Keplergesetzte S = 4,2 km. GM r a = a 2GM rv 2 = 5,5 102 AE (c) Perihel (1 e)a = 82AE Aphel (1+e)a = 1, AE.

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1 Keplergesetzte 1. Am 14.November 003 wurde der Planetoid Sedna entdeckt. Noch nie zuvor wurde ein natürliches Objekt aus unserem Sonnensystem in einer so großen Entfernung von der Erde entdeckt. Im folgenden schätzen wir einige physikalische Eigenschaften dieses Planetoiden ab. (a) Sedna wurde in einer Entfernung von 90 AU von der Sonne entdeckt. Dreißig Tage nach seiner Entdeckung hat der Radius des Planetoiden einen Winkel von,8 überstrichen. Berechne unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit in den ersten dreißig Tagen nach der Entdeckung von Sedna konstant ist, den Betrag derselben. (b) Berechne die große Halbachse a der Bahn und die Umlaufdauer von Sedna. (c) Die Exzentrizität der Bahn von Sedna ist e = 0,8506. Berechne den Abstand Sednas im Perihel und Aphel von der Sonne. Lösung: (a) v =,8 rπ S = 4, km s ( (b) v = GM r 1 ) GM r a = a GM rv = 5,5 10 AE (c) Perihel (1 e)a = 8AE Aphel (1+e)a = 1, AE. Das schwarze Loch im Zentrum unserer Milchstraße Astronomen haben inzwischen 8 Sterne entdeckt, die ihren Weg um das Zentrum Sgr A unserer Galaxie auf elliptischen Bahnen, sogenannten Keplerbahnen, zurücklegen. DabeiziehensieihreBahnumeinesehr große,aufeinemrelativkleinen Raum konzentrierte Ansammlung an Masse. Es wird mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit vermutet, dass es sich dabei um ein schwarzes Loch (MBH, d.h. massive black hole) handelt. In jedem Fall kann ausgeschlossen werden, dass es sich bei dieser Masse um eine Ansammlung von sehr vielen Sternen handelt. Seit dem Beginn der Beoachtungen im Jahr 199 hat einer dieser Sterne, der S gennant wird, Sgr A in 15,8 Jahren genau einmal vollständig umrundet. Die Länge der großen Halbachse der Ellipse wird von den Forschern mit 15 mas angegeben. Dabei bedeutet 1 mas eine Millibogensekunde. Wenn du nun die Masse des MBH abschätzen willst, so musst du noch wissen, dass ein Parsec (1pc) die Entfernung ist, aus der der Radius der Erdbahn um die Sonne, das sind 1, km (1AU), unter einem Winkel von einer Bogensekunde 1 erscheint und, dass die Entfernung von Sgr A zur Erde 8,33kpc beträgt. Lösung: Große Halbachse der Ellipse von S: a = 0,15 8, AU = 1041,5AU. Aus dem dritten Keplergesetz folgt: M = 4π a 3 γt = 4, M. Dabei wurde davon ausgegangen, dass die Bahn von S näherungsweise kreisförmig ist, obwohl die numerische Exzentrizität der Ellipse 0,88 beträgt. Das erhaltene Ergebnis stimmt auch recht gut mit dem Literaturwert von 4, M überein. 1

2 3. Das dritte Keplersche Gesetz Zwischen der Umlaufzeit T eines Planeten um ein Zentralgestirn, dessen elliptische Bahn eine große Halbachse hat, deren Länge mit a bezeichnet wird, wird ein Zusammenhang der Gestalt T m = Ca n vermutet. Dabei sind m und n natürliche Zahlen und C ist eine beliebige Zahl. Dieser Zusammenhang stellt das dritte Keplersche Gesetz dar. Um die Werte der Konstanten m,n und C zu ermitteln logarithmieren wir diese Gleichung: logt m = log(ca n ). Name T in d a in 10 5 km Mimas 0,940 1,86 Enceladus 1,37,38 Tethys 1,89,95 Dione,74 3,77 Rhea 4,5 5,7 Titan 16,0 1, Iapetus 79,3 35,6 Die sieben größten Saturntrabanten Mit den Rechengesetzen für Logarithmen wird daraus m logt = n loga+logc. Nun teilen wir die Gleichung durch m und erhalten logt = n m loga+ logc m. Wir schreiben noch y für logt, x für loga, s für n m und t für logc m. (a) Mit diesen Abkürzungen erhält man einen bekannten funktionalen Zusammenhang in der Mathematik. Wie wird dieser genannt und welche Gestalt hat der zugehörige Graph in einem x y Koordinatensystem. (b) Erstelle aus der Tabelle für die sieben größten Trabanten des Saturn ein logt log a Diagramm. Ermittle die Steigung und den y Achsenabschnitt der sich ergebenden Kurve. Welche Werte ergeben sich für m und n? (c) Im dritten Kepelerschen Gesetz ist die Konstante C durch 4π γm gegeben. Dabei 11 m3 bezeichnet γ = 6,6 10 die Gravitationskonstante und M diemasse des kg s Zentralkörpers, in unserm Fall also die des Saturn. Ermittle unter Verwendung des Ergebnisses aus der vorigen Teilaufgabe die Masse des Saturn. Lösung: (a) Mit den Abkürzungengilt y = sx+t,d.h. es liegt ein affiner Zusammenhangzwischen x und y vor. Der zugehörige Graph ist bekanntlich eine Gerade.

3 log T s log a m (b) Wählen wir den ersten und letzten Punkt im Koordinatensystem um ein Steigungsdreieck zu zeichnen, so erhalt für die Steigung 6,84 4,93 6,55 5,7 = 1,49 Man kann also vermuten, dass n m = 1,5 = 3 und somit n = 3 und m = ist. Unter Verwendung der linearen Regression erhält man unter der Berücksichtigung, dass man 3 geltende Ziffern hat wirklich 1, Die Masse des Zentralgestirns Gliese beträgt 0,33 Sonnenmassen und die Umlaufzeit von Gliese g um Gliese etwa 36,6 Tage. Berechne die Länge der großen Halbachse der Ellipsenbahn von Gliese um Gliese g. Lösung: a 3 ( T 4π) γm =, m = 0,14AU 3

4 5. Nebenstehend ist die Bahn des Kometen Encke um die Sonne S abgebildet. Im Perihel P hat der Komet von der Sonne einen Abstand von 0,339AE und im Aphel einen von 4,097 AE. (a) Der letzte Periheldurchgang war am zu beoachten. In wie viel Tagen erfolgt der nächste Periheldurchgang? P S A (b) Im Perihel hat der Komet eine Geschwindigkeit von 69,53 km s. Schätze ab, wie groß die Geschwindigkeit von Encke beim Apheldurchgang ist. Dabei kannst du verwenden, dass die Geschwindigkeiten des Kometen in der Nähe von Perihel und Aphel konstant sind. Lösung: (a) Daten von Encke: Größe Wert Perihel 0,339 AE Aphel 4,097 AE Numerische Exzentrizität ε = 0,847 Umlaufdauer T = 3a110d Geschwindigkeit im Perihel 69,53 m s Große Halbachse a =,18 AE Kleine Halbachse b = a 1 ε = 1,179AE Lineare Exzentrizität e = 1,879 AE Letzter Periheldurchgang ,339AU +4,097AU Große Halbachse a = =,18AU = 3, m. T 4π a 3 a T π GM GM T 106d. T ( ) 1,5 Erde Alternative: a 3 = T Enke aenke Erde a 3 T Enke = T Erde Enke a Erde (b) Exakte Lösung: 1 mv A GmM r A Abschätzung: = 1 mv P GmM r P v A = v P M G ( 1 1 ) = 5,75 km r P r A s 4

5 R P Q S M C A B Es gilt der Keplersche Flächensatz: In gleichen Zeiten überstreicht der Radius gleiche Flächen. Offensichtlich haben die Ellipsensektoren SRQ und SBC unterschiedliche Flächeninhalte. Also ist die Zeit t P, die der Komet benötigt um von Q nach R zu kommen deutlich kleiner als die Zeit t A für seinen Weg von C nach B. Unter den Annahmen, dass sich die Geschwindigkeit in der Nähe der der Punkte P und A nur sehr wenig ändert und dass die Flächeninhalte der Ellipsensektoren gleich den Flächeninhalten der zugehörigen Dreiecke sind erhalten wir: Mit ergibt sich A SRQ t P = A SBC t A RQ 0,339AE t P v P RQ t P und v A CB t P v A 0,339AU 4,097CB v P = 5,75 km s = CB 4,097AE t A Dieser Wert stimmt sogar bis auf drei geltenden Ziffern mit dem exakt berechneten überein. 6. (a) Der Komet Tempel-Tuttle umrundet die Sonne in T = 33,7a und hat die kleinste Sonnenentfernung r 1 = 0,976AE. Berechne die Halbachsen der Kometenbahn und seine größte Entfernung r von der Sonne. Skizziere die Bahn des Kometen und zeichne auch die Erdbahn ein. (b) Der Komet Hale-Bopp hat den Perihelabstand r min = 0,914AE und die Exzentrizität seiner Bahn ist e = 0, Berechne seine Umlaufdauer und die Halbachsen seiner Bahn. Lösung: (a) T a 3 = C = 1 a AE 3 = a = 3 T C = 10,335AE d = a r 1 = 9,359AE = b = a d = 4,386AE r = a+d = 19,694AE 5

6 y AE x AE 4 (b) d = ea = r min = a d = a(1 e) = a = r min 1 e = 187AE b = a 1 e = 18,5AE T a 3 = C = 1 a AE 3 = T = a 3 C =, a 7. Der Jupitermond Io umrundet den Planeten in der Zeit T Io = 1,77d auf einer Bahn mit der großen Halbachse a Io = 4, 10 5 km. Lösung: (a) T Eu a 3 Eu (a) Der Jupitermond Europa hat die Umlaufdauer T Eu = 3,55d. Wie lang ist die große Halbachse a Eu der Umlaufbahn von Europa? (b) Eine Jupitersonde soll den Planeten so umrunden, dass ihre kleinste Entfernung (Punkt A) vom Planetenmittelpunkt r 1 =, km und ihre größte Entfernung (Punkt B) r = 8, km ist. Berechne die Länge a der großen Halbachse, die Umlaufdauer T, die Exzentrizität e und die Länge b der kleinen Halbachse der Sondenbahn. (c) Zeichne von der Sondenbahn die Punkte A, B und die beiden Brennpunkte S 1 (Jupiter) und S (10 5 km =1cm). Zeichne auch die Punkte C und D ein, die aus der Kenntnis der kleinen Halbachse resultieren. Konstruiere (mit kurzer Erläuterung) die Bahnpunkte E und F, die von Jupiter die Entfernung r 3 = 3, 10 5 km haben. Welche Entfernung r 4 haben diese Punkte von S? Beweise, dass EF AB gilt. Skizziere jetzt die Bahn unter Ausnutzung von Symmetrien. = T Io a 3 Io a Eu = 3 T Eu a3 Io T Io (b) a = r 1 +r 17 d = C Jup = 4,17 10 km 3 = = a Io 3 = km T Eu T Io = 1,59a Io = 6, km 6

7 T a 3 = C Jup = T = a 3 C Jup =,8d d = a r 1 = km = ea = e = d a = 0,6 b = a d = a 1 e = 0,8a = km (c) r 4 = ES = a r 3 = 6, km k(s 1,r 3 ) k(s,r 4 ) = {E,F} E C E S 1 S = d = km r 3 r 4 r3 +S 1S = 46, km r4 = 6, km = r3 +S 1S = A S 1 S B <) S S 1 E = 90 F D F 8. Ein kurzer Laserpuls wird von einem Teleskop T am Äquator zu einem Spiegel S r auf dem Mond geschickt, dort reflektiert und R E t bei T wieder empfangen, die Zeit t, die R M der Strahl unterwegs war, wird von einer Atomuhr gemessen. Im Verlauf eines Monats misst man die kleinste Zeitdifferenz t min =, s und den größten Wert t max =, s. Der Erdradius ist R E = 6378km, der Radius des Mondes R M = 1738km. (a) Berechne die kleinste (r min ) und die größte (r max ) Entfernung der Mittelpunkte von Erde und Mond. Ermittle daraus die große Halbachse a M und die kleine Halbachse b M der Mondbahn. (b) Die siderische (in einem zu den Sternen ruhenden Koordinatensystem betrachtete) Umlaufdauer des Mondes ist T M = 7,3166d. Welchen Radius hat die kreisförmige Bahn eines geostationären Satelliten, der die Erde in genau einem siderischen Tag (Sterntag), d.h. in d sid = 3h56min4s umrundet? (c) Erkläre das Zustandekommen des Zahlenwertes eines siderischen Tages. Lösung: (a) r min = c t min r max = c t max a M = r min +r max +R E +R M = 36396km +R E +R M = km = km d M = a M r min = 1104km, e M = d M = 0,0549 a M b M = a M d M = 38380km 7

8 T ( ) (b) T = d sid = 86164s, a 3 = T M T 3 a 3 = a = a M = 498km M T M über Erdoberfläche: x = a R E = 3590km (c) Ein Jahr hat 365,5 4h-Tage und 366,5 Sterntage: 365,5 4h = 366,5 d sid d sid = 365, s = 86164s 366,5 d sid = 3h56min4s Sonne Erde 8