Wege zu einem langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht

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1 Wege zu einem langfristigen Kompetenzaufbau im Mathematikunterricht Prof. Dr. Regina Bruder FB Mathematik der TU Darmstadt, AG Didaktik

2 Überblick 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Warum? 2. Was soll eigentlich im MU gelernt werden? Wie hängen die verschiedenen Kompetenzen zusammen? 3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt: Mit der Mathebrille durch die Welt 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele 5. Ausblick

3 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Warum? Aktuelle Phänomene: In den Medien: In Mathe war ich immer schlecht Eltern: Er könnte das ja alles, Sie müssen ihn nur richtig motivieren! Schüler: Wozu brauche ich das denn? Kommt das in der Arbeit dran? Problem: Wertschätzung der Mathematik und von Mathematikkönnen in der Gesellschaft Parallelproblem: Wertschätzung und Akzeptanz von Anstrengung beim Lernen

4 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Warum? - Gesellschaftliches Umfeld: Wertschätzung von Leistung und Anstrengung? Verantwortung übernehmen für das eigene Lernen? Schüler(in) in der Klassenarbeit: Das habe ich noch nie verstanden. Mache ich nicht. Nächste Aufgabe! - Aufbau der Mathematiklehrpläne nach der Fachlogik Effekte des MU? Der gesunde Menschenverstand bleibt auf der Strecke? In einem Zwinger leben Hasen und Fasanen. Man kann 24 Köpfe zählen und 60 Beine. Wie viele Tiere sind es von jeder Art? - Die Sinnfrage für die Lerninhalte im MU stellen Zieltransparenz? Rätsel, eingekleidete Aufgaben mit unrealistischen Fragestellungen, Kapitänsaufgaben, FERMI-Aufgaben...

5 und die Realität der Schülerargumentation: Mathematik ist in den Dingen versteckt, Experten kümmern sich darum (Mathe muss man nicht können) Mathematik polarisiert: Macht viele mutlos und manche zu Außenseitern (Begabungsvorstellung) Mathematik hat aus Schülersicht durch viele konstruierte Aufgaben oft nur wenig mit der Lebenswelt zu tun, eigene Lösungswege passen nicht zu den Vorstellungen der Lehrer und gesunder Menschenverstand ist wenig gefragt (Mathe ist nichts für mich!) Die Bereitschaft sich anzustrengen hängt mit dem individuellen Lernerfolg zusammen

6 Überblick 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Warum? 2. Was soll eigentlich im MU gelernt werden? Wie hängen die verschiedenen Kompetenzen zusammen? 3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt: Mit der Mathebrille durch die Welt 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele 5. Ausblick

7 Ziele für nachhaltiges Lernen von Mathematik Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

8 Orientierung des Unterrichts an den Bildungsstandards was ist damit gemeint? Bauer Alfred benötigt einen neuen Fasswagen: Er hat in einer Internetauktion folgenden Fasswagen gefunden: In der Beschreibung steht: Robuster Fasswagen mit Selbsttränke auf 15 Zoll-Felgen. Aufgabe: Bauer Alfred möchte in erster Linie wissen, welches Volumen der Wagen fasst. Du kannst ihm sicher helfen! Schätze das Fassungsvermögen des Wagens ab. M.Frank,

9 Gemeinsame Strategie dieser Abschätzaufgaben : - einen geeigneten Vergleichsmaßstab finden und in Verbindung mit einer berechenbaren Figur umsetzen Kompetenzen, die gefordert sind: Modellieren K3 Probleme lösen K2 (wenn völlig ungewohnt) Techniken K5 (je nach Mathematisierungsidee) Leitidee: Messen

10 Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - - kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

11 Phasen mathematischen Modellierens als Rahmen schulischen Lernens von Mathematik Mathematisches Modell Mathematik Realität Mathematische 3 1 Strukturieren Ergebnisse Mathematisieren 3 Verarbeiten mit math. Werkzeugen umgehen 4 Interpretieren 5 Prüfen Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

12 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse - Kommunizieren K6 Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

13 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

14 Wo kann es individuell schwierig werden? Problemlösen! Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

15 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 - Kommunizieren K6 Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

16 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse - Kommunizieren K6 Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

17 Einbettung der Kompetenzen - mathematisch Argumentieren K1 - Probleme mathematisch lösen K2 - mathematisch Modellieren K3 - mathematische Darstellungen verwenden K4 - mit symbolischen,formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen K5 Mathematisches Modell 3 Mathematische Ergebnisse - Kommunizieren K6 Mathematik 2 4 Realität Realmodell 1 5 Reale Ergebnisse Realsituation

18 Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - - kennen Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen und können diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen. - entwickeln Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln.

19 Überblick 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Warum? 2. Was soll eigentlich im MU gelernt werden? Wie hängen die verschiedenen Kompetenzen zusammen? 3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt: Mit der Mathebrille durch die Welt 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele 5. Ausblick

20 3. Schnittstellen bewusst machen: Mit der Mathebrille durch die Welt

21 Ziele des MU langfristiger Kompetenzaufbau - Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt?

22 a) Schätze das Volumen dieser Schachtel und beschreibe, wie du dabei vorgehst! b) Wenn das Volumen des Inhalts 70% (oder weniger) des Volumens der Verpackung beträgt, spricht man von einer Mogelpackung. Handelt es sich hier um eine Mogelpackung? Begründe deine Meinung rechnerisch.

23 Einstufung der Aufgabe: a) L2 Messen, K3- Modellieren, Level II, K6- Kommunizieren, Level II b) Ohne genaue Maßangaben: L2 Messen, K2- Problemlösen, Level II, K3- Modellieren, Level II, K5- math. Technik, Level I

24 Die Lernenden - erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. Stadtrundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik versteckt? Kreation einer neuen Leckerei, eines Zeltes...- Frage: Wo wird Mathematik benötigt? Realsituationen mathematisch beschreiben: Wasserwechsel im Schwimmbad, Bau einer Autobahnabfahrt, Bester handy-tarif Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge mathematisch beschreiben? Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine mathematische Beschreibung bieten?

25 Mathematikbrille aufsetzen - Reflexion Reflexion: Welches sind typische Fragen, die Mathematiker stellen und auch zu beantworten versuchen? -etwas optimieren -etwas schrittweise verfeinern, annähern -einen Algorithmus finden (eine Formel ) für einen Zusammenhang -Mathematische Modelle für Realsituationen finden, Simulationen Wenn man eine Lösung für ein Problem gefunden hat: - Ist das die einzige Lösung? Kann man das beweisen? - Kann man die spezielle Lösung auch verallgemeinern?

26 Reflexion und Hintergrund Die Lernenden - - erkennen mathematische Fragestellungen, - auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren und erläutern. - Jedes Ziel umfasst: Intelligentes Wissen In welche Richtungen kann man fragen? (Wo ist Mathematik versteckt, wo hilfreich ) Typische Mathematikerfragen kennen Handlungskompetenz Konkrete Fragen in einem Kontext finden auf verschiedenen Orientierungsleveln 1. Probierorientierung 2. Orientierung am Bsp. 3. Feldorientierung Metakompetenz Beurteilungskriterien für mathematikhaltige Fragestellungen

27 Ziele und Lehr-/Lernmethoden - welche Methode passt zu welchem Ziel? Weinert, F.E. (1999). Die fünf Irrtümer der Schulreformer. Welche Lehrer, welchen Unterricht braucht das Land? Psychologie heute, 26(7), 28-34

28 Was ist wesentlich? Orientierung an der Curriculumspirale Problemlösen lernen Funktionen erkennen untersuchen variieren Algorithmus schätzen berechnen Informationen zeichnen wahrnehmen darstellen strukturieren Ein mathematisches Thema (z.b.: Zuordnungen) Algebraische Aspekte: Zahl Geometrische Aspekte: Raum

29 Schätzen und Überschlagen von Größen (sinnhaft!!) Schaffen es die Luftballons bis über den nahe gelegenen Berg? Erfüllt die Konfektschachtel die Kriterien einer Mogelpackung? Wie viel Liter Wasser passen in diesen Fasswagen?

30 Überblick 1. Abneigung gegenüber Mathematik ist weit verbreitet. Warum? 2. Was soll eigentlich im MU gelernt werden? Wie hängen die verschiedenen Kompetenzen zusammen? 3. Schnittstellen bewusst machen zwischen Mathematik und Welt: Mit der Mathebrille durch die Welt 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele 5. Ausblick

31 4.Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele Wichtig: Alle drei Erkenntnisebenen durchlaufen! Enaktiv (Muskelerinnerung, Körpererfahrung) Ikonisch (Visualisierungen beispielhaft) Symbolisch (Verallgemeinerung, Abstraktion)

32 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele Wie berechnet man die Nullstellen einer Funktion? Paul: Was war das nochmal? Ich kann (will) mir das nicht alles merken, diese vielen Begriffe! Alternative: Woran merkst du dir, was eine Nullstelle einer Funktion bedeuten kann? - Das Warenlager ist leer gekauft. - Die Kerze ist herunter gebrannt. - Das Wasser einer Fontäne ist auf dem Boden angekommen usw. Metaphern im Lehr- und Lernprozess einsetzen und Vernetzungen fördern!

33 Systematisches Probieren Aufgabe: Kerzen Zwei Kerzen brennen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ab: Kerze A ist 36cm lang und brennt mit 3cm pro Stunde ab, Kerze B ist 10cm lang und brennt mit 1cm pro Stunde ab. Wann sind beide Kerzen gleich lang? Weitere Hilfsmittel und Strategien: Gleichung Invarianzprinzip Informative Figur Überprüfung des Ergebnisses mit der realen Situation Kerze B: y=10-1x Kerze A: y=36-3x Gleichsetzen!

34 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele Misserfolgserlebnisse, Entmutigung fehlendes Kompetenzerleben Alternativen: Lernende zu Experten machen (Ichstärke fördern) Wer hat Recht? Finde den Fehler! Berate... bei deren Entscheidungen... (Tanken im Ausland? Welchen handy-tarif wählen? Planung einer Geburtstagsparty...) Kannst Du helfen (mit Mathematik)?

35 Schnittstellen bewusst machen: Mit der Mathebrille durch die Welt Vorstellungen schulen, experimentieren, vergewissern: Könnte man eine Korkkugel von 1 m³ tragen, wenn sie nicht so unhandlich wäre? Angenommen, man könnte um den Äquator der als ideale Kugel angenommenen Erde ein Seil legen und fest spannen. Würde eine Maus hindurch passen, wenn man das Seil dann um 1m verlängert und wieder gleichmäßig um die Erde spannt?

36 Aufgaben lösen auf verschiedenen Abstraktionsstufen, Zulassen verschiedener Lösungswege The semicircular disc glides along two legs of a right angle. Which line describes point P on the perimeter of the half circle? A 0 P B Ausprobieren mit Bierdeckel (I) P Mathematik Realität Mathematisches Modell 2 Realmodell 1 3 Realsituation 5 Mathematische Ergebnisse 4 Reale Ergebnisse A DGS (II) P 0 B A (III) math. Zusammenhänge finden 0 B

37 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele Wann habe ich etwas (elementar) verstanden? Identifizieren und Realisieren Beispiel und Gegenbeispiel angeben können Ein Beispiel für ein Prisma angeben und eins, das kein Prisma ist. Welche Möglichkeiten kennst Du, um Zuordnungen darzustellen? Gib ein Beispiel für eine proportionale Zuordnung an und nenne ein Beispiel, das keine proportionale Zuordnung ist. Welchen Vorteil kann eine mathematische Beschreibung von Zuordnungen haben?

38 4. Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele Individualisierte Lernangebote: Flexibler Umgang mit Aufgaben - Wahlaufgaben - offene Aufgaben bzgl. Lösungsweg - offene Aufgaben anforderungsgestuft: Blütenaufgabe --offene Aufgabe bzgl. der Eingangsinformationen (Modellierungsaufgaben) Ausblick: Methodensteckbriefe aus dem Projekt MABIKOM

39 Aufgaben mit aufsteigender Komplexität und Offenheit: Lena stellt Martin ein Zahlenrätsel: Denke dir eine Zahl. Addiere nun 1 und multipliziere das Ergebnis mit 5. Subtrahiere zuletzt 4 von der letzten Zahl. Wenn du mir nun das Ergebnis sagst, sage ich dir, welche Zahl du dir gedacht hast! a) Martin denkt sich die Zahl 6. Welches Ergebnis bekommt er heraus? b) Nun denkt sich Martin eine neue Zahl. Sein Ergebnis lautet jetzt 76. Welche Zahl hat er sich gedacht? c) Wie kann Lena aus einem beliebigen Ergebnis von Martin immer seine gedachte Zahl bestimmen? d) Erfinde selbst ein Zahlenrätsel und gib die dazugehörige Lösungsstrategie an!

40 Aktuelle didaktische Entwürfe fördern Kompetenzerleben in Mathematik Beispiele Überblick: Wichtig: Alle drei Erkenntnisebenen durchlaufen! Metaphern im Lehr- und Lernprozess einsetzen und Vernetzungen fördern! Lernende zu Experten machen (Ichstärke fördern) Vorstellungen schulen, experimentieren, vergewissern (Mathebrille aufsetzen) Aufgaben lösen auf verschiedenen Abstraktionsstufen, Zulassen verschiedener Lösungswege Wann habe ich etwas (elementar) verstanden? Identifizieren und Realisieren Beispiel und Gegenbeispiel angeben können

41 5. Ausblick Unterstützungsinstrumente für eine kompetenzorientierte Lehre: - Aufgabendatenbank für Arbeitsprodukte der Studierenden

42 5. Ausblick Aktuelle Halbjahreskurse in der Fortbildung: - Basics - Problemlösen - Computergestützt Mathematik lehren und lernen - Modellieren Kontakt: bruder@mathematik.tu-darmstadt.de