Übungen Distributionsgesetz (Ausklammern u. Einklammern), gleichartige Glieder zusammenfassen, lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformung

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1 Wer sich nicht mehr so genau an das Distributivgesetz erinnert: rote Kästen Seite 161 und 162, gefunden habe ich auch dort eine Erklärung: Aufgabe 1: Schreibe ohne Klammern. a) 3 ( 4 x 5 ) b) 8 (5 y+6 y ) c) 4 ( 10+5a ) d) 2 (9 x+6 ) Aufgabe 2: Forme die Terme in eine Summe um. a) 9 ( x+4 ) b) a (5 b 3 ) c) 21 k (l 4 k ) d) 1 2 y ( u 1 2 v+ 1 3 w ) e) ( 3 8 a 6 7 b ) ( 56 a) f) (0 7 r ) ( s 2 ) g) ( m 2 7 n+0,9 o) h) ( 2 ( x y+z ) ) ( 1 5 z ) i) t 4 ( 3t 1 6 )( t 2 ) Aufgabe 3: Multitpliziere die jeweilige Summe. a) x ( y +z ) b) x ( y z ) c) x ( y z ) d) x ( y+ z ) e) f) x ( y+z) g) e ( f +g h ) h) ( x y ) a x ( y z ) i) 4 a (b c ) j) 5 x y z (2 x 3 y+4 z ) k) 2 ( x +x 3 ) l) 2m 2 (5n 7m n ) Aufgabe 4: Multitpliziere. a) (u+ x ) ( v+ z ) b) (m+n ) ( s+t ) c) ( x+ y ) ( z+w ) d) (6 x+8 ) (2 x+1 ) e) ( x y+a 2 ) ( x+a ) f) (5 a b+3 z ) (a z 3 +b ) g) (5 a+6b) (8 x+3 y ) h) ( f +h 2 )(12 h+ f 3 ) i) (2 x y z+1 ) (5+x z ) Seite 1

2 Aufgabe 5: Aufgetpasst und nun umgekehrt Beispiel: 8 x 16 ; 8 soll ausgeklammert werden 8 ( x+2 ) Übungen a) 18 x+9 ; 9 b) 4 y+12 ; 4 c) 6 x+18 ; 6 d) 7 y+21 ; 7 e) 64 a 32 ; 32 f) 24 b+36 ; 12 g) 27 x 54 ; 27 h) 33 x 22 ; 11 Aufgabe 6: Klammere den Faktor 3 aus. a) 9 x+9 b) 3 a 3 c) z d) m e) 66 z 66 y f) 6 x+15 g) 12 9 x h) 12 y 39 i) 27 y+42 j) 24 18a k) 3 x 2 +6 l) 6 x 3 +3 x 6 m) 12 a 30 b n) 15r 21 s o) 45 p+27q Aufgabe 7: Klammere wie im Beistpiel aus. Beistpiel: x= 1 (10+15 x )= 1( x)= 1 5 ( 2+3 x )= 5(2+3 x ) a) 2 x 2 b) 8 x 2 c) 3 9 x d) 4 a 6 b e) 6 p 8 q f) 2 r 10 g) 7 x 28 y h) 12 u 15 v i) 3 x 39 j) 4 z 48 k) 0,3 a 1,2 b l) 2,4 u 3,6 v m) 3 10 x 7 10 y n) 4 9 c 8 9 d Seite 2

3 Aufgabe 8: Welcher Faktor wurde ausgeklammert? Übungen a) 84 a+112= (12 a+16 ) b) 17 z 25= ( 17 z+25) c) 36 x 21= (12 x +7 ) d) 33 y+3= (11 y 1) e) 14 x 21= (2 x 3 ) f) x= ( 7 8 x) g) 18 x+36= ( x 2) h) 12 x+16= ( 3x 4) i) 12 x+16= ( 3 x+4) j) 15 x+30= ( x 2) Aufgabe 9: Ordne und fasse zusammen. Beispiel: 3 x x 3 x+4 3 x 8 x 3 x x 20 a) 7 x 5 3 x x+15 b) 16 x x x +18 c) 43 x x x d) x +14 x 6 2 x e) 4 x 8 x x 16+x Aufgabe 10: Vereinfache die Terme. a) 5 b+3 b b) 8 x 7 x+3 x+12 x+ x c) 13 y 12 y y+7 y d) 22 a 12 a+17 a 5 a 3 a Seite 3

4 Aufgabe 11: Vereinfache die folgenden Terme durch Ordnen und Zusammenfassen. a) 9 x 3 x +6 5 b) 13 a 9 5 a 41 c) x x d) y y+12 y e) 9,2 b+ 7,8 3,3 6,2 b f) 7,8 u 12,6 2,7 1,8 u+3,8 g) 7,8 u 12,8+1,8 u 2,7+ 3,8 u h) 1 4 x+5,2 3 4 x 1, x Aufgabe 12: Fasse weitestgehend zusammen. a) 3 2 a b+ 2 3 b+2,5 a b 3 8 a b 10,5 a b 3 32 a 5 3 b b) 0,3o 0,3 o p o 9 o 1,7 o p 0,3+24,1 o p 14,3 p+14,9 10 c) 1 3 k l k ,25 k k l 10,5 k 2 + k l 12 k l +k l k d) 1,1 x y 2 +1,1 x 2 y+11,1 x y 2 1,1 x y x 2 y+0,11 x y 2 11 x y+x 2 y Aufgabe 13: Fasse zusammen. a) 12a+27 b 8b+6 a+11b +3 a b) 23 x 8 x+17 y+34 x 9 x+58 y c) 19 m 7 m 4 m+18 n 7 n+26 m 13 m d) 89 p+79 q 79 q 12 p+17 q+4 q e) 145 r 75 r+204 s+55 r 196 s f) 47 e+123 g +144 f +47 e 11 g 56 f Seite 4

5 Aufgabe 14: Multitpliziere aus und vereinfache den Term. a) 7 (8+u ) 12 b) (12+2 y ) 3 5 c) 35+( y +35 ) 4 d) 28+(15 x+12 ) 3 e) 12+6 ( y+9 y ) 22 f) 6 x 8 x+3 ( x+9) Aufgabe 15: Löse die Gleichungen. Verfahre wie im Beistpiel. Beistpiel: a) x 15=15 b) x 7= 7 c) x 3= 71 d) x 19= 15 e) x 49=13 f) x 18= 32 g) x 66= 65 h) x 29=129 Aufgabe 16: Fasse zusammen und löse die Gleichung. a) 4 x 4+ 5 x +6=29 b) 12 y 11 7 y +5=24 Seite 5

6 Aufgabe 17: So ein Pech! Endlich war Ulrike mit ihren Hausaufgaben fertig, da fällt doch der Farbtotpf um und ausgerechnet auf die Matheaufgaben. Kannst du ihr helfen? Übertrage in dein Hef und vervollständige den Lösungsweg. Aufgabe 18: Löse die Gleichungen. a) 6 u+ 7=61 b) 5 v 9=16 c) 4 w+46 2 w 40=56 d) 2 x +4 x+2=5 x 14 e) 5 y ( 14+4 y )=28 f) 7 (6 z 5)=61 (2+5 z ) Seite 6

7 Aufgabe 19: Löse die Gleichungen. Mache die Probe. a) 5 ( x 5)=100 b) 17 ( 2 8 x )=79 c) 4+2 ( x+8 )=52 d) 8+4 ( x 32 )=64 e) 11 y ( y 7 ) 8=92 f) 255=15 x+6 ( x+4 ) g) 2 (3 x+4 ) 2 x 16=0 h) (2 y 7 ) 13= y i) ( y+7) 5 7 ( y 4)=3 (9 y )+5 j) 4 (6 x+10 )=12 (4 x 20 ) 8 k) 6 ( 2 x 15 )=3 (5 x 60 ) Aufgabe 20: Gleichungen können auch negative Ergebnisse haben. a) 48+ x 12=13 5 b) 36 15=x + 42 c) 3 x= d) 4 x 12 3 x +6= e) =9+ x f) 3 u 5+ 2 u 7=u+37+5 u 17 g) 31 x+4 (2 x 5 )=32 h) ( 2 x 3 )= 52 ( x 16 ) Seite 7

8 Aufgabe 21: Mache zu allen Aufgaben die Probe. Hier genügt eine Umformung, um zur einfachsten Gleichung zu gelangen. a) x +7=44 b) x 19=93 c) x +44=112 d) x 134=222 e) 49=x 17 f) 37=18+ x g) 3 x=27 h) x :7=18 i) 272=16 x j) 32= x: 22 k) 135=9 x l) 168=x 6 Aufgabe 22: Zwei Umformungen führen zum Ziel. a) 2+8 x=34 b) 6 x 5=31 c) 34=9 x 2 d) 29=8 x 3 e) 85=9 x +4 f) 43+5 x=58 g) x :8 8=32 h) 45=15+ x : 8 i) 13+8 x=93 j) 5 x 183=2 k) 314= x l) x=935 Seite 8

9 Aufgabe 23: Hier musst du zuerst vereinfachen, d. h. gleiche Glieder zusammenfassen. Beispiel: 2 x x= x +5 x+9 6= x +3=24 a) 2+ x+9=19 b) 12= x+4 2 c) x 9=20+ 2 d) 34=5 x x e) x 10 x= f) 5 x x 3 x=106 g) 45 x 68+ x+ 14= h) 10 x x 7 3 x=5 7 6 i) 12 x x+2 x 4 7=48 17 Aufgabe 24: Finde zu jeder Gleichung die äquivalente Gleichung, aus der du die Lösung unmitelbar ablesen kannst. a) x 5 =5 b) x 7 =9 c) x 6 = 8 d) x 5 =12 e) x 8 = 9 f) x 4 = 5 g) x 9 = 17 h) x 7 = 13 i) x 3 = 38 j) x 12 = 8 k) x 16 = 12 l) x 14 = 6 Seite 9

10 Aufgabe 25: Löse zuerst die Klammern auf. Fasse, wenn möglich, zusammen und löse dann die Gleichung. Führe die Probe durch. a) 2 (2 x+4 )=24 b) 3 (15 y+ 9 )+5=122 c) 2 (8 a+3)+2 (4 a+5 )=4a+136 d) 2 (4 b+8)+3 (9 b 3)=77 Aufgabe 26: Löse die Gleichungen. a) 6 ( 2 a 15 )= 3 (5 a 60 ) b) 4 (6b+10 )=12 ( 4b 20 ) 9 c) 18,4+9,2 ( x 32 )=147,2 d) ( 2 y 3) = 52 ( y 16 ) Aufgabe 27: Ein Taubenzüchter wird gefragt, wie viele Tauben er hat. Verschmitzt lächelnd antwortet er: "Häte ich ein Siebentel mehr, so häte ich genau 12 Taubentpaare." Wie viele Tauben hat der Züchter? Aufgabe 28: Löse die Aufgabe mit einer Gleichung. Der Otpa ist 36 Jahre älter als Michaels Vater. Zusammen sind beide 98 Jahre alt. Wie alt sind Michaels Vater und Otpa? Aufgabe 29: Betina und Michaela sind zusammen 32 Jahre alt. a) Wie lauten die Terme für das Alter von Betina und Michaela? b) Wie alt ist Betina, wenn Michaela 17 ( 16, 14, 12, 10 ) Jahre alt ist? Stelle Gleichungen auf. Seite 10

11 Aufgabe 30: Der Bremsweg eines Autos bei nasser Fahrbahn lässt sich folgendermaßen abschätzen: Man quadriere den 10. Teil der Geschwindigkeit, gemessen in Kilometer tpro Stunde. Das Ergebnis stellt den Bremsweg, gemessen in Metern, dar. 1. Stelle den zugehörigen Term auf. 2. Berechne die Werte des Terms für 10 k m/h, 20 k m/ h, bis 130 k m/h. Aufgabe 31: Stelle zu den folgenden Aufgaben Gleichungen auf und löse diese durch Probieren oder Überlegen. Vereinfache zuvor die Terme, soweit dies möglich ist. 1. Der Umfang eines Rechtecks beträgt 72 c m. Eine Seite ist dotptpelt so lang wie die andere. Wie lang sind die Seiten? 2. Wenn man zu einer ganzen Zahl sowohl die beiden vorhergehenden als auch die nächsten vier nachfolgenden Zahlen addiert, so erhält man 56. Wie heißt die Zahl? 3. Eine Safflasche mit Pfand kostet 1,10. Der Saf selbst kostet 1 mehr als der Pfand für die Flasche beträgt.wie viel Pfand muss man für diese Flasche bezahlen? 4. Elisa, Linn und Rico sind jetzt zusammen 40 Jahre alt. Elisa ist zwei Jahre jünger als Linn und Linn ist drei Jahre älter als Rico. Wie alt ist Linn in fünf Jahren? 5. Die eine Seite eines Rechtecks ist um 3,2 m länger als die andere Seite. Der Umfang des Rechtecks beträgt 24,8 m. Wie lang sind die Seiten des Rechtecks? Aufgabe 32: Löse die Aufgabe mit einer Gleichung. Josef, Peter und Klaus wiegen zusammen 147 k g. Peter ist um 9 k g leichter als Josef und Klaus 3 k g schwerer als Peter. Aufgabe 33: Silke sagt zu Christotph: "Denk dir eine Zahl. Subtrahiere 4, multitpliziere die Diferenz mit 3 und addiere zu diesem Produkt 12. Sag mir dein Ergebnis und ich sag dir die Zahl, die du dir gedacht hast." Christotph nennt 42 als Ergebnis. Welche Zahl hat er sich gedacht? Seite 11

12 Lösung 1: Übungen x y+48 y a x+12 Lösung 2: a) 9 x +36 b) 5 a b 3 a c) 21 k l 84 k 2 d) 1 2 u y 1 4 v y+ 1 6 w y e) 21 a ab f) 7r s 2 g) m 2 +7n 0,9 o h) 2 5 x y z+ 2 5 z2 i) 3 8 t t 2 Lösung 3: a) x y+ x z b) x y x z c) x y x z d) x y x z e) x y+ x z f) x y x z g) h) a x a y e f +e g e h i) j) 10 x 2 y z 15 x y x y z 2 k) 2 x 2 x 3 l) 10m 2 n 14m 3 n 4 ab 4 a c Lösung 4: a) u v+u z+x v+x z b) m s+mt+n s+n t c) x z+x w+ y z+ y w d) 12 x x+8 e) x 2 y+a 2 x+a x y+a 3 f) 5a 2 b z 3 +5a b 2 +3a z 4 +3b z g) 40 a x+15 a y+48 b x+18 b y h) f 4 + f 3 h f h+12 h 3 i) 2 x 2 y z x y z+ x z+5 Seite 12

13 Lösung 5: Übungen ( 2 x 1) ( y 3) ( x 3 ) ( y 3 ) ( 2 a+1 ) ( 2 b+3 ) ( x 2) (3 x +2) Lösung 6: 18. 3(3 x +3) 19. 3(a 1) 20. 3(5 5 z ) 21. 3( 4 4 m) 22. 3(22 z 22 y) 23. 3(2 x +5 ) 24. 3(4 3 x ) 25. 3(4 y 13) 26. 3(9 y+14) 27. 3(8 6 a) 28. 3( x 2 +2) 29. 3(2 x 3 +x 6 ) 30. 3(4 a 10 b) 31. 3(5 r 7 s) 32. 3(15 p+9 q) Lösung 7: 33. 2( x +1) 34. 2(4 x+1 ) 35. 3(1+3x ) 36. 2(2 a +3b ) 37. 2(3 p+4 q) 38. 2(r +5) 39. 7( x+4 y) 40. 3(4u+5 v) 41. 3( x+13) 42. 4( z+12 ) 43. 0,3(a+4 b ) 44. 1,2 (2u+3 v ) (3 x+7 y ) ( c+2 d ) Lösung 8: Seite 13

14 Lösung 9: x Übungen 59. x x x+30 Lösung 10: 62. 8b x y a Lösung 11: x a x y b+4, u 11, ,4 u 15, x+3,38 Lösung 12: a b a b 2. 22,1 o p 2,2 o 14,3 p +14, k l 15 2 k ,31 x y 2 1,1 x 2 y 12,1 x y Lösung 13: a) 21 a+30 b b) 40 x+75 y c) 21 m+11n d) 77 p+21 q e) 125 r+8 s f) 94 e+112 g+88 f Seite 14

15 Lösung 14: Übungen u 12=44+7 a y 5=31+6 y y +140= y x+ 36= x y+54 y 22= y x+3 x+27= x+27 Lösung 15: 11. x= x=0 13. x= x=4 15. x= x= x=1 18. x=158 Lösung 16: x+2=29 ; x= y 6=24 ; y=6 Lösung 17: Lösung 18: 21. u=9 22. v=5 23. w= x=5 25. y= z=2 Lösung 19: a) x=25 b) x=8 c) x=16 d) x=46 e) y=12 f) x=11 g) x=2 h) y=9 i) y=0 j) x=12 k) x=30 Lösung 20: Seite 15

16 Lösung 21: Übungen Lösung 22: Lösung 23: Lösung 24: 68. x= x= x= x= x= x= x= x= x= x= x= x=84 Lösung 25: x+8=24 ; x= y +27+5=122 ; y= b b 9=77 ; b=2 16 a+6+8a+10=4 a+136 ; a=6 Lösung 26: 84. a= b= x= y= 13 Lösung 27: 21 Tauben Lösung 28: 2 x+36=98 ; x=31 Der Otpa ist 67 Jahre, Michaels Vater 31 Jahre alt. Seite 16

17 Lösung 29: Übungen 1. Alter von Betina in Jahren: 32 x ; Alter von Michaela in Jahren: x x=32 (andere Gleichungen analog) Betina ist 15 ( 16, 18, 20, 22 ) Jahre alt. Lösung 30: 1. (v :10 ) m, 4 m, 9 m, 16 m, 25 m, 36 m, 49 m, 64 m, 81 m, 100 m, 121 m, 144 m, 169 m Lösung 31: 1. 2 (a+b )=72 c m ; a=2 b 2 (2 b+b)=72 c m 6 b=72 c m b=12 cm ; a=24 cm. Die Seiten des Rechtecks sind 24 c m und 12 c m lang. 2. ( x 2)+( x+1)+x+( x+1 )+( x+2)+( x+3 )+( x+4)= x+7=56 7 x=49 x=7 4. Sei x das Pfand in. x+( x+1 )=1,10 2 x=0,10 x=0,05 Das Flaschentpfand beträgt 5 Cent. 5. Linns jetziges Alter betrage x Jahre. Es gilt x+( x 2 )+( x 3 )=40, also x=15. In 5 Jahren ist Linn also 20 Jahre alt (a+b )=24,8 m ; a=b+3,2 m 2 (b+3,2 m+b )=24,8 m 4 b=18,4 m b=4,6 m ; a = 7,8 m. Die Seiten des Rechtecks sind 7,8 m und 4,6 m lang. Lösung 32: 3 x 9 6=147 ; x=54 Josef wiegt 54 k g, Peter 45 k g, Klaus 48 k g. Lösung 33: 3 ( x 4 )+12=42 3 x 12+12=42 3 x=42 x=14 Christotph hat sich die Zahl 14 gedacht. Die genannte Zahl muss nur durch 3 geteilt werden, dann erhält man die gedachte Zahl. Seite 17