Ein Unterrichtskonzept für einen binnendifferenzierenden Mathematikunterricht

Transkript

1 Ein Unterrichtskonzept für einen binnendifferenzierenden Mathematikunterricht (xx-) (x--), (x-x) (-xx) ((-)-(-)) (-x-) Prof. Dr. Regina Bruder FB Mathematik TU Darmstadt (-) (-) Münster,

2 Hintergrund Mathematische Binnendifferenzierende Kompetenzentwicklung ( ) Nachfolgeprojekt des Niedersächsischen CAS-Projektes CAliMERO Wie kann man auch mit heterogenen Lernvoraussetzungen im MU so umgehen, dass möglichst viele Schülerinnen und Schüler einer Klasse kognitiv wie motivational angesprochen werden und Lernfortschritte für alle erreicht werden? Vgl. die Zielstellung der Expertise Steigerung der Effizienz des mathematischnaturwissenschaftlichenunterrichts 1997 für Modul 4 unter:

3 Welche Unterschiede der Lernenden. empfinden wir nicht als bereichernd für den Unterricht: - Unterschiedliche Lern- und Anstrengungsbereitschaft - Unterschiedliches Ausgangsniveau im Grundwissen und Grundkönnen - Unterschiedliches Arbeitstempo - Unterschiedlicher Bedarf an Zuwendung

4 Mathematik wird unterschiedlich beherrscht Wann hat man etwas verstanden? elementar: Identifizieren und Realisieren eines Begriffes, Zusammenhangs oder Verfahrens lokal: ein Beispiel dafür und dagegen angeben können Global: Begriffe, Zusammenhänge, Verfahren können als Mathematisierungsmuster eingesetzt werden

5 Unzugängliche Entfernungen bestimmen 5

6 Wie kann man die Breite eines Flusses (Höhe eines Baumes o.ä. nicht zugängliche Entfernungen) bestimmen? Maßband und Winkelmessgerät stehen zur Verfügung. 6

7 Ausblick: Wo soll die Reise hingehen im kompetenzorientierten MU? Wann hat man etwas verstanden? elementar: Identifizieren und Realisieren des Begriffes, Zusammenhangs oder Verfahrens Sollen bestimmte Lösungswege beherrscht werden? - Falls ja, dann in formalen, geschlossenen Aufgaben einfordern lokal: ein Beispiel dafür und eins dagegen angeben können Global: Begriffe, Zusammenhänge, Verfahren können als Mathematisierungsmuster eingesetzt werden - Generell bei offenen Aufgaben und besonders bei authentischen Anwendungssituationen sollte jeder zum Ziel führende Weg zugelassen werden (nachvollziehbare Beschreibung erforderlich)

8 Gliederung 1. Welche Unterschiede der Lernenden sind für eine kompetenzorientierte Unterrichtsplanung und gestaltung von Bedeutung? 2. Binnendifferenzierende Elemente für den Mathematikunterricht

9 Probleme leistungsstarker Schüler/innen im MU Probleme von Begabtenerkennung und förderung besondere Leistungen in Mathematik finden weniger Anerkennung als in anderen Bereichen, begünstigen u.u. eine Außenseiterrolle geringe Akzeptanz alternativer Lösungsideen im MU führt zur Resignation Talente können verkümmern Unterforderung im MU hemmt die Leistungsbereitschaft Sport: Jeder akzeptiert, dass manche eben weiter springen können als andere und das Aufmerksamkeitsdefizit wird durch Fehlverhalten kompensiert (Störenfriede im Unterricht) Ein(e) Hochbegabte(r): Warum soll ich mich engagieren für andere, wenn für mich ja auch niemand da ist?

10 Welche Unterschiede zwischen Jungen und Mädchen sind für die Unterrichtsplanung und gestaltung in Mathematik von Bedeutung? Unterrichtsrelevant sind alle jene Phänomene, die motivationale Bedeutung haben, also das Kompetenzerleben beeinflussen (Rheinberg) Sicherheitsbedürfnis der Mädchen versus Wunsch nach Themenwechsel der Jungen Balance halten zwischen mathematischen Details und den übergreifenden Sinnfragen Wozu brauchen wir das?

11 Welche Unterschiede zwischen Jungen und Mädchen sind für die Unterrichtsplanung und gestaltung in Mathematik von Bedeutung? Unterrichtsrelevant sind alle jene Phänomene, die motivationale Bedeutung haben, also das Kompetenzerleben beeinflussen (Rheinberg) Sicherheitsbedürfnis der Mädchen versus Wunsch nach Themenwechsel der Jungen Balance halten zwischen mathematischen Details und den übergreifenden Sinnfragen Angebote zur Selbsteinschätzung der Lernenden und Feedback (Stärkung des Selbstwertgefühls und Förderung realistischer Selbsteinschätzung) In Mathe war ich immer schlecht Abhaken-Mentalität S. aus Kl.9: Eine Tabelle aufstellen? Sowas haben wir vielleicht mal in Kl.6 gemacht, das kann ich doch jetzt nicht mehr!

12 Lernfortschritt erfordert: - Eine selbst gestellte Lernaufgabe - Erarbeitung einer Orientierungsgrundlage für die notwendigen Tätigkeiten Verortung von Lernfortschritten nach WYGOTSKI: Zone Zone der Inhalt der aktuellen Leistung Tätigkeit Motivation nächsten Verlauf Entwicklung Lernaufgabe Orientierungsgrundlage

13 Welche Unterschiede der Lernenden sind für die Unterrichtsplanung und gestaltung von Bedeutung? Zielwahrnehmung und Zielverarbeitung, wenn Lernanforderungen gestellt werden Modell der Lerntätigkeit nach Lompscher (1972, 1984) Ziele Motive Handlung Inhalt Verlauf Motivationslage intrinsisch extrinsisch, Einstellungen, Interessenbreite, Niveau des math. Elternerwartung, Wissens und Lehrervorbild... Könnens, Grundvorstellungen, Werkzeugkompetenz, Weltwissen... Produkte Ergebnisse Verlaufsqualitäten des Denkens, Arbeitstempo, kognitive Stile, Festigungsbedarf und Selbstregulationskompetenz Umgang mit Fehlern, Kommunikationsfähigkeit, Reflexionsbereitschaft und -fähigkeit

14 Wie lösen Sie die folgende Aufgabe? Gegeben ist eine Gerade und ein Punkt außerhalb der Geraden. Gesucht ist ein Punkt auf der Geraden, von dem aus man den Punkt außerhalb unter einem Winkel von 30 sieht.

15 Prädikativer oder funktionaler Denkstil? In einem gestellten Problem wird erst die Struktur oder das Funktionieren gesichtet Mädchen verhalten sich im Vergleich zu Jungen eher prädikativ Konsequenzen für die Aufgabenauswahl in Übungen und Prüfungen!

16 Kognitive Stile Es ist eine offensichtliche Tatsache, dass Schüler individuelle Präferenzen beim Lernen aufweisen jede Unterrichtssituation auf jeden Schüler jeweils anders von motivierend bis hemmend wirkt auch Lehrer individuelle Präferenzen aufweisen und sich daher fast automatisch gewisse Einseitigkeiten des Lehrens und Lernens einstellen Korrelationen bestehen zwischen dem Stil der Lehrer und ihren Schülern (Sternberg 1994) Diejenigen Schüler weisen bessere Noten auf, deren Stil demjenigen der Lehrer entspricht (Sternberg 1994) Neu: Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen als Ergebnis einer Metaanalyse (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005)

17 Lernstil der Beach Balls Self-Expressive Learners (Intuitive/Feeling) Gestalte eine Veranschaulichung für einen Schlüsselbegriff der Unterrichtseinheit Experimentier- & Entdeckungsfreude Spontanität & Kreativität Gleichschrittanweisungen zu folgen, immer die gleichen Schreibarbeiten zu machen

18 Lernstil der Puppies Interpersonal Learners (Sensing/Feeling) Intuitiv, affektiv Benötigen Begründung für das Lernen Haben Bedürfnis nach Zusammenarbeit Detailorientiert und gründlich zu sein Korrigiert zu werden oder ein negatives Feedback zu erhalten

19 Lernstil der Microscopes Understanding (Intuitive/Thinking) Beurteile folgende Aussagen, ob sie jeweils stets, manchmal oder niemals wahr sind. Begründe deine Beurteilung schriftlich. Denken analytisch, kritisch Lernen gründlich Arbeiten alleine Neue Dinge ausprobieren offene Probleme lösen Perfektionisten 1. Ein Trapez ist ein Rechteck. Begründung 2. Ein Viereck ist ein reguläres Polygon. 3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck. 4. Ein Trapez hat parallele Schenkel. 5. Diagonale eines Parallelogramms halbieren einander. 6. Ein Rechteck ist ein Quadrat. 7. Ein Quadrat ist ein Rechteck. 8. Eine Raute ist ein Rechteck. 9. Ein Parallelogramm hat exakt drei rechte Winkel. 10. Vier Seiten einer Raute und eines Parallelogramms sind gleich lang und vier Ecken einer Raute und eines Parallelogramms sind gleich groß.

20 Lernstil der Clipboards Mastery (Sensing/Thinking) Routinen, vorhersagbare Situationen Sinn für Details & Genauigkeit Ohne Anweisungen arbeiten, das große Bild sehen

21 Ein Beispiel unterrichtlicher Umsetzung - nach Lernstilen differenzierender Unterrichtsansatz nach Silver et al. Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005) Keine Diagnostik und Zuordnung der Lernenden nach Lernstilen Dennoch: Zuordnung Lernstil =>Unterrichtsmethode (math tools) Idee: Durch Variation in den Aufgaben und Darstellungen finden alle Lernstile stärkere Berücksichtigung im Unterricht Annahme: Die Unterschiedlichkeit des Zuganges zum Unterrichtsgegenstand nutzt allen Lernenden mehr, als wenn sie nur ihrem eigenen Lernstil entsprechend unterrichtet würden.

22 Schlussfolgerungen Didaktische Analyse Berücksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der Aufgabenwahl (vor allem für Einstiege, Übungen und Langfristige HA) 1. Welche Fähigkeiten, Verfahren und Schlüsselbegriffe müssen die Lernenden beherrschen? Lernprotokoll, Checkliste, mind-map 2. Welche Kernbegriffe, Muster oder Prinzipien müssen die Lernenden vertieft verstehen? Wdhlg. mit Kopfübung 3. Wie werden die Lernenden persönlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken? Lerntagebuch, eigene Beispiele finden, Mathegeschichten erfinden Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden, visualisieren, anwenden oder mit ihnen experimentieren?

23 Schlussfolgerungen Innermathematische vs.anwendungsbezogene Aufgaben Gelöste Beispiele einbauen (für Clipbords) Abstrakte Aufgaben einbauen (für Microskopes) Selbstregulationselemente verstärken (für Beach Balls) Partnerbearbeitung einer LHA zulassen (für Puppies) Hausaufgaben Wahlaufgaben Komplexe geschlossene vs. offene Aufgaben (für Clipboards) Innermathematische vs. anwendungsbezogene Aufgaben Hilfen z.b. in Form von Tippkärtchen abrufbar (v.a.puppies, Clipboards) Arbeitsform frei wählbar (einzeln, in Gruppen) Einstiege Offene vs. geschlossene Aufgaben (für Clipboards) Innermathematische vs. anwendungsbezogene Situationen Theoretische Darstellung zum Thema alternativ anbieten (für Microscopes) Arbeitsform frei wählbar (einzeln, in Gruppen)

24 Gliederung 1. Welche Unterschiede der Lernenden sind für eine kompetenzorientierte Unterrichtsplanung und gestaltung von Bedeutung? 2. Binnendifferenzierende Elemente für den Mathematikunterricht

25 Alte, noch immer ungelöste Probleme...? Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine Addition aufgeben wollte, sagte der Schulmeister: Verzeiht, wohlehrwürdiger Pfarrer, solches haben wir lange nicht mehr gerechnet, sie können es kaum mehr, wir sind jetzt beim Dividieren. Darüber wunderte sich kein Vorgesetzter, man fand es ganz natürlich, denn der Statthalter sagte: Gerade so ging es auch mir, und wenn es mir lange nicht zuhanden kommt, vergesse ich es noch jetzt. Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines Schulmeisters. Bern 1838

26 Didaktische Kernlelemente zur Binnendifferenzierung Binnendifferenzierung erfordert Diagnose, Prophylaxe und Therapie Ausgangsniveausicherung/Wachhalten von Basiswissen Vermischte Kopfübung Differenzierende kognitive Aktivierung Differenzierende Einstiege Lernprotokoll Wahlmöglichkeiten: Aufgabenset, Blütenaufgaben Unterstützung der Selbstregulation Vermischte Kopfübung Lernprotokoll und Checkliste

27 Unterrichtskonzept von MABIKOM Unterrichtseinstieg(e) KÜ Lernprotokoll Aufgabenset KÜ KÜ Checkliste Blütenaufgaben Langfristige HA Test

28 Methoden zur Diagnose und Prophylaxe Lernende als Experten... Semantische Netze... Modell der Lerntätigkeit nach Lompscher (1972, 1984) Differenzierende Einstiege Motivierung und Zielklärung Ziele Handlung Inhalt Verlauf Produkte Motive Ergebnisse

29 Quelle: Lehrerhandreichung CAliMERO, Bd.2, T³,2008,S.63

30 Was ist wesentlich? Verallgemeinerte Grobstruktur semantischer Netze im MU: Einstiege, Voraussetzungen Algebraische Aspekte Geometrische Aspekte Anwendungen Anwendungen Was kommt dann? Weiterungen 30

31 Unterrichtseinstieg - differenzierend Das Ziel ist es, den Schülern unterschiedliche Zugänge zu einem neuen Thema zu ermöglichen. Hierzu werden mehrere Aufgaben zu einem Kernaspekt des neuen Themengebiets gestellt, aus denen die Schülerinnen und Schüler auswählen können. Differenzierung nach verschiedenen - Kontexten - Darstellungsformen - Erkenntnisebenen Berücksichtigung unterschiedlicher Lerntypen

32 Kopfrechenführerschein

33 1. Vermischte Kopfübungen Ziel ist das Wachhalten von Basiskompetenzen aus früheren Themen und Klassenstufen durch eine rituelle Lerngelegenheit. Dazu notieren die Schülerinnen und Schüler ihre Lösungen zu maximal 10 im Kopf lösbaren Basisaufgaben. Grundvorstellungen und Grundverständnis wachhalten ohne Taschenrechner Themenmix in jeder Kopfübung Erkennen eigener Stärken und Schwächen wöchentliches Ritual, ca. 10 Minuten

34 Vermischte Kopfübung zum Wachhalten von Grundwissen und als Diagnoseinstrument Möglicher Aufbau und Dokumentation von wöchentlichen Kopfübungen

35 Vermischte Kopfübung mit Diagnoseanteil (7) 1.Berechne Ordne der Größe nach: 1/7, 1/3, 1/2 3.Notiere 4,3 cm in der nächst größeren und der nächst kleineren Einheit 4.Berechne 5,4 10,6 5.Wie viele Flächen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groß? 6.Berechne: - 3 (- 11) 3 7.Es ist genau 8.00 Uhr. Welchen Winkel schließen Minuten- und Stundenzeiger ein? 8.In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schüler/innen; 2/3 kommen mit dem Bus zur Schule. Wie viele Schüler/innen sind das? 9.Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft. Für wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche? 10.Berechne 20% von 45.

36 "Kopfübungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von Grundwissen/Grundkönnen 1 Berechne: Ordne der Größe nach: 1/7, 1/3, 1/2 3 Notiere 4,3 cm in der nächst größeren und der nächst kleineren Einheit 4 5,4 10,6 5 Wie viele Flächen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groß? 6 Berechne: - 3 (- 11) 3 7 Es ist genau 8.00 Uhr. Welchen Winkel schließen Minuten- und Stundenzeiger ein? 8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schüler; 2/3 kommen mit dem Bus zur Schule. Wie viele sind das? 9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft. Für wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche? 10 Berechne. 20% von Woche später: Ordne der Größe nach: 3/7, 3/4, 3/10 3 Gib als dm an: 1,82 m 4-5,4 + 10, 6 5 Aus welchen Flächen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen? 6 Schreibe drei Multiplikationen auf, deren Ergebnis 6 ist. 7 Richtig oder falsch: In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groß. 8 Gib 2/5 als Dezimalzahl an. 9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an, die auf der y-achse liegen. 10 Von 32 Schülern kommen 24 mit dem Bus. Wie viel Prozent sind das?

37 Vermischte Kopfübungen nicht überfordern! Probleme: Lernschwache profitieren nur begrenzt. Reichen KÜ aus oder sind noch andere Formate nötig? Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten? Nachlernmaterialien mathe-flyer o.ä. Gegenseitige Schülerhilfe Selbstlernangebote online ( online-trainer der Schulbuchverlage )

38 Methoden zur Diagnose, Prophylaxe und Therapie Lernende als Experten... Semantische Netze... Modell der Lerntätigkeit nach Lompscher (1972, 1984) Differenzierende Einstiege Motivierung und Zielklärung Ziele Handlung Inhalt Verlauf Produkte Motive Ergebnisse Ausgangsniveauerfassung und Ausgangsniveausicherung Vermischte Kopfübungen unabhängig vom aktuellen Thema Lernprotokoll zum aktuellen Thema Differenzierung mit Aufgaben Wahlaufgaben Aufgabenset Blütenaufgaben

39 Unterrichtskonzept von MABIKOM Unterrichtseinstieg(e) KÜ Lernprotokoll Aufgabenset KÜ KÜ Checkliste Blütenaufgaben Langfristige HA Test

40 Binnendifferenzierung durch Wahlaufgaben mit unterschiedlichen Anforderungen große Unterschiede im Arbeitstempo, Festigungsbedarf und im kognitiven Leistungsvermögen => Wahlmöglichkeiten Übertragen von Eigenverantwortung bei der Schwierigkeitsauswahl Organisatorisch: I. eine bestimmte Anzahl von Aufgaben ansteigender Schwierigkeit soll in einer verabredeten Zeit bearbeitet werden (z.b. mindestens 5 von 10 Aufgaben) II. Wahlmöglichkeit bei ausgewiesener Schwierigkeit *, **, *** gefordert sind z.b. 10 Sternchen stelle selbst zusammen Alle üben alles?

41 Ein Aufgabenset Nullstellenberechnungen von linearen Funktionen Wähle mindestens fünf der folgenden Aufgaben aus und löse sie (15min) Gesucht ist jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen: 1. f(x) = x f(x) = 2x f(x) = - 5x 2,5 Level I 4. Zeichne eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei x = Was kann eine Nullstelle einer linearen Funktion praktisch bedeuten?

42 Aufgabenset Nullstellenberechnungen von linearen Funktionen Wähle mindestens fünf der folgenden Aufgaben aus und löse sie (15min) Gesucht ist jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen: 1. f(x) = x f(x) = 2x f(x) = - 5x 2,5 4. Zeichne eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei x = Was kann eine Nullstelle einer linearen Funktion praktisch bedeuten? Gib die Gleichungen zweier linearer Funktionen an, die bei x = 4 ihre Nullstelle haben. 7. Notiere die Gleichung einer linearen Funktion, die keine Nullstelle hat. Level II 8. Überlege Dir einen Sachverhalt, der mit Hilfe einer linearen Funktion beschrieben werden kann, welche bei P(1;0) eine Nullstelle hat

43 Aufgabenset Nullstellenberechnungen von linearen Funktionen Wähle mindestens fünf der folgenden Aufgaben aus und löse sie (15min) Gesucht ist jeweils die Nullstelle der folgenden linearen Funktionen: 1. f(x) = x f(x) = 2x f(x) = - 5x 2,5 4. Zeichne eine lineare Funktion mit einer Nullstelle bei x = Was kann eine Nullstelle einer linearen Funktion praktisch bedeuten? Gib die Gleichungen zweier linearer Funktionen an, die bei x = 4 ihre Nullstelle haben. 7. Notiere die Gleichung einer linearen Funktion, die keine Nullstelle hat. 8. Überlege Dir einen Sachverhalt, der mit Hilfe einer linearen Funktion beschrieben werden kann, welche bei P(1;0) eine Nullstelle hat Level III 9. Können lineare Funktionen mehr als eine Nullstelle haben? 10. Finde einen Ausdruck zur Bestimmung der Nullstelle für eine beliebige lineare Funktion: f(x) = mx + b und gib dazu evtl. notwendige Bedingungen für m,x und b an!

44 Kein gelungenes Beispiel für ein differenzierendes Aufgabenset

45 Wie findet man intelligente Teilaufgaben? (-) (-) Eine Aufgabe besteht aus drei Komponenten, die entweder bekannt sind oder nicht (stark vereinfacht): - Gegebene Informationen - Transformationen (Lösungswege) - Gesuchte Informationen

46

47 Aufgabenset zum Thema Scheitelpunkt von Parabeln In den ersten drei Aufgaben ist jeweils der Scheitelpunkt der quadratischen Funktionen gesucht: 1. f(x) = (x-3)²+7 Grundaufgabe 2. f(x) = 3(x+5)²+4 3. f(x) = 0,5x²-6 4. Die Normalparabel wird um 2 Einheiten nach rechts und um 6,5 Einheiten nach unten verschoben. Wie lautet die Scheitelpunktform der neuen Parabel? ( -, x, x ) 5. Bernd hat zu dem abgebildeten Graphen den Funktionsterm aufgestellt. Sein Ergebnis ist f(x) = 2(x-5)²+2 Erkläre, was Bernd falsch gemacht hat.... ( x, x, x )

48 Aufgabenset zum Thema Scheitelpunkt von Parabeln In den ersten drei Aufgaben ist jeweils der Scheitelpunkt der quadratischen Funktionen gesucht: 1. f(x) = (x-3)²+7 2. f(x) = 3(x+5)²+4 3. f(x) = 0,5x²-6 4. Die Normalparabel wird um 2 Einheiten nach rechts und um 6,5 Einheiten nach unten verschoben. Wie lautet die Scheitelpunktform der neuen Parabel? 5. Bernd hat zu dem abgebildeten Graphen den Funktionsterm aufgestellt. Sein Ergebnis ist f(x) = 2(x-5)²+2 Erkläre, was Bernd falsch gemacht hat Die Flugbahn eines Balles wird durch eine Parabel beschrieben. Was bedeuten in dieser Situation der Streckfaktor und der Scheitelpunkt? Welche Werte kann der Streckfaktor hier annehmen? ( -, x, - ) 7. Die Normalparabel wurde so verschoben, dass sie die x-achse an den Stellen 1 und 5 schneidet. Wie lautet die neue Funktionsgleichung? ( x, -, - ) 8. Gib die Gleichung von zwei möglichst unterschiedlichen Parabeln an, deren Scheitelpunkt im Punkt S(0/3) liegt. ( -, -, x )

49 Aufgabenset zum Thema Scheitelpunkt von Parabeln In den ersten drei Aufgaben ist jeweils der Scheitelpunkt der quadratischen Funktionen gesucht: 1. f(x) = (x-3)²+7 2. f(x) = 3(x+5)²+4 3. f(x) = 0,5x²-6 4. Die Normalparabel wird um 2 Einheiten nach rechts und um 6,5 Einheiten nach unten verschoben. Wie lautet die Scheitelpunktform der neuen Parabel? 5. Bernd hat zu dem abgebildeten Graphen den Funktionsterm aufgestellt. Sein Ergebnis ist f(x) = 2(x-5)²+2 Erkläre, was Bernd falsch gemacht hat Die Flugbahn eines Balles wird durch eine Parabel beschrieben. Was bedeuten in dieser Situation der Streckfaktor und der Scheitelpunkt? Welche Werte kann der Streckfaktor hier annehmen? 7. Die Normalparabel wurde so verschoben, dass sie die x-achse an den Stellen 1 und 5 schneidet. Wie lautet die neue Funktionsgleichung? 8. Gib die Gleichung von zwei möglichst unterschiedlichen Parabeln an, deren Scheitelpunkt im Punkt S(0/3) liegt.. 9. Welchen Einfluss haben die Parameter a und d in der Funktionsgleichung f(x)=a(x-d)²+0,1 auf die Anzahl der Nullstellen? 10. In der Abbildung ist der Graph der quadratischen Funktion f(x)=0,5(x-3)²-1 dargestellt. Leider wurde vergessen, die Koordinatenachsen einzuzeichnen und zu beschriften. Ergänze sie. ( x, -, - ) ( x, -, - )

50 Blütenaufgabe : Rechenzauber (ab Kl.5) - als Lern- und Testaufgabe geeignet Torsten hat sich einen Zaubertrick ausgedacht. Er sagt: Denke dir eine Zahl. Verdopple deine Zahl und addiere 9. Multipliziere das Ganze nun mit 4 und ziehe 36 ab. Torsten behauptet, dass er anhand des Ergebnisses sofort die gedachte Zahl benennen kann. a) Jan denkt sich die Zahl 5. Welches Ergebnis nennt er Torsten? b) Beim nächsten Versuch hat Jan das Ergebnis 64. Welche Zahl hatte er sich gedacht? c) Wie kann Torsten schnell und einfach die gedachte Zahl berechnen? Erkläre, warum dieser Trick immer funktioniert. 50

51 DGS als Hilfsmittel zum Gewinnen von Vermutungen P Fernsehshow früher (Ungarn 1979): A 0 B The semicircular disc glides along two legs of a right angle. Which line describes point P on the perimeter of the half circle? 1) Übersetzt die Aufgabe aus der englischen Sprache in die deutsche Sprache. 2) Baut eine Vorrichtung aus Bierdeckeln, Stecknadeln oder ähnlichen Materialien, um die Aufgabenstellung anschaulich demonstrieren zu können.... 6) Zeichnet dann selbst mehrere Lagen des Halbkreises beim Heruntergleiten. 7) Beschreibt die Kurve, auf der der Punkt P sich dabei bewegt, so präzise wie möglich. 8) Findet eine Begründung für die Kurvenform. Quelle:Distler Bensheim 51

52 A 0 P B Ausprobieren mit Bierdeckel (I) DGS (II) A P 0 B A P (III) math. Zusammenhänge finden 0 B 52

53 Blütenaufgaben - drei bis fünf Teilaufgaben - steigender Schwierigkeitsgrad - evtl. zunehmende Öffnung - gemeinsamer Kontext erleichtert konzentrierte Bearbeitung vereinfacht das Besprechen der Teilaufgaben

54 Blütenaufgaben mit aufsteigender Komplexität und Offenheit An der Anlegestelle einer großen Fähre steht: Karte 1 Person 50 Blockkarte 8 Personen 380 Blockkarte 20 Personen 900 a) Welchen Preis hat eine Gruppe von 4 Personen zu zahlen? b) Wie viele Karten bekommt man für 300? a) (x x -) b) (- x x) c) (x - -) d) ((-) (-)) c) Für 24 Schüler rechnet Frank einen Preis von 1140 aus. Maike meint, dass die Gruppe noch günstiger fahren kann. Hat Maike recht? Begründe. d) Die Fährgesellschaft will eine Blockkarte für 50 Personen einführen. Was wäre ein angemessener Preis? Quelle: Jordan, Univ. Kassel, 2004

55 Blütenaufgabe Teelichter a) Ein Discounter bietet zwei verschieden große Teelicht - Packungen an. Welches Angebot ist günstiger? b) Ein weiterer Discounter bietet folgendes Angebot Wie lange brennen herkömmliche Teelichte? c) Welches Angebot ist (bezogen auf die Brenndauer) günstiger? d) Ein dritter Discounter hat Teelichte mit 5 Stunden Brenndauer entwickelt. Entwerfe für diesen Discounter ein Angebot. Setze dazu auch den Preis und die Anzahl der Teelichte in einer Packung fest. Begründe deine Entscheidungen!

56 Zielniveaus einer Blütenaufgabe Regelstandard (x--) schwierige Bestimmungsaufgabe oder Begründung (x-x) ((-)-(-)) offene Problemstellung oder selbst eine Aufgabe erfinden (-x-) (xx-) Grundaufgabe (-xx) Umkehraufgabe Mindeststandard (elementares Verständnis)

57 Bearbeitungsmöglichkeiten einer Blütenaufgabe Soweit wie möglich kommen in geg. Zeit (x--) schwierige Bestimmungsaufgabe oder Begründung (x-x) ((-)-(-)) offene Problemstellung oder selbst eine Aufgabe erfinden (-x-) Mindestens zwei Teilaufgaben schaffen in geg. Zeit - mit unterschiedlichem Einstieg (xx-) Grundaufgabe (-xx) Umkehraufgabe

58 Unterschied Blütenaufgabe-Aufgabenset A u f g a b e n s e t B l ü t e n a u f g a b e meist innermathematische formale Übungsaufgaben Erstbegegnung mit den neuen Lerninhalten sorgt für grundlegendes Verstehen - allerdings bereits auf unterschiedlichen Niveaus Meist Anwendungsaufgaben Komplexe Übungen und Anwendungen Kompetenzprofil breiter und anspruchsvoller angelegt (xx-) (x--), (x-x) (-xx) ((-)-(-)) (-x-)

59 Hintergrund: Übungskonzept (ml 147, 2008) Erste Übung mit Identifizierungs- und Realisierungsaufgaben für die neuen Stoffelemente (in unmittelbarer Verbindung mit der Einführung) Vielfältige Übung (auch vertiefende Übung genannt) Vertiefend, binnendifferenzierend und als produktive bzw. intelligente Übung gestaltet Aufgabenset (x--), (x-x) ((-)-(-)) (-x-) Blütenaufgaben (xx-) (-xx) Komplexe Übungen und Anwendungen Vernetzungen der aktuellen Stoffelemente mit bereits bekannten herstellen; Komplexität erhöhen und Transfer ermöglichen

60 Umgang mit Wahlmöglichkeiten Eine realistische Selbsteinschätzung einzelner Schüler gelingt nicht immer Erwartungshorizont beim Arbeiten mit Wahlaufgaben erstellen Die Bereitschaft leistungsstärkerer Lernender sich mit den schwierigeren Aufgaben auseinander zu setzten bleibt manchmal aus Frustration bei schwächeren Schülern günstiges Lernklima durch individuelle Rückmeldungen schaffen Auswahl üben (begründen und reflektieren lassen) Überforderung in den Auswahlsituationen

61 Erfahrungen mit Wahlaufgaben Sinnvoll und notwendig, Leistungsstärkere ausreichend gefördert Schüler arbeiten konzentriert beim Einsatz von Aufgabensets im Unterricht, Motivationssteigerung durch Wahlaufgaben Variation der Aufgabenstellungen verschiedene Blickwinkel des Sachverhalts größere Flexibilität und Kreativität im Denken die Schüler lernen sich besser selbst einzuschätzen Aufgabensets haben gegenüber zwei differenzierenden Arbeitsblättern den Vorteil eines fließenden Übergangs der Niveaustufen und ermöglichen so eine Zuordnung auf vielen unterschiedlichen Niveaustufen und dies ohne großen Aufwand

62 Unterrichtskonzept von MABIKOM Unterrichtseinstieg(e) KÜ Lernprotokoll Aufgabenset KÜ KÜ Checkliste Blütenaufgaben Langfristige HA Test

63 Typische geeignete Aufgabenformate für ein Lernprotokoll: Worum geht es bei unserem neuen Thema? Beschreibe unser Ausgangsproblem! Wie geht es? Grundaufgabe zum elementaren Anwenden (des Satzes, des Verfahrens) Worüber macht... (der Satz, das Verfahren) Aussagen? Wo kann man (den Satz, das Verfahren anwenden? Welche Fehler können auftreten? (Beim Anwenden des Satzes, des Verfahrens)

64 Beispiel für ein Lernprotokoll Welche Möglichkeiten kennst Du, um Zuordnungen darzustellen? Gib ein Beispiel für eine proportionale Zuordnung an und nenne ein Beispiel, das keine proportionale Zuordnung ist. Welchen Vorteil kann eine mathematische Beschreibung von Zuordnungen haben? Beispiel dafür Beispiel dagegen Mehrwert?? Löse die beiden Aufgaben! Um sein Budget aufzubessern arbeitet ein Student als Hilfskraft pro Woche vier Stunden und verdient 32. Wie viel hat er in einer halben Stunde verdient? Bei einer Gartenarbeit habt Ihr zu dritt mit angepackt und vier Stunden benötigt. Wie viele Helfer hättet Ihr gebraucht, um in einer halben Stunde die Arbeit abzuschließen? Wie realistisch ist das?

65 MABIKOM 7/8 Lernprotokoll zum Thema Flächeninhalte 1. Beschreibe das Eingangsbeispiel zum Thema Flächeninhalte mit deinen eigenen Worten. 2. Zeichne vier verschiedene Figuren mit einem Flächeninhalt von 10 cm². 3. Bestimme die Flächeninhalte der dargestellten Figuren. 4. Bei welchen Fragestellungen kannst du das neu gelernte Verfahren anwenden und bei welchen ist es nicht hilfreich? 5. Welche typischen Fehler tauchen bei der Berechnung von Flächeninhalten auf?

66 Lernprotokoll Das Lernprotokoll bietet eine Lerngelegenheit zur Feststellung des aktuellen Verstehensniveaus nach den ersten Stunden zur neuen Unterrichtseinheit. Mit spezifischen Aufgabenstellungen wird Grundverständnis diagnostiziert und gleichzeitig gefördert. Dazu beantworten die Schülerinnen und Schüler schriftlich und für sich allein die genannten Reflexionsfragen zum neuen Thema ohne Benotung. Das aktuelle Verstehensniveau reflektieren durch: Erläutern des Einstiegsbeispiels (Worum geht es?) Lösen einer Grundaufgabe und ihrer Umkehrung Herstellen von Sinn- und Sachbezug (Wo kann man das Neue anwenden und wo nicht?) Benennen typischer Fehler

67 Checkliste Eine Checkliste gibt den Schülerinnen und Schülern einen Überblick über die grundlegenden Wissens- und Könnenselemente eines Themas zur Unterstützung der Selbsteinschätzung in Vorbereitung auf eine Leistungsüberprüfung. Die in Ich kann - Form formulierten Basiskompetenzen werden mit Beispielaufgaben illustriert, die i.w. im Anforderungsbereich I liegen. Selbsteinschätzung zu Basiskompetenzen Verweis auf Übungsmöglichkeiten

68

69 Fähigkeit Beispielaufgabe Einschätzung Zum Weiterarbeiten 1 Ich kann lineare Funktionen in verschiedenen Darstellungsformen (Tabelle, Graph, Funktionsvorschrift, Sachtext) erkennen und zwischen den Darstellungsformen wechseln. a) Stelle die Daten graphisch dar und bestimme die Funktionsvorschrift. x y 7,5 0-1, b) Bestimme die Funktionsvorschrift! 2 Ich kann die Punktprobe durchführen Bestätige rechnerisch, dass der Punkt P(3/-1) auf der Geraden y=0,75x-3,25 liegt. 3 Ich kann die Gleichung einer linearen Funktion bestimmen, wenn... a) die Steigung und ein Punkt gegeben sind. b) zwei Punkte gegeben sind. 4 Ich kann beschreiben wie sich Veränderungen der Parameter m und b auf den Graphen auswirken. Bestimme die Funktionsgleichung der Zuordnung mit den Eigenschaften a) der Graph verläuft durch den Punkt U(2/- 4) mit der Steigung m=3 b) der Graph verläuft durch die Punkte T(2/6) und P(-4/3) Gib jeweils Bedingungen für die linearen Funktionen y=mx+b an, so dass der Graph parallel zur x-achse liegt.

70 Überprüfen von überfachlichen Kompetenzen durch Selbsteinschätzung: Kompetenzometer für die Sekundarstufe II (Miriam Kovacz) Übergreifende Kompetenzen Fachliche und Überfachliche Kompetenzen Da bin ich stark Das muss ich noch üben Interesse und Engagement Ich kann mich für ein Thema begeistern Es bereitet mir Freude realitätsbezogene, komplexe Aufgaben zu bearbeiten Selbstständigkeit der Arbeit Ich kann Probleme formulieren Ich kann Lösungsansätze selbstständig finden Ich kann die Aufgaben eigenständig lösen Es fällt mir leicht zu gelösten Aufgaben reflektierte Antworten zu formulieren Benötigte Arbeitszeit Ich erledige Aufgaben in der mir vorgeschriebenen Zeit Organisation Ich kann selbstständig strukturieren Ich arbeite zielorientiert Belastbarkeit Ich kann 3 bis 4 Stunden an einem Thema arbeiten Kontaktfähigkeit Ich kann mit einem Partner gut und effektiv zusammenarbeiten. Ich kann Mitschülern mathematische Inhalte und Zusammenhänge erklären Ich kann in einem Team effektiv arbeiten. Ich kann mich einer Gruppe und deren Arbeitsbedingungen anpassen. Alltagsbezug Den Unterrichtsinhalt kann ich mit Alltagsbeispielen leicht verknüpfen Hilfsmittel Ich kann Hilfsmittel passend einsetzen. Kritikfähigkeit Ich kann konstruktive Kritik angemessen und zum rechten Zeitpunkt vermitteln. Ich kann mit Kritik gut umgehen und diese sinnvoll verarbeiten

71 Diagnoseinstrument: Checkliste Checklisten als Instrument zur Selbstdiagnose für Schüler Einsatz: Lernergebnisdiagnose vor einer Klassenarbeit (ca. 2 Wochen) Schüler schätzen ihr Basiswissen und -können selbst ein (ggf. Musteraufgabe) Werden als langfristige Hausaufgabe von den Schülern bearbeitet Schüler sammeln ihre bearbeiteten Übungsaufgaben für die Klassenarbeit Keine Kontrolle der Checklisten (vor der Klassenarbeit) Checklisten werden bei der Rückgabe der Klassenarbeit mitgebracht Checklisten als Instrument zur Selbstdiagnose für Schüler Intentionen: Lerngelegenheiten zur Selbsteinschätzung Was kann ich? Orientierung für das, was innerhalb des Themas wichtig ist: Was muss ich können? Fördern selbstverantwortliches Lernen (Zielsetzung, Übung, Beurteilung, ) Können positive Emotionen bewirken (vor Klassenarbeit) Fördern eigenverantwortlichen Umgang mit Basiskompetenzen

72 3. Diagnoseinstrumente

73 Kritisch sehen: Ich kann Geraden und Halbgeraden zeichnen. Ich kann Strecken genau messen. Ich kann Strecken in beliebige Anteile teilen. Ich kann Winkel messen. Ich kann spitze und stumpfe Winkel mit vorgegebenen Gradzahlen zeichnen. Ich kann überstumpfe Winkel mit vorgegebener Gradzahl zeichnen. Ich kann ein Lot mit dem Geodreieck zeichnen. Ich kann mit dem Zirkel umgehen. Ich kann mit dem Zirkel verschiedene Kreise zeichnen. Ich kann Kreise mit vorgegebenen Radius oder Durchmesser zeichnen. Ich kann die Zeichen und Beschriftungen am Geodreieck erklären und damit umgehen. Ich weiß, wie ich das Geodreieck benutzen muss. Ich kann Tangenten am Kreis zeichnen. Ich behalte auch bei schwierigen Konstruktionen den Überblick. Ich kann geometrische Objekte richtig bezeichnen. Ich kann Neben- und Scheitelwinkel ausrechnen. Ich kann Stufen- und Wechselwinkel ausrechnen.

74 Wie findet man Checklisteninhalte? Geometrische Aspekte Algebraische Aspekte Basiswissen und -können Thema der Lerneinheit Woher? Wohin? Begriffe Zusammenhänge Verfahren Strategien Typische Anwendungen

75 Didaktische Kernlelemente zur Binnendifferenzierung Ausgangsniveausicherung/Wachhalten von Basiswissen Vermischte Kopfübung Differenzierende kognitive Aktivierung Differenzierende Einstiege Aufgabenset Blütenaufgaben Unterstützung der Selbstregulation Vermischte Kopfübung Langfristige Hausaufgabe Lernprotokoll und Checkliste

76 Unterrichtskonzept von MABIKOM Unterrichtseinstieg(e) KÜ Lernprotokoll Aufgabenset KÜ KÜ Checkliste Blütenaufgaben Langfristige HA Test

77 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Kontakt: Aufgabendatenbank Vorträge zum download Fortbildungsangebote online