Muss Mathematik immer schwierig sein?

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1 Muss Mathematik immer schwierig sein? Prof. Dr. Regina Bruder FB Mathematik, AG Didaktik

2 Überblick 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Was sind Gründe dafür? 2. Warum ist das Lernen von Mathematik manchmal so schwer? 3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt: Mit der Mathebrille durch die Welt 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele 5. Ausblick

3 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Was sind Gründe dafür? Aktuelle Phänomene: In den Medien: In Mathe war ich immer schlecht Eltern: Er könnte das ja alles, Sie müssen ihn nur richtig motivieren! Schüler: Wozu brauche ich das denn? Kommt das in der Arbeit dran? Problem: Wertschätzung der Mathematik und von Mathematikkönnen in der Gesellschaft Parallelproblem: Wertschätzung und Akzeptanz von Anstrengung beim Lernen

4 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Was sind Gründe dafür? Hintergründe: - Gesellschaftliches Umfeld: Wertschätzung von Leistung und Anstrengung? Verantwortung übernehmen für das eigene Lernen? Schüler(in) in der Klassenarbeit: Das habe ich noch nie verstanden. Mache ich nicht. Nächste Aufgabe!

5 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Was sind Gründe dafür? Hintergründe: - Gesellschaftliches Umfeld: Wertschätzung von Leistung und Anstrengung? - Aufbau der Mathematiklehrpläne nach der Fachlogik Effekte des MU? Der gesunde Menschenverstand bleibt auf der Strecke. In einem Zwinger leben Hasen und Fasanen. Man kann 24 Köpfe zählen und 60 Beine. Wie viele Tiere sind es von jeder Art?

6 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Was sind Gründe dafür? Hintergründe: - Gesellschaftliches Umfeld: Wertschätzung von Leistung und Anstrengung? - Aufbau der Mathematiklehrpläne nach der Fachlogik Effekte des MU? Theoretisches Denken und Raumvorstellung entwickeln sich stark im Alter zwischen 10 und 12 Jahren: Körper und ihre Darstellungsmöglichkeiten sind erst in höheren Klassenstufen vorgesehen.

7 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Was sind Gründe dafür? Hintergründe: - Gesellschaftliches Umfeld: Wertschätzung von Leistung und Anstrengung? - Aufbau der Mathematiklehrpläne nach der Fachlogik Effekte des MU? - Die Sinnfrage für die Lerninhalte im MU - Mathematik als Disziplinierungsinstrument, Selektionsfach Rätsel, eingekleidete Aufgaben mit unrealistischen Fragestellungen, Kapitänsaufgaben, FERMI-Aufgaben...

8 Mit Mathematik Aufmerksamkeit erringen für Mathematik begeistern Märchen: Der Froschkönig.und die Kugel war aus purem Gold.

9 Geburtsdatum erraten Tag 2 Tag (Tag 2 + 5) 50 (Tag 2 + 5) 50 + Monat Auflösung: 250 subtrahieren und nach der 2. Ziffer von rechts nach links gelesen einen Punkt setzen

10 Mathe macht Sinn: Bauer Alfred benötigt einen neuen Fasswagen: Er hat in einer Internetauktion folgenden Fasswagen gefunden: In der Beschreibung steht: Robuster Fasswagen mit Selbsttränke auf 15 Zoll-Felgen. Aufgabe: Bauer Alfred möchte in erster Linie wissen, welches Volumen der Wagen fasst. Du kannst ihm sicher helfen! Schätze das Fassungsvermögen des Wagens ab. M.Frank,

11 1. Was Lernziele ist wesentlich? drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik Weinert (1999)

12 Folgerungen für den MU?...und für die Lehrkräfte? Über den Lehrerberuf... Wahrscheinlich gibt es nicht viele Berufe, an die die Gesellschaft so widersprüchliche Ansprüche stellt. Gerecht soll er sein, der Lehrer, und zugleich menschlich und nachsichtig, straff soll er führen, doch taktvoll auf jeden Teilnehmer eingehen, Begabungen wecken, pädagogische Defizite ausgleichen, Suchtprophylaxe und Aids-Aufklärung betreiben, auf jeden Fall den Lehrplan einhalten, wobei hochbegabte Schüler gleichermaßen zu berücksichtigen sind wie begriffsstutzige. Mit einem Wort: Der Lehrer hat die Aufgabe, eine Wandergruppe mit Spitzensportlern und Behinderten bei Nebel durch ein unwegsames Gelände in nordsüdlicher Richtung zu führen, und zwar so, dass alle bei bester Laune und möglichst gleichzeitig an drei verschiedenen Zielorten ankommen. Aus: Züricher Weltwoche, Prof. Müller-Limmroth

13 Überblick 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Was sind Gründe dafür? 2. Warum ist das Lernen von Mathematik manchmal so schwer? 3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt: Mit der Mathebrille durch die Welt 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele 5. Ausblick

14 2. Warum ist das Lernen von Mathematik manchmal so schwer? Katrin, wie viel ist 1 geteilt durch ein Viertel? Katrin: Mmhh..., beim Teilen wirds ja immer kleiner, also,... ich weiß nicht! Katrin hat eine enge Vorstellung von Aufteilen in der Grundschule entwickelt, die bisher immer funktioniert hat. Vorschlag zur Bewältigung von Fehlvorstellungen: Visualisierungsstrategie: Aufteilen einer Strecke in 4 gleiche Teile. Wie oft passt jetzt ein einzelnes Viertel in die Gesamtstrecke hinein? Idee des Aufteilens anreichern durch die Idee des Verteilens

15 Beispiel: Die Summe dreier aufeinanderfolgender Quadratzahlen beträgt 434. Wie lauten diese drei Quadratzahlen? Erwartungshorizont: (n-1)² + n² + (n+1)² = 434 3n² +2 = 434 n² = 144 Alternative Schülerlösung mit EXCEL!

16 2. Warum ist das Lernen von Mathematik manchmal so schwer? Viele Lernende haben Schwierigkeiten mit der symbolischen Erkenntnisebene

17 2. Warum ist das Lernen von Mathematik manchmal so schwer? Alternative: Alle drei Erkenntnisebenen durchlaufen! Enaktiv (Muskelerinnerung, Körpererfahrung) Ikonisch (Visualisierungen beispielhaft) Symbolisch (Verallgemeinerung, Abstraktion)

18 2. Warum ist das Lernen von Mathematik manchmal so schwer? Wie berechnet man die Nullstellen einer Funktion? Paul: Was war das nochmal? Ich kann (will) mir das nicht alles merken, diese vielen Begriffe! Alternative: Woran merkst du dir, was eine Nullstelle einer Funktion bedeuten kann? - Das Warenlager ist leer gekauft. - Die Kerze ist herunter gebrannt. - Das Wasser einer Fontäne ist auf dem Boden angekommen usw. Metaphern im Lehr- und Lernprozess einsetzen und Vernetzungen fördern!

19 Systematisches Probieren Aufgabe: Kerzen Zwei Kerzen brennen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ab: Kerze A ist 36cm lang und brennt mit 3cm pro Stunde ab, Kerze B ist 10cm lang und brennt mit 1cm pro Stunde ab. Wann sind beide Kerzen gleich lang? Weitere Hilfsmittel und Strategien: Gleichung Invarianzprinzip Informative Figur Überprüfung des Ergebnisses mit der realen Situation Kerze B: y=10-1x Kerze A: y=36-3x Gleichsetzen!

20 2. Warum ist das Lernen von Mathematik manchmal so schwer? - Fehlvorstellungen werden nicht erkannt - Lehrererwartung und Schülerlösung sind weit voneinander entfernt - Unterschiedliche Erkenntnisebenen werden nicht berücksichtigt - Mathematische Fachsprache wird ohne abrufbare Vorstellungen nicht zum eigenen Vokabular

21 2. Problemlösenlernen im MU - Inhalte Rätsel: In einem Bus ist ein Drittel der Plätze mit Kindern besetzt, 6 Plätze mehr werden von Erwachsenen besetzt. 9 Plätze sind frei. Wie viele Plätze hat der Bus?

22 2. Warum ist das Lernen von Mathematik manchmal so schwer? - Fehlvorstellungen werden nicht erkannt - Lehrererwartung und Schülerlösung sind weit voneinander entfernt - Unterschiedliche Erkenntnisebenen werden nicht berücksichtigt - Mathematische Fachsprache wird ohne abrufbare Vorstellungen nicht zum eigenen Vokabular - Misserfolgserlebnisse, Entmutigung fehlendes Kompetenzerleben

23 2. Warum ist das Lernen von Mathematik manchmal so schwer? Alternativen: Lernende zu Experten machen (Ichstärke fördern) Wer hat Recht? Finde den Fehler! Berate... bei deren Entscheidungen... (Tanken im Ausland? Welchen handy-tarif wählen? Planung einer Geburtstagsparty...) Kannst Du helfen (mit Mathematik)?

24 Überblick 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Was sind Gründe dafür? 2. Warum ist das Lernen von Mathematik manchmal so schwer? 3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt: Mit der Mathebrille durch die Welt 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele 5. Ausblick

25 3. Schnittstellen bewusst machen: Mit der Mathebrille durch die Welt

26 3. Schnittstellen bewusst machen: Mit der Mathebrille durch die Welt Vorstellungen schulen, experimentieren, vergewissern: Könnte man eine Korkkugel von 1 m³ tragen, wenn sie nicht so unhandlich wäre? Angenommen, man könnte um den Äquator der als ideale Kugel angenommenen Erde ein Seil legen und fest spannen. Würde eine Maus hindurch passen, wenn man das Seil dann um 1m verlängert und wieder gleichmäßig um die Erde spannt?

27 Fehler finden macht Lernende zu Experten! Fuhr vor einigen Jahren noch jeder 10. Autofahrer zu schnell, so ist es mittlerweile heute nur noch jeder Fünfte. Doch auch 5% sind zu viele, und so wird weiterhin kontrolliert, und die Schnellfahrer haben zu zahlen. Nordemeyer Badezeitung, zitiert nach Der Spiegel 41/1991, S.352 Schreibe einen Leserbrief!

28 Überblick 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Was sind Gründe dafür? 2. Warum ist das Lernen von Mathematik manchmal so schwer? 3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt: Mit der Mathebrille durch die Welt 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele 5. Ausblick

29 Ziele für nachhaltiges Lernen von Mathematik Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik Verarbeitung der Winter schen allgemeinbildenden Grunderfahrungen im MU, Winter 1995

30 Familie Schmidt möchte auf ihrem Grundstück eine Terrasse anlegen. Sie soll die Form eines Rechtecks haben, kann aber auf Grund bestehender Anpflanzungen maximal 7 m lang und höchstens 5 m breit werden.

31 Familie Schmidt möchte auf ihrem Grundstück eine Terrasse anlegen. Sie soll die Form eines Rechtecks haben, kann aber auf Grund bestehender Anpflanzungen maximal 7 m lang und höchstens 5 m breit werden. a) Zur Vorbereitung der Pflasterung wird diese Fläche einen halben Meter tief ausgeschachtet. Wie viel Kubikmeter Erde fallen an?

32 Ziele für nachhaltiges Lernen von Mathematik Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und - können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. -- kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

33 Ziele für nachhaltiges Lernen von Mathematik - Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt?

34 a) Schätze das Volumen dieser Schachtel und beschreibe, wie du dabei vorgehst! b) Wenn das Volumen des Inhalts 70% (oder weniger) des Volumens der Verpackung beträgt, spricht man von einer Mogelpackung. Handelt es sich hier um eine Mogelpackung? Begründe deine Meinung rechnerisch.

35 Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. - Stadtrundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt? Realsituationen mathematisch beschreiben: Codierung, Bau einer Autobahnabfahrt, in der Natur (Fibonacci) usw. Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge mathematisch beschreiben? Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine mathematische Beschreibung bieten?

36 Mathematikbrille aufsetzen - Reflexion Welches sind typische Fragen, die Mathematiker stellen und auch zu beantworten versuchen? -etwas optimieren -etwas schrittweise verfeinern, annähern -einen Algorithmus finden (eine Formel ) für einen Zusammenhang -Mathematische Modelle für Realsituationen finden, Simulationen Wenn man eine Lösung für ein Problem gefunden hat: - Ist das die einzige Lösung? Kann man das beweisen? - Kann man die spezielle Lösung auch verallgemeinern?

37 Aufgaben lösen auf verschiedenen Abstraktionsstufen, Zulassen verschiedener Lösungswege The semicircular disc glides along two legs of a right angle. Which line describes point P on the perimeter of the half circle? A P Ausprobieren mit Bierdeckel (I) 0 B P A DGS (II) P 0 B A (III) math. Zusammenhänge finden 0 B

38 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele Wann habe ich etwas (elementar) verstanden? Identifizieren und Realisieren Beispiel und Gegenbeispiel angeben können Ein Beispiel für ein Prisma angeben und eins, das kein Prisma ist. Welche Möglichkeiten kennst Du, um Zuordnungen darzustellen? Gib ein Beispiel für eine proportionale Zuordnung an und nenne ein Beispiel, das keine proportionale Zuordnung ist. Welchen Vorteil kann eine mathematische Beschreibung von Zuordnungen haben?

39 Kompetenzerleben fördern: Das Lernpotenzial, das in einer Aufgabe steckt, auch nutzen: Welche Strategien waren nützlich? Welche mathematischen Werkzeuge haben uns geholfen, die Aufgabe zu lösen? Was ist das Gemeinsame aller Beispielaufgaben, die wir zuletzt bearbeitet haben? Worin unterscheiden sich die bearbeiteten Aufgaben voneinander?

40 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele Individualisierte Lernangebote: Flexibler Umgang mit Aufgaben - Wahlaufgaben - offene Aufgaben bzgl. Lösungsweg - offene Aufgaben anforderungsgestuft: Blütenaufgabe - offene Aufgabe bzgl. der Eingangsinformationen (Modellierungsaufgaben)

41 Aufgaben mit aufsteigender Komplexität und Offenheit: An der Anlegestelle einer großen Fähre steht: Karte 1 Person 50 Blockkarte 8 Personen 380 Blockkarte 20 Personen 900 a) Welchen Preis hat eine Gruppe von 4 Personen zu zahlen? b) Wie viele Karten bekommt man für 300? c) Handelt es sich bei der Preistabelle um eine proportionale Zuordnung? Begründe. d) Für 24 Schüler rechnet Frank einen Preis von 1140 aus. Maike meint, dass die Gruppe noch günstiger fahren kann. Hat Maike recht? Begründe. e) Die Fährgesellschaft will eine Blockkarte für 50 Personen einführen. Was wäre ein angemessener Preis? Quelle: Jordan, Uni Kassel 2004

42 Praktikable Wege zu nachhaltigem Lernen von Mathematik in heterogenen Lerngruppen - Intelligente regelmäßige Kopfübungen für die Grundlagensicherung - Wahlmöglichkeiten auch in Hausaufgaben - Aufgaben öffnen: Blütenmodell (selbst differenzierend, zum Lernen und Leisten ) - Schüler werden zu Experten motivierende Fragestellungen - Reflexion: Was hat uns geholfen, die Aufgabe zu lösen? - Systematisierungen: Was können/wissen wir schon?

43 5. Ausblick Unterstützungsinstrumente für eine kompetenzorientierte Lehre: - Aufgabendatenbank für Arbeitsprodukte der Studierenden

44 Kontakt