4 Das Riemann-Integral im R n

Transkript

1 $Id: nintegral.tex,v /11/20 16:08:44 hk Exp hk $ 4 Das Riemann-Integral im R n 4.1 Das n-dimensionale Riemann-Integral In der letzten Sitzung hatten wir die Definition des n-dimensionalen Riemann-Integrals durchgeführt. Gegeben war eine auf einem uader R n definierte, beschränkte Funktion f : R. Zu jeder Zerlegung α des uaders hatten wir dann Unter- und Obersummen S(f; α) = m j vol( j ), S(f; α) = M j vol( j ) eingeführt, wobei m j das Infimum von f auf j und M j das Supremum von f sind. Jede Untersumme ist kleiner als jede Obersumme, ist also β eine Zerlegung von so konnten wir das Unterintegral als Supremum f = sup{s(f; α) α ist Zerlegung von } S(f; β) einführen, und dann das Oberintegral als Infimum f = inf{s(f; α) α ist Zerlegung von } definieren. Die Funktion f hieß dann integrierbar wenn Ober- und Unterintegral übereinstimmen, und dieser gemeinsame Wert ist dann das Riemann-Integral. Am Ende hatten wir dann noch eine ganze Reihe äquivalenter Formulierungen des Riemann- Integrals festgehalten. Zwei davon sind besonders wichtig. Zum einen ist die Funktion f genau dann Riemann-integrierbar wenn sich Unter- und Obersummen beliebig nahe kommen, wenn es also für jedes ɛ > 0 stets eine Zerlegung α von mit S(f; α) S(f; α) < ɛ gibt. Nach Lemma 1.(f) kann man diese Differenz auch als S(f; α) S(f; α) = (f; j ) vol( j ) f 9-1

2 schreiben, wobei (f; j ) = sup x,y j f(x) f(y) beschreibt wie stark sich f auf j ändert. In dieser Sichtweise bedeutet die Riemann- Integrierbarkeit von f also das die Funktion f nicht zu stark oszilliert. Ebenfalls gleichwertig zur Riemann-Integrierbarkeit war die Konvergenz der Riemannsummen, d.h. die Funktion f ist genau dann Riemann-integrierbar wenn für jede Folge (ζ k ) k N von Zerteilungen des uaders deren Feinheiten eine Nullfolge bilden, die Folge der zugehörigen Riemannsummen (R(f; ζ k )) k N konvergiert. All diese Folgen konvergieren dann gegen das Integral von f, also lim δ(ζ k) = 0 = lim R(f; ζ k ) = f(x) dx. k k Bisher kennen wir nur einen Beispieltyp Riemann-integrierbarer Funktionen, war A ein weiterer uader so war die charakteristische Funktion χ A von A Riemannintegrierbar mit χ A (x) dx = vol(a). Der Beweis dieser Tatsache beruhte auf einer direkten Konstruktion geeigneter Zerlegungen von. Ist A nicht ausgeartet und ɛ > 0, so hatten wir uns überlegt das es eine Zerlegung α von gibt, die zum einen A als einen ihrer Teilquader enthält, also A = k für ein k I α und zusätzlich k A j vol( j ) < ɛ erfüllt. Ist A ausgeartet und ɛ > 0, so konnten wir eine Zerlegung α von mit A j vol( j ) < ɛ finden. Es ist hilfreich sich klarzumachen das all diese Begriffe invariant unter beliebigen Vertauschungen der Koordinaten im R n sind, diese Tatsache erlaubt es dann bei Bedarf die Koordinaten x 1,..., x n passend anzuordnen. Sei nämlich π S n eine beliebige Permutation der Koordinaten des R n. Für alle a, b R n haben wir dann π([a, b]) = [π(a), π(b)] und somit auch vol(π([a, b]) = vol([a, b]), d.h. jeder uader wird zu einem volumengleichen uader umgeordnet. Sei nun R n ein nicht ausgearteter uader. Ist α eine Zerlegung von, so ist π(α) := (α π 1 (k)) 1 k n eine Zerlegung von π() mit I π(α) = {π(j) j I α } = π(i α ) und für jedes j I α gilt 9-2

3 π(α),π(j) = π( α,j ). Ist weiter f : π() R eine beschränkte Funktion, so ist auch f π : R beschränkt und für jede Zerlegung α von gilt S(f; π(α)) = ( ) inf f(x) vol( π(α),j ) x π(α),j j I π(α) = ( ) inf f(π(x)) vol( α,j ) x α,j = S(f π; α) und analog S(f; π(α)) = S(f π; α). Da alle Zerlegungen von π() diese Form haben folgt weiter auch f = f π und f = f π, π() d.h. f ist genau dann Riemann-integrierbar wenn f π Riemann-integrierbar ist, und in diesem Fall gilt f = f π, oder in Koordinaten ausgeschrieben π() f(x 1,..., x n ) d(x 1,..., x n ) = f(x π(1),..., x π(n) ) d(x 1,..., x n ). π() Als nächsten Schritt wollen wir uns jetzt einen größeren Vorrat Riemann-integrierbarer Funktionen verschaffen und einsehen das jede stetige Funktion definiert auf einem nicht ausgearteten uader auch Riemann-integrierbar ist. Der Beweis dieser Tatsache ist analog zum eindimensionalen Fall in II. 2.Satz 8 und wir beginnen mit einer Verallgemeinerung des Lemmas über die gleichmäßige Stetigkeit stetiger Funktionen auf Intervallen II. 2.Lemma 7. Lemma 4.3: Seien E, F zwei normierte Räume, C E kompakt und f : C F eine stetige Funktion. Dann gibt es zu jedem ɛ > 0 ein δ > 0 so, dass für alle x, y C mit x y < δ stets auch f(x) f(y) < ɛ ist. Beweis: Sei ɛ > 0 gegeben. Sei x C. Da f in x stetig ist, existiert ein δ x > 0 so, dass für jedes y C mit y x < δ x stets f(y) f(x) < ɛ/2 gilt. Wegen C x C B δ x (x) existieren nach II. 8.Satz 2 endlich viele Punkte x 1,..., x n C mit C n B δ xk /2(x k ). Setze nun π() δ := 1 2 min 1 k n δ x k, was wir im Fall n = 0 etwa als δ = 1 interpretieren. Seien jetzt x, y C mit x y < δ gegeben. Wegen C n B δ xk /2(x k ) existiert dann ein 1 k n mit x x k < δ xk /2 < δ xk, also ist auch f(x) f(x k ) < ɛ/2. Weiter ist y x k y x + x x k < δ + δ xk /2 δ xk, also ist auch f(y) f(x k ) < ɛ/2. Insgesamt ist damit f(x) f(y) f(x) f(x k ) + f(y) f(x k ) < ɛ. 9-3

4 Man bezeichnet die im Lemma nachgewiesene Eigenschaft (ɛ > 0) (δ > 0) (x, y C) : x y < δ = f(y) f(x) < ɛ auch als die gleichmäßige Stetigkeit der Funktion f. Ein uader R n ist abgeschlossen und beschränkt, also nach dem Satz von Heine Borel II. 8.Satz 4 auch kompakt. Damit ist jede stetige Funktion auf einem uader im R n auch gleichmäßig stetig, und dies erlaubt uns die Oszillation einer stetigen Funktion auf den Teilquadern ausreichend feiner Zerlegungen zu kontrollieren. Es ist hierzu technisch bequem auf dem R n die in II. 4.5 eingeführte Maximumsnorm x = max 1 i n x i (x R n ) zu verwenden, diese hat unter anderem den Vorteil das ihre abgeschlossenen Normkugeln Würfel, also spezielle nicht ausgeartete uader, sind. Ein Würfel der Kantenlänge l > 0 definieren wir dabei als einen nicht ausgearteten uader W R n der die Form W = [a, b] mit a, b R n und b i a i = l für alle 1 i n hat. Das Volumen eines solchen Würfels ist dann n vol(w ) = (b i a i ) = l n. i=1 Sind jetzt z R n und r > 0 gegeben, so ist die abgeschlossene Normkugel bezüglich der Maximumsnorm gegeben als B r (z) = {x R n : x z r} = {x R n (1 i n) : x i z i r} n = {x R n (1 i n) : x i [z i r, z i + r]} = [z i r, z i + r], es handelt sich also um einen Würfel der Kantenlänge 2r. Damit kommen wir nun zu unserem angekündigten Satz über die Integrierbarkeit stetiger Funktionen. Satz 4.4 (Stetige Funktionen sind Riemann-integrierbar) Seien n N mit n 1 und R n ein nicht ausgearteter uader. Dann ist jede stetige Funktion f : R auch Riemann-integrierbar. Beweis: Sei f : R n eine stetige Funktion. Sei ɛ > 0. Nach Lemma 3 existiert dann ein δ > 0 so, dass für alle x, y mit x y < δ stets f(x) f(y) < ɛ/ vol() gilt. Wähle eine Zerlegung α von mit δ(α) < δ. Sei j I α. Schreiben wir dann j = [a, b] mit a, b R n, so gilt für alle 1 k n stets a k < b k und b k a k δ(α k ) δ(α), also ist für alle x, y j auch y k x k b k a k δ(α). Für x, y j folgt somit x y = max 1 k n x k y k δ(α) < δ, und somit ist f(x) f(y) < ɛ/ vol(). Dies zeigt (f; j ) < ɛ/ vol( j ). Insgesamt folgt mit Lemma 1.(f) S(f; α) S(f; α) = (f; j ) vol( j ) 9-4 ( vol( j ) ) i=1 ɛ vol() = ɛ.

5 Nach Satz 2 ist f Riemann-integrierbar. Damit steht uns bereits ein recht große Menge Riemann-integrierbarer Funktionen zur Verfügung. Jetzt wollen wir beginnen die einfachen Eigenschaften des Riemann- Integrals zu besprechen. Die Untersuchung der etwas komplizierteren Eigenschaften des n-dimensionalen Riemann-Integrals beginnt dann im nächsten Abschnitt, wo wir insbesondere sehen werden wie man solche Integrale berechnen kann. Wir teilen die Grundeigenschaften des Riemann-Integrals in zwei Gruppen ein, einmal die algebraischen Eigenschaften die sich auf den Integranden beziehen und zum anderen die geometrischen Eigenschaften die sich auf den Integrationsbereich beziehen. Die Aussagen der ersten Gruppe sind völlig analog zum eindimensionalen Fall und werden im folgenen Lemma zusammengestellt. Lemma 4.5 (Algebraische Grundeigenschaften des Rieman-Integrals) Seien n N mit n 1, R n ein nicht ausgearteter uader und f, g : R zwei Riemann-integrierbare Funktionen. (a) Die Funktion f + g ist Riemann-integrierbar mit (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + (b) Die Funktion f g ist Riemann-integrierbar. g(x) dx. (c) Für jedes c R ist die Funktion cf : R Riemann-integrierbar mit cf(x) dx = c f(x) dx. (d) Gilt f(x) g(x) für alle x, so ist auch f(x) dx g(x) dx. (e) Der Betrag f ist wieder Riemann-integrierbar mit f(x) dx f(x) dx. Beweis: (a) Für jede Zerteilung ζ = (α, s) von haben wir R(f + g; ζ) = (f(s j ) + g(s j )) vol( j ) = f(s j ) vol( j ) + g(s j ) vol( j ) = R(f; ζ) + R(g; ζ). 9-5

6 Ist also (ζ k ) k N eine Folge von Zerteilungen von mit (δ(ζ k )) k N 0 so folgt mit Satz 2 angewandt auf f und g lim R(f + g; ζ k) = lim R(f; ζ k ) + lim R(g; ζ k ) = f + g. k k k Nach Satz 2 angewandt auf die beschränkte Funktion f + g ist f + g damit Riemannintegrierbar mit (f + g) = f + g. (c) Für jede Zerteilung ζ = (α, s) von haben wir R(cf; ζ) = cf(s j ) vol( j ) = c f(s j ) vol( j ) = cr(f; ζ). Ist also (ζ k ) k N eine Folge von Zerteilungen von mit (δ(ζ k )) k N 0 so folgt mit Satz 2 angewandt auf f lim R(cf; ζ k) = c lim R(f; ζ k ) = c f. k k Nach Satz 2 diesmal angewandt auf die beschränkte Funktion cf ist cf damit Riemannintegrierbar mit cf = c f. (d) Für jede Zerteilung ζ = (α, s) von gilt R(f; ζ) = f(s j ) vol( j ) g(s j ) vol( j ) = R(g; ζ). Ist also (ζ k ) k N eine Folge von Zerteilungen von mit (δ(ζ k )) k N 0 so folgt mit Satz 2 f = lim R(f; ζ k ) lim R(g; ζ k ) = g. k k (b) Da f und g beschränkt sind existieren A, B > 0 mit f(x) A und g(x) B für alle x. Wieder nach Satz 2 gibt es Zerlegungen α, β von mit S(f; α) S(f; α) < ɛ 2B und S(g; β) S(g; β) < ɛ 2A. Wähle eine gemeinsame Verfeinerung γ von α und β, also eine Zerlegung γ von mit α, β γ. Sei j I γ. Für alle x, y γ,j gilt dann f(x)g(x) f(y)g(y) f(x) f(y) g(x) + f(y) g(x) g(y) (f; j ) B + A (g; j ), 9-6

7 und dies bedeutet (fg; j ) = sup x,y j f(x)g(x) f(y)g(y) (f; j ) B + A (g; j ). Durch Summation dieser Ungleichungen folgt mit Lemma 1.(a,f) S(fg; γ) S(fg; γ) = j I γ (fg; j ) vol( j ) B (f; j ) vol( j ) + A (g; j ) vol( j ) j I γ j I γ = A (S(f; γ) S(f; γ)) + B (S(g; γ) S(g; γ)) A (S(f; α) S(f; α)) + B (S(g; β) S(g; β)) < ɛ, also ist f g nach Satz 2 Riemann-integrierbar. (e) Sei ɛ > 0 gegeben. Nach Satz 2 und Lemma 1.(f) gibt es eine Zerlegung α von mit (f; j ) vol( j ) < ɛ. Ist j I α, so gilt für alle x, y j f(x) f(y) f(x) f(y) (f; j ) also ( f ; j ) = sup x,y j f(x) f(y) (f; j ), und Summation dieser Ungleichungen liefert wieder nach Lemma 1.(f) S( f ; α) S( f ; α) = ( f ; j ) vol( j ) (f; j ) vol( j ) < ɛ. Nach Satz 2 ist f Riemann-integrierbar. Für jede Zerteilung ζ = (α, s) von gilt weiter R(f; ζ) = f(s j ) vol( j ) f(s j ) vol( j ) = R( f ; ζ), wählen wir also eine Folge (ζ k ) k N von Zerteilungen von mit (δ(ζ k )) k N 0 so ergibt Satz 2 f(x) dx = lim R(f; ζ k ) = lim R(f; ζ k ) lim R( f ; ζ k ) = f(x) dx. k k k 9-7

8 Die Aussagen (a) und (c) des Lemmas können wir auch so zusammenfassen das die Menge R() aller Riemann-integrierbaren Funktionen f : R einen reellen Vektorraum bildet und das die Integration : R() R eine lineare Abbildung ist. Die Ungleichung in (e) wird oftmals auch als die Dreiecksungleichung für Integrale bezeichnet. Damit haben wir die algebraischen Grundeigenschaften behandelt und kommen nun zu den geometrischen Aussagen über das n-dimensionale Riemann-Integral. Hauptsächlich wollen wir die aus dem eindimensionalen Fall bekannte Additivität im Integrationsbereich, also b a f(x) dx + c b f(x) dx = c a f(x) verallgemeinern. Diese wird im n-dimensionalen Fall etwas komplizierter da uader komplizierter zueinander liegen können als Intervalle. Es stellt sich als technisch günstig heraus dieses Problem mit einer anderen Fragestellung zu vermischen. Im eindimensionalen Fall änderte sich das Integral nicht wenn der Integrand in endlich vielen Punkten willkürlich abgeändert wurde. Etwas entsprechendes gilt auch in n Dimensionen, nur das wir die Funktion auch auf gewissen unendlichen Mengen abändern können. Unterscheiden sich zwei Funktionen im R 2 beispielsweise nur in den Punkten auf einer Geraden, so sind ihre Integrale bereits gleich. Solche Punktmengen die auf das Riemann-Integral keinen Einfluss haben wollen wir Nullmengen nennen, oder etwas spezifischer Jordansche Nullmengen. Als exakte Definition dieses Begriffs verwenden wir: Definition 4.8: Sei n N mit n 1. Eine beschränkte Teilmenge N R n heißt eine Jordansche Nullmenge wenn es für jedes ɛ > 0 stets endlich viele uader 1,..., r R n mit r r N k und vol( k ) < ɛ gibt. In der Definition einer Jordanschen Nullmenge können die überdeckenden uader völlig beliebig sein, sie dürfen ausgeartet sein und sie können sich in inneren Punkten schneiden. Damit ist beispielsweise jeder ausgeartete uader N R n eine Jordansche Nullmenge, da wir ihn mit sich selbst überdecken können. Im folgenden Lemma werden wir unter anderem einsehen das man die überdeckenden uader bei Bedarf alle als nicht ausgeartet mit paarweise ausgearteten Durchschnitt wählen kann, liegt unsere Menge N in einem nicht ausgearteten uader, so kann sogar erreicht werden das alle überdeckenden uader zu einer Zerlegung von gehören. Es ist hilfreich diesem Lemma zwei kleine, und auch recht offensichtliche, Hilfsbeobachtungen vorauszuschicken. Angenommen wir haben einen nicht ausgearteten uader R n und einen weiteren in enthaltenen uader. Wir wollen einsehen das vol( ) vol() ist. Im Fall = ist dies klar, wir können also annehmen. Schreiben wir = [a, b] und = [c, d] mit a, b, c, d R n, so ist für jedes 1 i n stets [c i, d i ] = {x i x } {x i x } = [a i, b i ], 9-8

9 also gilt auch a i c i d i b i, und insbesondere ist d i c i b i a i. Hiermit folgt n n vol( ) = (d i c i ) (b i a i ) = vol(). i=1 Für die zweite Hilfsaussage betrachten wir zwei uader R n und R m. Dann gibt es also a, b R n und a, b R m mit i=1 = [a, b ] und = [a, b ]. Für das cartesische Produkt der beiden Mengen und folgt mit a := (a, a ) R n+m und b := (b, b ) R n+m { := = (x, y) R n R m (1 k n) : a k x k b k, } (1 k m) : a k y k b k = {x R n+m (1 k n + m) : a k x k b k } = [a, b], d.h. R n+m ist wieder ein uader. Sind dabei,, so ist auch und wir haben n+m n m vol() = (b k a k ) = (b k a k) (b k a k) = vol( ) vol( ), und im Fall = oder = gilt diese Gleichung ebenfalls. Insbesondere ist genau dann nicht ausgeartet wenn und beide nicht ausgeartet sind. Nach diesen Vorarbeiten kommen wir zu den Eigenschaften Jordanscher Nullmengen, die uns dann auch die Behandlung weiterer Beispiele erlauben werden. Lemma 4.6 (Grundeigenschaften Jordanscher Nullmengen) Sei n N mit n 1 gegeben. (a) Ist N R n eine Jordansche Nullmenge, so ist auch jede Teilmenge von N eine Jordansche Nullmenge. (b) Sind N 1,..., N r R n Jordansche Nullmengen so ist auch r N k eine Jordansche Nullmenge. (c) Seien R n ein nicht ausgearteter uader und N eine Teilmenge. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1. Die Menge N ist eine Jordansche Nullmenge. 2. Für jedes ɛ > 0 gibt es eine Zerlegung α von so, dass für jede Zerlegung β von mit β α stets vol( β,j ) < ɛ gilt. j I β β,j N 9-9

10 3. Für jedes ɛ > 0 gibt es eine Zerlegung α von und eine Teilmenge J I α mit N α,j und vol( α,j ) < ɛ. j J j J (d) Seien R n ein nicht ausgearteter uader, N R n eine Jordansche Nullmenge und f, g : R zwei beschränkte Funktionen mit f \N = g \N. Dann ist f genau dann Riemann-integrierbar wenn g Riemann-integrierbar ist und in diesem Fall gilt f = g. (e) Sind m N mit m 1, R n ein nicht ausgearteter uader und f : R m eine stetige Funktion, so ist der Graph N := {(x, f(x)) x } eine Jordansche Nullmenge im R n+m. (f) Sind 1 m < n und M R n eine m-dimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit des R n, so ist jede kompakte Teilmenge N M eine Jordansche Nullmenge. Beweis: (a,b) Klar. (c) (1)= (2). Sei ɛ > 0 gegeben. Da N eine Jordansche Nullmenge ist gibt es endlich viele uader 1,..., r R n mit N r k und r vol( k) < ɛ/2. Sei 1 k r. Dann ist auch k ein uader im R n und somit existiert eine Zerlegung α k von mit k k αk,j vol( αk,j) < vol( k ) + ɛ 2r. Wähle eine Zerlegung α von mit α k α für alle 1 k r. Schreibe J := {j I α α,j N }. Sei j J. Wegen α,j können wir dann ein x N α,j wählen und wegen x N r k existiert weiter ein 1 k(j) r mit x k(j). Da α k(j) α gilt existiert weiter ein φ(j) I αk(j) mit α,j αk,φ(j). Wegen x N k(j) α,j k(j) αk,φ(j) ist dabei auch k(j) αk,φ(j). Wir erhalten α,j N r vol( α,j ) = i I αk k αk,i r i I αk k αk,u vol( αk,i) < j J k(j)=k φ(j)=i r vol( α,j ) ( vol( k ) + ɛ 2r ) Ist β schließlich eine Zerlegung von mit β α, so haben wir auch vol( β,j ) vol( α,j ) < ɛ. α,j N r vol( k ) + ɛ 2 < ɛ. j I β β,j N 9-10

11 (2)= (3). Klar. (3)= (1). Klar. (d) Wir zeigen zunächst das f g gilt. Hierzu wähle eine Konstante A > 0 mit f(x) A und g(x) A für alle x. Für jedes x gilt dann auch g(x) = f(x) (f(x) g(x)) f(x) 2A. Sei ɛ > 0. Nach (c) existiert eine Zerlegung α von mit vol( β,j ) < ɛ 4A j I β β,j N für jede Zerlegung β von mit β α. Weiter gibt es nach Definition des Unterintegrals eine Zerlegung β von mit S(f; β) > f ɛ 2 und wir wählen eine weitere Zerlegung γ von mit γ α, β. Nach Lemma 1.(a) ist dann S(f; γ) S(f; β) > f ɛ 2. Sei j I γ. Dann können zwei mögliche Fälle auftreten. Entweder ist N γ,j =, und dann gilt f(x) = g(x) für alle x γ,j, also ist auch m γ,j (f) = inf f(x) = inf g(x) = m γ,j (g). x γ,j x γ,j Andernfalls ist N γ,j und dann gilt für alle x γ,j zumindest g(x) f(x) 2A m γ,j (f) 2A also auch Wir erhalten m γ,j (g) = S(g; γ) = j I γ m γ,j (g) vol( γ,j ) inf g(x) m γ,j (f) 2A. x γ,j m γ,j (f) vol( γ,j ) + j I γ N γ,j = j I γ N γ,j (m γ,j (f) 2A) vol( γ,j ) = m γ,j (f) vol( γ,j ) 2A j I γ j I γ = S(f; γ) 2A j I γ N γ,j vol( γ,j ) > N γ,j 9-11 vol( γ,j ) f ɛ 2 2A ɛ 4A = f ɛ.

12 Es folgt g S(g; γ) > f ɛ. Da dies für jedes ɛ > 0 gilt ist damit g f und diese Zwischenbehauptung ist bewiesen. Wenden wir dies mit vertauschten Rollen von f und g an, so folgt auch f g und insgesamt ist damit f = g. Analog ergibt sich auch f = g, und damit ist genau dann f = f wenn g = g gilt, d.h. f ist genau dann Riemann-integrierbar wenn g dies ist. Weiter haben wir in diesem Fall auch f(x) dx = f = g = g(x) dx. (e) Sei ɛ > 0 gegeben. Nach Lemma 3 existiert ein δ > 0 so, dass für alle x, y mit x y < δ stets f(x) f(y) < 1 ɛ 2 m vol() =: θ ist. Wähle eine Zerlegung α von mit δ(α) < δ. Sei j I α und wähle ein z j j. Ist dann x j so gilt für alle 1 k n stets x k (z j ) k δ(α k ) δ(α), also ist auch x z j δ(α) < δ und somit haben wir f(x) f(z j ) < θ. Folglich ist f( j ) B θ (f(z j )) und da B θ (f(z j )) ein Würfel der Kantenlänge 2θ im R m ist, ist ein uader mit A j := j B θ (f(z j )) R n+m vol(a j ) = (2θ) m vol( j ) = ɛ vol() vol( j) und {(x, f(x)) x j } j f( j ) A j. Schließlich gelten und N = {(x, f(x)) x j } vol(a j ) = A j ɛ vol( j ) = ɛ. vol() Damit ist N eine Jordansche Nullmenge im R n+m. (f) Sei N M eine kompakte Teilmenge. Sei p N. Wie in 3 gezeigt lassen sich C 1 -Untermannigfaltigkeiten lokal als Graphen stetig differenzierbarer Funktionen schreiben, also existieren offene Mengen U R m, V R n, eine stetig differenzierbare Funktion f : U R n m und eine Permutation π S n mit p V und M V = π({(x, f(x)) x U}). Insbesondere existiert ein q U mit p = π(q, f(q)). Wähle einen nicht ausgearteten uader R m mit q U. Mit 3.Lemma 3 folgt das es eine offene Menge W p R n mit M W p = π({(x, f(x)) x }) gibt 9-12

13 und nach (e) ist N p := π({(x, f(x)) x }) R n eine Jordansche Nullmenge mit M W p N p. Wegen q ist p = π(q, f(q)) W p. Da N kompakt ist, existieren p 1,..., p r N mit N r W p k. Damit ist auch N r (M W pk ) und nach (a,b) ist N eine Jordansche Nullmenge. r N pk Wir hatten schon gesehen das jeder ausgeartete uader N R n eine Jordansche Nullmenge ist. Ist nun R n ein nicht ausgearteter uader, etwa = [a, b] mit a, b R n, so ist der Rand von = \ = n [a 1, b 1 ] [a k 1, b k 1 ] {a k, b k } [a k+1, b k+1 ] [a n, b n ] die Vereinigung von 2n ausgearteten uadern, also eine Jordansche Nullmenge. Weiter ist jede affine Hyperebene eine (n 1)-dimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit des R n und damit ist jede kompakte Teilmenge einer solchen Hyperebene eine Jordansche Nullmenge. Weiter sind Sphären nach einem Beispiel aus 3 ebenfalls (n 1)-dimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeiten des R n und da Sphären zusätzlich kompakt sind, sind sie somit ebenfalls Jordansche Nullmengen. Damit kommen wir schließlich zu den schon vor einiger Zeit angekündigten geometrischen Eigenschaften des n-dimensionalen Riemann- Integrals, und wollen auch hierfür eine kleine Hilfsbeobachtung vorausschicken. Gegeben seien zwei nicht ausgeartete uader, R n mit. Schreiben wir dann = [a, b] und = [c, d] mit a, b, c, d R n so haben wir bereits früher gesehen das a k c k < d k b k für jedes 1 k n gilt. Weiter sei eine Zerlegung α von gegeben. Sei 1 k n und schreibe α k = (t k0,..., t k,rk ). Dann definieren wir eine Zerlegung αk des Intervalls [a k, b k ] wie folgt: 1. Ist a k < c k < d k < b k, so sei α k := (a k, t k0,..., t k,rk, b k ) und für 1 j r k setzen wir φ k (j) := j + 1. Ist dann α k = (t k0,..., t k,r k +2 ), so gilt [t k,j 1, t kj ] = [t k,φ k (j) 1, t k,φ k (j) ] für jedes 1 j r k. 2. Ist a k = c k < d k < b k, so sei α k := (t k0,..., t k,rk, b k ) und für 1 j r k setzen wir φ k (j) := j. Dann erfüllt φ k wieder die im ersten Fall beschriebene Eigenschaft. 3. Ist a k < c k < d k = b k, so sei α k := (a k, t k0,..., t k,rk ) und für 1 j r k setzen wir φ k (j) := j +1. Dann erfüllt φ k erneut die im ersten Fall beschriebene Eigenschaft. 4. Ist a k = c k < d k = b k, so sei α k := α k und für 1 j r k setzen wir φ k (j) := j. Dann erfüllt φ k ein weiteres Mal die im ersten Fall beschriebene Eigenschaft. 9-13

14 Diese Konstruktion definiert uns eine Zerlegung α := (α k ) 1 k n und eine injektive Abbildung φ : I α I α ; j (φ k (j k )) 1 k n mit α,j = α,φ(j) für jedes j I α. Für j I α \φ(i α ) ist dagegen α,j ein ausgearteter uader. In diesem Sinne können wir jede Zerlegung von zu einer Zerlegung von ergänzen. Es gilt auch eine gewisse Umkehrung dieser Tatsache. Angenommen wir haben eine beliebige Zerlegung α von und ist eine Vereinigung von Teilquadern dieser Zerlegung, d.h. es gibt eine Menge J I α mit = j J α,j. Für jedes j I α \J ist dann α,j, denn andernfalls würde α,j einen der uader α,k mit k J in einem inneren Punkt schneiden. Weiter definieren die uader α,j mit j J eine Zerlegung α von für die es eine bijektive Abbildung φ : I α J mit α,j = α,φ(j) für jedes j I α gibt. Damit können wir jetzt die geometrischen Grundeigenschaften des Riemann-Integrals herleiten. Lemma 4.7 (Geometrische Grundeigenschaften des Riemann-Integrals) Seien n N mit n 1, R n ein nicht ausgearteter uader und f : R eine beschränkte Funktion. (a) Ist ein weiterer nicht-ausgearteter uader und gilt f(x) = 0 für alle x \, so ist f genau dann Riemann-integrierbar wenn f Riemann-integrierbar ist und in diesem Fall gilt f = (f ). (b) Ist f Riemann-integrierbar und ist ein weiterer nicht-ausgearteter uader, so ist auch f Riemann-integrierbar. (c) Sind 1, 2 zwei nicht ausgeartete uader mit = 1 2 und ist 1 2 ausgeartet, so ist f genau dann Riemann-integrierbar wenn f 1 und f 2 beide Riemann-integrierbar sind. In diesem Fall gilt f = (f 1 ) + 1 (f 2 ). 2 Beweis: (a) Wir haben bereits gesehen das der Rand N := eine Jordansche Nullmenge ist. Da f auf N von Null verschieden sein kann, führen wir die wieder beschränkte Hilfsfunktion { f(x), x / N, g : R; x 0, x N ein. Dann ist g(x) = 0 für alle x \( ). Sei α eine Zerlegung von und definiere die Zerlegung α von und die Abbildung φ : I α I α wie oben. Für jedes j I α \φ(i α ) gilt dann α,j ( ) =, also g(x) = 0 für alle x α,j, und somit sind auch m α,j(g) = M α,j(g) = 0. Für jedes j I α haben wir dagegen m α,j (g ) = inf g(x) = inf g(x) = m α x α,j x,φ(j)(g) α,φ(j) 9-14

15 und analog M α,j (g ) = M α,φ(j)(g). Für die zugehörigen Unter- und Obersummen folgt S(g; α ) = m α,j(g) vol( α,j) = m α,j (g ) vol( α,j ) = S(g ; α) und analog S(g; α ) = S(g ). Damit haben wir S(g ; α) = S(g; α ) g und S(g ; α) = S(g; α ) Da dies für jede Zerlegung α von gilt, sind somit (g ) g und (g ) Sei nun umgekehrt α eine Zerlegung von. Wir haben bereits früher eingesehen, dass es eine Zerlegung β von mit = β,i für ein i I β gibt, und schließlich wählen wir eine gemeinsame Verfeinerung γ von α und β, also eine Zerlegung γ von mit γ α und γ β. Nach Lemma 1.(a) gelten dann S(g; α) S(g; γ) und S(g; α) S(g; γ). Da = β,i wegen β γ eine Vereinigung von Teilquadern der Zerlegung γ ist, haben wir wie eingangs gesehen eine Zerlegung γ von und eine Bijektion φ : I γ J mit γ,j = γ,φ(j) für jedes j I γ. Außerdem gilt für alle j I γ \J stets γ,j N. Genau wie in der obigen Überlegung folgen hieraus S(g; γ) = S(g ; γ ) (g ) und S(g; γ) = S(g ; γ ) (g ) also insgesamt S(g; α) S(g; γ) (g ) und S(g; α) S(g; γ) (g ). Da dies für jede Zerlegung α von gilt, haben wir somit g (g ) und g (g ), Zusammengenommen mit der oben bewiesenen Abschätzungen haben wir damit g = (g ) und g = (g ), 9-15 g. g.

16 also ergibt Lemma 6.(d) die Äquivalenzen f ist Riemann-integrierbar g ist Riemann-integrierbar g = g (g ) = prime (g ) g ist Riemann-integrierbar f ist Riemann-integrierbar und in diesem Fall gilt f = g = (g ) = (f ). (b) Wir wissen bereits das die charakteristische Funktion χ : R Riemannintegrierbar ist, also ist nach Lemma 5.(b) auch f χ Riemann-integrierbar. Da für alle x \ stets f(x)χ (x) = 0 gilt, ergibt (a) jetzt auch die Riemann-Integrierbarkeit von f = (fχ ). (c) Ist f Riemann-integrierbar, so sind auch f 1 und f 2 nach (b) beide Riemannintegrierbar. Nun setze umgekehrt voraus das f 1 und f 2 Riemann-integrierbar sind. Sei k {1, 2} und betrachte die Funktion f k := fχ k : R. Für x \ k ist dann f k (x) = f(x)χ k (x) = 0 und f k k = f k ist Riemann-integrierbar, d.h. nach (a) ist auch f k Riemann-integrierbar mit f k = (f k k ) = (f k ). k k Nach Lemma 5.(a) ist jetzt auch f 1 + f 2 Riemann-integrierbar mit (f 1 + f 2 ) = f 1 + f 2 = (f 1 ) + (f 2 ). 1 2 Da N := 1 2 ausgeartet ist, ist N eine Jordansche Nullmenge und für alle x \N ist f(x) = f 1 (x) + f 2 (x), also ist nach Lemma 6.(d) auch die Funktion f Riemannintegrierbar mit f = (f 1 + f 2 ) = (f 1 ) + (f 2 )

17 4.2 Der Satz von Fubini Im vorigen Abschnitt haben wir das n-dimensionale Riemann-Integral definiert und eine ganze Reihe seiner grundlegenden Eigenschaften bewiesen. Bisher konnten wir aber nur ein einziges Beispiel wirklich berechnen, hatten wir einen nicht ausgearteten uader R n und einen weiteren uader A, so hatten wir gesehen das die charakteristische Funktion χ A : R Riemann-integrierbar ist mit χ A (x) dx = vol(a). Im diesen Abschnitt wollen wir jetzt eine Methode zur Berechnung n-dimensionaler Riemann-Integrale entwickeln. Bevor wir dabei den allgemeinen Satz aussprechen wollen wir zwei kleine Beispiele behandeln, um die Methode einmal zu demonstrieren. Angenommen wir haben einen nicht ausgearteten uader = [a, b] R n und eine stetige Funktion f : R. Der allgemeine Satz wird auch auf etwas allgemeinere Funktionen anwendbar sein, für unsere Beispiele reichen uns aber stetige Integranden. Nach Satz 4 ist die Funktion f Riemann-integrierbar, es gibt also ein Integral f(x) dx. Es stellt sich heraus, dass man dieses durch koordinatenweises Ausintegrieren bestimmen kann. Die Formel ist b1 b2 bn f(x 1,..., x n ) d(x 1,..., x n ) = f(x 1,..., x n ) dx n... dx 2 dx 1, a 2 a n a 1 das n-dimensionale Integral wird also auf n sukzessive zu berechnende eindimensionale Integrale zurückgeführt. Nehmen wir als konkretes Beispiel = [0, 2] [2, 3] und f(x, y) = x 2 + 2xy 2. Wir rechnen (x 2 + 2xy 2 ) d(x, y) = (x 2 + 2xy 2 ) dx dy = 3 2 ( ) y2 dy = ( ) = 84 3 = 28. Behandeln wir noch ein zweites, etwas komplizierteres Beispiel, nämlich f(x, y) = cos(xy) auf = [0, π] 2. Es ist π π π π sin(xy) cos(xy) d(x, y) = cos(xy) dx dy = [0,π] y dy = π 0 sin(πy) y dy = 0 π 2 wobei Si den in II. 2.5 eingeführten Integralsinus bezeichnet, also Si(x) = x 0 sin t t dt = n=0 ( 1) n (2n + 1) 2 (2n)! x2n+1. 0 sin t t dt = Si(π 2 ), 9-17