Darstellung natürlicher und ganzer Zahlen Vorlesung vom
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- Herbert Ackermann
- vor 7 Jahren
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1 Darstellung natürlicher und ganzer Zahlen Vorlesung vom Ziffernsysteme: Axiomatische Charakterisierung der natürlichen Zahlen. Ziffernsysteme: Definition und Beispiele. Satz: Die Menge aller Ziffernketten D(Z) hat abzählbar viele Elemente. Darstellung natürlicher Zahlen im Rechner. Positionssysteme: Definition und Beispiele. Dezimal- und Dualdarstellung natürlicher Zahlen. Darstellung natürlicher Zahlen im Rechner. Ganze Zahlen: Erweiterung der Zifferndarstellung von N auf Z. Dualdarstellung mit Vorzeichenbit. Darstellung negativer ganzer Zahlen im Rechner: Zweierkomplement.
2 anschaulich: Die rationalen Zahlen Q Q = { a b a,b Z, b 0 } Bruchrechenregeln: a b + a b = ab +a b bb, a b a b = aa bb. mathematisch präzise: Konstruktion von Q durch Abschluß von Z unter Division: Äquivalenzklassen von Paaren (a,b), a,b Z, b 0.
3 anschaulich: Die rationalen Zahlen Q Q = { a b a,b Z, b 0 } Bruchrechenregeln: a b + a b = ab +a b bb, a b a b = aa bb. mathematisch präzise: Konstruktion von Q durch Abschluß von Z unter Division: Äquivalenzklassen von Paaren (a,b), a,b Z, b 0.
4 Darstellung von Q Satz: Jede Zifferndarstellung von N induziert eine Zifferndarstellung von Q. Ziffernmenge: Z { } {/} Folgerung: Q ist abzählbar. Beispiele: Dezimalsystem, Dualsystem
5 Darstellung von Q Satz: Jede Zifferndarstellung von N induziert eine Zifferndarstellung von Q. Ziffernmenge: Z { } {/} Folgerung: Q ist abzählbar. Beispiele: Dezimalsystem, Dualsystem
6 Darstellung von Q Satz: Jede Zifferndarstellung von N induziert eine Zifferndarstellung von Q. Ziffernmenge: Z { } {/} Folgerung: Q ist abzählbar. Beispiele: Dezimalsystem, Dualsystem
7 q-adische Brüche z n z 0, z 1 z m = n i= m z i q i, z i 0,...,q 1, n,m N Beispiele: q = 10: Dezimalbrüche, q = 2: Dualbrüche Satz: Jeder Dualbruch ist ein Dezimalbruch, nicht umgekehrt. Satz: Jeder q-adische Bruch ist eine rationale Zahl, nicht umgekehrt.
8 q-adische Brüche z n z 0, z 1 z m = n i= m z i q i, z i 0,...,q 1, n,m N Beispiele: q = 10: Dezimalbrüche, q = 2: Dualbrüche Satz: Jeder Dualbruch ist ein Dezimalbruch, nicht umgekehrt. Satz: Jeder q-adische Bruch ist eine rationale Zahl, nicht umgekehrt.
9 q-adische Brüche z n z 0, z 1 z m = n i= m z i q i, z i 0,...,q 1, n,m N Beispiele: q = 10: Dezimalbrüche, q = 2: Dualbrüche Satz: Jeder Dualbruch ist ein Dezimalbruch, nicht umgekehrt. Satz: Jeder q-adische Bruch ist eine rationale Zahl, nicht umgekehrt.
10 Periodische Dezimalbrüche periodischer Dezimalbruch (Periodenlänge 3): 0, = 0, 123 geometrische Reihe: q > 1 i=0 q i = lim m m i=0 q i = lim m 1 q (m+1) 1 q 1 = 1 1 q 1 Satz: Jeder periodische Dezimalbruch ist eine rationale Zahl und umgekehrt. Darstellung durch periodische Dezimalbrüche nicht eindeutig!
11 Periodische Dezimalbrüche periodischer Dezimalbruch (Periodenlänge 3): 0, = 0, 123 geometrische Reihe: q > 1 i=0 q i = lim m m i=0 q i = lim m 1 q (m+1) 1 q 1 = 1 1 q 1 Satz: Jeder periodische Dezimalbruch ist eine rationale Zahl und umgekehrt. Darstellung durch periodische Dezimalbrüche nicht eindeutig!
12 Periodische Dezimalbrüche periodischer Dezimalbruch (Periodenlänge 3): 0, = 0, 123 geometrische Reihe: q > 1 i=0 q i = lim m m i=0 q i = lim m 1 q (m+1) 1 q 1 = 1 1 q 1 Satz: Jeder periodische Dezimalbruch ist eine rationale Zahl und umgekehrt. 1,0 = 0,9 Eindeutigkeit: 0 verbieten
13 Periodische Dezimalbrüche periodischer Dezimalbruch (Periodenlänge 3): 0, = 0, 123 geometrische Reihe: q > 1 i=0 q i = lim m m i=0 q i = lim m 1 q (m+1) 1 q 1 = 1 1 q 1 Satz: Jeder periodische Dezimalbruch ist eine rationale Zahl und umgekehrt. doppelte Darstellung: 1, 0 = 0, 9 Eindeutigkeit: 0 verboten!
14 Periodische Dezimalbrüche periodischer Dezimalbruch (Periodenlänge 3): 0, = 0, 123 geometrische Reihe: q > 1 i=0 q i = lim m m i=0 q i = lim m 1 q (m+1) 1 q 1 = 1 1 q 1 Satz: Jeder periodische Dezimalbruch ist eine rationale Zahl und umgekehrt. doppelte Darstellung: 1, 0 = 0, 9 Eindeutigkeit: 0 verboten!
15 Praktische Realisierung im Rechner Darstellung als Paar von integer-zahlen: Länge muß variabel sein. Aufwand für Rechenoperationen nicht a priori bekannt (Kürzen!) Keine standardisierte Hardware-Unterstützung Spezialanwendungen (Schnitterkennung in der Computergraphik) Symbolik-Programme (Maple, Mathematica,Reduce,...)
16 Die reellen Zahlen anschaulich: unendliche Dezimalbrüche (oder q-adische Brüche): R = {z n z 0,z 1 z 2 z i = 0,...,9, } mathematisch präzise: Konstruktion von R durch Vervollständigung von Q: Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen aus Q. Dedekindsche Schnitte: Menge von Paaren von Teilmengen von Q
17 Die reellen Zahlen anschaulich: unendliche Dezimalbrüche (oder q-adische Brüche): R = {z n z 0,z 1 z 2 z i = 0,...,9, } mathematisch präzise: Konstruktion von R durch Vervollständigung von Q: Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen aus Q. Dedekindsche Schnitte: Menge von Paaren von Teilmengen von Q
18 Abzählbarkeit und Zifferndarstellung Erinnerung: Ein Ziffernsystem D(Z) hat abzählbar viele Elemente. Erinnerung: Q ist abzählbar. Satz: R ist nicht abzählbar. Es gibt keine Zifferndarstellung von R
19 Abzählbarkeit und Zifferndarstellung Erinnerung: Ein Ziffernsystem D(Z) hat abzählbar viele Elemente. Erinnerung: Q ist abzählbar. Satz: R ist nicht abzählbar. Es gibt keine Zifferndarstellung von R
20 Abzählbarkeit und Zifferndarstellung Erinnerung: Ein Ziffernsystem D(Z) hat abzählbar viele Elemente. Erinnerung: Q ist abzählbar. Satz: R ist nicht abzählbar. Es gibt keine Zifferndarstellung von R!
21 bbb Numerisches Rechnen mit reellen Zahlen ist nicht möglich! bbb
22 Absoluter und Relativer Fehler absoluter Fehler: x x. Beispiel: x = 1000, x = 999: x x = 1 relativer Fehler: x x x, x 0. Beispiel: x = 1000, x = 999 x x / x = 10 3
23 Absoluter und Relativer Fehler absoluter Fehler: x x. Beispiel: x = 1000, x = 999: x x = 1 relativer Fehler: x x x, x 0. Beispiel: x = 1000, x = 999 x x / x = 10 3
24 Absoluter und Relativer Fehler absoluter Fehler: x x. Beispiel: x = 1000, x = 999: x x = 1 relativer Fehler: x x x, x 0. Beispiel: x = 1000, x = 999: x x / x = 10 3
25 Festkommazahlen (q-adische Brüche) z n 1 z n 2 z 0,z 1 z m = n 1 i= m z i q i, z i {0,...,q 1}. l = m+n Stellen verfügbar; n, m N fest gewählt. Beispiel: q = 10, l = 4, n = 3, m = 1 x = 0,123, Runden: x = 0,1 relativer Fehler: x x / x 0.2 x = 123, exakt darstellbar: x = 123 relativer Fehler: x x / x = 0 Folgerung: Im Sinne einer optimalen Stellenausnutzung n, m variabel halten!
26 Festkommazahlen (q-adische Brüche) z n 1 z n 2 z 0,z 1 z m = n 1 i= m z i q i, z i {0,...,q 1}. l = m+n Stellen verfügbar; n, m N fest gewählt. Beispiel: q = 10, l = 4, n = 3, m = 1 x = 0,123, Runden: x = 0,1 relativer Fehler: x x / x 0.2 x = 123, exakt darstellbar: x = 123 relativer Fehler: x x / x = 0 Folgerung: Im Sinne einer optimalen Stellenausnutzung n, m variabel halten!
27 Festkommazahlen (q-adische Brüche) z n 1 z n 2 z 0,z 1 z m = n 1 i= m z i q i, z i {0,...,q 1}. l = m+n Stellen verfügbar; n, m N fest gewählt. Beispiel: q = 10, l = 4, n = 3, m = 1 x = 0,123, Runden: x = 0,1 relativer Fehler: x x / x 0.2 x = 123, exakt darstellbar: x = 123 relativer Fehler: x x / x = 0 Folgerung: Im Sinne einer optimalen Stellenausnutzung n, m variabel halten!
28 Festkommazahlen (q-adische Brüche) z n 1 z n 2 z 0,z 1 z m = n 1 i= m z i q i, z i {0,...,q 1}. l = m+n Stellen verfügbar; n, m N fest gewählt. Beispiel: q = 10, l = 4, n = 3, m = 1 x = 0,123, Runden: x = 0,1 relativer Fehler: x x / x 0.2 x = 123, exakt darstellbar: x = 123 relativer Fehler: x x / x = 0 Folgerung: Im Sinne einer optimalen Stellenausnutzung n, m variabel halten!
29 Gleitkommazahlen G(l, q) Definition: (Gleitkommazahlen) Jede in der Form x = ( 1) s a q e (1) mit Vorzeichenbit s {0,1}, Exponent e Z und Mantisse a = 0 oder a = 0,a 1 a l = l a i q i, a i {0,...,q 1}, a 1 0, i=1 darstellbare Zahl x heißt Gleitkommazahl mit Mantissenlänge l N, l 1. Die Menge all dieser Zahlen heißt G(q,l). Die Darstellung (1) heißt normalisierte Gleitkommadarstellung.
30 Beispiel: q = 10, l = 4 Gleitkommadarstellungen x = 0,123 wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x = 0 x = 123 wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x = 0 x = 123,456 wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x 0,00036 x = 0, wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x 0,00036
31 Beispiel: q = 10, l = 4 Gleitkommadarstellungen x = 0,123 wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x = 0 x = 123 wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x = 0 x = 123,456 wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x 0,00036 x = 0, wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x 0,00036
32 Beispiel: q = 10, l = 4 Gleitkommadarstellungen x = 0,123 wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x = 0 x = 123 wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x = 0 x = 123,456 wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x 0,00036 x = 0, wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x 0,00036
33 Beispiel: q = 10, l = 4 Gleitkommadarstellungen x = 0,123 wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x = 0 x = 123 wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x = 0 x = 123,456 wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x 0,00036 x = 0, wird dargestellt als x = 0, relativer Fehler: x x / x 0,00036
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