Steckbrief zum systematischen Probieren

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1 Steckbrief zum systematischen Probieren Du kennst das sicher: Du sollst eine Textaufgabe lösen und weißt nicht, wie du vorgehen sollst. Du findest einfach keinen Ansatz, an das Problem heranzugehen. Beim Problemlösen können dir sogenannte Problemlösestrategien eine Orientierung bieten. Das systematische Probieren ist eine solche Problemlösestrategie. Diese Strategie wirst du in diesem Steckbrief anhand von Problemen kennen- und anwenden lernen. Beispiel 1: Kleingeld Wie viele Möglichkeiten gibt es, 1 Euro in 5- und 10- Cent-Stücke umzuwechseln, wenn dabei jede Münze mindestens einmal benutzt wird? Versuche die Aufgabe zunächst selbst zu lösen und schau dir erst dann die Lösung an! Bei dieser Aufgabe bietet es sich an, alle Möglichkeiten 1 Euro in 5- und 10-Cent- Stücke zu wechseln, durchzuprobieren. Möglichkeit Anzahl 10-Cent- Stücke Anzahl 5-Cent- Stücke Zunächst starten wir mit einem 10-Cent- Stück. Daraus ergibt sich die Differenz von 90 Cent zu einem Euro. Diese füllen wir mit 18 5-Cent-Stücken auf. Anschließend erhöhen wir die Anzahl der 10-Cent- Stücke jeweils um eins und bestimmen die fehlende Anzahl der 5-Cent-Stücke. Daraus 186 Steckbrief zum systematischen Probieren ergeben sich genau 9 Möglichkeiten 1 Euro in 10- und 5-Cent-Stücke zu wechseln. Unsere Strategie bei dieser Aufgabe war also, eine der gesuchten Größen systematisch zu variieren und die zweite Größe entsprechend anzupassen. Man spricht hierbei auch von Fallunterscheidung. Diese systematische Vorgehensweise erleichtert die Arbeit und ermöglicht dir einen Überblick über die bereits verwendeten Möglichkeiten. Es ist daher sinnvoll, solche oder ähnliche Probleme durch systematisches Ausprobieren anzugehen. Dazu ist es notwendig, dass du dir im Vorfeld überlegst, wie du die verfügbaren Informationen vorteilhaft strukturierst. Hierzu kann eine Tabelle hilfreich sein. Merke: Beim systematischen Probieren hat man es mit Fallunterscheidungen zu tun. Beispiel 2: Schlüssel Du sollst für eine Freundin von zu Hause ihre Badesachen mit zum See nehmen. Sie drückt dir ihren Schlüsselbund in die Hand und vergisst zu sagen, welcher Schlüssel die Haustür öffnet. Da am Schlüsselbund deiner Freundin ca. 15 Schlüssel hängen und du schnell zum See möchtest, machst du dir schon auf dem Weg Gedanken, wie du am schnellsten an die Badesachen gelangst. Suche nach Merkmalen der Schlüssel, die dir helfen, nicht passende Schlüssel auszusortieren. 1) Schlüsselgröße 2) 3) 4) 5) 6) Webcode: PM

2 Hast du somit die Anzahl der möglicherweise passenden Schlüssel reduziert, musst du nur noch die Schlüssel ins Schloss stecken, die deiner Meinung nach in Frage kommen. Du hast also den Aufwand reduzieren können und gelangst schneller zu einer Lösung. Merke: - Ordne Informationen vorteilhaft - Triff eine Vorauswahl infrage kommender Lösungen - Probiere effektiv aus Diese Beispiele haben gezeigt, was systematisches Probieren meint und in welchen Situationen es hilfreich sein kann, systematisch vorzugehen. Häufig führt in Problemsituationen systematisches Probieren alleine nicht zum Ziel. Zusätzliche heuristische Hilfsmittel Tabelle, informative Figur, Gleichung können hilfreich sein, die Situation zu reduzieren und sich das Problem besser vorzustellen. Die folgende Aufgabe zeigt dir noch einmal, wie man Informationen mithilfe einer Tabelle ordnet und aufschreibt. Aufgabe 1: Fliesen Familie Müller möchte ihre rechteckige Küche mit gleich großen quadratischen Fliesen auslegen. Im Baumarkt finden sie einen Restposten mit 32 dunklen und 48 hellen Fliesen, der besonders günstig angeboten wird. Das passt ja genau, wenn wir die hellen Kacheln in die Mitte legen und die dunkleren außen herum, sagt Vater Müller. Wie viele Fliesen müssen jeweils in der Breite und in der Länge gelegt werden? daraus ergibt Länge Breite sich innere Fliesen äußere Fliesen passt? nein 2 Vorteile des Hilfsmittels Tabelle: - Übersichtlichkeit - hilft, Möglichkeiten nicht zu vergessen - schnelleres Erkennen einer Systematik der Ergebnisse In der folgenden Aufgabe kannst du die kennengelernten Problemlösestrategien anwenden. Dokumentiere deinen Lösungsweg! Aufgabe 2: Kerzen Zwei Kerzen brennen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ab: Kerze A ist 36 cm lang und brennt mit 3 cm pro Stunde ab, Kerze B ist 10 cm lang und brennt mit 1 cm pro Stunde ab. Wann sind beide Kerzen gleich lang? Welchen Lösungsweg hast du gewählt? Hast du bei diesem Problem systematisch probiert? Alternativ könntest du zu dem genannten Problem für jede Kerze eine Gleichung aufstellen oder eine informative Figur anfertigen. Löse nun das Problem auch mithilfe einer Gleichung oder einer informativen Figur, falls du diesen Lösungsweg nicht gewählt hattest. Schau dir anschließend die dargestellten Lösungswege an. Was fällt dir auf? Steckbrief zum systematischen Probieren 187

3 Lösungsweg mithilfe einer informativen Figur: Vorteile des Hilfsmittels Gleichung: - Verknüpfung von Informationen - Problem kann vereinfacht werden Vorteile des Hilfsmittels Informative Figur: - Zeichnung zum besseren Verständnis - enthält alle wichtigen Informationen - Lösungen können visualisiert werden Lösungsweg mithilfe einer Gleichung: Kerze A: y = 36 3x Kerze B: y = 10 x Durch Gleichsetzen der beiden rechten Seiten gelangst du zu dem Ergebnis, dass die beiden Kerzen nach 13 Stunden die gleiche Länge erreicht haben. An dieser Stelle der Problembearbeitung solltest du dein Ergebnis mit der realen Situation überprüfen, denn nach 13 Stunden Brenndauer sind die Kerzen - 3cm lang! Diese Lösung zeigt dir, dass das unüberlegte Arbeiten mit Gleichungen an Grenzen stoßen kann, wenn nicht zusätzlich zum mathematischen Modell die reale Situation (positive Kerzenlängen) beachtet wird. Ein graphischer Zusammenhang oder systematisches Probieren mithilfe einer Tabelle zeigen dir, dass die beiden Kerzen bereits nach 12 Stunden ihre gemeinsame Länge, nämlich 0 cm erreicht haben! Auch im Alltag kann dir das systematische Probieren helfen, Probleme zu lösen. Möchtest du zum Beispiel Frühstückseier kochen und weißt nicht, wie lange ein Ei kochen muss, bis es die richtige Härte hat, bleibt dir, sofern du auf dich alleine gestellt bist, nichts anderes übrig, als es einfach auszuprobieren jedoch nicht irgendwie nach Versuch - Irrtum, sondern systematisch. So findest du schneller heraus, wie lange ein Ei kochen muss. Auch hier kannst du eine gewisse Übersichtlichkeit wahren, wenn du mit Tabellen arbeitest. 188 Steckbrief zum systematischen Probieren

4 Übungen Die folgenden Aufgaben geben dir Gelegenheit, die kennengelernten Strategien zum Bearbeiten von Problemen, insbesondere das systematische Probieren, anzuwenden und Erfahrungen im Lösen von Problemen zu sammeln. Aufgabe 3: Papier schneiden Gegeben ist ein Stück Papier. Es wird in 8 oder 12 beliebige Stücke zerschnitten. Jedes der entstandenen Stücke darf man wieder in 8 oder 12 Stücke schneiden oder unzerschnitten lassen usw. a) Kann man auf diese Weise 60 Stücke bekommen? b) Betrachte deinen Lösungsweg. Was fällt dir bezüglich beliebiger Stückzahl größer als 60 auf? Aufgabe 4: Mützenaufgabe Einmal zeigte der Lehrer im Mathematikunterricht den Schülern fünf Kappen: drei schwarze und zwei rote. Horst, Bernd und Ulrike mussten sich auf drei hintereinanderstehende Stühle setzen. Die Verdunkelung wurde heruntergelassen, das Licht gelöscht, und der Lehrer setzte jedem der Schüler eine der Kappen auf. Danach wurde das Licht wieder eingeschaltet. Natürlich durfte sich keiner der drei Schüler bei dem Experiment umdrehen, sodass Horst nur die Kappen von Bernd und Ulrike, Bernd nur die Kappe von Ulrike und Ulrike keine der Kappen sehen konnte. Jetzt wurde Horst gefragt, ob er eine schwarze oder eine rote Kappe trage. Er antwortete, dass er es nicht genau sagen könne. Bernd, der Horsts Antwort gehört hatte, gab die gleiche Antwort wie Horst. Ulrike jedoch konnte aus den beiden Antworten von Horst und Bernd auf die Farbe ihrer Kappe schließen. Welche Farbe war es? Aufgabe 5: Tresor Du hast die Chance, bei einem Gewinnspiel im nahe gelegenen Einkaufszentrum teilzunehmen. Um an den im Tresor liegenden Gewinn zu kommen, musst du einen 10-stelligen Code eingeben, von dem du Folgendes weißt: - der 1-stellige, von links gezählte Anfang des Codes ist durch 1 teilbar. - der 2-stellige, von links gezählte Anfang des Codes ist durch 2 teilbar. - der 3-stellige, von links gezählte Anfang des Codes ist durch 3 teilbar. - der 4-stellige, von links gezählte Anfang des Codes ist durch 4 teilbar. - der 5-stellige, von links gezählte Anfang des Codes ist durch 5 teilbar. - der 6-stellige, von links gezählte Anfang des Codes ist durch 6 teilbar. - der 7-stellige, von links gezählte Anfang des Codes ist durch 7 teilbar. - der 8-stellige, von links gezählte Anfang des Codes ist durch 8 teilbar. - der 9-stellige, von links gezählte Anfang des Codes ist durch 9 teilbar. - der gesamte Code ist durch 10 teilbar. Welcher Code öffnet den Tresor, wenn jede Ziffer nur einmal verwendet werden darf? Steckbrief zum systematischen Probieren 189

5 Aufgabe 6: Alter des Bischofs Ein Pfarrer sagt zum Organisten: Heute waren nur drei Leute in der Kirche. Organist: Wie alt waren denn die drei? Pfarrer: Also, wenn du die jeweiligen Alter miteinander multiplizierst, dann ergibt das Zusammengenommen sind sie so alt wie du. Organist: Hmm, also mit diesen Informationen kann ich das ja wohl noch nicht lösen! Pfarrer: Ach ja, ich muss noch erwähnen, dass alle drei jünger waren als unser Bischof! Organist: Aha, jetzt hab ich s! Wie alt ist der Bischof? Fazit Häufig ist Ausprobieren eine der ersten Tätigkeiten bei der Suche nach einer Lösung. Diese Methode ist nicht unmathematisch. Viele Mathematiker wenden diese Strategie an, um eine Vorstellung von der Lösung zu bekommen, die sie beweisen möchten. Das systematische Probieren kann unter Verwendung der verschiedenen Hilfsmittel (Tabelle, informative Figur, Gleichung) wie folgt zusammengefasst werden: Zuerst sammeln wir die relevanten Informationen, ordnen sie und probieren falls möglich im Anschluss systematisch die in Frage kommenden Kombinationen aus. Die Strategie liefert nicht immer eine exakte Lösung, sie kann jedoch sehr hilfreich auf dem Weg einer Lösungsfindung sein. 190 Steckbrief zum systematischen Probieren

6 Lösungen Aufgabe 1: Fliesen daraus ergibt Länge Breite sich innere Fliesen äußere Fliesen passt? nein nein nein nein ja ja nein nein nein nein Aufgabe 3: Papier schneiden In 12 Stücke In 8 Stücke Die Tabelle gibt alle möglichen Anzahlen von Papierstücken bis einschließlich 74 an. Die Zahl 60 tritt dabei nicht auf. Da alle Zahlen von 61 bis 67 in der Tabelle zu finden sind, genügt allein ein Weiterarbeiten nach rechts, um jede beliebige Anzahl von Papierstücken größer als 60 zu erhalten. Aufgabe 4: Mützenaufgabe Alle möglichen Kombinationen Horst Bernd Ulrike R R S Horst ist unsicher Bernd ist unsicher R S R entfällt R S S S R R entfällt S R S S S R entfällt S S S Die erste Antwort sagt uns, dass Bernd und Ulrike nicht beide rote Mützen aufhaben (dann hätte Horst schwarz). Die zweite Antwort sagt uns, dass Ulrike keine rote Mütze aufhat (dann hätte Bernd schwarz). Ulrike hat also eine schwarze Mütze auf. Aufgabe 5: Tresor Wir wissen, dass der Code aus zehn Ziffern besteht: X X X X X X X X X X Der gesamte Code muss durch 10 teilbar sein, also kommt nur die Null als letzte Ziffer in Frage. Die fünfte Ziffer von links muss durch 5 teilbar sein, dies ist nur für die Null und die 5 der Fall, da die Null schon besetzt bleibt nur die 5: X X X X 5 X X X X 0 Die 2., 4., 6. und 8. Ziffer müssen gerade sein, da sie durch 2, 4 6 oder 8 teilbar sein müssen, dementsprechend sind die 1., 3., 7. und 9. Ziffer ungerade. Durch systematisches Ausprobieren und Ausschließen kommt man auf die Kombination: Steckbrief zum systematischen Probieren 191

7 Aufgabe 6: Alter des Bischofs Das Alter der drei Kirchenbesucher soll natürlich und ganzzahlig angenommen werden. Durch Probieren erhält man 20 verschiedene Fälle. Da der Organist die Aufgabe mit diesen Informationen noch nicht lösen kann, muss er 64 Jahre alt sein. Denn nur wenn die Summe 64 beträgt, ist die Lösung nicht eindeutig. Die zusätzliche Information besagt, dass der Bischof älter als 49 Jahre sein muss. Wäre der Bischof 51 Jahre oder älter, kämen wieder beide Möglichkeiten für das Alter der Kirchenbesucher infrage und es gäbe wieder keine Eindeutigkeit. Da aber die Aufgabe jetzt lösbar sein soll, kann der Bischof nur 50 Jahre alt sein. 192 Steckbrief zum systematischen Probieren