linearer Funktionen an, die bei x = 4 ihre Nullstelle haben. 7. Notiere die Gleichung einer linearen Funktion, die keine Nullstelle hat. 8. Überlege Dir einen Sachverhalt, der mit Hilfe einer linearen Funktion beschrieben werden kann, welche bei P(1;0) eine Nullstelle hat Warum können lineare Funktionen nie mehr als eine Nullstelle haben? 10. Finde einen Ausdruck zur Bestimmung der Nullstelle für eine beliebige lineare Funktion: f(x) = mx + b und gib dazu evtl. notwendige Bedingungen für m,x und b an! Level III

50 Kein gelungenes Beispiel für ein binnendifferenzierendes Aufgabenset zum nachhaltigen Lernen

51 Kontakt: (Vorträge zum download) Online - Fortbildungskurse