6 Fourierreihen und die Fouriertransformation

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1 $Id: fourier.tex,v /06/19 13:58:28 hk Exp $ $Id: hilbert.tex,v /06/19 07:00:55 hk Exp hk $ 6 Fourierreihen und die Fouriertransformation 6.4 Distributionen In der letzten Sitzung hatten wir begonnen die sogenannten Distributionen, oder verallgemeinerten Funktionen, einzuführen. Diese sollen es beispielsweise erlauben so etwas wie eine Diracsche Deltafunktion zu definieren, also eine Funktion δ x die ganz in einem einzigen Punkt konzentriert ist. Der Startpunkt zur exakten Definition des Distributionsbegriffs ist die Idee das für eine Distribution Λ einzelne Werte Λ(x) keinen Sinn haben, und Λ(x) überhaupt nur innerhalb von Integralen auftauchen soll. Man will also die verallgemeinerte Funktion Λ einführen nicht indem Werte Λ(x) definiert werden sondern indem Integrale Λ(x)φ(x) dx erklärt werden. Der Integrationsbereich ist dabei eine offene Menge im R n auf der unsere gewöhnlichen und verallgemeinerten Funktionen definiert sein sollen. Auch innerhalb des Integrals soll Λ(x) nicht alleine auftauchen dürfen, sondern immer nur wie oben multipliziert mit einer sogenannten Testfunktion φ. Als die Testfunktionen verwenden wir dabei konkret unendlich oft differenzierbare Funktionen mit kompakten Träger, die also außerhalb einer kompakten Menge C identisch Null sind. Die Einschränkung keine Funktionswerte Λ(x) zu haben, wirkt zunächst etwas befremdlich aber dies ist nur eine Täuschung, in vielerlei Hinsicht ist dies sogar realistischer als der gewöhnliche Funktionsbegriff. Ist Λ irgendeine reale physikalische Größe, so kann man einen wahren Funktionswert Λ(x) experimentell ja gar nicht ermitteln, jeder wirkliche Meßprozess ist immer mit Fehlerschranken behaftet und das exakte Λ(x) ist nur eine idealisierte mathematische Fiktion. Führt man dann mehrere Messungen für Λ durch, so ergeben sich gewissen Mittelungen über die Funktion Λ und solche Mittelungen werden gerade durch Integrale Λ(x)φ(x) dx beschrieben wobei die Funktion den Mittelungsprozess beschreibt. Wenn man so will sind die Integrale Λ(x)φ(x) dx das was wirklich da ist und nicht die einzelnen Funktionswerte. Dass wir als Testfunktionen nur unendlich oft differenzierbare Funktionen mit kompakten Träger zulassen ist dagegen etwas willkürlich, diese Wahl rechtfertigt sich hauptsächlich dadurch das die mathematische Theorie der Distributionen mit dieser Klasse von Testfunktionen gut handhabbar wird. Haben wir eine Distribution Λ, so gibt es für jede Testfunktion φ D() das 16-1

2 Integral Λ(φ) := Λ(x)φ(x) dx. Haben wir zwei Testfunktionen φ, ψ D() so sollte Λ(φ+ψ) = Λ(x)(φ(x)+ψ(x)) dx = Λ(x)φ(x) dx+ gelten und weiter wollen wir für jeden Skalar λ C auch Λ(λ φ) = λλ(x)φ(x) dx = λ Λ(x)φ(x) dx = λλ(φ). Λ(x)ψ(x) dx = Λ(φ)+Λ(ψ) Wir können uns Λ damit als eine lineare Abbildung Λ : D() C auf dem Vektorraum D() denken, die jeder Testfunktion φ D() das Integral Λ(x)φ(x) dx zuordnet. Zur formalen Definition einer Distribution auf hatten wir diese Überlegung dann umgedreht und Distributionen als lineare Abbildungen Λ : D() C definiert. Dies alleine ist noch keine sinnvolle Definition, Λ darf keine völlig beliebige lineare Abbildung sein, sondern muss in einem geeigneten Sinne stetig sein, wir hatten gefordert das es für jede kompakte Menge C eine Konstante A 0 und ein N N mit Λφ A φ N für jedes φ D() mit supp(φ) C gibt. Dabei war φ N das Supremum über alle Werte von φ und allen partiellen Ableitungen von φ bis zur Ordnung N. Für die Anwendung einer Distribution Λ auf eine Testfunktion φ gibt es recht viele verschiedene Schreibweisen, einige von diesen sind Λφ = Λ(x)φ(x) dx = Λ φ = (Λ, φ). In der letzten Sitzung hatten wir bereits einige Beispiele von Distributionen angegeben, aber noch nicht gezeigt das es sich wirklich um Distributionen handelt. Man bezeichnet Distributionen auch als verallgemeinerte Funktionen und entsprechend sollten sich normale Funktionen als Distributionen interpretieren lassen. Wir hatten bereits gesehen wie dies geht, seien R n offen und f : C eine lokal integrierbare Funktion, d.h. eine Funktion die über jede kompakte, Jordan-meßbare Teilmenge von Riemann-integrierbar ist. Ist dann φ D(), so hatten wir gezeigt das es eine kompakte, Jordan-meßbare Menge M mit supp(φ) M gibt und das das Integral Λ f φ := f(x)φ(x) dx := f(x)φ(x) dx unabhängig von der speziell gewählten Menge M ist. Dies definiert uns eine lineare Abbildung Λ f : D() C und wir behaupten das es sich um eine Distribution der 16-2 M

3 Ordnung 0 handelt. Sei nämlich C eine kompakte Teilmenge. Dann wählen wir zunächst eine kompakte, Jordan-meßbare Menge M mit C M, beispielsweise als Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Kugeln, und definieren die Konstante A := f(x) dx. Für jedes φ D() mit supp(φ) C M folgt dann M Λ f φ = f(x)φ(x) dx sup φ(x) f(x) dx = A φ 0. M x M Jede lokal integrierbare Funktion f liefert uns also eine zugehörige Distribution Λ f der Ordnung 0. Damit dies wirklich eine Erweiterung des normalen Funktionsbegriffs gibt, muss man noch einsehen das sich umgekehrt f aus Λ f rekonstruieren läßt. Dies ist im wesentlichen auch der Fall, es kommt nur noch eine kleine Komplikation hinzu. Haben wir zwei lokal integrierbare Funktionen f und g die fast überall gleich sind, so ist nach Lemma 4.(d) bereits Λ f = Λ g, man wird die Funktion f also aus Λ f nur bis auf Gleichheit fast überall rekonstruieren können. Wir wollen also die folgende Aussage einsehen: Λ f = Λ g f und g sind fast überall gleich. Als ersten Schritt zeigen wir zunächst die folgende Hilfsaussage: Sind n N mit n 1, R n offen und f : C lokal integrierbar mit Λ f = 0, so gilt f(x) = 0 für jedes x in dem die Funktion f stetig ist. Sei nämlich solch ein x gegeben und nehme f(x) 0 an. Indem wir eventuell zu if übergehen können wir dann sogar Re f(x) 0 annehmen und durch eventuelle Multiplikation mit 1 kann man schließlich c := Re f(x) > 0 voraussetzen. Da die Funktion f in x stetig ist, gibt es dann ein ɛ > 0 mit B ɛ (x) und Re f(y) c/2 für jedes y B ɛ (x). Können wir jetzt einsehen das es eine unendlich oft differenzierbare Funktion φ : R n R mit supp(φ) B ɛ (x), 0 φ(y) 1 für alle y R n und φ(y) = 1 für alle y B ɛ/2 (x) gibt, so ergibt sich der Widerspruch 0 = Re(Λ f φ) = Re f(y)φ(y) dy Re f(y) dy c 2 vol(b ɛ/2(x)) > 0. B ɛ/2 (x) Es verbleibt also nur noch eine Testfunktion φ mit den genannten Eigenschaften zu konstruieren. Dies ist schon etwas komplizierter. Wir starten mit der Funktion { e 1/t, t > 0, θ : R R; t 0, t 0, und diese ist nach einer Übungsaufgabe des zweiten Semesters unendlich oft differenzierbar. Mit dieser Funktion definieren wir zwei weitere unendlich oft differenzierbare Funktionen ( α : R R; t θ(ɛ t)θ(ɛ + t) und β : R R; t θ t ɛ ) + θ ( ɛ ) 2 2 t. Sei t R. Ist dann t ɛ, so gelten ɛ t 0 und t ɛ/2 ɛ/2 > 0, also θ(ɛ t) = 0 und θ(t ɛ/2) > 0 und somit α(t) = 0 und β(t) > 0. Ist t ɛ, so haben wir entsprechend 16-3 M

4 ɛ + t 0 und t ɛ/2 ɛ/2 > 0, also θ(ɛ + t) = 0 und θ( t ɛ/2) > 0, und somit α(t) = 0 und β(t) > 0. Nun sei t < ɛ. Dann haben wir ɛ t > 0 und ɛ + t > 0, also ist θ(ɛ t) > 0 und θ(ɛ + t) > 0, und somit α(t) > 0. Ist sogar t ɛ/2, so ist t ɛ/2 0 und t ɛ/2 0, also ist θ(t ɛ/2) = θ( t ɛ/2) = 0 und β(t) = 0. Insbesondere ist α(t) + β(t) > 0 für jedes t R, und wir erhalten die unendlich oft differenzierbare Funktion γ : R R; t α(t) α(t) + β(t). Für jedes t R ist dann 0 γ(t) 1, im Fall t ɛ ist α(t) = 0 und somit γ(t) = 0 und im Fall t ɛ/2 haben wir β(t) = 0 und somit γ(t) = 1. Schließlich definiere die Funktion φ : R n R; y γ( y x ). Für jedes y R gilt dann 0 φ(y) 1, für y / B ɛ (x) ist y x ɛ also φ(y) = 0 und im Fall y B ɛ/2 (x) ist y x ɛ/2 also φ(y) = 1. In R n \{x} ist φ unendlich oft differenzierbar und da φ auf der offenen Kugel B ɛ/2 (x) identisch Eins ist, ist φ sogar auf dem ganzen R n unendlich oft differenzierbar mit supp(φ) B ɛ (x). Damit ist diese Hilfsbehauptung bewiesen, wir haben also gezeigt Λ f = 0 und f ist in x stetig = f(x) = 0. Sind also f, g : C zwei lokal integrierbare Funktionen mit Λ f = Λ g und x ein Punkt in dem f und g beide stetig sind, so ist die Differenz h := f g wieder lokal integrierbar und in x stetig mit Λ h = 0, es gilt also h(x) = 0 und somit f(x) = g(x). Zwei lokal integrierbare Funktionen die dieselbe Distribution definieren stimmen also in allen gemeinsamen Stetigkeitspunkten überein. Insbesondere können wir stetige Funktionen f : C ohne jede Einschränkung als Distributionen auffassen. m dies auf allgemeine lokal integrierbare Funktionen auszudehnen, überlegen wir uns jetzt das jede lokal integrierbare Funktion f : C in fast allen Punkten stetig ist. Wir können Satz 5 nicht direkt anwenden da die offene Menge nicht Jordan-meßbar sein muss und f auch nicht Riemann-integrierbar sein muss. m dieses Problem zu umgehe, erinnern wir uns an den Begriff des dyadischen Würfels aus III Dies waren Würfel der Form W = [a, b] wobei a, b R n zwei dyadische Punkte sind, also Punkte der sämtliche Komponenten die Form k/2 m mit k Z, m N haben. Wie in II. 4.1 gesehen ist die Menge Q rationalen Zahlen abzählbar, also ist auch die Teilmenge D := {k/2 m k Z, m N} Q abzählbar. Weiter ist die Menge D n aller dyadischen Punkte im R n abzählbar, und damit ist dann auch die Menge D n D n aller Paare solcher Punkte abzählbar. Schließlich ist damit die Menge Γ aller dyadischen Würfel abzählbar. Sei nun Γ() := {W Γ W } die Menge aller in enthaltenen dyadischen Würfel, als Teilmenge von Γ ist auch diese Menge abzählbar. Ist x ein beliebiger Punkt, so gibt es einen nicht ausgearteten Quader Q R n mit x Q Q und weiter einen dyadischen Würfel W mit x W Q, d.h. W Γ(). Wir haben also = Γ(). Jedes W 16-4

5 Γ() ist eine in enthaltene, kompakte Jordan-meßbare Menge, also ist f über W Riemann-integrierbar, und somit ist f W nach Satz 5 fast überall stetig, es gibt also eine Lebesguesche Nullmenge N W Rn so, dass f W in jedem Punkt x W \N W stetig ist. Damit ist auch N W := N W ( W ) eine Lebesguesche Nullmenge und f ist in jedem Punkt x W \N W W stetig. Wir erhalten die Lebesguesche Nullmenge N := {N W W Γ()} und f ist in jedem Punkt x \N stetig. Sind also f, g : C zwei lokal integrierbare Funktionen, so sind f und g bis auf eine Lebesguesche Nullmenge in allen Punkten von beide stetig und haben wir Λ f = Λ g, so gilt in jedem dieser Punkte x auch f(x) = g(x), d.h. f und g sind fast überall gleich. Also gilt tatsächlich die angekündigte Aussage Λ f = Λ g f und g sind fast überall gleich. Kommen wir nun zur Diracschen Deltafunktion. Sind n N und x R n, so hatten wir die Diracsche Deltafunktion im Punkt x als die Distribution δ x : D(R n ) C; φ φ(x) definiert. Da für jedes φ D(R n ) stets δ x φ = φ(x) φ 0 ist δ x tatsächlich eine Distribution der Ordnung Null. In der Integralschreibweise für Distributionen haben wir also δ x (y)φ(y) dy = φ(x) R n für jedes φ D(R n ). Das letzt Beispiel einer Distribution ist etwas komplizierter. Die Funktion f(x) = 1/x auf R, etwa ergänzt durch f(0) := 0, ist nicht lokal integrierbar da sie wegen 1 dx/x = nicht über das kompakte Intervall [0, 1] integrierbar ist. Es gibt 0 also zunächst einmal keine Distribution Λ 1/x, wie wir in der letzten Sitzung gesehen haben, kann man dann doch eine solche Distribution einführen indem der Integralbegriff etwas modifiziert wird. Haben wir ein a > 0 und eine Funktion f : [, a]\{0} C die für jedes ɛ > 0 über [, ɛ] und über [ɛ, a] Riemann-integrierbar ist, und existiert der Grenzwert a [ ɛ a ] pv f(x) dx := lim f(x) dx + f(x) dx, ɛ 0 ɛ so nennen wir diesen den Cauchyschen Hauptwert des Integrals von f über [, a]. Dabei steht pv für principial value. Ist f nach einer Ergänzung des Funktionswerts in 0 Riemann-integrierbar, so existiert der Cauchysche Hauptwert und stimmt mit dem Riemann-integral überein. Der Hauptwert kann aber auch existieren wenn das Riemann-Integral nicht existiert, zum Beispiel ist für jedes 0 < ɛ < 1 ɛ 1 dx x + 1 also existiert der Cauchysche Hauptwert ɛ pv 1 dx x 1 = ln ɛ ln ɛ = 0, dx x =

6 Wir behaupten jetzt das durch H 0 : D(R) C; φ pv φ(x) x eine Distribution auf R definiert wird, diese ist dann sozusagen die Funktion 1/x aufgefasst als Distribution. Sei φ D(R) und sei a > 0 mit supp(φ) [, a]. Wir definieren eine Hilfsfunktion { φ(x) φ(0), x 0, x ψ : R C; x φ (0), x = 0. Wegen φ(x) φ(0) lim = φ (0) x 0 x ist ψ eine stetige Funktion und für jedes x R ist φ(x) = φ(0) + xψ(x). Für jedes 0 < ɛ < a ist damit ɛ φ(x) x dx + a ɛ φ(x) x dx ( ɛ dx a x + ɛ ) dx + x ɛ = φ(0) ψ(x) dx + ψ(x) dx ɛ = φ(0) (ln ɛ ln a + ln a ln ɛ) + ψ(x) dx = und somit existiert der Cauchysche Hauptwert pv φ(x) x dx = lim ɛ 0 ( ɛ φ(x) x dx + a ɛ ɛ x a φ(x) x dx a ɛ x a ) a dx = ψ(x) dx. ψ(x) dx, Für jedes x [, a] mit x 0 gibt es dabei nach dem Mittelwertsatz I. 14.Satz 10 ein ξ R zwischen 0 und x mit ψ(x) = φ (ξ), also insbesondere ψ(x) φ 1. Dies zeigt H 0 φ 2a φ 1, und somit ist H 0 eine Distribution von Ordnung 1. Verwendet man wie in der letzten Sitzung statt 0 eine beliebigen Punkt x R, so erhält man entsprechend eine Distribution H x auf R. In der letzten Sitzung hatten wir auch bereits die Ableitungen einer Distribution eingeführt aber noch nicht weiter begründet weshalb so der korrekte Ableitungsbegriff entsteht. Der Einfachheit halber betrachten wir Distributionen die auf dem ganzen R n definiert sind. Sei also f : R n C eine stetig differenzierbare Funktion. Sei φ D(R n ). Dann existiert ein a > 0 mit supp(φ) [, a] n. Ist 1 j n und x [, a] n, so ergibt sich mit partieller Integration und φ(x 1,..., x j 1, ±a, x j+1,..., x n ) = 0 a a f a (x, t)φ(x, t) dt = f(x, t)φ(x, t) x j f(x, t) φ (x, t) dt x j = a f(x, t) φ x j (x, t) dt 16-6

7 wobei wir etwas verkürzend (x, t) anstelle von (x 1,..., x j 1, t, x j+1,..., x n ) schreiben. Mit dem Satz von Fubini III. 4.Satz 8 folgt weiter f (y)φ(y) dy = f(y) φ (y) dy, x j R x n j also R n ( ) φ Λ f φ = Λ f. x j x j Da es etwas unhandlich ist wenn f/ x j als ein Index auftaucht, bevorzugt man in diesem Kontext die Schreibweise D j f für die partielle Ableitung von f nach der j-ten Variablen, und entsprechend D α = α / x α für einen Multiindex α. Iterieren wir die eben bewiesenen Formel, so erhalten wir Λ D α fφ = ( 1) α Λ f (D α φ) für jede q-fach stetig differenzierbare Funktion f : R n C, jeden Multiindex α mit α q und jede Testfunktion φ D(). Wollen wir also die Ableitungen von Distributionen so definieren das diese für gewöhnliche Funktionen mit den gewöhnlichen Ableitungen übereinstimmen, so muss man tatsächlich wie in der letzten Sitzung (D α Λ)φ := ( 1) α (D α φ) setzen, wenn man so will verwendet man die partielle Integration als Definition der Ableitung. Haben wir beispielsweise für Λ = δ x eine Diracsche Deltafunktion, so ergeben sich die Ableitungen als (D α δ x )φ = ( 1) α δ x (D α φ) = ( 1) α α φ x α (x). Weitere Beispiele werden in den Aufgaben (38) und (40) behandelt. Zum Abschluß wollen wir jetzt noch kurz auf das Rechnen mit Distributionen eingehen. Da Summen und Vielfache linearer Abbildungen wieder lineare Abbildungen kann man Distributionen addieren und mit Skalaren multiplizieren. Haben wir also ein n N mit n 1 und eine offene Menge R n sowie zwei Distributionen Λ, Ξ auf und einen Skalar λ C, so definieren wir für jede Testfunktion φ D() (Λ + Ξ)φ := Λφ + Ξφ und (λλ)φ := λλφ. Die beiden linearen Abbildungen Λ + Ξ und λλ erfüllen dann die für Distributionen notwendige Abschätzung, sind also wieder Distributionen auf. Auf diese Weise wird die Menge D () aller Distributionen auf zu einem Vektorraum. Als eine weitere Operation wollen wir die Multiplikation von unendlich oft differenzierbaren Funktionen f mit Distributionen Λ definieren. m die korrekte Definition zu finden, betrachten wir zunächst den Fall das Λ = Λ g für eine lokal integrierbare Funktion g : C ist. Soll die einzuführende Multiplikation mit der Multiplikation 16-7

8 gewöhlicher Funktionen übereinstimmen, so muss fλ g = Λ fg gelten. Nun ist für jede Testfunktion φ D() Λ fg φ = f(x)g(x)φ(x) dx = Λ g (fφ), es sollte also (fλ g )φ = Λ fg φ = Λ g (fφ) gelten. Die einzig sinnvolle Definition des Produkts einer unendlich oft differenzierbaren Funktion mit einer Distribution ist damit: Definition 6.10 (Multiplikation von Funktionen mit Distributionen) Seien n N mit n 1, R n eine offene Menge, Λ eine Distribution auf und f : R eine unendlich oft differenzierbare Funktion. Dann definieren wir das Produkt von f mit Λ als fλ : D() C; φ Λ(fφ). Überlegen wir uns kurz das dies wirklich eine Distribution definiert. Ist φ D(), so ist fφ das Produkt zweier unendlich oft differenzierbarer Funktionen, also selbst unendlich oft differenzierbar. Weiter ist supp(f φ) supp(φ) und somit f φ auch kompakten Träger, es gilt also fφ D(). Damit ist fλ zumindest eine wohldefinierte lineare Abbildung. Sei jetzt C eine kompakte Menge. Dann gibt es ein N N und eine Konstante A 0 mit Λφ A φ N für jedes φ D() mit supp(φ) C. Für zwei Multiindizes α, β N n mit β α schreiben wir im folgenden ( ) α := β α! β!(α β)! = Für jeden Multiindex α N n haben wir dann β α ( ) α = β α n j j=1 k=0 ( α1 β 1 )... ( αn ( ) αj = 2 α. k Da C kompakt und f unendlich oft differenzierbar haben wir eine weitere endliche Konstante B := max sup D α f(x) <. α N x C Sei φ D() mit supp(φ). Sei α N n ein Multiindex mit α N. Iterierte Anwendung der Produktregel liefert dann D α (fφ) = β α β n ( ) α D β f D α β φ, β 16-8 ).

9 und für jedes x C folgt damit D α (fφ)(x) β α ( ) α ( ) α D β f(x) D α β φ(x) B φ N β β β α = 2 α B φ N 2 N B φ N, und für jedes x \C ist wegen supp(φ) C ebenfalls D α (fφ)(x) = 0 2 N B φ N. Dies zeigt fφ N 2 N B φ N, und damit ergibt sich (fλ)φ = Λ(fφ) A fφ N 2 N AB φ N. Also ist fλ tatsächlich eine Distribution auf. Dies zeigt und damit ergibt sich fφ N 2 N B φ N, (fλ)φ = Λ(fφ) A fφ N 2 N AB φ N. Also ist fλ tatsächlich eine Distribution auf. Schauen wir uns ein kleines Beispiel an, seien x R n und f : R n C eine unendlich oft differenzierbare Funktion. Für jede Testfunktion φ D(R n ) haben wir dann (fδ x )φ = δ x (fφ) = f(x)φ(x) = f(x)δ x (φ), also ist fδ x = f(x)δ x. Die Produktregel gilt auch für Produkte von Funktionen mit Distributionen, schauen wir uns dies etwa im eindimensionalen Fall n = 1 an, so ist (fλ) (φ) = (fλ)(φ ) = Λ(fφ ) = Λ((fφ) f φ) = Λ((fφ) ) + Λ(f φ) = Λ (fφ) + Λ(f φ) = (fλ + f Λ)(φ), d.h. es gilt (fλ ) = fλ + f Λ. Ein Produkt zweier beliebiger Distributionen kann dagegen nicht sinnvoll definiert werden. Schließlich wollen wir noch erwähnen, dass man auch so etwas wie Grenzwerte von Distributionen definieren kann. Definition 6.11 (Grenzwerte von Folgen von Distributionen) Seien n N mit n 1, R n offen und (Λ k ) k N eine Folge von Distributionen auf 16-9

10 . Dann sagen wir das die Folge (Λ k ) k N gegen eine Distribution Λ auf konvergiert wenn für jede Testfunktion φ D() stets gilt. lim Λ kφ = Λφ k Es ergibt sich dann der folgenden zentrale Satz über solche Grenzwerte. Satz 6.20 (Folgenkonvergenz in D ()) Seien n N mit n 1, R n offen und (Λ k ) k N eine Folge von Distributionen in. Für jede Testfunktion φ D() existiere der Grenzwert Λφ := lim k Λ k φ. Dann ist Λ eine Distribution auf und für jeden Multiindex α N n konvergiert die Folge (D α Λ k ) k N gegen D α Λ. Dies ist schon ein recht komplizierter Satz auf dessen Beweis wir verzichten wollen. 7 Hilberträume Prähilberträume und Hilberträume wurden bereits in II. 6.1 eingeführt und wir erinnern erst einmal an die damals eingeführten Begriffe. Sei K {R, C} und sei H ein Vektorraum über K. Ein Skalarprodukt auf H ist eine Abbildung die die folgenden Bedingungen erfüllt: : H H K, (a) Das Skalarprodukt ist in der ersten Variablen linear, d.h. für alle x, y, z H und alle λ K gelten x + y z = x z + y z und λx y = λ x y. (b) Das Skalarprodukt ist in der zweiten Variable antilinear, d.h. für alle x, y, z H und alle λ K gelten x y + z = x y + x z und x λy = λ x y (im reellen Fall K = R ist dies gleichbedeutend zur Linearität). (c) Das Skalarprodukt ist hermitesch, d.h. für alle x, y H gilt y x = x y (im reellen Fall ist dies die Symmetrie y x = x y ). (d) Das Skalarprodukt ist positiv definit, d.h. für alle x H\{0} gilt x x > 0 (nach Eigenschaft (c) ist x x R, dies ist also eine sinnvolle Forderung)

11 Ein Prähilbertraum über K ist dann ein mit einem Skalarprodukt versehener Vektorraum über K. Zwei wichtige Beispiele von Prähilberträumen wurden auch schon in II. 6.1 behandelt. Sei n N mit n 1. Dann können wir auf dem R n das gewöhnliche Standardskalarprodukt n x y := x j y j definieren und erhalten so einen Prähilbertraum. Im komplexen Fall haben wir entsprechend den gewöhnlichen C n mit dem hermiteschen Standardskalarprodukt x y := j=1 n x i y j. Wir hatten auch schon einen unendlichdimensionalen Prähilbertraum kennengelernt, ist K {R, C} so bildeten die quadratsummierbaren Folgen über K einen Vektorraum { } l 2 := (x n ) n N K N x n 2 < auf dem wir durch x y := j=1 n=1 x n y n für x, y l 2 ein Skalarprodukt einführen konnten. Wir wollen noch ein weiteres Beispiel angeben. Sind n N mit n 1 und M R n eine Jordan-meßbare Menge, so betrachten wir den Vektorraum n=1 R 2 (M) := {f : M K f ist Riemann-integrierbar} aller Riemann-integrierbaren Funktionen auf M. Für f, g R 2 (M) führen wir dann das Skalarprodukt als f g := f(x)g(x) dx M ein. Die ersten drei Eigenschaften eines Skalarprodukts sind dann klar, die positive Definitheit ist allerdings problematisch. Für f R 2 (M) ist f f = f(x) 2 dx M und dies kann Null sein, selbst wenn f nicht Null ist. In der Tat, nach 6.Korollar 6 ist genau dann f f = 0 wenn f fast überall Null ist. m R 2 (M) als einen Prähilbertraum zu sehen, muss man die Gleichheit in R 2 (M) als Gleichheit fast überall interpretieren. Für stetige Funktionen tritt dieses Problem nicht auf, daher hatten wir uns in II. 6.1 auch auf den stetigen Fall beschränkt

12 Haben wir einen Prähilbertraum H, so konnten wir nach II. 6.Korollar 2 auf H durch x := x x eine Norm einführen und H so zu einem normierten Raum machen. Die Dreiecksungleichung für diese Norm folgte dabei aus der sogenannten Cauchy-Schwarz ngleichung II. 6.Satz 1 x y x y. Schließlich hatten wir einen Hilbertraum als einen bezüglich der eben eingeführten Norm vollständigen Prähilbertraum eingeführt. Wie in II. 6.1 gezeigt sind der K n und der Folgenraum l 2 Hilberträume. Nun beginnen wir damit uns einige bisher noch nicht behandelte Tatsachen über Prähilberträume herzuleiten. Zunächst werden einige elementare Grundeigenschaften behandelt. Lemma 7.1 (Geometrische Grundtatsachen) Seien H ein Prähilbertraum über K {R, C} und x, y H. (a) Es gilt die Polarisationsidentität Re( x y ) = 1 2 ( x + y 2 x 2 y 2 ) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ) und im komplexen Fall K = C ist auch x y = 1 4 ( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2 ). (b) Es gilt der Satz des Pythagoras, d.h. genau dann ist Re( x y ) = 0 wenn x+y 2 = x 2 + y 2 gilt. (c) Es gilt die Parallelogramidentität x y 2 + x + y 2 = 2( x 2 + y 2 ). Beweis: (a,c) Wir berechnen zunächst x + y 2 = x + y x + y = x x + x y + y x + y y und erhalten die erste Aussage = x x + x y + x y + y y = x Re( x y ) + y ( x + y 2 x 2 y 2 ) = Re( x y ) aus (a). Ersetzen wir y durch y, so liefert die obige Formel wegen y = y und x y = x y auch x y 2 = x 2 2 Re( x y + y

13 und durch Subtraktaktion dieser beiden Identitäten folgt x + y 2 x y 2 = 4 Re( x y ), also Re( x y ) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ), während die Addition der beiden Gleichungen die Parallelogramidendität x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ) ergibt. Nun nehmen wir K = C an. Wegen iy = i y = y und x iy = i x y = i x y, können wir in die schon bewiesene Formel aus (a) für y den Wert iy einsetzen, und erhalten Damit ist schließlich 1 4 ( x + iy 2 x iy 2 ) = Re( i x y ) = Im( x y ). x y = Re( x y ) + i Im( x y ) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2 ). (b) Klar nach (a). Ist H ein Prähilbertraum und H ein ntervektorraum, so können wir das auf H gegebene Skalarprodukt auf einschränken und wird damit selbst zu einem Prähilbertraum. Wir nennen versehen mit diesem Skalarprodukt einen nterraum von H und schreiben H. Für diese nterräume haben wir dann das folgende wichtige Lemma. Lemma 7.2 (Abgeschlossene Teilräume) Seien H ein Prähilbertraum über K {R, C} und H ein nterraum. (a) Der Abschluß H ist wieder ein nterraum. (b) Ist ein Hilbertraum, so ist abgeschlossen in H. (c) Sind H ein Hilbertraum und abgeschlossen in H, so ist auch ein Hilbertraum. Beweis: (a) Wir müssen zeigen, dass der Abschluß ein ntervektorraum von H ist. Zunächst ist dabei 0. Nun seien x, y gegeben. Sei ɛ > 0. Dann gibt es wegen x ein u mit x u < ɛ/2 und wegen y gibt es ebenso ein v mit y v < ɛ/2. Wir erhalten den Vektor w := u + v mit x + y w = (x u) + (y v) x u + y v < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Damit ist x + y eingesehen. Nun seien x und ein Skalar λ K gegeben. Dann existiert ein u mit ɛ x u < λ

14 Weiter ist dann v := λu mit λx v = λ(x u) = λ x u Damit ist auch λx und ist ein ntervektorraum von H. (b) Klar nach II. 4.Lemma 19.(b). (c) Klar nach II. 4.Lemma 19.(c). λ ɛ λ + 1 < ɛ