Mathematik Theorie Bezirksschule 1. Klasse

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1 Mathematik Theorie Bezirksschule 1. Klasse Mathematik -Theorie 1 1. Klasse Bezirksschule

2 Inhaltsverzeichnis 1. Klasse A Unsere Zahlen 1 Zahlen und Platzhalter für Zahlen 4 2 Dezimalbrüche: Stellenwerte rechts von den Einern 6 3 Grössen in dezimaler Schreibweise 8 B Rechenoperationen I 1 Addition und Subtraktion 10 2 Rechenvorteile: Mit List und Tricks macht Rechnen Spass 11 3 Schriftliche Addition und Subtraktion 13 4 Das Runden von Zahlen und Grössen Überschlagsberechnungen 15 5 Addieren und Subtrahieren im Alltag: Einige Beispiele 16 6 Die Verbindung von Addition und Subtraktion Gleichungen 17 7 Addition und Subtraktion: Vermischtes 20 C Rechenoperationen II 1 Die Multiplikation 21 2 Potenzen und Potenzieren - Grosse Zahlen 22 3 Die Division 23 4 Zur Teilbarkeit von Zahlen 25 5 Dezimalbrüche in Divisionsaufgaben 27 6 Runden von Quotienten 29 7 Dezimalbrüche in Multiplikationsaufgaben 30 8 Verbindung der vier Grundrechenarten 32 9 Die Grundoperationen im Alltag: Beispiele für Anwendungen 34 D Geometrische Grundbegriffe 1 Linien 35 2 Senkrecht und parallel 37 3 Das Koordinatensystem 40 4 Der Kreis 41 5 Vierecke aus Streifen 43 6 Umfang 46 Mathematik -Theorie 2 1. Klasse Bezirksschule

3 E Flächenmessung und Flächenberechnung 1 Die Masseinheiten der Fläche 47 2 Grössenvorstellungen zu Flächeneinheiten 48 3 Flächeninhalt von Rechtecken 49 4 Dezimale Schreibweise von Flächeninhalten 50 F Raummessung und Raumberechnung 1 Quader und Würfel 52 2 Die Raummasse 55 3 Dezimale Schreibweise der Raummasse 57 4 Rauminhalt von Quadern 58 Mathematik -Theorie 3 1. Klasse Bezirksschule

4 A Unsere Zahlen 1 Zahlen und Platzhalter für Zahlen Aufbau einer Zahl Eine Zahl besteht aus einzelnen Zeichen, den Ziffern. Die Zahl 28 besteht beispielsweise aus den Ziffern 2 und 8. Um alle Zahlen schreiben zu können, braucht es 10 Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Zahlenfolgen Eine beliebige Folge von Zahlen heisst Zahlenfolge. Die einzelnen Zahlen einer solchen Folge heissen Glieder. Zahlenfolgen sind für uns nur dann von Interesse, wenn sich ihre Glieder nach einer Gesetzmässigkeit folgen. Beispielsweise ist die Sechserreihe eine solche Zahlenfolge: 6, 12, 18, 24,.... Weitere Beispiele von Zahlenfolgen: a.) 3, 6, 9, 12,... Gesetzmässigkeit: + 3 b.) 1, 2, 4, 7, 11,... Gesetzmässigkeit: +1, + 2, + 3,... c.) 5, 9, 12, 16, 19,... Gesetzmässigkeit: + 4, + 3, + 4, + 3,... Mathematik -Theorie 4 1. Klasse Bezirksschule

5 Der Zahlenstrahl Auf einem Zahlenstrahl (gerade Linie mit Einteilung) lassen sich Zahlen abbilden. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Zahlen heisst Einheitsstrecke e. Die gewählte Einheitsstrecke (z.b. 1cm) bleibt auf dem gezeichneten Zahlenstrahl immer gleich lang! Einheitsstrecke e I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Für unmittelbar benachbarte Zahlen gelten folgende Begriffe: 2 ist der Vorgänger von 3, 3 ist der Nachfolger von 2. 8 ist der Vorgänger von 9, 9 ist der Nachfolger von 8. Variable (Platzhalter) In der Aufgabe 15 +? = 40 steht das Fragezeichen stellvertretend für eine gesuchte Zahl. Anstelle des Fragezeichens verwenden wir in der Mathematik Kleinbuchstaben (z.b. x, y, z). Diese sogenannten Platzhalter für eine Zahl nennt man Variablen. Die obige Aufgabe wird folglich notiert als: 15 + x = 40, wobei x = 25 ist. Wird eine Zahl mit einer Variablen multipliziert (malgenommen), wird das Malzeichen weggelassen. Es gilt beispielsweise: 3 y = 3y. Term Gebilde aus Zahlen und/oder Variablen nennt man Terme. Beispiele dafür sind: 47-12, 6 x, 8a + 3b - 9, 8x : y. Für die Variablen kann man Zahlen einsetzen. Wählt man im dritten Beispiel für a = 7 und für b = 2, erhält man: 8a + 3b - 9 = = = 53. Mathematik -Theorie 5 1. Klasse Bezirksschule

6 2 Dezimalbrüche: Stellenwerte rechts von den Einern Das Stellenwertsystem Das Stellenwertsystem ist ein System zur Darstellung von Zahlen durch Ziffern. Der Wert einer Ziffer hängt dabei von der Stelle (Position) innerhalb der Zahl ab. Beispiel: In der Zahl 47 hat die Ziffer 7 den Wert 7, da sie an der sogenannten Einerstelle steht, die Ziffer 4 hingegen hat den Wert 40, da sie an der Zehnerstelle steht. Dieses Stellenwertsystem nennt man Dezimalsystem (Zehnersystem), da der Wert der Ziffern nach links jeweils zehnmal grösser wird. In einer Stellenwerttafel lassen sich die natürlichen Zahlen (0, 1, 2, 3, 4,...) darstellen. Beispiel: a.) 8'047 b.) 41'903 c.) 110'755 d.) 3'066'294 Stellenwerte Millionen Hunderttausender Zehntausender Tausender Hunderter Zehner Einer (Abkürzung) M HT ZT T H Z E a.) b.) c.) d.) Die Stellenwerttafel des Dezimalsystems kann nach rechts erweitert werden, indem die Einer 10-mal kleiner gemacht werden. Dies ergibt Zehntel. Diese neue Einheit wird wiederum 10-mal kleiner gemacht. Dies ergibt Hundertstel. Auf diese Weise erhält man die Einheiten rechts von den Einern. Beispiel: a.) 1,204 b.) 7, c.) 0,002 d.) 8,07043 Die Zehntel, Hundertstel, Tausendstel,... werden von den Ganzen durch ein Komma abgetrennt! Stellenwerte Einer Zehntel Hundertstel Tausendstel Zehntausendstel Hunderttausendstel Millionstel (Abkürzung) E z h t zt ht m a.) b.) c.) d.) Mathematik -Theorie 6 1. Klasse Bezirksschule

7 Diese Zahlen (z.b. 1,204) nennt man Dezimalzahlen oder Dezimalbrüche. Die Stellen rechts vom Komma nennt man Dezimalen. Bei der Zahl 1,204 sind es 3 Dezimalen: 2 (Zehntel), 0 (Hundertstel) und 4 (Tausendstel). Dezimalbrüche vergleichen Mit Hilfe des Stellenwertsystems können wir Dezimalbrüche miteinander vergleichen. Dazu zerlegen wir die Dezimalbrüche in ihre dekadischen Einheiten (z.b. E, z, h,...) und vergleichen Stelle um Stelle. Beispiel: Wir vergleichen 4,5678 mit 4,5687: 4,5678 = 4 E + 5 z + 6 h + 7 t + 8 zt 4,5687 = 4 E + 5 z + 6 h + 8 t + 7 zt Folgerung: 4,5687 > 4,5678. > bedeutet ist grösser als Nullen als Dezimalen Nullen rechts des Kommas sind zwingend erforderlich, wenn nach der Null (oder den Nullen) weitere zählende Einheiten kommen. Beispiele: 5,03 ; 0,008 ; 12, Nullen rechts des Kommas sind unnötig, wenn hinter ihnen keine zählenden Einheiten mehr auftauchen. Beispiele: 3,5000 = 3,5 ; 0,050 = 0,05 ; 5,83200 = 5,832. Dezimalzahlen auf dem Zahlenstrahl darstellen Dezimalzahlen können auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden, indem die Einheitsstrecke e (z.b. e = 1cm) in 10 / 100 /... kleinere, gleich lange Abschnitte unterteilt wird. Beispiel: IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII ,3 Mathematik -Theorie 7 1. Klasse Bezirksschule

8 3 Grössen in dezimaler Schreibweise Die Längeneinheiten Die Normeinheit für die Längenmessung ist der Meter (m). Für bestimmte Streckenlängen ist die Einheit 1m unpraktisch. Deshalb gibt es kleinere und grössere Einheiten, welche alle vom Meter abgeleitet werden. Es gilt: 1 mm (Millimeter) 10 mm = 1 cm (Zentimeter) 10 cm = 1 dm (Dezimeter) 10 dm = 1 m (Meter) 10 m = 1 dam (Dekameter) 10 dam = 1 hm (Hektometer) 10 hm = 1 km (Kilometer) (Deka- und Hektometer sind Einheiten, die in der Praxis kaum mehr verwendet werden) Darstellung von Längen mit Dezimalbrüchen bzw gemeinen Brüchen Beispiele: Dezimalbruch gemeiner Bruch mm = 0,1cm = cm 10 1 = 0,01dm = dm = 0,001m = m 1' km = ( 10hm = 100dam ) = 1 000m = dm = cm = mm ,03m = m = 0,3dm = dm 10 = 3cm = 30mm km 1000 = 0,245km = 245m 5. 5m8dm = 5,8m 6. 6dm3mm = 6,03dm! m = 2,3m = 23dm km = 5,25km = 5 250m 4 Mathematik -Theorie 8 1. Klasse Bezirksschule

9 Unsere Geldeinheit Die Grundeinheit unserer Währung ist der Schweizer Franken (CHF / sfr. / Fr.). Es gilt: 1 Fr. = 100 Rp. (Rappen) Geldbeträge gibt man in der Dezimalschreibweise oder als gemischtes Mass an. Beispiel: 15,85 Fr. = 15 Fr. 85 Rp.. Dezimalschreibweise Gemischtes Mass Die Gewichtseinheiten Die Grundeinheit für die Gewichtsmessung ist das Kilogramm (kg). Um verschieden grosse Gewichte angeben zu können, gibt es grössere und kleinere Einheiten. Es gilt: 1 mg (Milligramm) mg = 1 g (Gramm) g = 1 kg (Kilogramm) kg = 1 t (Tonne) Gewichte können verschieden notiert werden! Beispiele: g = 1,5 kg = 1 kg 500 g = 1 kg t 84 kg = kg = 2,084 t kg = 3,75 kg = g = 3 kg 750 g 4 Mathematik -Theorie 9 1. Klasse Bezirksschule

10 B Rechenoperationen I 1 Addition und Subtraktion Die Zusammenzählrechnung wird von jetzt an Addition genannt, und das Zusammenzählen heisst addieren. Das Wegzählen heisst von jetzt an Subtraktion, und wegzählen nennen wir subtrahieren. Die Zahlen, die bei der Addition und der Subtraktion beteiligt sind, besitzen Fachausdrücke: = 15 (Addition) Summand plus Summand gleich Summe = 5 (Subtraktion) Minuend minus Subtrahend gleich Differenz Die Subtraktion ist die Umkehroperation der Addition. Dies kann mit Hilfe eines Pfeil-Diagrammes gezeigt werden: (natürlich gilt auch, dass die Addition die Umkehroperation der Subtraktion ist!) Um Dezimalzahlen möglichst einfach zu addieren bzw. zu subtrahieren, zerlegt man sie in dieselben Stelleneinheiten. Beispiele: a.) 0,45 + 5,06 = 45 h h = 551 h = 5,51 b.) 5,1-3,4 = 51 z - 34 z = 17 z = 1,7 c.) 0,02-0,0002 = 200 zt - 2 zt = 198 zt = 0,0198 d.) 1-0,045 = t - 45 t = 955 t = 0,955 e.) 4,4 + 0,94 = 440 h + 94 h = 534 h = 5,34 Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

11 2 Rechenvorteile: Mit List und Tricks macht Rechnen Spass Du weisst bereits aus der Primarschule, dass gilt: = = 13. Man darf also bei einer Addition die Summanden vertauschen. Allgemein ausgedrückt gilt: a + b = b + a Dieses Gesetz heisst Vertauschungsgesetz oder Kommutativgesetz. Beispiel: Betrachte die folgende Addition: Statt stur von links nach rechts zu addieren, wenden wir zuerst das Kommutativgesetz an und vertauschen den 2. und 3. Summanden, damit nachher eine runde Teilsumme (Zehnerzahl) entsteht. Die Rechnung lautet nun: = = 127. Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion! Beispiel: In einer Summe mit mehr als zwei Summanden dürfen die Summanden beliebig zu Teilsummen zusammengefasst werden. Mit Klammern werden die Teilsummen angedeutet. Beispiel: = ( ) + 45 = = = 25 + ( ) = = 105 Allgemein ausgedrückt gilt: (a + b) + c = a + (b + c) Dieses Gesetz heisst Verbindungsgesetz oder Assoziativgesetz. Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

12 Es ist möglich, dass bei einer Addition sowohl das Kommutativgesetz als auch das Assoziativgesetz angewendet werden. Beispiel: = = Kommutativgesetz ( ) = = Assoziativgesetz ( ) + 40 = = 73 Assoziativgesetz Tricks (Vereinfachen von Rechnungen) Bei der Addition zweier Summanden darf man den einen Summanden um einen bestimmten Betrag vergrössern, wenn man den andern Summanden um dieselbe Zahl verkleinert Beispiel: = = Bei der Subtraktion darf man den Subtrahenden um einen bestimmten Betrag vergrössern, wenn man Minuenden auch um dieselbe Zahl vergrössert Beispiel: = = Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

13 3 Schriftliche Addition und Subtraktion Bei der schriftlichen Addition werden die Summanden einzeln untereinander geschrieben, so dass die Einheiten in derselben Spalte zu liegen kommen. Beispiel: > THZE Nun bildet man zuerst die Summe der Einer. Ist sie grösser als 9, erfolgt die Verwandlung und der Übertrag (sog. Behaltewert) zu den Zehnern. Dann bildet man die Summe der Zehner (inkl. Behaltewert!). Ist sie grösser als 9, erfolgt die Verwandlung und der Übertrag zu den Hundertern u.s.w.. Damit Fehler möglichst rasch gefunden werden, müssen die Behaltewerte unbedingt geschrieben werden! Die obige Rechnung schriftlich ausgeführt sieht dann wie folgt aus: Das Vorgehen der schriftlichen Addition lässt sich problemlos auf Dezimalbrüche übertragen. Damit dieselben Einheiten der Summanden untereinander stehen, muss das Komma jedes Summanden in derselben Spalte sein! Beispiel: 140,3 + 13,86 + 8, , , , ,826 Fehlende Stellen werden zur Vereinfachung der Rechnung mit Nullen besetzt! Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

14 Bei der schriftlichen Subtraktion werden der Minuend und der Subtrahend/die Subtrahenden untereinander geschrieben, so dass die Einheiten in derselben Spalte zu liegen kommen. Beispiel: > HZE Nun wird für jeden Stellenwert von der oberen Ziffer die untere subtrahiert, so dass die obige Aufgabe schriftlich ausgeführt wie folgt aussieht: Was passiert aber, wenn die untere Ziffer grösser ist als die obere? Wir wollen für ein solches Beispiel die einzelnen Rechnungsschritte notieren. Beispiel: Wir leihen einen Zehner (=10 Einer) aus und addieren ihn zu den 3 Einern, was 13 Einer ergibt. 2. Wir ergänzen 7 Einer auf 13 Einer, was 6 Einer ergibt. Schreibe 6 Einer und gib den geliehenen Zehner zurück: behalte 1 Zehner. 3. Wir leihen einen Hunderter (=10 Zehner) aus und addieren ihn zu den 2 Zehnern, was 12 Zehner ergibt. 4. Wir ergänzen 8+1 Zehner (=9 Zehner) auf 12 Zehner, was 3 Zehner ergibt. Schreibe 3 Zehner und gib den geliehenen Hunderter zurück: behalte 1 Hunderter Hunderter und 5 Hunderter auf 8 Hunderter ergänzen ergibt 2 Hunderter. Schreibe 2 Hunderter. 6. Ergänze 0 Tausender auf 2 Tausender, was 2 Tausender ergibt. Schreibe 2 Tausender. Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

15 4 Das Runden von Zahlen und Grössen In vielen Situationen ist es sinnvoll, Zahlen oder Grössen (Masszahlen und Masseinheiten) zu runden. Beispiel: Die Einwohnerzahl einer Stadt soll angegeben werden. Da sich diese Zahl fast täglich verändert, ist es sinnlos, eine Angabe auf einzelne Einwohner genau zu machen. Man rundet deshalb beispielsweise auf hundert Einwohner genau und notiert: Die Stadt zählt rund 11'200 Einwohner. Manchmal ist es auch völlig sinnlos, Zahlen zu runden. Beispiele: Nicht gerundet werden dürfen - Telephonnummern (062/ ) - Kontonummern ( ) - Autonummern ( ) Vorgehen beim Runden Für das Runden entscheidend ist die Ziffer hinter der Stelle, auf die gerundet werden muss. - Ist die für das Runden entscheidende Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet. - Ist die für das Runden entscheidende Ziffer eine 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet. Beispiele: 1 Auf Hunderter runden: Auf Zehner runden: , Auf Zehntel runden: Auf 2 Dezimalen runden: 0,9788 0,98 5 Auf 3 Dezimalen runden: 5,8996 5,900! 6 Auf cm runden: 6,9206m 6,92m 7 Auf m runden: 5 561,59m 5 562m (unterstrichen ist jeweils die für das Runden entscheidende Stelle) Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

16 5 Addieren und Subtrahieren im Alltag In sogenannten Sätzchenaufgaben (Aufgaben die in Sätzen eingekleidet sind) wird das situationsbezogene Anwenden der Addition und der Subtraktion gelernt. Wichtig ist bei solchen Aufgaben in erster Linie das korrekte Erfassen der gegebenen Situation, was vor allem ein genaues Lesen der Aufgabenstellung voraussetzt! Beispiel: Ein Parkhaus hat 1'352 Plätze. Während der Nacht waren 25 Autos eingestellt. Im Laufe des Vormittags fahren 1'579 Autos hinein und 428 hinaus. Wie viele Plätze sind um 12 Uhr noch frei?" Vorgehensweise 1. Lies die Aufgabe genau durch (eventuell mehrmals). 2. Überlege dir, welche Rechenoperationen in welcher Reihenfolge benötigt werden. 3. Führe die einzelnen Ausrechnungen schrittweise schriftlich aus. 4. Achte auf eine übersichtliche Darstellung. 5. Runde gegebenenfalls das Resultat. 6. Schreibe einen kurzen Antwortsatz. Lösung der obigen Aufgabe Um 12 Uhr sind noch 176 Parkplätze frei. Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

17 6 Die Verbindung von Addition und Subtraktion - Gleichungen Operieren wir in einem Term sowohl mit der Addition als auch mit der Subtraktion, ist oft das Setzen von Klammern notwendig, um genau angeben zu können, in welcher Reihenfolge gerechnet werden soll. Beispiele: = (5 + 4) - 3 = ( ) = 6 Die Klammern geben an, dass die Rechnung, die darin enthalten ist, zuerst ausgeführt werden muss! Enthält eine Aufgabe ineinander verschachtelte Klammern, so wird zuerst die innerste Klammer verrechnet. Beispiel: (53 - (18 + 5)) - (18 + (13-9)) = (53-23) - (18 + 4) = = 8 Achte auf das korrekte Setzen des Gleichheitszeichens! Vom Term zum Text und vom Text zum Term Ein gegebener Term kann in Worten ausgedrückt werden (vom Term zum Text). Dabei muss die Aufgabenstellung absolut verständlich bleiben! Beispiel: (3,7 + 5,8) - (2,4-1,7) Achte auf die Klammern! "Subtrahiere von der Summe von 3,7 und 5,8 die Differenz von 2,4 und 1,7." Es gibt verschiedene Möglichkeiten, einen Term in Worten auszudrücken! Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

18 Umgekehrt ist es auch möglich, einen in Worten formulierten Term als Zahlen- / Buchstabenausdruck zu schreiben. Beispiel: "Von der Differenz der Zahlen 87,32 und 36,18 soll die Summe von 10,97 und 21,34 subtrahiert werden und zum Rest die Differenz von 65,12 und 36,75 addiert werden." (87,32-36,18) - (10, ,34) + (65,12-36,75) Gleichungen Sind zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen (=) verbunden, spricht man von einer Gleichung. Der Wert auf der linken Seite entspricht dem Wert auf der rechten Seite. Beispiel: = 42 Man kann sich dieses "Gleichgewicht" am Bild einer Balkenwaage vorstellen. Enthält eine Gleichung eine Variable, muss diese so durch eine Zahl ersetzt werden, dass die Gleichung erfüllt ist, d.h. beide Seiten gleichwertig sind. Beispiel: 57 - x = 28 x = 29 Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

19 Bei Sätzchenaufgaben muss die Gleichung zuerst noch aufgestellt werden. Beispiel: "Um welche Zahl muss die Summe von 8,30 und 6,71 vermindert werden, um ihre Differenz zu erhalten?" (8,30 + 6,71) - x = (8,30-6,71) 15,01 - x = 1,59 x = 13,42 Ungleichungen Sind zwei Terme durch ein Ungleichheitszeichen (<, >) verknüpft, so spricht man von einer Ungleichung. Der Wert auf der einen Seite muss in diesem Falle grösser oder kleiner sein als auf der andern Seite. Beispiele: > < Dieses "Ungleichgewicht" lässt sich ebenfalls mit einer Balkenwaage darstellen. Enthält eine Ungleichung eine Variable, muss diese durch eine oder mehrere Zahlen ersetzt werden, so dass die Ungleichung erfüllt ist. Beispiele: x + 7 < > x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, x > > x > 23 Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

20 7 Addition und Subtraktion: Vermischtes Zahlenfolgen Zahlen, die nach einem bestimmten Gesetz aufeinanderfolgen, bilden eine Zahlenfolge. Die einzelnen Zahlen heissen Glieder der Folge. Beispiele: 1, 4, 7, 10, 13,... (Gesetz: + 3) 2, 3, 6, 7, 14, 15, 30,... (Gesetz: +1 / 2 ) 1, 4, 3, 12, 11, 44, 43,... (Gesetz: 4 / -1) Verknüpfungsdiagramme Ein Verknüpfungsdiagramm ist eine graphische Darstellung einer Gleichung. Die Zahlen (in quadratischen Kästchen) und die Operationszeichen (in Kreisen) werden durch Verbindungslinien verknüpft. Beispiele: Gleichung Verknüpfungsdiagramm x + y = z = 11 Gleichung Verknüpfungsdiagramm 95 (x +33) = y 95 (15 +33) = 47 Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

21 C Rechenoperationen II 1 Die Multiplikation Die Multiplikation entspricht einer Addition mehrerer gleichensummanden. Beispiel: 8 5 = = 40 Es gelten folgende Bezeichnungen: 8 5 = 40 Multiplikand (1. Faktor) Multiplikator (2. Faktor) Produkt Wie bei der Addition gelten auch bei der Multiplikation das Kommutativ- und Assoziativgesetz. Kommutativgesetz: 8 5 = 5 8 Assoziativgesetz: (8 5) 2 = 8 (5 2) Mit Hilfe des schriftlichen Multiplikationsverfahren können schwierige Multiplikationen bewältigt werden. Beispiel: bzw bzw Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

22 2 Potenzen und Potenzieren Grosse Zahlen Besteht eine Multiplikation aus lauter gleichen Faktoren, so drückt man es verkürzt als Potenz aus. Beispiel: = 2 6 = 64 (Die Zahl 2 wird 6 mal mit sich selbst multipliziert) Es gelten folgende Bezeichnungen: 2 6 Potenz Basis Exponent Potenzen mit dem Exponenten 2 heissen Quadratzahlen. Beispiele: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25, 6 2 = 36,... Potenzen mit der Basis 10 heissen Zehnerpotenzen. Beispiel: 10 4 = = 10'000 Grosse Zahlen können mit Hilfe der Zehnerpotenzen viel kürzer geschrieben werden: = 10 6 = 1 Million = 10 9 = 1 Milliarde = = 1 Billion = = 1 Billiarde Es gilt weiter: = 8,5 Millionen = 8, = = = 10 Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

23 3 Die Division Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation. 7 Beispiel: 4 28 : 7 Division Dividieren bedeutet teilen oder messen. Beispiele: 28 Fr. : 7 = 4 Fr. (teilen) 28 m : 7 m = 4 (messen) Es gelten folgende Bezeichnungen: 28 : 7 = 4 Dividend Divisor Quotient Bei schwierigen Divisionsaufgaben verwendet man ein schriftliches Verfahren. Beispiel: : 2 7 = Es ist wichtig, dass vor dem schriftlichen Dividieren eine Überschlagsrechnung gemacht wird, um allfällige grobe Rechnungsfehler zu bemerken! Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

24 Potenzen mit derselben Basis können problemlos dividiert werden. Beispiele: 10 6 : 10 2 = : 100 = = : 4 3 = ( ) : (4 4 4) = 4 4 = 4 2 x 8 : x 2 = x 6 Es gilt: Der Exponent des Resultates berechnet sich als Differenz der Exponenten, die Basis bleibt dieselbe. Wichtige Regeln 1. Die Operatoren 1 und :1 verändern den Wert einer Zahl nicht. Beispiele: 18 1 = 18 und 18 : 1 = Der Operator 0 erzeugt als Resultat immer den Wert 0. Beispiele: 18 0 = 0 und a 0 = 0 3. Die Division durch O ist nicht definiert! Beispiel: 18 : 0 = nicht definiert Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

25 4 Zur Teilbarkeit von Zahlen Dividiert man eine natürliche Zahl durch eine andere, geht die Rechnung meistens nicht ganzzahlig auf, und es entsteht ein Rest. Beispiel: 27 : 6 = 4, Rest 3. Man kann mit Hilfe von Teilbarkeitsregeln prüfen, ob bei der Division durch eine bestimmte natürliche Zahl ein Rest entsteht oder nicht. Teilbarkeitsregeln 2 : Eine Zahl ist teilbar durch 2, wenn ihre Einerziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 heisst. (solche Zahlen nennt man gerade Zahlen) 3 : Eine Zahl ist teilbar durch 3, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. (die Quersumme wird gebildet, indem die einzelnen Ziffern einer Zahl addiert werden) 4 : Eine Zahl ist teilbar durch 4, wenn ihr Hunderterrest durch 4 teilbar ist. (der Hunderterrest ist die aus den letzten zwei Ziffern gebildete Zahl / es ist der Rest, der bei einer Division durch 100 entsteht) 5 : Eine Zahl ist teilbar durch 5, wenn ihre Einerziffer 0 oder 5 heisst. 6 : Eine Zahl ist teilbar durch 6, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist. (denn: 6 = 2 3, und: 2 und 3 sind teilerfremd (haben keinen gemeinsamen Teiler)). 7 : Keine Regel! 8 : Eine Zahl ist teilbar durch 8, wenn ihr Tausenderrest durch 8 teilbar ist. (der Tausenderrest ist die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl / es ist der Rest, der bei einer Division durch entsteht) 9 : Eine Zahl ist teilbar durch 9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. 10: Eine Zahl ist teilbar durch 10, wenn ihre Einerziffer 0 heisst. 12: Eine Zahl ist teilbar durch 12, wenn sie durch 3 und 4 teilbar ist. (denn: 12 = 3 4, und: 3 und 4 sind teilerfremd (haben keinen gemeinsamen Teiler)). 25: Eine Zahl ist teilbar durch 25, wenn ihr Hunderterrest durch 25 teilbar ist. 125: Eine Zahl ist teilbar durch 125, wenn ihr Tausenderrest durch 125 teilbar ist. Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

26 Primzahlen Als Primzahlen bezeichnet man alle natürlichen Zahlen, die nur durch 1 und durch sich selbst ohne Rest teilbar sind. Die erste Primzahl heisst 2. Die weiteren Primzahlen lauten: 3, 5, 7, 11,... Es gibt unendlich viele Primzahlen. Die Häufigkeit nimmt allerdings mit grösseren Zahlen ab. Eine sehr alte Methode zur Bestimmung von Primzahlen ist das sogennannte Sieb des Eratosthenes! Es funktioniert nach folgendem Prinzip: 1. Man schreibt eine Liste aller natürlichen Zahlen auf, die man überprüfen will: 2. Nun streicht man als erstes die 1 weg, da 1 keine Primzahl ist. 3. Die Zahl 2 wurde bis jetzt nicht weggestrichen und ist deshalb eine Primzahl! Wir markieren sie mit einem Kreis. 4. Wir streichen nun alle Vielfachen von 2 durch, da diese Zahlen sicher keine Primzahlen sind. 5. Die Zahl 3 ist die nächste nicht durchgestrichene Zahl und deshalb eine Primzahl! Wir markieren sie mit einem Kreis. 6. Wir streichen nun alle Vielfachen von 3 durch, da diese Zahlen sicher keine Primzahlen sind. 7. Die Zahl 5 ist die nächste nicht durchgestrichene Zahl und deshalb eine Primzahl! Wir markieren sie mit einem Kreis. 8. Wir streichen nun alle Vielfachen von 5 durch, da diese Zahlen sicher keine Primzahlen sind. 9. etc Die Primzahlen zwischen 1 und 100 heissen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

27 5 Dezimalbrüche in Divisionsaufgaben Geht eine Division mit natürlichen Zahlen nicht auf, schreiben wir den verbleibenden Zahlenwert als Rest. Beispiel: 248 : 5 = 49 Rest 3 Statt den Rest zu notieren, können wir die Division mit dem Rest fortsetzen und erhalten so als Resultat eine Dezimalzahl. Beispiel: 248 : 5 = 49,6 ( Rest 3 = 30 Zehntel 30 Zehntel : 5 = 6 Zehntel = 0,6 ) Bei der Division durch eine Zehnerpotenz (10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1 000,...) wird das Komma um so viele Stellen nach links verschoben, wie die Zehnerpotenz Nullen hat. Beispiel: : 10 = 586, : 100 = 58, : = 5, : = 0,5867 Bei der Division einer Dezimalzahl durch eine natürliche Zahl führt die Schreibweise mit den Stellenwerten zum Resultat. Beispiele: 0,9 : 3 = 9 Zehntel : 3 = 3 Zehntel = 0,3 0,12 : 3 = 12 Hundertstel : 3 = 4 Hundertstel = 0,04 0,2 : 5 = 2 Zehntel : 5 = 20 Hundertstel : 5 = 4 Hundertstel = 0,04 14,4 : 12 = 144 Zehntel : 12 = 12 Zehntel = 1,2 0,288 : 12 = 288 Tausendstel : 12 = 24 Tausendstel = 0,024 Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

28 Bei der Division durch eine Dezimalzahl formen wir die Aufgabe durch gleichsinnige Kommaverschiebung so um, dass der Divisor eine natürliche Zahl wird. Beispiele: 120 : 0,2 = 120,0 : 0,2 = : 2 = : 0,005 = 30,000 : 0,005 = 30'000 : 5 = 6' : 0,0014 = 56,0000 : 0,0014 = 560'000 : 14 = ,4 : 0,4 = 64 : 4 = 16 0,96 : 0,08 = 96 : 8 = 12 0,324 : 0,0008 = 0,3240 : 0,0008 = : 8 = 405 0,12 : 0,3 = 1,2 : 3 = 0,4 ( Division durch eine natürliche Zahl! ) Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

29 6 Runden von Quotienten In vielen Divisionsaufgaben ist der Quotient eine Zahl, welche unendlich viele Stellen nach dem Komma aufweist. Solche Zahlen nennt man nichtabbrechende Dezimalbrüche. Beispiel: 120 : 14 = 8, Bei genauem Betrachten des Quotienten lässt sich zwar eine Regelmässigkeit erkennen, doch ändert dies nichts an der Tatsache, dass die Zahl nie abbrechen wird! In solchen Fällen rundet man den Quotienten, d.h. man bricht nach einer bestimmten Anzahl Stellen ab. Es gelten dabei die normalen Rundungsregeln. Beachte dabei die Verwendung des Rundungszeichens ( ). Es kann auf verschiedene Arten angegeben werden, wie gerundet werden soll: Beispiele: 1. Berechne auf Hundertstel genau: : 712 = 6, ,87 2. Berechne auf km genau: km : 311 = 120,2... km 120 km 3. Berechne auf die nächstkleinere Einheit genau: 893,8 Fr. : 26 = 34, Fr. 34,38 Fr. 4. Berechne auf l (Liter) genau: 5,1hl : 13 = 510 l : 13 = 39,2... l 39 l = 0,39 hl (Achtung: Auch wenn es heisst, dass auf Liter gerundet werden soll, muss das Schlussresultat doch in der Anfangsmasseinheit, also Hektoliter, stehen bleiben!) Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

30 7 Dezimalbrüche in Multiplikationsaufgaben Das Verfahren der schriftlichen Multiplikation kann ebenfalls angewendet werden, wenn die beiden Faktoren Dezimalbrüche sind. Es gilt folgende Regel: Das Produkt zweier Dezimalbrüche weist soviele Stellen nach dem Komma auf, wie die beiden Faktoren zusammen Dezimalen aufweisen. 2 Dezimalen 1 Dezimale Beispiel: 2, 6 3 1, , Dezimalen Bei der Multiplikation zweier Dezimalbrüche/Zahlen kann der eine Faktor mit einer Zehnerpotenz vervielfacht und der andere entsprechend verkleinert werden, ohne dass sich der Wert des Produktes verändert. Dies geschieht durch gegensinnige Kommaverschiebung. Beispiele: 0,08 2,5 = 8 0,025 = 0,2 100 : 100 0, = 3 52 = : Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

31 Bei der Multiplikation eines Dezimalbruches mit einer Zehnerpotenz (10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1'000,...) gilt folgende Regel: Bei der Multiplikation eines Dezimalbruches mit einer Zehnerpotenz erhält man das Resultat, indem das Komma des Dezimalbruches um soviele Stellen nach rechts verschoben wird, wie die Zehnerpotenz Nullen besitzt. Beispiele: 0, = , = Es lassen sich verschiedene Produkte bestehend aus einem Dezimalbruch und einer Zehnerpotenz schreiben, welche alle den gleichen Wert besitzen. Dies geschieht durch gegensinnige Kommaverschiebung. Beispiele: 8, = 0, = 0, , = 490, = 0, Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

32 8 Verbindung der vier Grundrechenarten Die vier Grundrechenarten heissen: - Addition ( + ) - Subtraktion ( - ) - Multiplikation ( ) - Division ( : ). Die Grundrechenarten können einzeln oder miteinander verbunden auftreten. Damit die Reihenfolge der Operationsschritte klar festgelegt werden kann, gibt es eine sogenannte Hierarchie der Rechenoperationen. Es gilt: Die Rechenarten, die in der Pyramide der Rechenarten weiter oben stehen, müssen beim Ausrechnen zuerst berücksichtigt werden! Potenzieren Radizieren Multiplizieren Dividieren Addieren Subtrahieren Für die Grundrechenarten gilt folgende Regel: Die Punktoperationen (Multiplikation / Division) werden vor den Strichoperationen ( Addition / Subtraktion) ausgeführt! Punkt vor Strich Weiterhin gilt natürlich die Regel, dass Klammern immer zuerst ausgerechnet werden. Bei mehreren ineinandergeschachtelten Klammern wird zuerst die innerste Klammer ausgerechnet. Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

33 Beispiele: = = : 2 = 12 3 = (2 + 10) = 6 12 = 72 4 ( 12 6) : 2 = 6 : 2 = (12 4 2) = 3 (12 8) = 3 4 = = 36 8 = : (6 2) = : 4 = 48 9 = 39 8 ( 48 36) : (6 2) = 12 : 4 = (56 : 4 2 3) = 72 2 (14 6) = = = (90 2 (43 2 6)) ( ) : 7 = : 7 (90 = 62) : (90 2 (43 12)) 7 = 28 : 7 = : 7 4 = Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

34 9 Die Grundoperationen im Alltag : Beispiele Die 4 Grundoperationen kommen häufig in sogenannten Sätzliaufgaben zur Anwendung. Bei diesen Aufgaben muss gemäss den schriftlichen Anweisungen in der Aufgabenstellung die Rechnung (Term / Gleichung) selber aufgestellt werden. Beispiel: 2,5kg Teigwaren kosten 6,40Fr. Wie teuer ist 1kg? 6,5 Fr. : 2,5 = 2,6 Fr. Es ist wichtig, dass beim Lösen solcher Aufgaben auf eine übersichtliche Darstellung geachtet wird! Es gilt, folgende Punkte zu beachten: 1. Aufgabe in Teilschritte gliedern und diese klar trennen 2. Masseinheiten korrekt verwenden 3. Keine Schlauchrechnungen notieren (Beispiel: 2 3 = = 10 : 5 = 2 falsch!) 4. Teilresultate einfach unterstreichen, Schlussresultat doppelt. 5. Eventuell einen kurzen Antwortsatz schreiben. Beispiel: Ein Strasse von 5,340 km Länge soll beiderseits mit Bäumen bepflanzt werden, die 12 m Abstand voneinander haben. Wie viele Bäume sind nötig, wenn der erste und letzte Baum je 6 m vom Anfang bzw. Ende der Allee entfernt sind? 5,340 km = m m m = m - 12 m = m m : 12 m = 444 (Abstände) 445 Bäume Bäume = 890 Bäume Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

35 D Geometrische Grundbegriffe 1 Linien Es gibt verschiedene Arten von Linien: gekrümmte und gerade Linien, offene und geschlossene Linien, unendlich lange und endlich lange Linien. Da geometrische Fachbegriffe eindeutig sein müssen, wird das Wort "Linie" als solches nicht verwendet. Es gilt: Eine gerade, unendlich lange Linie wird als Gerade bezeichnet. (Durch zwei Punkte ist die Lage einer Geraden bestimmt! ) Eine gerade, endlich lange Linie wird als Strecke bezeichnet. (Durch einen Anfangs- und einen Endpunkt ist die Lage einer Strecke bestimmt! ) Bezüglich der Kennzeichnung gilt: Punkte werden mit Grossbuchstaben gekennzeichnet. P Geraden werden auf zwei Arten gekennzeichnet: 1 Mit Kleinbuchstaben 2 Durch Angabe zweier Punkte, die auf der Geraden liegen A g = AB B g Strecken werden auf zwei Arten gekennzeichnet: D 1 Mit Kleinbuchstaben s 2 Durch Angabe des Anfangs- und Endpunktes (überstrichen!) C s = CD Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

36 Streckenlängen mit dem Zirkel abtragen Sind im Buch Streckenlängen gegeben, welche im Heft verwendet werden müssen, so gilt: 1. Die Strecken im Buch mit dem Lineal messen und ins Heft übernommen (inkl. Anschrift!). 2. Die ins Heft übernommenen Strecken mit dem Zirkel abmessen und weiterverwenden. Häufig werden Streckenlängen addiert oder subtrahiert. Dies erfolgt mit Hilfe des Zirkels auf einer sogenannten Trägergeraden. Beispiel: Konstruiere eine Strecke mit der Länge 2a - b, wenn die Teilstrecken a und b gegeben sind. a b 2a - b a a b g Die positiven Streckenlängen oben anschreiben, die negativen unten! Die Lösungsstrecke rot zeichnen und oben beschriften. Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

37 2 Senkrecht und parallel Lassen wir einen Gegenstand aus der Luft fallen, so beschreibt er einen geraden Weg von oben nach unten. Er fällt vertikal oder lotrecht. Ist die Unterlage horizontal oder waagrecht, so trifft der Körper senkrecht zur Unterlage auf. Die Flugrichtung und die Unterlage stehen senkrecht, rechtwinklig oder orthogonal zueinander. Es gilt: Horizontal / waagrecht und vertikal / lotrecht sind Richtungen von Geraden. Senkrecht zu / rechtwinklig zu / orthogonal zu sind Relationen (Beziehungen) zwischen Geraden. Vertikal / Lotrecht Horizontal / Waagrecht Senkrecht zu / Rechtwinklig zu / Orthogonal zu ( Rechtwinkligkeitszeichen ) Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

38 Mit dem Geodreieck wird die Rechtwinkligkeit von Geraden überprüft und werden zueinander senkrechte Geraden konstruiert. Beispiel: "Zeichne durch den Punkt P eine Gerade h, welche senkrecht zur Geraden g steht." P g h Die Rechtwinkligkeit von Geraden wird beim Schnittpunkt der beiden Geraden mit dem sogenannten Rechtwinkligkeitszeichen markiert. Stehen zwei Geraden senkrecht zueinander, so notiert man: g h. Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

39 Verlaufen zwei Geraden in immer gleichem Abstand zueinander, so sind sie parallel zueinander. Beispiele: Bahnschienen auf gerader Strecke, Notenlinien. Die Konstruktion einer Parallelen durch einen Punkt zu einer Geraden erfolgt mit Geodreieck und Lineal. Beispiel: "Konstruiere eine Parallele h durch den Punkt P zu der Geraden g." P // h // g Die Parallelität von Geraden wird mit dem sogenannten Parallelitätszeichen auf den Geraden markiert. Sind zwei Geraden parallel zueinander, so notiert man: g // h. Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

40 3 Das Koordinatensystem Damit man sich in der Zeichenebene orientieren kann, legt man ein Gitternetz aus waagrechten und lotrechten parallelen Geraden an. Jeder Schnittpunkt einer horizontalen und vertikalen Geraden definiert eine bestimmte Lage. Damit die Lage eindeutig ist, braucht es eine waagrechte und eine lotrechte Achse als Ausgangsgeraden. Diese beiden Achsen nennt man Rechtsachse oder x-achse in der horizontalen Richtung und Hochachse oder y-achse in der vertikalen Richtung. Der Schnittpunkt der beiden Achsen ist der sogenannte Nullpunkt. Jedem Punkt im Koordinatensystem kann nun ein Zahlenpaar (x/y) zugeordnet werden. Die Variable x steht für die 1. Koordinate oder die Rechtsachsenzahl, die Variable y für die 2. Koordinate oder die Hochachsenzahl. Die 1. Koordinate gibt den Abstand in horizontaler Richtung von der y-achse an, die 2. Koordinate gibt den Abstand in vertikaler Richtung von der x-achse an. Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

41 4 Der Kreis Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M den gleichen Abstand r haben. Dabei ist M der Mittelpunkt oder das Zentrum des Kreises und r der Radius des Kreises. Der Kreis wird häufig auch als Kreislinie k bezeichnet. M r k Verbindet man zwei Punkte P und Q auf der Kreislinie geradlinig, so erhält man eine Sehne s. Die Kreislinie wird dadurch in zwei Kreisbögen b 1 und b 2 unterteilt. P b 2 M s b 1 Q Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

42 Eine durch den Mittelpunkt M hindurch verlaufende Sehne nennt man Durchmesser d des Kreises. Der Durchmesser ist doppelt so gross wie der Radius und halbiert sowohl die Kreislinie k als auch die Kreisfläche. d M k Aufgabe: Zeichne die Punkte A und B mit IABI = 5cm. Konstruiere alle Punkte, die 4 cm von A und 2 cm von B entfernt sind. P 1 A B P 2 Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

43 5 Vierecke aus Streifen Zwei parallele Geraden begrenzen einen Streifen. Eine zu einem Streifen orthogonale Strecke, welche die beiden Parallelen verbindet, nennt man Breite des Streifens. b b : Breite des Streifens Durch den Schnitt zweier Streifen entstehen Vierecke (es entstehen vier Schnittpunkte!). Je nach Breite und Lage der zwei Streifen entstehen verschiedene Vierecke. 1. Durch den Schnitt zweier gleich breiten Streifen, welche senkrecht zueinander stehen, entsteht ein Quadrat. 2. Durch den Schnitt zweier gleich breiten Streifen in beliebiger Lage entsteht ein Rhombus / eine Raute. 3. Durch den Schnitt zweier ungleich breiten Streifen, welche senkrecht zueinander stehen, entsteht ein Rechteck. 4. Durch den Schnitt zweier ungleich breiten Streifen in beliebiger Lage entsteht ein Parallelogramm. Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

44 Eigenschaften dieser speziellen Vierecke Quadrat: - Alle vier Seiten sind gleich lang. - Alle vier Winkel sind rechte Winkel (90 ). - Die Diagonalen stehen senkrecht zueinander. - Die Diagonalen sind gleich lang. - Die Diagonalen halbieren einander. s s s s Rhombus: - Alle vier Seiten sind gleich lang. - Die Gegenseiten sind parallel. - Die Diagonalen stehen senkrecht zueinander. - Die Diagonalen halbieren einander. s s s s Rechteck: - Die Gegenseiten sind gleich lang. - Alle vier Winkel sind rechte Winkel. - Die Diagonalen sind gleich lang. - Die Diagonalen halbieren einander. b a b a Parallelogramm: - Die Gegenseiten sind gleich lang. - Die Gegenseiten sind parallel. - Die Diagonalen halbieren einander. b a b a Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

45 Abstand oder Entfernung - Als Abstand oder Entfernung zweier Punkte P und Q bezeichnet man die Länge der Strecke PQ. Q P - Als Abstand ( Entfernung ) eines Punktes P von einer Geraden g bezeichnet man den Abstand des Punktes P vom Fusspunkt F des Lotes von P auf die Gerade g. P F g - Als Abstand zweier parallelen Geraden g und h bezeichnet man den Abstand eines Punktes P g von h. P g F h Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

46 6 Umfang Die Länge der Begrenzungslinie einer ebenen Figur nennt man Umfang u. Der Umfang eines Vielecks (Dreieck, Viereck, Fünfeck,...) ist gleich der Summe seiner Seitenlängen. Beispiel: A e E d D c C Achtung! Die Beschriftung eines Vielecks erfolgt im Gegenuhrzeigersinn! a b B u = a + b + c + d + e Wichtig sind vor allem die Umfangsformeln für Rechteck und Quadrat. D a C Rechteck: u = 2 ( a + b ) b b A a B Quadrat: u = 4 s D s C s s A s B Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

47 E Flächenmessung und Flächenberechnung 1 Die Masseinheiten der Fläche Wenn wir etwas messen, so bestimmen wir immer, wie oft eine als Masseinheit gewählte Grösse in der zu messenden Grösse Platz hat. Solche Masseinheiten sind zum Beispiel für die Längenmessung der Meter oder für die Gewichtsmessung das Kilogramm. Auch zur Flächenmessung braucht es solche Masseinheiten. Da viele Flächen rechtwinklig sind, hat man als Normfigur für die Flächenmessung das Quadrat gewählt. Die Masseinheiten der Flächenmessung sind Quadrate mit den Seitenlängen 1mm, 1cm, 1dm, 1m und 1km. Die Fläche dieser Quadrate wird entsprechend angegeben mit 1mm 2, 1cm 2, 1dm 2, 1m 2 und 1km 2. Zwei weitere Flächenmasse sind gebräuchlich: 1a ( 1 Are ) mit der Seitenlänge 10m und 1ha ( 1 Hektare ) mit der Seitenlänge 100m. Es gilt: 1 km 2 wird gelesen als ein Quadratkilometer! 1dm 2 1m = 10dm 1 km 2 = 100 ha 1 ha = 100 a 1 a = 100 m 2 1 m 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 100 cm 2 1 cm 2 = 100 mm 2 1m 2 = 100dm 2 1m = 10dm Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

48 2 Grössenvorstellungen zu Flächeneinheiten Es ist wichtig, dass man eine Grössenvorstellung der verschiedenen Flächeneinheiten hat. Man sollte sich ungefähr vorstellen können, wie gross zum Beispiel 1m 2 oder 1 a ist. Die Grösse verschiedenster Flächen (Grundstücke, Zimmer,...) kann nur dann sinnvoll geschätzt werden, wenn man die verschiedenen Flächeneinheiten als Vergleichsgrössen herbeiziehen kann. Beispiel: Der Rasenplatz unserer Schule ist etwa 80 m lang und 40 m breit. Die Fläche beträgt also m 2. Das sind 32 a oder gerundet etwa 3 1 ha. 40 m 10 m 1 a = 100 m 2 10 m 80 m Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

49 3 Flächeninhalt von Rechtecken Für die Berechnung des Flächeninhaltes von Rechtecken gilt folgende Formel: A = a b A : Flächeninhalt a : Länge b : Breite a A lat. area = freier, ebener Platz b Beispiel: Der Flächeninhalt des unten abgebildeten Rechteckes beträgt 40 cm 2, da es aus 40 Einheitsquadraten mit der Fläche 1 cm 2 besteht. 1 cm 2 5 cm 8 cm Aus der Angabe der Seitenlängen des Rechtecks lässt sich der Flächeninhalt viel einfacher bestimmen, als durch Abzählen der einzelnen Quadrate : Länge a Breite b = 8 cm = 5 cm Fläche A = a b = 8 cm 5 cm = 40 cm 2 Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

50 4 Dezimale Schreibweise von Flächeninhalten In vielen Aufgaben sind die gegebenen Flächenangaben in verschiedenen Masseinheiten geschrieben. Da das Operieren mit Flächen oft nur möglich ist, wenn alle Angaben in derselben Masseinheit stehen, müssen die verschiedenen Flächeneinheiten umgewandelt werden können, d.h. in grösseren und kleineren Flächeneinheiten angegeben werden können! Dies erfolgt mit Hilfe einer Umwandlungstabelle, in welcher der gegebene Flächeninhalt zuerst korrekt in die Spalten eingetragen wird (eine Spalte enthält immer 2 Ziffern, da die Umwandlungszahl bei Flächeneinheiten 100 ist!). Danach kann der gegebene Flächeninhalt durch Verschieben des Kommas nach rechts oder links problemlos in kleineren oder grösseren Flächeneinheiten angegeben werden. Umwandlungstabelle (Beispiele): Flächeninhalt km 2 ha a m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Dezimale Schreibweise(n) 1 km 2 = = 100 ha = a =... 1 mm 2 = = 0,01 cm 2 = 0,0001 dm 2 = dm 2 = = 9,8 m 2 = 0,098 a = cm 2 = m 2 = = 0,0584 km 2 = 5,84 ha = 584 a =... 0,012 km 2 = = 1,2 ha = 120 a = m 2 = ,08 a = = 0, km 2 = 2,0508 ha = mm 2 = = cm 2 = 70,3 dm 2 =... 2 ha 3 a = = 2,03 ha = 203 a =... 1 km 2 2 a 37 dm 2 = = 1, km 2 =... Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

51 Bei Sätzchenaufgaben geht es aber nicht nur um die korrekte Umwandlung der Flächenangaben, sondern in erster Linie um eine übersichtliche und korrekte Darstellung der einzelnen Rechnungsschritte. Beispiel: Herr Meier besitzt zwei Grundstücke. Das erste hat eine Fläche von 0,2 ha, das zweite ist 80 m lang und 55 m breit. Er will die beiden Grundstücke gegen ein einziges Stück eintauschen, welches 40 m breit ist. Wie breit wird das neue Grundstück sein? A 1 = 0,2 ha = 20 a = m 2 A 2 = a b = 80 m 55 m = m 2 A 3 = A 1 + A 2 = m m 2 = m 2 a = A 3 : b = m 2 : 40 m = 160 m Das neue Grundstück wird 160 m breit sein. Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

52 F Raummessung und Raumberechnung 1 Quader und Würfel Der Quader ist ein Körper, welcher von drei Paaren kongruenter (form- und flächengleicher) und paralleler Rechtecke begrenzt wird. Der Quader wird wie folgt beschriftet: H G Achtung: E F Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt im Gegenuhrzeigersinn, zuerst in der Grundfläche, dann in der Deckfläche! c D C a : Länge des Quaders b b : Breite des Quaders A a B c : Höhe des Quaders Die obige Darstellung des dreidimensionalen Quaders auf dem zweidimensionalen Zeichenblatt nennt man Schrägbild. Im Schrägbild erscheint die vordere Seitenfläche des Quaders als unverkürztes Rechteck. Die Breite hingegen wird in einem Winkel von 45 zur Länge abgetragen und halbiert. Die unsichtbaren Kanten werden gestrichelt gezeichnet! Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

53 Der Würfel ist ein besonderer Quader. Er wird von sechs kongruenten Quadraten begrenzt. s Für die Kantenlänge des Würfels wird meistens der Kleinbuchstabe s verwendet. s s Schneidet man ein Quadermodell entlang seiner Kanten auf und breitet sämtliche Seitenflächen aneinanderhängend in der Ebene aus, erhält man das Netz oder die Abwicklung eines Quaders. Beim Würfel gibt es genau 11 verschiedene Netze: Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

54 Der Quader besitzt 12 Kanten, wobei jeweils 4 Kanten parallel und gleich lang sind. a b c a b c c a c b b a Die Kantenlänge k des Quaders beträgt: k = 4 ( a + b + c ) Der Quader besitzt 6 Begrenzungsflächen, wobei jeweils 2 Flächen parallel und kongruent sind. c a b Die Oberfläche O des Quaders beträgt: O = 2 ( a b + a c + b c ) Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

55 2 Die Raummasse So wie Längen mit Längeneinheiten und Flächen mit Flächeneinheiten gemessen werden, wird der Rauminhalt oder das Volumen von Körpern mit Raumeinheiten gemessen. Diese Raumeinheiten sind Würfel mit den Einheitsstrecken 1 mm, 1 cm, 1 dm, 1 m oder 1 km als Kantenlänge. Hat ein Würfel die Kantenlänge : 1 mm, 1 cm, 1 dm, 1 m, 1 km, so heisst sein Rauminhalt : 1 mm 3, 1 cm 3, 1 dm 3, 1 m 3, 1 km 3. ( 1 mm 3 wird gelesen als 1 Kubikmillimeter ) Die Umwandlungszahl bei den Raumeinheiten ist 1 000! ( = ) Es gilt: 1 cm 3 = mm 3 1 dm 3 = cm 3 1 m 3 = dm 3 Der Rauminhalt sehr grosser Körper (z.b. Planeten) wird auch in km 3 angegeben, wobei gilt: 1 km 3 = m m m = m 3 = 10 9 m 3. Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

56 Hohlmasse Zum Messen von Flüssigkeiten werden die sogenannten Hohlmasse verwendet. Das Hohlmass gibt den Rauminhalt an, welchen eine Flüssigkeit einnimmt. Hohlmasse sind der Milliliter ( ml ), der Zentiliter ( cl ), der Deziliter ( dl ), der Liter ( l ) und der Hektoliter ( hl ). Es gilt : 1 cl = 10 ml 1 dl = 10 cl 1 l = 10 dl 1 hl = 100 l Raummasse und Hohlmasse können ineinander umgewandelt werden. Es gilt : 1 dm 3 = 1 l Beispiele: 1 dl = 0,1 l = 0,1 dm 3 = 100 cm 3 1 m 3 = dm 3 = l = 10 hl Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

57 3 Dezimale Schreibweise der Raummasse In vielen Aufgaben sind die gegebenen Raumangaben in verschiedenen Masseinheiten geschrieben. Da das Operieren mit Rauminhalten oft nur möglich ist, wenn alle Angaben in derselben Masseinheit stehen, müssen die verschiedenen Raumeinheiten umgewandelt werden können, d.h. in grösseren und kleineren Raumeinheiten angegeben werden können! Dies erfolgt mit Hilfe einer Umwandlungstabelle, in welcher der gegebene Rauminhalt zuerst korrekt in die Spalten eingetragen wird (eine Spalte enthält immer 3 Ziffern, da die Umwandlungszahl bei Raumeinheiten ist!). Danach kann der gegebene Rauminhalt durch Verschieben des Kommas nach rechts oder links problemlos in kleineren oder grösseren Raumeinheiten angegeben werden. Umwandlungstabelle (Beispiele): Rauminhalt m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Dezimale Schreibweise(n) 1 m 3 = = dm 3 = cm 3 =... 1 mm 3 = = 0,001 cm 3 = 0, dm 3 = dm 3 = = 0,98 m 3 = cm 3 = cm 3 = = 0,00584 m 3 = 5,84 dm 3 =... 0,012 m 3 = = 12 dm 3 = cm 3 = mm 3 = = 20,508 cm 3 = 0, dm 3 =... 2 m 3 3 dm 3 = = 2,003 m 3 = dm 3 =... 1 dm 3 2 cm 3 34 mm 3 = = 1, dm 3 = 1 002,034 cm 3 =... Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

58 4 Rauminhalt von Quadern Der Rauminhalt oder das Volumen eines Quaders berechnet sich nach folgender Formel: V = a b c a : Länge des Quaders b : Breite des Quaders c : Höhe des Quaders Beispiel: Berechne das Volumen eines Quaders mit den Massen a = 5 cm, b = 2 cm und c = 3 cm. c a b V = a b c = 5 cm 2 cm 3 cm = 30 cm 3 Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule

59 Anwendungen Beispiel: Ein quaderförmiges Schwimmbad ist 50 m lang, 25 m breit und 2,20 m tief. Wie viele Liter Wasser sind notwendig, um das Becken bis 20 cm unter den oberen Rand zu füllen? V Wasser = a b c = 50 m 20 m 2 m = m 3 = dm 3 = l Mathematik -Theorie Klasse Bezirksschule