Wir beginnen mit der zentralen Definition dieses Abschnitts. Q = I 1 I 2... I n. I k, k=1

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1 Kapitel 15 Integration über uader im R n 15.1 Integration über uader 15.2 Nullmengen nach Jordan und Lebesgue 15.3 Das Integrabilitätsriterium von Lebesgue 15.4 Der Satz von Fubini 15.1 Integration über uader Wir beginnen mit der zentralen Definition dieses Abschnitts. Definition 15.1 Ein uader R n ist eine Menge der Gestalt = I 1 I 2... I n mit beschränten Intervallen I R ( = 1, 2,..., n. Das Volumen (oder der Inhalt oder auch das Maß von ist definiert durch := µ( := n I, wobei I die Länge des Intervalls I angibt. Die leere Menge wird ebenfalls als uader aufgefasst, und wir setzen µ( := 0. Sind a und b die beiden (linen bzw. rechten Endpunte des Intervalles I, so ist hierbei die Länge von I definiert durch I := b a. Dabei spielt es eine Rolle, ob a oder b selbst zum Intervall I gehören, also I ein offenes, abgeschlossenes oder halb offenes Intervall bezeichnet. Sofern alle in der Definition 15.1 auftretenden Intervalle I abgeschlossen (offen sind, handelt es sich bei dem uader ebenfalls um eine abgeschlossene (offene Menge. Wir sprechen in dem Fall einfach von einem abgeschlossenen (offenen uader. Für das Volumen eines uaders spielt es jedoch eine Rolle, ob die einzelnen Intervalle I abgeschlossen, offen oder halb offen sind. 5

2 6 KAPITEL 15. INTEGRATION ÜBER UADER IM R N Der Durchschnitt := 1 2 zweier uader 1 und 2 ist offenbar wieder ein (eventuell leerer uader und damit insbesondere das Volumen von definiert. Damit ist die nachfolgende Definition sinnvoll. Definition 15.2 Zwei uader 1 und 2 heißen (a nicht überlappend, wenn µ( 1 2 = 0 gilt; (b fremd, wenn 1 2 = ist. Etwas lax formuliert, dürfen zwei nicht überlappende uader 1 und 2 also durchaus gemeinsame Seitenflächen haben, vergleiche die Abbildung 15.1, aber einen gemeinsamen volldimensionalen Inhalt besitzen. Fremde uader hingegen haben eine gemeinsamen Punte überlappende uader 2 nicht überlappende uader Abbildung 15.1: Zur Definition von fremden bzw. überlappenden uadern Definition 15.3 Ein uader heißt ausgeartet, wenn µ( = 0 gilt. Ein uader = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] ist offenbar genau dann ausgeartet, wenn leer ist oder a i = b i für mindestens ein i {1,..., n} gilt. Mittels dieser Terminologie önnen wir außerdem sagen, dass zwei uader 1 und 2 genau dann nicht überlappend sind, wenn ihr Durchschnitt 1 2 ein ausgearteter (eventuell leerer uader ist. Das Ziel dieses Abschnitts wird es sein, für eine Funtion f : R n R das Integral f(xdx über einen uader sinnvoll zu definieren, so dass es anschaulich im Fall einer nichtnegativen Funtion f mit dem Volumen unterhalb des Graphen von f übereinstimmt. Dabei werden wir im Wesentlichen wie im Fall einer eindimensionalen Funtion vorgehen und daher des Öfteren auf Beweise verzichten önnen, da diese sich zum Teil fast wörtlich wie im Fall n = 1 führen lassen.

3 15.1. INTEGRATION ÜBER UADER 7 Sei = I 1 I 2... I n mit Intervallen I = [a, b ] ein gegebener (ohne Einschränung abgeschlossener uader. Sei ferner P = {x 0, x 1,...,x r } eine Partition (Zerlegung von I in a = x 0 < x 1 <... < x r = b mit gewissen (endlichen Zahlen r N für = 1,..., n. Sei α = (α 1, α 2,..., α n ein Multi Index mit 1 α 1 r 1,..., 1 α n r n und I,α := { x R x α 1 x x α } das α -te Teilintervall der Partition P von I. Damit erhalten wir eine Partition P := P 1... P n des uaders in einander nicht überlappende Teilquader α, die durch α := I 1,α1 I 2,α2... I n,αn definiert sind. Insgesamt besteht dann aus den r 1 r 2... r n Teilquadern α mit α A := { (α 1,...,α n } 1 α r = 1,..., n }, woraus man unmittelbar die Gültigeit der Formel µ( = α A µ( α (15.1 abliest. Definition 15.4 Wir sagen, der soeben beschriebene Prozess liefere eine Partition (oder Zerlegung P = P 1... P n des uaders in die Teilquader α, α A, von der Feinheit δ(p := max { δ(p 1,...,δ(P n }, wobei δ(p die schon beannte Feinheit der Partition P von I bezeichne. Unter einer Partition (Zerlegung eines uaders verstehen wir stets eine Partition in dem gerade definierten Sinn. Die Abbildung 15.3 illustriert diesen Sachverhalt und verdeutlicht zugleich, was wir nicht unter einer Zerlegung eines uaders verstehen wollen. Definition 15.5 Eine Partition P = P 1... P n eines uaders Rn heißt Verfeinerung einer Partition P = P 1... P n von, wenn jedes P eine Verfeinerung von P ist ( = 1,...,n. Sei ein uader und P eine Partition von in die Teilquader α für α A. Um die Schreibweise mit den Multi Indizes α im Folgenden zu vermeiden, nummerieren wir die endlich vielen uader α (α A einfach durch und bezeichnen diese mit 1,..., m, wobei m := r 1 r 2... r n gilt, vergleiche hierzu die Abbildung Wir sprechen dann auch von der Partition P = { 1,..., m } des uaders in die Teilquader ( = 1,...,m. Man beachte aber, dass die nicht irgendwelche Teilquader sind, sondern wie in Definition 15.4 angegeben onstruiert worden sind, in diesem Zusammenhang betrachte man auch die Abbildung 15.3 zwecs Illustration. Wir halten in der nachstehenden Bemerung einige elementare Eigenschaften der gerade eingeführten Begriffe fest, auf deren Beweise hier verzichtet werden soll.

4 8 KAPITEL 15. INTEGRATION ÜBER UADER IM R N x 2 x 2 b b a a x 1 x 1 a 1 b 1 a 1 b 1 Abbildung 15.2: Umnummerierung der Teilquader im Fall n = 2 x 2 x 2 b 2 b 2 a 2 a 2 x 1 x 1 a 1 b 1 a 1 b 1 Partition von eine Partition von Abbildung 15.3: Zur Partition eines uaders Bemerung 15.6 (a Seien ein uader und P = { 1, 2,..., m } eine Partition von. Dann gilt µ( = m µ(, wie wir schon vorher in (15.1 bemert hatten, dort allerdings noch unter Verwendung von Multi Indizes. (b Seien ein uader, P eine Partition von. Dann gilt δ(p δ(p für jede Verfeinerung P der Partition P. (c Seien = I 1 I 2... I n ein uader sowie P 1 und P 2 zwei Partitionen von. Dann existieren zu jedem Teilintervall I Partitionen P ( 1 und P ( 2 von I. Indem wir für jedes solche Teilintervall eine neue Partition P ( definieren, die alle Teilpunte von P ( 1 und P ( 2 enthält, gelangen wir zu einer neuen Partition P := P (1... P (n von, bei der es sich um eine gemeinsame Verfeinerung von P 1 und P 2 handelt und die wir im Folgenden manchmal mit P := P 1 P 2 bezeichnen, vergleiche die Abbildung Sei f : R n R eine beschränte Funtion, R n ein uader und = { 1,..., m } eine Partition von. Dann setzen wir m (f := inf f(x, x M (f := sup x f(x = 1,..., m,

5 15.1. INTEGRATION ÜBER UADER 9 P 1 : P 1 P 2 : P 2 : Abbildung 15.4: Gemeinsame Verfeinerung zweier Partitionen P 1 und P 2 m(f := inf x f(x, M(f := sup f(x. x Diese Definitionen entsprechen genau den Setzungen bei der Herleitung des Riemann Integrals im Fall n = 1. Definition 15.7 Sei R n ein uader mit Partition P. Dann heißen U P (f := P m (fµ( := die Untersumme von f bezüglich der Partition P und O P (f := P M (fµ( := die Obersumme von f bezüglich der Partition P. m (fµ( M (fµ( In Verallgemeinerung zum eindimensionalen Fall lässt sich das folgende Resultat zeigen. Lemma 15.8 ( Elementare Eigenschaften von Ober und Untersummen Seien f : R n R eine beschränte Funtion und R n ein gegebener uader. Dann gelten: (a Für jede Partition P von ist m(fµ( U P (f O P (f M(fµ(. (b Für die Verfeinerung P einer Partition P von ist O P (f O P (f und U P (f U P (f. (c Für je zwei Partitionen P 1, P 2 von ist U P1 (f O P2 (f.

6 10 KAPITEL 15. INTEGRATION ÜBER UADER IM R N Beweis: Die Beweise sind allesamt (fast identisch mit dem Fall n = 1. Zur Illustration geben wir hier zumindest den Beweis von Teil (a an. Sei dazu P = { 1,..., m } die gegebene Partition des uaders. Dann gilt m(f m (f M (f M(f = 1,...,m gemäß Definition dieser Größen. Multipliation mit µ( ergibt für jedes feste {1,..., m} daher die Abschätzung m(fµ( m (fµ( M (fµ( M(fµ(. Summation über alle = 1,...,m liefert unter Ausnutzung von Bemerung 15.6 (a unmittelbar die Behauptung (a. Aus dem Lemma 15.8 folgt beispielsweise, dass die Menge aller Obersummen nach unten (etwa durch U P (f für eine feste Partition P und die Menge aller Untersummen nach oben beschränt ist. Aus diesem Grunde macht die folgende Definition Sinn. Definition 15.9 Sei f : R n R eine beschränte Funtion über einen uader. Dann heißen f(xdx := sup { U P (f P Zerlegung von } das Unterintegral von f über und f(xdx := inf { O P (f } P Zerlegung von das Oberintegral von f über. Einige wichtige Eigenschaften des Ober und Unterintegrals sind in dem nachstehenden Resultat zusammengefasst. Lemma ( Elementare Eigenschaften des Ober und Unterintegrals Seien f, g : R n R beschränte Funtionen über einen uader R n. Dann gelten: (a Es ist f(xdx f(xdx. (b Es ist f(xdx + g(xdx ( f(x + g(x dx.

7 15.1. INTEGRATION ÜBER UADER 11 (c Es ist ( f(x + g(x dx f(xdx + g(xdx. (d Für f(x g(x für alle x ist auch f(xdx g(xdx. (e Für f(x g(x für alle x ist auch f(xdx g(xdx. Beweis: Die Eigenschaft (a ergibt sich sofort aus dem Lemma 15.8 (a, die Aussage (b lässt sich analog zur Behauptung (c verifizieren und die Teile (d und (e sind eine einfache Übung. Damit muss lediglich die Aussage (c bewiesen werden. Sei dazu P = { 1,..., m } eine beliebige Partition des uaders. Für die entsprechenden Obersummen gilt dann O P (f + g = [ ] sup f(x + g(x µ( x sup f(xµ( + sup g(xµ( x x = O P (f + O P (g. Für die spezielle Zerlegung P von ergibt sich daher ( f(x + g(x dx = inf { OZ (f + g Z Zerlegung von } O P (f + g O P (f + O P (g. Zu beliebigem ε > 0 lässt sich nun eine gemeinsame Partition P finden mit 0 O P (f f(xdx < ε 2 und 0 O P (g g(xdx < ε 2.

8 12 KAPITEL 15. INTEGRATION ÜBER UADER IM R N Zusammen folgt ( f(x + g(x dx OP (f + O P (g f(xdx + g(xdx + ε. Da ε > 0 beliebig gewählt war, folgt die Behauptung. Verlangen wir die Gleichheit von Ober und Unterintegral, so gelangen wir wie im eindimensionalen Fall auf den Begriff des Riemann Integrals von beschränten Funtionen auf uadern. Definition Sei f : R n R eine beschränte Funtion über einen uader R n. Gilt f(xdx = f(xdx, so heißt f (Riemann integrierbar über. Der gemeinsame Wert wird mit f(xdx oder f(x 1,..., x n d(x 1,...,x n bezeichnet und heißt das (Riemann Integral von f über. Im Folgenden werden wir meist von integrierbaren Funtionen und dem Integral einer Funtion sprechen, den Zusatz Riemann also weglassen. Ferner sei erwähnt, dass man für Funtionen f : R 2 R bzw. f : R 3 R bisweilen auch die Schreibweise f(x, yd(x, y bzw. f(x, y, zd(x, y, z verwendet. Ansonsten sei hier noch erwähnt, dass wir in der Definition zur Vereinfachung vorausgesetzt haben, dass f auf dem gesamten R n definiert ist. Dies ist nicht wirlich nötig, beispielsweise önnte man eine nur auf dem uader definierte Funtion durch die Setzung f(x := 0 für alle x sofort als Funtion auf dem gesamten Raum R n auffassen. Damit gehen unter Umständen zwar Stetigeitseigenschaften etc. von f verloren, diese spielen aber bei der Integrierbareit (noch sowieso eine Rolle. Wir berechnen in dem nachstehenden Beispiel das Integral einer onstanten Funtion f(x c über einen uader, aus dem sich insbesondere die Gültigeit der Identität 1dx = µ( ergibt, d.h., die Integration der speziellen onstanten Funtion f(x 1 über einen uader liefert gerade das Volumen dieses uaders, vergleiche hierzu die Abbildung 15.5.

9 15.1. INTEGRATION ÜBER UADER 13 x 3 1 x 2 x 1 1 Abbildung 15.5: Geometrische Interpretation der Formel 1dx = µ( Beispiel Seien R n ein uader und c R eine beliebige Konstante. Wir behaupten, dass dann cdx = cµ( (15.2 gilt. Sei dazu P = { 1,..., m } eine beliebige Partition von. Dann erhalten wir unter Verwendung von Bemerung 15.6 (a O P (f = cµ( = c µ( = cµ( und U P (f = cµ( = c µ( = cµ(. Also ist die onstante Funtion f(x c integrierbar, und es gilt die Formel (15.2. Ein aus dem Fall n = 1 für viele theoretische Zwece sehr nützliches (notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Integrierbareit einer beschränten Funtion gilt auch im mehrdimensonalen Fall. Satz ( Integrabilitätsriterium von Riemann Seien R n ein uader und f : R n R eine über beschränte Funtion. Dann ist f genau dann auf integrierbar, wenn es zu jedem ε > 0 eine Partition P von gibt mit O P (f U P (f < ε. Beweis: Der Beweis aus dem eindimensionalen Fall, siehe Satz 7.10, überträgt sich, wenn man darin als gemeinsame Verfeinerung zweier auftretender Partitionen P 1 und P 2 von

10 14 KAPITEL 15. INTEGRATION ÜBER UADER IM R N etwa die Zerlegung P := P 1 P 2 aus der Bemerung 15.6 (c wählt. Der Satz erlaubt beispielsweise den Nachweis des folgenden, oft sehr nützlichen, hinreichenden Kriteriums für die Integrierbareit einer gegebenen Funtion. Satz ( Stetige Funtionen sind integrierbar auf ompaten uadern Seien f : R n R eine auf einem ompaten uader R n stetige Funtion. Dann ist f integrierbar auf. Beweis: Der Beweis geschieht auch hier in Analogie zum eindimensionalen Fall, vergleiche Satz 7.12: Als stetige Funtion auf dem ompaten uader ist f wegen Satz 4.47 zunächst beschränt. Außerdem ist f gleichmäßig stetig auf wegen Satz Zu jedem ε > 0 existiert daher ein δ > 0 mit f(ξ1 f(ξ 2 < ε max{1, µ(} für alle ξ 1, ξ 2 mit ξ 1 ξ 2 < δ (das Maximum im Nenner tritt nur auf, um auch im Falle von µ( = 0 eine wohldefinierte Größe zu haben. Wir wählen jetzt eine (offenbar existierende Partition P = { 1,..., m } von mit der Feinheit δ(p < δ, wobei wir ohne Einschränung davon ausgehen önnen, dass alle Teilquader selbst ompat sind. Nach Satz 4.47 existieren dann zu jedem {1,..., m} Zwischenpunte ξ und ξ mit M (f = f(ξ und m (f = f(ξ. Damit folgt O P (f U P (f = P ( M (f m (f µ( = < ( f(ξ f(ξ µ( ε, ε max{1, µ(} µ( wobei sich die letzte Ungleichung aus der Bemerung 15.6 (a ergibt. Die Integrierbareit von f auf folgt daher aus dem Satz Wie bei den Funtionen in einer Variablen lässt sich die Integrierbareit einer gegebenen Abbildung auch hier mittels der Riemannschen Summen charaterisieren. Sei dazu f : R n R eine beschränte Funtion auf einem uader R n. Seien ferner P = { 1,..., m } eine Partition von und ξ für alle = 1,..., m beliebig gewählte Punte aus den Teilquadern. Dann wird der Ausdruc S P (f, ξ := P f(ξ µ( = f(ξ µ(

11 15.1. INTEGRATION ÜBER UADER 15 als die zugehörige Riemannsche Summe bezeichnet. Aus der Definition ergibt sich unmittelbar U P (f S P (f, ξ O P (f. Existiert eine Zahl I R und gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dass für alle Partitionen P eines gegebenen uaders (in gewisse Teilquader mit der Feinheit δ( < δ sowie bei beliebiger Wahl der Zwischenpunte ξ die Ungleichung SP (f, ξ I < ε gilt, so schreiben wir I = lim S P (f, ξ δ(p 0 und sagen, dass die Riemannschen Summen gegen I onvergieren. Aufgrund des nachfolgenden Satzes erhält man mittels der Riemannschen Summen eine vollständige Charaterisierung der Riemann Integrierbareit. Der Beweis erfolgt analog zu dem des entsprechenden Satzes 7.19 im eindimensionalen Fall. Satz ( Charaterisierung der Integrierbareit mittels Riemannscher Summen Seien R n ein uader und f : R n R eine über beschränte Funtion. Dann ist f genau dann auf integrierbar, wenn der Grenzwert lim δ(p 0 S P (f, ξ existiert. In diesem Fall gilt lim S P(f, ξ = f(xdx. δ(p 0 Der vorige Satz erlaubt im Falle einer integrierbaren Funtion also die Berechnung des Integrals von f auf, indem man sich zu einer beliebigen Folge von Partitionen P mit δ(p 0 eine ebenfalls beliebige Folge von Zwischenpunten ξ auswählt und anschließend den Grenzwert lim S P (f, ξ berechnet. Aus den bisherigen Ergebnissen lassen sich, wiederum in Analogie zum Fall n = 1, eine ganze Reihe von Eigenschaften des Riemann Integrals über einen uader zeigen. Wir fassen die entsprechenden Resultate in dem nachstehenden Satz zusammen und verzichten hier auf die zugehörigen Beweise. Satz ( Elementare Eigenschaften des Riemann Integrals Seien R n ein uader sowie f, g : R n R beschränte Funtionen über. Dann gelten die folgenden Aussagen: (a Sind f und g integrierbar, so ist auch die Abbildung αf + βg über integrierbar für alle α, β R, und es gilt ( αf(x + βg(x dx = α f(xdx + β g(xdx. (b Mit f ist auch jede der Funtionen f +, f und f integrierbar über.

12 16 KAPITEL 15. INTEGRATION ÜBER UADER IM R N (c Mit f und g ist auch das Produt f g integrierbar über. (d Sind f und g integrierbar und gilt g(x c für alle x mit einer Konstanten c > 0, so ist auch der uotient f/g über integrierbar. (e Sind f und g integrierbar mit f(x g(x für alle x, so gilt f(xdx g(xdx. (f Sind f und g integrierbar, so gelten f(xdx f(x dx und f(xg(xdx sup f(x x g(x dx. (g Ist {f } eine Folge Riemann integrierbarer Funtionen f : R, die gleichmäßig gegen die Funtion f : R onvergiere, so ist f ebenfalls Riemann integrierbar, und es gilt ( lim f (xdx = f(xdx = lim f (xdx Nullmengen nach Jordan und Lebesgue Wir beginnen diesen Abschnitt mit zwei Definitionen von Nullmengen, die in vielen Fällen identisch sind, aber in der Integrationstheorie doch eine sehr unterschiedliche Bedeutung haben. Definition Sei M R n eine gegebene Menge. Dann hat M (a den Jordan Inhalt Null oder ist eine Jordansche Nullmenge (urz: J Nullmenge, wenn es zu jedem ε > 0 endlich viele offene uader 1, 2,..., m gibt mit m M und µ( < ε. (b das Lebesgue Maß Null oder ist eine Lebesguesche Nullmenge (urz: L Nullmenge, wenn es zu jedem ε > 0 höchstens abzählbar viele offene uader 1, 2,... gibt mit M und µ( < ε.

13 15.2. NULLMENGEN NACH JORDAN UND LEBESGUE 17 Wir werden später manchmal nur von einer Nullmenge sprechen, wenn aus dem Zusammenhang lar ist, ob es sich um eine Jordansche oder um eine Lebesguesche Nullmenge handelt oder in dem jeweils betrachteten Fall beide Begriffe übereinstimmen. Ferner sei hier ausdrüclich erwähnt, dass wir in der Definition statt der offenen uader 1, 2,... auch beliebige uader hätten zulassen önnen. Die explizite Wahl offener uader vereinfacht in unserem Zusammenhang lediglich den Beweis einiger Aussagen, vergleiche beispielsweise das Lemma Offensichtlich ist jede Jordansche Nullmenge auch eine Lebesguesche Nullmenge. Das folgende Beispiel zeigt, dass die Umehrung dieser Aussage im Allgemeinen nicht gilt. Beispiel Betrachte den eindimensionalen Fall n = 1 mit der Menge M := [0, 1]. Als Teilmenge aller rationalen Zahlen ist diese Menge abzählbar. Also existiert eine bijetive Abbildung x von N in M. Wir wählen dann zu einem beliebig gegebenen ε > 0 die offenen uader (bei denen es sich im eindimensionalen Fall um Intervalle handelt := ( x 2 1 ε, x ε, N. Die Menge { } N liefert dann eine abzählbare Überdecung von M mit der Eigenschaft µ( = 1 2ε = ε. Also ist M eine L Nullmenge. Auf der anderen Seite ist M eine J Nullmenge, man vergleiche hierzu das Beispiel im nächsten Kapitel. In einem wichtigen Spezialfall stimmen die J Nullmengen jedoch mit den L Nullmengen überein. Lemma ( Kompate L Nullmengen sind J Nullmengen Sei M R n eine L Nullmenge. Ist M ompat, so ist M auch eine J Nullmenge. Beweis: Nach Voraussetzung gibt es höchstens abzählbar viele offene uader mit M und µ( < ε. Da M ompat ist, existiert bereits eine endliche Überdecung von M, d.h., es gibt endlich viele Indizes i 1,...,i m mit M i1... im. Für diese endlich vielen uader gilt aber erst recht µ( i µ( im < ε. Also ist M in der Tat eine J Nullmenge. Die nachstehende Bemerung fasst einige elementare Eigenschaften und Beispiele von J und L Nullmengen zusammen. Bemerung Es gelten die folgenden Aussagen:

14 18 KAPITEL 15. INTEGRATION ÜBER UADER IM R N (a Jede Teilmenge einer Jordanschen (Lebesgueschen Nullmenge ist eine Jordansche (Lebesguesche Nullmenge. (b Jede endliche (abzählbare Teilmenge des R n ist eine Jordansche (Lebesguesche Nullmenge. (c Die Vereinigung von endlich (abzählbar vielen Jordanschen (Lebesgueschen Nullmengen ist eine Jordansche (Lebesguesche Nullmenge. Beweis: (a Diese Aussage folgt sofort aus der Definition der Jordanschen und Lebesgueschen Nullmengen. (b Einelementige Mengen sind offenbar J Nullmengen (man ann eine Überdecung mit nur einem einzigen offenen uader von beliebig leinem Volumen finden. Die Aussage folgt daher unmmittelbar aus der noch zu beweisenden Behauptung (c. (c Die Aussage über die Vereinigung von endlich vielen Jordanschen Nullmengen folgt sofort aus der Definition. Seien M 1, M 2,... abzählbar viele Lebesguesche Nullmengen und ε > 0 beliebig gegeben. Da jedes M eine Lebesguesche Nullmenge ist, gibt es (höchstens abzählbar viele offene uader 1, 2, 3,... mit M j j und j j ε. Dann 2 überdecen die (höchstens abzählbar vielen uader 11, 12,..., 21, 22,..., 31, 32,... die Vereinigung M. Ferner ist das Volumen aller dieser uader höchstens gleich woraus die Behauptung (c folgt. ε 2 = ε ( 1 ε 2 ( 1 = ε, 2 Eine Klasse von L-Nullmengen wird in dem nachfolgenden Resultat angegeben. Lemma ( Hyperebenen sind L Nullmengen Jede Hyperebene H j (c := {(x 1,...,x n T R n x j = c constant} im R n ist eine L Nullmenge. Insbesondere ist jede Teilmenge einer solchen Hyperebene eine L Nullmenge. Beweis: Der zweite Teil ergibt sich sofort aus der Bemerung (a, sobald wir gezeigt haben, dass H j (c eine L Nullmenge ist. Sei dazu ε > 0 beliebig gegeben. Für jedes N definieren wir dann einen offenen uader mit den Intervallendpunten := ( a ( 1, b( 1 ( ( a 2, b( 2... ( a ( n, b( n a ( i := {, falls i j, ε c, falls i = j 2 +1 (2 n 1 und b ( i := { +, falls i j, ε c +, falls i = j 2 +1 (2 n 1

15 15.2. NULLMENGEN NACH JORDAN UND LEBESGUE 19 für i = 1,...,n. Offenbar ist dann H j (c und µ( = (2 n 1 2ε 2 +1 (2 = ε n 1 also H j (c in der Tat eine L Nullmenge. (1 = ε, 2 Aus dem Lemma ergibt sich beispielsweise sofort, dass jeder echte Unterraum und jeder solche affine Unterraum ebenfalls eine L Nullmenge ist. Gleiches gilt natürlich für jede Teilmenge derartiger Räume. Hingegen ann eine Hyperebene oder ein (affiner Unterraum eine J Nullmenge sein, da unbeschränte Mengen niemals J Nullmengen darstellen. Dies folgt sofort aus der einfachen Beobachtung, dass sich jede J Nullmenge durch endlich viele uader (von beliebig leinem Volumen überdecen lässt und damit zwangsläufig beschränt sein muss (die Vereinigung von endlich vielen beschränten Mengen ist wieder beschränt. Eine weitere wichtige Klasse von L Nullmengen enthält das folgende Resultat. Lemma ( Graph stetiger Funtionen ist L Nullmenge Seien f : R n 1 R eine stetige Funtion und N := graph(f := {( x, f(x R n 1 R x R n 1} der Graph der Abbildung f. Dann ist N eine L Nullmenge. Beweis: Es genügt, die Funtion f auf einem ompaten Würfel W R n 1 mit der Kantenlänge 1 zu betrachten, da der R n 1 mit abzählbar vielen solcher Würfel überdect werden ann. Wir zeigen also, dass die Menge N W := graph ( f W := {( x, f(x x W } eine Nullmenge ist, die Behauptung ergibt sich dann aus der Bemerung (b. Da f auf W gleichmäßig stetig ist, gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 mit f(x f(y < ε für alle x, y W mit x y < δ. Wir wählen nun eine natürliche Zahl > 2 und zerlegen δ W durch äquidistante Einteilung der Kanten in n 1 Teilwürfel. Zu jedem dieser Teilwürfel bestimme man einen offenen Oberwürfel der Kantenlänge 2. Gemäß Wahl von ist x y 2 < δ und damit die Schwanung max f(x f(y auf diesem offenen Oberwürfel leiner als ε. Der Graph von f W wird daher überdect von n 1 offenen uadern mit dem Volumen ( 2 n 1 ε (dieses Volumen ergibt sich aus der Fläche ( 2 n 1 des Teilwürfels im R n 1 mal der Höhe ε, vergleiche hierzu die Abbildung.

16 20 KAPITEL 15. INTEGRATION ÜBER UADER IM R N Würfel W: Beispiel für n = 3, = 4 Teilwürfel von W 1 offener Oberwürfel graph(f ε Teilwürfel W Abbildung 15.6: Zum Beweis des Lemmas Somit haben wir eine Überdecung des Graphen von f über dem Würfel W mit (sogar nur endlich vielen offenen uadern, deren Volumen sich zusammen abschätzen lassen durch n 1 ( 2 n 1 ε = 2 n 1 ε. Da ε > 0 beliebig gewählt war, folgt hieraus die Behauptung. Eine unmittelbare Folgerung aus dem obigen Resultat ist das nachstehende Korollar. Korollar ( Graph stetiger Funtionen auf ompaten Mengen ist J Nullmenge Seien f : R n 1 R eine stetige Funtion, K R n 1 einen ompate Teilmenge und N K := graph ( f K := {( x, f(x x K }.

17 15.3. DAS INTEGRABILITÄTSKRITERIUM VON LEBESGUE 21 Dann ist N K eine J Nullmenge. Beweis: Mit der Definition von graph(f wie im Lemma gilt offenbar N K graph(f. Da graph(f nach Lemma aber eine L Nullmenge ist, haben wir in der Teilmenge N K wegen Bemerung (a ebenfalls eine L Nullmenge vorliegen. Andererseits handelt es sich bei der Menge N K um das Bild der ompaten Menge K unter der stetigen Abbildung x ( x, f(x, so dass diese Menge wegen des Satzes 4.46 selbst ompat ist. Aufgrund des Lemmas haben wir deshalb bereits eine J Nullmenge vorliegen Das Integrabilitätsriterium von Lebesgue Ziel dieses Abschnittes ist die Aussage, dass eine auf einem uader definierte und dort beschränte Funtion genau dann Riemann integrierbar ist, wenn die Menge ihrer Unstetigeitspunte eine Lebesguesche Nullmenge ist. Im eindimensionalen Fall ist dieses Resultat bereits im Satz 8.5 formuliert worden, wurde damals allerdings noch nicht bewiesen. Der Beweis ist in der Tat etwas technisch und bedarf noch einiger Vorbereitungen. Insbesondere erweist sich in diesem Zusammenhang der Begriff der Oszillation einer Funtion als sehr nützlich. Definition Seien f : M R eine beschränte Funtion auf einer nichtleeren Menge M R n. Dann heißt Ω f (M := sup f(x inf f(x = sup { f(x f(y } x, y M x M x M die Oszillation von f auf der Menge M. Für jedes feste x M ist die Abbildung δ Ω f ( M Bδ (x mit B δ (x := { y x y < δ } offenbar monoton steigend und durch Ω f (M nach oben sowie durch Null nach unten beschränt. Also existiert der Grenzwert ω f,m (x := lim Ω ( f M Bδ (x ( Ω f (M B δ (x δ > 0 δ 0+ für jedes x M. Dieser heißt Oszillation von f im Punte x M. Per Definition gilt ω f,m (x 0 für alle x M. Der Grenzfall ω f,m (x = 0 charaterisiert aufgrund des folgenden Resultates gerade die Stetigeit von f im Punte x. Lemma ( Charaterisierung der Stetigeit mittels der Oszillation Eine beschränte Funtion f : M R auf einer Menge M R n ist genau dann stetig in x M, wenn ω f,m (x = 0 gilt.

18 22 KAPITEL 15. INTEGRATION ÜBER UADER IM R N Beweis: Sei f zunächst stetig in x M. Nach Wahl von ε > 0 existiert dann ein δ > 0 derart, dass f(y f(x < ε 2 für alle y V δ := M B δ (x gilt. Für je zwei Punte y 1, y 2 V δ ist daher f(y1 f(y 2 f(y1 f(x + f(x f(y2 < ε. Dies impliziert Ω f (V δ ε und damit ω f,m (x ε. Da ε > 0 beliebig gewählt werden onnte, folgt ω f,m (x = 0. Sei nun umgeehrt ω f,m (x = 0 vorausgesetzt. Zu beliebig gewähltem ε > 0 existiert dann ein δ > 0 mit Ω f (V δ < ε, wobei wieder V δ := M B δ (x gesetzt wurde. Für alle y V δ gilt also f(x f(y < ε, was die Stetigeit von f in x beweist. Sei f : R n R wieder eine beschränte Funtion auf einem uader R n und S(f := { x f ist nicht stetig in x } die Menge der Unstetigeitspunte von f. Setzen wir für ein ε > 0 noch so gilt wegen Lemma gerade S ε (f := { x ωf, (x ε }, S(f = S 1(f. (15.3 Aufgrund des nächsten Resultats ist S(f die Vereinigung von abzählbar vielen ompaten Mengen. Lemma ( Kompatheit der Mengen S ε Seien f : R n R eine beschränte Funtion auf einem ompaten uader R n und S ε (f wie oben definiert. Dann ist S ε (f für jedes ε > 0 eine ompate Menge. Beweis: Wegen S ε (f ist S ε (f zumindest beschränt. Im Hinblic auf den Satz 4.44 von Heine Borel haben wir daher nur noch zu verifizieren, dass S ε (f auch abgeschlossen ist. Dazu benutzen wir das Kriterium aus dem Lemma Sei also {x } S ε (f eine Folge mit x x für ein x. Wir haben x S ε (f zu zeigen. Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann ist ω f, (x < ε. Für ein hinreichend leines δ > 0 ist dann auch Ω f ( Bδ (x < ε. Daher gilt auch ω f, (y < ε für alle y B δ (x. Nun ist aber x B δ (x für alle N hinreichend groß und daher ω f, (x < ε für alle diese im Widerspruch zu x S ε (f. Nach diesen Vorbereitungen ommen wir nun zu dem Hauptresultat dieses Abschnitts.

19 15.3. DAS INTEGRABILITÄTSKRITERIUM VON LEBESGUE 23 Satz ( Integrabilitätsriterium von Lebesgue Sei f : R n R eine beschränte Funtion auf einem ompaten uader R n. Dann ist f genau dann Riemann integrierbar über, wenn die Menge S(f der Unstetigeitspunte von f eine Lebesguesche Nullmenge ist. Beweis: Wir setzen zunächst voraus, dass f Riemann integrierbar auf ist. Zu zeigen ist dann, dass S(f eine L Nullmenge ist. Wegen (15.3 ist S(f = S 1(f. Im Hinblic auf die Bemerung (c genügt es daher zu zeigen, dass jede Menge S 1(f eine L Nullmenge ist, was wegen der Kompatheit dieser Menge (siehe Lemma äquivalent damit ist, dass es sich um eine J Nullmenge handelt, vergleiche Lemma Für ein festes N betrachten wir im Folgenden daher eine solche Menge. Sei ε > 0 beliebig gegeben. Da f nach Voraussetzung Riemann integrierbar ist, existiert aufgrund des Satzes (Riemannsches Integrabilitätsriterium eine Partition P = { 1, 2,..., m } von mit 0 O P (f U P (f < ε 2. Jedes x S 1(f liegt dann entweder in dem Inneren eines solchen uaders oder ist ein Randpunt, also x int( l oder x l für ein l {1, 2,..., m}. Wir haben also S 1(f [ ] [ m ] int( j j, j A j=1 wobei wir zur Abürzung A := { j {1,..., m} int( j S 1(f } gesetzt haben. Für jedes x int( j S 1(f haben wir offenbar 1 ω f,(x = ω f,int(j (x Ω f ( int(j Ω f ( j, wobei die erste Ungleichung aus x S 1(f und die folgende Gleichheit aus x int( j folgt. Wegen O P (f U P (f = (M j m j µ( j = j=1 Ω f ( j µ( j j=1 mit m j := inf x j f(x, M j := sup x j f(x folgt somit 1 j A µ( j j A Ω f ( j µ( j j=1 Ω f ( j µ( j = O P (f U P (f < ε 2

20 24 KAPITEL 15. INTEGRATION ÜBER UADER IM R N und daher j A µ( j < ε 2. Auf der anderen Seite ist der Rand j eines jeden uaders j (j = 1,..., m eine L Nullmenge, denn die (endlich vielen Seitenflächen eines uaders sind jeweils in einer Hyperebene enthalten, vergleiche das Lemma Aber j ist wegen Lemma 4.22 auch ompat, also ist j für jedes j = 1,..., m bereits eine J Nullmenge. Folglich ist auch deren endliche Vereinigung m j=1 j eine J Nullmenge, vergleiche hierzu die Bemerung (c. Also existieren endlich viele uader 1, 2,..., r mit m j j=1 Insgesamt haben wir damit und S 1(f r r int( j und µ( j < ε 2. j=1 j A µ( j + j=1 [ ] [ r ] int( j int( j j A j=1 r µ( j < ε 2 + ε 2 = ε, j=1 so dass gerade die Behauptung folgt. Umgeehrt sei jetzt vorausgesetzt, dass S(f eine L Nullmenge ist. Wir verifizieren die Integrierbareit von f, indem wir das Integrabilitätsriterium von Riemann nachweisen: Zu jedem ε > 0 existiert eine Partition von mit O P (f U P (f < ε. Sei also ε > 0 beliebig gegeben. Sei ferner γ > 0 eine nach Voraussetzung existierende Konstante mit f(x γ für alle x. Wir wählen dann ein ε > 0 mit ε ( µ( + 2γ < ε. Zu diesem ε gibt es, da S(f eine L Nullmenge ist, höchstens abzählbar viele offene uader mit S(f und µ( < ε. Zu jedem x S(f hingegen existiert aus Stetigeitsgründen eine offene Kugel U x := B δx (x mit f(x f(ξ < ε 2 für alle ξ B δ x (x (abgeschlossene Kugel. Also ist x S(f eine offene Überdecung von. Da aber als ompater uader vorausgesetzt war, reichen bereits endlich viele Mengen U x 1, 2,..., r, U x1, U x2,...,u xs

21 15.4. DER SATZ VON FUBINI 25 aus, um zu überdecen. Wir wählen nun eine Partition von in gewisse uader Z 1, Z 2,..., Z t derart, dass für jedes = 1,...,t stets Z j oder Z U xj gilt für einen geeigneten Index j bzw. x j. Bei hinreichender Feinheit der Partition ist eine solche Zerlegung von offenbar immer zu finden. Setzen wir wieder m := inf x Z f(x, M := sup x Z f(x = 1,...,t und definieren die beiden Indexmengen K 1 := { {1,...,t} Z j für einen Index j }, K 2 := {1,...t} \ K 1, so dass insbesondere zu jedem K 2 ein Index x j mit Z U xj existiert, so haben wir offenbar Damit folgt nun M m 2γ K 1, M m ε K 2. O P (f U P (f = K 1 (M m µ(z + K 2 (M m µ(z 2γµ(Z + εµ(z K 1 K 2 2γ ε + µ( ε = ( 2γ + µ( ε < ε und somit die zu zeigende Riemann Integrierbareit von f auf. Aus dem Integrabilitätsriterium von Lebesgue ergibt sich insbesondere nochmals das schon aus dem Satz beannte Resultat, dass stetige Funtionen über ompate uader stets Riemann integrierbar sind Der Satz von Fubini Die Definition des Riemann Integrals über einen uader eignet sich nur selten für die tatsächliche Berechnung des gesuchten Integrals. Gleiches gilt für alle uns beannten Kriterien, die mehr von theoretischem Interesse sind und insbesondere in den Beweisen verschiedener Resultate auftreten.

22 26 KAPITEL 15. INTEGRATION ÜBER UADER IM R N Für die pratische Berechnung von Integralen über uadern benutzt man meistens den Satz von Fubini, den wir in diesem Abschnitt besprechen wollen. Dieser führt das n- dimensionale Integral zurüc auf n eindimensionale Integrationen. Wir formulieren dieses Resultat zunächst für den zweidimensionalen Fall n = 2, der aber schon das Wesentliche der Methode enthält. Lemma ( Satz von Fubini Spezialfall R 2 Sei f : R 2 R integrierbar auf dem ompaten uader Dann gelten die folgenden Aussagen: = { (x, y R 2 a x b, c y d }. (a Existiert F(x := d f(x, ydy für jedes x [a, b], so gilt c b b ( d f(x, yd(x, y = F(xdx = f(x, ydy dx, a insbesondere existiert das auf der rechten Seite auftretende iterierte Integral. (b Existiert G(y := b f(x, ydx für jedes y [c, d], so gilt a d d ( b f(x, yd(x, y = G(ydy = f(x, ydx dy, c insbesondere existiert das auf der rechten Seite auftretende iterierte Integral. (c Existieren F und G für alle x [a, b] bzw. y [c, d], so ist b a ( d c f(x, ydy dx = d c a c ( b d.h., die Reihenfolge der Integrationen ist vertauschbar. a c a f(x, ydx dy, Beweis: Die Aussage (c folgt sofort aus (a und (b. Außerdem lässt sich Teil (b analog zur Aussage (a verifizieren, so dass wir lediglich den Teil (a beweisen werden. Zum Nachweis von (a definieren wir die Teilquader ij := { (x, y R 2 x i 1 x x i i = 1,..., m, y j 1 y y j j = 1,...,n }, wobei a = x 0 < x 1 <... < x m = b und c = y 0 < y 1 <... < y n = d Zerlegungen der beiden Teilintervalle [a, b] und [c, d] seien. Die ij bilden dann eine Partition P des uaders. Wir setzen wie üblich m ij := inf ij f(x, y und M ij := sup ij f(x, y.

23 15.4. DER SATZ VON FUBINI 27 Dann gilt für alle y [y j 1, y j ] und alle Zwischenpunte ξ i [x i 1, x i ] m ij f(ξ i, y M ij. Durch Integration über das Teilintervall [y j 1, y j ] ergibt sich hieraus (y j y j 1 m ij yj y j 1 f(ξ i, ydy (y j y j 1 M ij, wobei wir benutzt haben, dass F(x nach Voraussetzung existiert und dieses Integral damit auch auf jedem Teilintervall wohldefiniert ist. Multiplizieren wir jetzt mit (x i x i 1 und summieren dann über j und anschließend über i, so ergibt sich mit der weiter oben eingeführten Partition P U P (f = i,j m ij µ( ij = ( d i=1 c f(ξ i, ydy (x i x i 1 F(ξ i (x i x i 1 i=1 i,j M ij µ( ij = O P (f. Damit ist die Riemannsche Summe F(ξ i (x i x i 1 (15.4 i=1 bezüglich der Zerlegung a = x 0 < x 1 <... < x m = b von [a, b] eingeschlossen zwischen der Untersumme U P (f und der Obersumme O P (f. Nach Voraussetzung ist f aber integrierbar über. Also onvergiert die Riemannsche Summe (15.4, und zwar gegen das Integral Zusammen folgt womit alles bewiesen ist. f(x, yd(x, y = b a b a F(xdx. F(xdx = b a ( d c f(x, ydy dx, Das Lemma lässt sich sofort verallgemeinern auf n-dimensionale Integrale. Wir erhalten damit den nachstehenden Satz, dessen Beweis völlig analog zu dem des Lemmas durchgeführt werden ann und daher an dieser Stelle ausgelassen wird.

24 28 KAPITEL 15. INTEGRATION ÜBER UADER IM R N Satz ( Satz von Fubini Allgemeiner Fall Sei f : R n R integrierbar auf dem ompaten uader = {x R n a i x i b i i = 1,...,n}. Für jedes i {1,..., n} setzen wir außerdem i := {(x 1,...,x i 1, x i+1,..., x n a j x j b j j = 1,...,n mit j i}. Dann gelten die folgenden Aussagen: (a Existiert das Integral für jedes x i [a i, b i ], so ist f(xdx = i f(x 1,...,x i,...,x n d(x 1,..., x i 1, x i+1,...,x n, bi a i ( f(x 1,..., x i,...,x n d(x 1,...,x i 1, x i+1,...,x n dx i, i insbesondere existiert das auf der rechten Seite auftretende iterierte Integral. (b Existiert das Integral bi a i f(x 1,...,x i,...,x n dx i für jedes (x 1,...,x i 1, x i+1,...,x n i, so ist f(xdx = i ( bi a i f(x 1,..., x i,...,x n dx i d(x 1,...,x i 1, x i+1,...,x n, insbesondere existiert das auf der rechten Seite auftretende iterierte Integral. Der Satz von Fubini lässt sich suzessive anwenden, um n-dimensionale Integrale auf insgesamt n eindimensionale Integrationen zu reduzieren, wobei natürlich die jeweiligen Voraussetzungen erfüllt sein müssen. Wir illustrieren dies an einigen Beispielen. Beispiel (a Seien f : R 2 R definiert durch f(x, y := x 2 xy und := [0, 1] [ 2, 3]. Dann ist f stetig und somit insbesondere integrierbar über. Aus dem Satz von Fubini folgt nun einerseits f(x, yd(x, y = = ( 3 (x 2 xydy 2 [ x 2 y 1 2 xy2 ] 3 2 dx dx

25 15.4. DER SATZ VON FUBINI 29 = 1 0 (5x 2 52 x dx = = 5 12 und andererseits (bei Vertauschung der Integrationsreihenfolge f(x, yd(x, y = = = = ( 1 0 (x 2 xydx dy ] 1 [ 1 3 x3 1 2 x2 y ( y dy Die Ergebnisse stimmen also überein, was wegen des Satzes von Fubini auch lar ist, da die jeweils auftretenden eindimensionalen Integrale aus Stetigeitsgründen beide existieren. (b Wir illustrieren hier die suzessive Anwendung des Satzes von Fubini mittels eines dreidimensionalen Beispiels. Seien dazu Mit dy 0 f(x, y, z := x + y + z und := [0, 2] [0, 1] [2, 4]. folgt aus dem Satz von Fubini zunächst z := {(x, y 0 x 2, 0 y 1} (x + y + zd(x, y, z = 4 Das innere Integral wiederum önnen wir zerlegen in z (x + y + zd(x, y = ( (x + y + zd(x, y dz. z ( 2 0 (x + y + zdx dy. Insgesamt erhalten wir damit (x + y + zd(x, y, z = 4 ( 1 ( 2 (x + y + zdx dy dz 2 0 0

26 30 KAPITEL 15. INTEGRATION ÜBER UADER IM R N = = = 18, ( 1 (2 + 2y + 2zdy dz 0 (3 + 2zdz wobei man wiederum beachte, dass aus Stetigeitsgründen die Voraussetzungen des Satzes von Fubini jeweils erfüllt sind. (c Als Warnung geben wir jetzt noch ein Beispiel an, wonach aus der Existenz eines iterierten Integrals noch nicht auf die Existenz des eigentlich gesuchten Integrals geschlossen werden ann. Sei dazu f : R 2 R definiert durch { 1, falls y, f(x, y := 2x, falls y /. Betrachte ferner den uader := [0, 1] [0, 1]. Für jedes feste y [0, 1] gilt dann 1 0 f(x, ydx = 1, (15.5 denn für y haben wir f(x, y = 1 für alle x [0, 1] und daher (15.5, während wir für y / aus f(x, ydx = 2xdx = x 2 = ebenfalls die Gültigeit von (15.5 erhalten. Aus (15.5 wiederum beommen wir für das iterierte Integral f(x, ydxdy = 1. Insbesondere existiert das iterierte Integral also. Andererseits ist f über nicht integrierbar, denn für jede Partition P von mit 0 = x 0 < x 1 <... < x m = 1 und 0 = y 0 < y 1 <... < y n = 1 und δ(p 0 erhalten wir 0 U P (f = i,j min{1, 2x i 1 }(x i x i 1 (y j y j 1 = min{1, 2x i 1 }(x i x i 1 i = 2 x i 1 (x i x i 1 + (x i x i 1 x i x i 1 > 1 2

27 15.4. DER SATZ VON FUBINI 31 1/2 2 xdx = 3 4 und O P (f = i,j = i max{1, 2x i }(x i x i 1 (y j y j 1 max{1, 2x i }(x i x i 1 = (x i x i xi< 1 xi xdx = 5 4, 1/2 x i (x i x i 1 so dass f nicht integrierbar sein ann. Hierbei wurde in den beiden Grenzübergängen jeweils ausgenutzt, dass es sich einerseits um eine Telesopsumme und andererseits um eine Riemannsche Summe handelt, wobei noch zu beachten ist, dass die Feinheit der Zerlegung gegen Null geht. Der Begriff der Integrierbareit lässt sich auf vetorwertige Funtionen erweitern. Definition Seien R n ein uader und f : R m eine gegebene Abbildung mit Komponentenfuntionen f i : R (i = 1,...,m. Dann heißt f integrierbar auf, wenn alle f i auf integrierbar sind. In diesem Fall setzen wir ( f(xdx = f 1 (x,..., f n (x und bezeichnen diesen Ausdruc als das Integral von f. Viele der bisher bewiesenen Resultate, beispielsweise die Linearität des Integrals, lassen sich auf triviale Art und Weise auf das Integral für vetorwertige Funtionen übertragen. Wir verzichten hier auf die Einzelheiten. Wir wollen im Folgenden noch einige wichtige Konsequenzen des Satzes von Fubini herleiten. Dazu benötigen wir zwei neue Klassen von Funtionen, die daher zunächst eingeführt werden müssen. In diesem Zusammenhang sei daran erinnert, dass wir in unserer Definition einer differenzierbaren Funtion f : Ω R m den Definitionsbereich Ω R n stets als offen vorausgesetzt haben, da es ein Analogon der einseitigen Ableitung im Falle n > 1 nicht gibt (die Existenz der partiellen Ableitungen impliziert beanntlich nicht die Differenzierbareit, schließlich ann man sich dem Rand der Menge Ω im Allgemeinen aus beliebig vielen verschiedenen Richtungen annähern. Aus diesem Grunde muss in

28 32 KAPITEL 15. INTEGRATION ÜBER UADER IM R N der nachstehenden Definition erst einmal erlärt werden, was wir unter der Menge aller differenzierbaren Funtionen auf dem Abschluss Ω von Ω verstehen wollen. Definition Für eine offene Menge Ω R n sei C 1 (Ω die Menge aller stetig differenzierbaren Funtionen f : Ω R derart, dass sich f und alle partiellen Ableitungen f xi (i = 1,..., n stetig auf Ω fortsetzen lassen. Hiermit definieren wir C 1 0(Ω := C 1 0(Ω, R := { f : Ω R f C 1 (Ω und f(x = 0 für alle x Ω }. Für eine vetorwertige Abbildung f : Ω R m schreiben wir f C 1 (Ω := C 1 (Ω, R m, wenn alle Komponentenfuntionen f i zu C 1 (Ω gehören. In Verallgemeinerung der obigen Definition bezeichnet man mit C (Ω oder C (Ω, R die Menge aller -mal stetig differenzierbaren Funtionen f : Ω R, für die sich f und alle partiellen Ableitungen D α f mit α := α α n stetig auf Ω fortsetzen lassen, wobei α = (α 1,...,α n ein Multi Index ist und D α f(x := α f(x x α 1... x α n eine partielle Ableitung der Ordnung α bezeichnet. Für vetorwertige Funtionen f : Ω R m werden die Ausdrüce C (Ω := C (Ω, R m wieder omponentenweise definiert. Wir schreiben manchmal auch f C (A für eine abgeschlossene Menge A R n. Damit ist dann die Menge aller auf dem Inneren von A stetig differenzierbaren Funtionen gemeint, die sich mitsamt ihren partiellen Ableitungen stetig auf den Rand A fortsetzen lassen. Entsprechend ist f C (A zu interpretieren. Zur Formulierung des nächsten Resultates benötigen wir schließlich noch den Begriff der Divergenz. Definition Seien Ω R n und f : Ω R n (partiell differenzierbar. Dann heißt der Ausdruc divf(x := f 1 (x f n (x, x 1 x n die Divergenz von f in x. Nach diesen Vorbereitungen sind wir nun in der Lage, die folgenden Verallgemeinerungen der Regel der partiellen Integration zu beweisen, wobei wir mit D j f(x := D xj f(x die partiellen Ableitungen von f im Punte x bezeichnen. Satz ( Verallgemeinerte partielle Integration über uader Sei R n ein abgeschlossener uader. Dann gelten: (a Für jedes f C 1 0 (, R ist D jf(xdx = 0 für alle j = 1,..., n. (b Für alle f C 1 0(, R und g C 1 (, R gilt D jf(x g(xdx = f(x D j g(xdx für alle j = 1,..., n.

29 15.4. DER SATZ VON FUBINI 33 (c Für jedes f C0 1(, Rn gilt divf(xdx = 0. Beweis: (a Da ein abgeschlossener uader ist, existieren Intervalle I j = [a j, b j ] mit = I 1... I n. Wir schreiben = I 1 1 mit 1 := I 2... I n sowie x = (x 1, y für x mit x 1 I 1 = [a 1, b 1 ] und y 1. Aus dem Satz von Fubini sowie dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung folgt dann ( b1 f [ D 1 f(xdx = (x 1, ydx 1 dy = f(b1, y f(a 1, y ] dy = 0 1 a 1 x 1 1 wegen f(x = 0 für alle x und (b 1, y, (a 1, y. Für j = 2,..., n verläuft der Beweis analog. (b Setze h := f g. Dann ist h C 1 0 (, R und wegen Teil (a somit D jh(xdx = 0 für jedes j = 1,..., n. Aus D j h(x = D j f(x g(x + f(x D j g(x (Produtregel folgt nun die Behauptung. (c Die Aussage folgt unmittelbar aus dem Teil (a und der Definition