1. Konzeption und Zielsetzung der Diagnosebox Mathematik Anforderungen im Fach Mathematik... 6

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1 Inhaltsübersicht 1. Konzeption und Zielsetzung der Diagnosebox Mathematik Anforderungen im Fach Mathematik Inhalt und Aufbau der Diagnosebox Mathematik Begleitheft Beobachtungsbögen Beobachtungs- und Förderideenkartei Erläuterung zu den Diagnose- und Förderbereichen Kognitiver Bereich /Begriffe Zahlverständnis Rechnen und Rechenstrategien Fehleranalyse Zehnerübergang Operationsverständnis Problemlösen Erläuterung zu den Diagnose- und Förderbereichen Zahlverständnis Rechnen und Rechenstrategien Fehleranalyse zu den schriftlichen Rechenverfahren Größen Operationsverständnis Problemlösen Literaturhinweise Inhaltsverzeichnis der Beobachtungs- und Förderideenkartei Kopiervorlagen... 45

2 1. Konzeption und Zielsetzung der Diagnosebox Mathematik Zentrale Aufgabe der Schule ist es, sich an den mathematischen Fähigkeiten und Fertigkeiten der Kinder zu orientieren und ihre individuelle Entwicklung begleitend zu unterstützen. Ausgangspunkt für erfolgreiche Fördermaßnahmen ist eine differenzierte Lernstandsbeschreibung zum frühestmöglichen Zeitpunkt, bevor durch den hierarchischen Aufbau der Arithmetik immer größere Lücken entstehen. Die Früherkennung ist der erste und notwendige Schritt zu einer günstigen Lernprognose, wobei es nicht nur um das Beobachten von Symptomen geht, sondern umdas Verstehen von Denkprozessen und sich entwickelnden Fehlvorstellungen mathematischer Begriffe und dem Verhaften an ineffektiven Lösungsstrategien, wie beispielsweise dem Zählen (LORENZ 2002). Aus diesem Grunde bieten sich Gruppentests als Diagnoseinstrument nur sehr begrenzt an. Zwar können teilweise durch Fehleranalysen bestimmte falsche Strategien vermutet werden, doch bleibt die Diagnostik im Großen und Ganzen produktorientiert. Die dem Lösungsprozess zugrunde liegenden falschen Vorstellungen und Überlegungen der Kinder Ausgangspunkt für eine individuelle Förderung bleiben unentdeckt. Vielmehr soll Diagnose hier verstanden werden als gezieltes Beobachten mit der Möglichkeit des Nachfragens (Wie hast du das gemacht?). Dies kann sowohl innerhalb des Klassenunterrichts geschehen, indem bei bestimmten Aufgabenstellungen ein bestimmtes Kind fokussiert wird, oder auch in Eins-zu-eins-Situationen während Stillarbeitsphasen oder im Förderunterricht. Zur Diagnose in diesem Sinne bieten sich auch die jeweiligen Karteikarten mit den Förderideen an (s. u.). Bei den Erläuterungen zu den Diagnose- und Förderbereichen wurden Beispiele für Diagnoseaufgaben in diesem Heft aufgenommen, welche exemplarisch eine mögliche Aufgabenform zum jeweiligen Bereich aufzeigen. Keinesfalls sollen die Diagnoseaufgaben am Stück bearbeitet werden. Werden Defizite in einzelnen Bereichen aufgedeckt, so sollte frühestmöglich mit der Förderung begonnen werden. Die Vorschläge auf den Förder-Karteikarten können unmittelbar eingesetzt werden, aber sie können selbstverständlich lediglich exemplarisch Möglichkeiten der Förderung aufzeigen. Teilweise wird es erforderlich sein, eigene, ähnliche Aufgaben zu konstruieren. Größtenteils sind die Karten in Einzelarbeit zu bearbeiten, besser wäre jedoch, die Bearbeitung durch die Kinder zu begleiten. Nur so besteht die Möglichkeit immer wieder nachzufragen, die Denkwege der Kinder zu verstehen und eventuell die aufgestellten Förderziele zu modifizieren. Förderung ist auf diese Weise auch immer Diagnostik. Die Dokumentation, die mithilfe der Diagnosebox Mathematik entsteht, kann in verschiedenen Situationen genutzt werden: für Lern- und Entwicklungsgespräche mit Kindern, zur Erstellung individueller Förderpläne, für Förderkonferenzen, anelternsprechtagen, für Gutachten und Zeugnisse. 5

3 2. Anforderungen im Fach Mathematik Die Bildungsstandards, die die Kultusministerkonferenz am beschlossen hat, definieren fünf Bereiche für das Fach Mathematik: Zahlen und Operationen, Muster und Strukturen, Daten, Häufigkeit Raum und Form, Größen und Messen, und Wahrscheinlichkeit. Für das erfolgreiche Mathematik lernen im Sinne der Bildungsstandards werden bestimmte Fähigkeiten und (Vor-)Kenntnisse vorausgesetzt. In einzelnen Klassenstufen sind diese unterschiedlich ausgeprägt, beziehen sich jedoch grundsätzlich auf folgende Bereiche: Kognitiver Bereich /Begriffe Rechenstörungen können häufig auf mangelnde visuelle Wahrnehmung bzw. Vorstellung zurückgeführt werden. Die Kinder müssen Zahlen und Rechenoperationen erst mit Vorstellungen verknüpfen, sonst bleiben sie sinnleer. Häufig bereitet den Kindern auch das Beschreiben und Vergleichen räumlicher und zeitlicher Beziehungen Schwierigkeiten. Dies kann zu Problemen beim Ordnen und Klassifizieren, Vergleichen von Zahlen etc. führen. Zahlverständnis Zahlen mit ihren verschiedenen Aspekten zu begreifen stellt für viele Kinder eine große Schwierigkeit dar. Doch ohne Zahlverständnis ist keine Rechenoperation durchführbar oder nachvollziehbar. Rechnen und Rechenstrategien Probleme beim Eins-plus-eins, Eins-mal-eins sowie beim Zerlegen der Zahlen bis 10 führen auch beim Lösen von Aufgaben in größeren Zahlenräumen zu Schwierigkeiten. Nur wenn diese basalen Fähigkeiten vorhanden sind, ist das Entwickeln von Rechenstrategien möglich. Größen Grundlage für den verständigen Umgang mit Größen ist, dass eine Vorstellung von bestimmten Größen entwickelt wird. Operationsverständnis Die Symbole für Rechenoperationen und die Rechenoperationen selbst sind für die Kinder nicht von vornherein mit einer Bedeutung belegt. Die Übersetzung von einem Bild, einer Handlung oder Textaufgabe in die symbolische Ebene und umgekehrt muss immer wieder trainiert werden. Das Lösen von Sachaufgaben ist ohne Operationsverständnis unmöglich. Problemlösen Die Problemlösefähigkeit entwickelt sich erst im Laufe von mehreren Jahren, in der Grundschule müssen dafür Grundlagen gelegt werden. Weitergehende Erläuterungen zu den Bereichen finden sich unter den Punkten 4und 5: Erläuterung zu den Diagnose- und Förderbereichen 1 2 bzw Die Diagnosebox Mathematik bietet für jeden Bereich vielfältige Beobachtungs- und Förderideen an, mit denen die Kinder in die Lage versetzt werden, die geforderten Bildungsstandards zu erreichen. Dabei bildet die Box jedoch nicht den kompletten Grundschullehrgang ab, sondern konzentriert sich auf die Grundvoraussetzungen, wie sie sich aus jahrelangen Erfahrungen im Bereich der Förderung von Grundschulkindern ergeben haben. 6

4 3. Inhalt und Aufbau der Diagnosebox Mathematik Die Diagnosebox Mathematik enthält neben dem vorliegenden Begleitheft Beobachtungsbögen für die Jahrgangsstufen 1 2 und die Jahrgangsstufen 3 4 sowie zahlreiche, auf die Kriterien der Beobachtungsbögen zugeschnittene Karteikarten für die Beobachtung und Förderung der Kinder. Einige Kopiervorlagen im Begleitheft ergänzen das Angebot. Das beiliegende Poster kann für verschiedene Förderbereiche eingesetzt werden. 3.1 Begleitheft Das vorliegende Heft erläutert kurz Anliegen, Inhalt und Aufbau der Diagnosebox Mathematik. Es enthält eine kurze Erläuterung zu den Diagnose- und Förderbereichen, die in den Beobachtungsbögen erfasst sind, sowie dazugehörige exemplarische Diagnoseaufgaben. In der Übersicht (Kapitel 7) sind die Karteikarten und Kopiervorlagen den einzelnen Diagnose- und Förderbereichen zugeordnet aufgeführt. 3.2 Beobachtungsbögen Der Aufbau und Einsatz der Beobachtungsbögen für die Jahrgangsstufen 1 2 und 3 4 unterscheidet sich nicht, lediglich die Bereiche sind angepasst an die verschiedenen Anforderungen. Pro Kind und Schuljahr sollte jeweils ein Bogen verwendet werden. In den Bögen für Klasse 3 4 wiederholen sich die Bereiche A(Kognitiver Bereich) und B(Begriffe), da Defizite in diesen Bereichen auch in Klasse 3 4 mitursächlich für Probleme in Mathematik sein können. Die für das 3. und 4. Schuljahr notwendigen Vorkenntnisse aus Klasse 1 2 sind zusammengefasst aufgelistet. Werden bei einem Kind aus Klasse 3 oder 4 jedoch gravierende Lernschwierigkeiten in Mathematik festgestellt, so kann es notwendig werden, den differenzierten Beobachtungsbogen aus Klasse 1 2 einzusetzen. Diagnose- und Förderbereiche Klasse 1 2 Kognitiver Bereich /Begriffe A. Kognitiver Bereich B. Begriffe Zahlverständnis C. Zählen und Abzählen D. Zahlen lesen, schreiben, erkennen E. Zahlauffassung, Zahldarstellung F. Zahlbeziehung, Zahlbedeutung Rechnen und Rechenstrategien G. Rechnen, Automatisierung H. Rechenstrategien Operationsverständnis I. Rechenoperationen Problemlösen J. Problemlösen 7

5 Diagnose- und Förderbereiche Klasse 3 4 Kognitiver Bereich /Begriffe A. Kognitiver Bereich B. Begriffe Voraussetzungen aus Klasse 1 2 C. Zählen und Abzählen D. Zahlen lesen, schreiben, erkennen E. Zahlauffassung, Zahldarstellung F. Zahlbeziehung, Zahlbedeutung G. Rechnen, Automatisierung H. Rechenstrategien I. Rechenoperationen Zahlverständnis K. Strukturierung des Zahlenraums Rechnen und Rechenstrategien L. Rechenstrategien M.Schriftliche Rechenverfahren Größen N. Größen Operationsverständnis O. Sachaufgaben P. Schätzen, Überschlagen Problemlösen Q. Problemlösen Auf jedem Beobachtungsbogen können passend zu den Förderbereichen und -kriterien die zugehörigen Karteikarten und Kopiervorlagen sowie auch die exemplarischen Diagnoseaufgaben aus dem Begleitheft direkt abgelesen werden. Diagnose- Beobachtungsaufgaben Herbst und Förderideen KV Herbst Kriterien Sommer No A. Kognitiver Bereich (A1) Visuelle Wahrnehmung Visuelle Speicherung Visuelle Vorstellung A2, A6 A14, B4, B7 B9 Notizen DA1 A3, A15 A Kognit Begrif + ++ Die Beobachtungsbögen sind in vier Zeitabschnitte unterteilt, die die Lehrperson individuell wählen kann. Zur Notation schlagen wir vor, mit den Zeichen +, ++, +++, ++++ zu arbeiten. + bedeutet kaum ausgeprägt, ++++ bedeutet stark ausgeprägt. Des Weiteren ist auf den Beobachtungsbögen eine Spalte für kurze Notizen zur Lernentwicklung, zu den Fördermaßnahmen, zu Gesprächen vorgesehen. Bei einzelnen Kindern wird es darüber hinaus notwendig sein, ausführlichere Datensammlungen anzulegen. Hierfür stehen die Kopiervorlagen 1 und 2 zur Verfügung. Kopiervorlage Förderprotokoll (KV 1) Förderpläne sollten zwar stets flexibel sein, trotzdem ist es unerlässlich, dass die aufgestellten Förderziele systematisch verfolgt werden. Dies erfordert eine sorgfältige Planung und Reflektion der Fördermaßnahmen. Vor allem dann, wenn mehrere Personen an der Förderung beteiligt sind, ist es für sinnvolle Kooperation und Evaluation notwendig, auch im Nachhinein die getätigten Maßnahmen rückverfolgen zu können. 8

6 Je nach Maßnahme ist sicherlich ein ausführlicheres oder weniger ausführliches Protokoll erforderlich. Aus diesem Grunde ist kein festes Format vorgegeben. Durch Querstriche kann die durchgeführte Fördereinheit von der nächsten getrennt werden. Kopiervorlage Datenblatt (KV 2) Die Diagnose sollte nicht auf mathematische Inhalte begrenzt bleiben. Deshalb steht eine Kopiervorlage zur Verfügung, um auch andere Bereiche systematisch zu erfassen. 3.3 Beobachtungs- und Förderideenkartei Den Arbeitskarten ist in jedem Bereich eine Karte vorangestellt, die die kurze Erläuterung zu dem Bereich enthält (dunkelgrüne Karte). Zu manchen Bereichen schließen sich Karten an, die allgemeine Förder- und Beobachtungsideen enthalten, die auch gut im Klassenunterricht durchführbar sind (hellgrüne Karte). Diese Karten sind ausschließlich für die Hand des Lehrers bestimmt. Die Erläuterungen zu den einzelnen Bereichen sind ebenfalls im vorliegenden Begleitheft abgedruckt. Auf den schwarz-weißen Arbeitskarten befinden sich die Aufgaben, die für die Förderung der Kinder, aber auch für die Beobachtung und Diagnose genutzt werden können. Einige Aufgaben auf den Karten sollen mündlich bearbeitet werden, bei anderen ist es günstiger, den Kindern eine Kopie der jeweiligen Karte (oder eine laminierte Karte) zu geben. Auf den Karten wurden keine Klassenstufen vermerkt, sondern lediglich der Zahlenraum (ZR) angegeben. Die meisten Karten werden in Einzelarbeit bearbeitet. Die Karten, die in Partnerarbeit bearbeitet werden sollen, sind entsprechend markiert ( ). 4. Erläuterung zu den Diagnose- und Förderbereichen Kognitiver Bereich /Begriffe A. Kognitiver Bereich Mangelnde visuelle Vorstellung wird als mitursächlich für auftretende Lernschwierigkeiten in Mathematik gesehen. Zahlen und Rechenoperationen sind für Kinder zunächst sinnleer, sie müssen erst mit Vorstellungen verknüpft werden, bevor Rechnen gelingen kann. Nur dann, wenn sich Kinder den Zahlenraum und die durchzuführenden Rechenoperationen vorstellen können, ist es auch möglich, Strukturen und Beziehungen zu erkennen. Visuelle Vorstellung kann an mathematischen Inhalten trainiert werden (vgl. Abschnitte Eund I), jedoch auch mathematikunabhängig. Vorstellungsvermögen bedeutet zum Einen, sich ein gesehenes Bild vor das innere Auge zu holen. Zum Anderen bedeutet dies jedoch auch, ein Bild in der Vorstellung zu verändern( Stell dir das Zwanzigerfeld mit 7 Plättchen vor. Nun stelle dir vor, du legst nochmals 5 dazu. Wie sieht das Zwanzigerfeld nun aus? Wie viele sind es? ). Vorstellungsvermögen setzt eine intakte visuelle Wahrnehmung und Speicherung voraus. Unter Wahrnehmung wird hier nicht lediglich das Sehen durch das Auge verstanden, sondern bereits ein aktiver Prozess. Die Visuelle Wahrnehmung lässt sich in verschiedene Unterbereiche untergliedern: Die Visuomotorische Koordination ist die Fähigkeit, Sehen und Körperbewegungen zu koordinieren, die Figur-Grund-Unterscheidung ist die Fähigkeit, aus einem komplexeren optischen Hintergrund bzw. einer Gesamtfigur eingebettete Teilfiguren zu erkennen und zu isolieren. Die Formkonstanz ermöglicht, Figuren in verschiedenen Größen, Anordnungen, räumlichen Lagen oder Färbungen wieder zu erkennen und von anderen Figuren zu unterscheiden. Die Wahrnehmung 9

7 räumlicher Beziehungen /der Raumlage lässt die Beziehungen zwischen Objekten erkennen und beschreiben, auch bezüglich des Standpunktes eines anderen. Übungen zur Raumlage / Räumlichen Beziehungen finden sich auch unter Abschnitt B. Zur Diagnostik und Förderung dieser Unterbereiche sei auch auf die Mathebox Diagnostik zum Schulbeginn verwiesen. Auch auditive Speicherfähigkeiten sind für das Mathematiklernen wichtig. Sind diese unzureichend entwickelt, treten bei mündlich präsentierten Aufgaben häufig Fehler auf, weil das Speichern von Aufgabenstellung oder Zwischenergebnissen nur unzureichend gelingt. Das Nachsprechen von Sätzen, Reimen, Liedtexten kann nur teilweise Auskunft über die auditiven Speicherfähigkeiten geben, da ein diesbezüglicher Mangel bei sinnhaften Texten auch durch visuelle Vorstellung kompensiert werden kann. Aus diesem Grund beziehen sich die Übungen häufig auf sinnleere Worte bzw. auf Wortkombinationen, für die nur schwer sinnhafte Zusammenhänge zu finden sind. Werden Schwierigkeiten im Fach Deutsch vermutet, bietet die Diagnosebox Deutsch die Möglichkeit für eine differenzierte Diagnose und Förderung. Exemplarische Diagnoseaufgaben: DA1 Visuelle Speicherung Sieh dir die Bilder genau an und versuche dir zu merken, was du siehst. Einige Minuten später: Kreuze an, was du gesehen hast. DA2 Visuelle Vorstellung 1. Ordne die Gegenstände nach ihrer tatsächlichen Größe. 2. Würfel kippen in der Vorstellung Ein Spielwürfel liegt auf dem Tisch. Wenn du den Würfel zu dir kippen würdest, welche Zahl läge oben? Wenn du den Würfel zweimal nach links (besser: z. B. zum Fenster ) kippen würdest, welche Zahl läge oben? Wenn du den Würfel erst zur Tafel (entspricht nach hinten ), dann zur Tür (entspricht nach rechts ) kippen würdest, welche Zahl läge oben? 10

8 DA2 Visuelle Vorstellung 3. Was sieht der Junge, wenn er nach rechts /links /vorne /hinten schaut? Was sieht das Mädchen, wenn es nach rechts /links /vorne / hinten schaut? (Vorher sollte geklärt werden, ob die Bedeutung von rechts und links verstanden ist.) DA3 Auditive Speicherung Zahlen nachsprechen B. Begriffe Vielen Schulanfängern bereitet das Vergleichen und /oder das Beschreiben räumlicher und zeitlicher Beziehungen noch Schwierigkeiten. Dies kann zu Problemen beim Ordnen und Klassifizieren, bei der Bestimmung von Vorgänger und Nachfolger, von größer und kleiner führen. Auch können die Kinder die von ihnen geforderten Materialhandlungen oft nicht ausführen. Hierbei könnte es sich um ein reines Sprachproblem handeln, es könnte jedoch auch auf Schwierigkeiten des quantitativen Verstehens oder auf Vorstellungsprobleme hinweisen (vgl. Abschnitt A). Der Zusammenhang zwischen Sprache und Vorstellung ist hier ein doppelter: Einerseits kann nur sprachlich ausgedrückt werden, wovon eine Vorstellung existiert, andererseits bildet sich Vorstellungsfähigkeit auch in Abhängigkeit von der sprachlichen Entwicklung. Die Anwendung quantitativer Begriffe kann, muss sich jedoch zunächst nicht auf einen direkten Mengenvergleich beziehen ( auf dem Bild sind 3 Kinder weniger als auf dem anderen ). Die Anzahlen können also durchaus höher sein, als der erarbeitete Zahlenraum. Zu den wichtigen quantitativen Begriffen gehören: mehr weniger am wenigsten am meisten viel wenig. Die Begriffe viel wenig sind allerdings kontextabhängig. So kann eine falsche Zuordnung der Begriffe auch auf Defizite im Zahlverständnis hinweisen (10 Tiere in der Wohnung sind viel, 15 Tiere im Zoo sind wenig), nämlich dann, wenn die Zahlen nur nach ihrer absoluten Größe und nicht innerhalb ihres Kontextes beurteilt werden können. 11