Anwendungslinien für einen langfristigen Kompetenzaufbau im mathematischen Modellieren

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1 Anwendungslinien für einen langfristigen Kompetenzaufbau im mathematischen Modellieren Prof. Dr. Regina Bruder Technische Universität Darmstadt ISTRON Münster

2 Gliederung 1. Drei Konzepte für anwendungsorientierten Mathematikunterricht und zum Erwerb von Modellierungskompetenz 2. Wie kann man mathematische Modellierungskompetenz langfristig aufbauen?

3 Vision für modernen MU: Was soll durch den Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. behalten und Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

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5 Was ist wesentlich? Orientierung an der Curriculumspirale Abstände Figuren erkennen untersuchen erzeugen variieren berechnen Datensätze beschreiben darstellen strukturieren Algebraische Aspekte: Zahl Geometrische Aspekte: Raum Objekte (und Prozesse) optimieren - z.b. bei Verpackungen

6 Dimensionen von Modellierungskompetenz 1. Auf den Modellierungsprozess bezogenes Wissen und Können (degree of coverage) 1. Mathematische Inhalte (technical level) als Mathematisierungsmuster 2. Situationen und Kontexte, aus denen das reale Problem stammen kann (radius of action). Themenvielfalt und vertikale Linien Blomhøj und Jensen (2007, S. 51)

7 Warum Modellieren als Ganzes im MU Platz finden soll - Es wird das von den SuS angewendet, was sie gerade aktuell im MU gelernt haben: Der Blick von der Mathematik in die Welt muss ergänzt werden durch den Blick auf die Realität mit der Mathebrille! -Wo wird Mathematik benötigt -Welchen Mehrwert bringt die Anwendung von Mathematik? - Es gibt bisher zu wenig Gelegenheit zu zeigen, was an mathematischen Begriffen, Zusammenhängen und Verfahren tatsächlich verfügbar ist (Kompetenz!) -Modellierungssituationen bieten diese Chance!

8 Anwendungsorientierter MU für das Ausbilden von Modellierungskompetenz Interpretationsrahmen und verschiedene Ansätze: A) Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen Mitteln projektartig erschlossen (lokal) B) Ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen immer wieder aufgegriffen C) In einen stärker an der mathematischen Sachlogik orientierten Unterricht werden abschnittsweise Anwendungen eingestreut Ziel: Handlungskompetenz im Modellieren

9 A)Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen Mitteln projektartig erschlossen (lokal) - reale Fragestellungen und Probleme dominieren und strukturieren den Unterricht entweder als Rekonstruktion mathematischer Hintergründe oder als Mehrwerterleben von Mathematiknutzung in einer (Problem-)Situation - es wird die Mathematik geübt und entwickelt, die tatsächlich gebraucht wird - als Einstieg in ein neues mathematisches Thema geeignet bzw. für fächerverbindenden Unterricht oder als - Modellierungswoche, Projekttag Themenbeispiele: Brückenbau, Autobahnabfahrt, Sportwetten, Kirchenfenster vgl. auch

10 A)Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen Mitteln projektartig erschlossen (lokal): CO2-Fußabdruck Durchschnittbilanz Tonnen CO 2 pro Jahr Heizen und Warmwasser 1,97 Elektrogeräte 0,75 Energieverbrauch gesamt 2,72 Privatfahrzeuge 1,56 Offentliche Verkehrsmittel 0,11 Flugreisen 0,85 Mobilität gesamt 2,52 Ernährung 1,65 Persönlicher Konsum 2,75 Verbrauch der Allgemeinheit 1,24 Konsum gesamt 5,64 Gesamt 10,88 Quelle: Umweltbundesamt Durchschnittliche CO 2 - Emission pro Kopf in Privathaushalten Persönlicher Konsum 26% Verbrauch der Allgemeinheit 11% Ernährung 15% Heizen und Warmwasser 18% Elektrogeräte 7% Offentliche Verkehrsmittel 1% Flugreisen 8% Privatfahrzeuge 14% Verpackungen machen in Deutschland ca. 1% in der CO2- Gesamtemission aus.

11 A)Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen Mitteln projektartig erschlossen (lokal): Thema virtuelles Wasser Historischer Fakt: Der Begriff virtuelles Wasser wurde 1993 von dem britischen Geographen Tony Allan eingeführt. Allan berechnete den Wasserverbrauch, der durch die Produktion, Lagerung und den Transport verschiedener Konsumgüter entsteht, und machte so erstmals transparent, wie viel Wasser in den Produkten steckt, die der Endverbraucher konsumiert.

12 13 Liter Wasser in einer Tomate Die Tomaten wachsen nicht im Supermarkt, sondern an Tomatenpflanzen. Bis aus einem Tomatensamen ein Tomatenstrauch wird und an diesem Strauch die Tomaten reif werden, dauert es ca. 3 Monate. In dieser Zeit braucht die Pflanze Wasser um zu wachsen und zu reifen. Für das Wachstum von einem Kilogramm Tomaten werden durchschnittlich 184 Liter Wasser benötigt. Entsprechend stecken ca. 13 Liter virtuelles Wasser in einer 70 Gramm schweren Tomate. Die Niederschläge reichen für die Tomatenbewässerung nicht aus. Deswegen wird kostbares Grundwasser benutzt. Die Folge des Gemüseanbaus in trockenen Regionen Spaniens sind Versalzung und Versteppung des Bodens. Die meisten in D. verzehrten Tomaten kommen aus Spanien. Autorin: Diana Milev 2012

13 Virtuelles Wasser eines Brotes In einem Kilogramm des deutschen Weizens stecken 690 Liter virtuelles Wasser. 80% von diesem Wassergehalt konzentrieren sich im Mehl, welches aus dem Weizen gewonnen wird; Aus einem Kilogramm Getreide wird 790 Gramm Weizenmehl gewonnen. Wie viel Liter des virtuellen Wassers stecken in einem Kilogramm Weizenmehl? Aus einem Kilo Mehl bekommt man 1,15 Kg Brot. Wie viel Liter des virtuellen Wassers stecken in einem 750 Gramm schweren Brot? Autorin: Diana Milev 2012

14 Wasserpreis- und Verbrauchsänderungen (BRD) 2003 durchschnittlicher Wasserpreis in der BRD bei 1,72 pro 1 m³ Quelle: Statistisches Bundesamt

15 Anwendungsorientierter MU für das Ausbilden von Modellierungskompetenz Interpretationsrahmen und verschiedene Ansätze: A) Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen Mitteln projektartig erschlossen (lokal) B) Ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen immer wieder aufgegriffen - Wichtig für Schulcurriculum, - LB-Gestaltung - Mehrwerterleben von Mathematik - Kumulatives Lernen C) In einen stärker an der mathematischen Sachlogik orientierten Unterricht werden abschnittsweise Anwendungen eingestreut

16 B) ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen immer wieder aufgegriffen Möglichkeiten einer vertikalen Strukturierung: Interpretations- und Entscheidungsprobleme Umgehen mit Geld Umgang mit Energie und Ressourcen (Wasser ) Lebensweise Gesundheit, Freizeitverhalten (CO2- Fußabdruck )

17 B) ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen immer wieder aufgegriffen Möglichkeiten einer vertikalen Strukturierung: Mehrwert von Mathematik erleben: Schrittweise Erweiterung der mathematischen Werkzeuge zur Bearbeitung eines praxisrelevanten Problemfeldes, das immer wieder aufgegriffen wird: Interpretations- und Entscheidungsprobleme Umgehen mit Geld Mittelwerte Unzugängliche Entfernungen bestimmen, Wachstumsprobleme Umgang mit Energie und Ressourcen (Wasser ) Lebensweise Gesundheit, Freizeitverhalten

18 Mittelwerte ein Gedankenexperiment Wer ist schneller? Ein Ruderboot auf einem See rudert eine bestimmte Strecke gleichmäßig hin und wieder zurück. Zur gleichen Zeit startet ein gleich starkes Ruderboot auf einem Fluss und fährt die gleiche Streckenlänge jedoch einmal flussaufwärts und einmal flussabwärts. Ein analoges Beispiel: Für einen Besuch bei Freunden wurde für die Autofahrt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100km/h eingeplant. Leider gab es einen Stau, so dass die erste Hälfte der Strecke nur mit einem Schnitt von 50km/h absolviert wurde. Wie schnell hätte auf der zweiten Hälfte gefahren werden müssen, um trotzdem wie vorgesehen am Ziel einzutreffen?

19 Für die Zeit gilt bei konstanter Geschwindigkeit : Fahrzeit 1. Hälfte + Fahrzeit 2.Hälfte = Gesamtzeit t 1 t 2 t gesamt t s v s s 2 2 s 50 v 100 s s s 100 2v 100 Interpretation: Die für den Gesamtweg geplante Zeit ist bereits nach der 1.Weghälfte abgelaufen!

20 Lernanlass: Vergleich mehrerer Mittelwerte im MU Fragen: Wo liegt das harmonische Mittel im Vergleich zum geometrischen und arithmetischen Mittel? a b 2 a b > > a b a b

21 Weitere Mittelwerte: Quadratisches Mittel und Kubisches Mittel a b a b mit Anwendungen: - Standardabweichung - Wann ist ein Weinbecher halb voll?

22 Lernziele Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, Funktion von Mathematik zur Aufklärung struktureller Unterschiede in realitätsbezogenen Situationen erkennen behalten und angewendet werden können? Der Begriff Mittelwert besitzt verschiedene Ausprägungen Beispielkontexte und Visualisierungen als Merkhilfen Mittelwerte als mathematische Modelle begreifen und in verschiedenen Kontexten wiedererkennen und nutzen

23 Unzugängliche Entfernungen bestimmen Wie kann man die Breite eines Flusses (Höhe eines Baumes o.ä. nicht zugängliche Entfernungen) bestimmen? Maßband und Winkelmessgerät stehen zur Verfügung. 23

24 Wachstumsprozesse Erarbeitung des Themenfeldes: Wo kommen Wachstumsprozesse vor? a) Natur / Umwelt: Pflanzen, Tiere, Erdbevölkerung, Pilze, Bakterien und Viren b) Wachstum von Kosten und Gewinnen: Guthaben und Schulden bei Banken, Einkaufen, Dienstleistungen (Taxi, Handy- bzw. Telefonkosten) c) Physikalisch: Radioaktiver Zerfall (Atomenergie und C14-Methode), Entstehung und Verlust von Wärme

25 Mathematisierungsmuster für die Beschreibung von Wachstumsprozessen a) Lineares Wachstum: In jeder Zeiteinheit kommt der gleiche Betrag hinzu. Beispiele: Taxifahrt Nachteil: Es existiert nur bedingt. b) Rolle der Fibonaccizahlen bei Wachstum: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... Beispiele: Spiralen bei Kiefernzapfen und andere Wuchsformen von Pflanzen Grund: Optimale Verteilung geringste Überlappung

26 Mathematisierungsmuster für die Beschreibung von Wachstumsprozessen c) Exponentielles Wachstum: Der Zuwachs ist hierbei proportional zum vorhandenen Bestand. In jeder Zeiteinheit nimmt der Bestand mit dem gleichen Faktor zu. Beispiele Zinsen, Bakterienwachstum. Nachteil: Gilt nur in gewissen Grenzen, da normalerweise nichts unbegrenzt wachsen kann. d) Logistisches Wachstum: Es gibt eine Grenze, die nicht überschritten werden kann. Der Bestand entwickelt sich zunächst fast exponentiell. Je näher er aber an die Grenze heran kommt, desto mehr wird das Wachstum gehemmt. Beispiel: Populationsmodelle

27 Was sind prototypische Anwendungen im MU? Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale Umgehen mit Geld... Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz, Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...) Optimieren Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen Funktionale Zusammenhänge beschreiben (Wachstum/Zerfall; lokale und globale Veränderungen) Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben Visualisierungen (Mittelwerte, bin. Formeln...) Symmetrie, Kongruenz Ähnlichkeit... Figuren erzeugen und vergleichen in Ebene und Raum Zufall beschreiben...

28 Was sind die Mathematisierungsmuster? Berechnungsmöglichkeiten für unzugängliche Strecken -Pythagoras -Strahlensätze -Trigonometrie -Skalarprodukt Beschreibungsmöglichkeiten für Datensätze und (lokale) Änderungen Erzeugen von Figuren, Mustern -Kongruenzabb. -Ähnlichkeitsabb. -Grundkonstruktionen -Symmetrie Optimieren von Prozessen und Objekten -Funktionstypen -Regression -Linearisierung -Ableitung -Extremalprinzip -Differenzialrechnung -Ungleichungen -Symmetrieprinzip

29 Anwendungsorientierter MU für das Ausbilden von Modellierungskompetenz Interpretationsrahmen und verschiedene Ansätze: A) Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen Mitteln projektartig erschlossen (lokal) B) Ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen immer wieder aufgegriffen C) In einen stärker an der mathematischen Sachlogik orientierten Unterricht werden abschnittsweise Anwendungen eingestreut - Typisch für den aktuellen Unterricht - die Mathematik wird angewendet, die gerade behandelt wurde - Ziel: Schrittweise offenere Aufgaben einsetzen

30 Kreativ sein dürfen: Ein Spieler zahlt 1 Euro Einsatz und wirft 3 (ideale) Würfel. Erscheint dabei die 6 ein-, zwei- oder dreimal, erhält er den Einsatz zurück und außerdem einen Gewinn von 1 bzw. 2 bzw. 3 Euro. Erscheint keine 6, ist der Einsatz verloren. a) Weise nach, dass das Spiel nicht fair ist! b) Was könnte man an dem Spiel verändern, damit es fair wird?

31 Lösungsvorschläge zu b): - Änderung des Gewinnplanes z.b. soll man auch mit einer 5 noch einen kleinen Gewinn erzielen können (wie groß müsste dann dieser Gewinn sein?) - Änderung der Gewinnquote man könnte für drei Sechsen z.b. etwas mehr als nur die 3 Euro plus Einsatz erhalten (wie viel dann?) - der Einsatz wird verringert bei Konstanthalten des Gewinnplanes (tatsächlich genügen 0,86 Euro für ein faires Spiel).

32 Anwendungsorientierter MU für das Ausbilden von Modellierungskompetenz Interpretationsrahmen und verschiedene Ansätze: A) Ein Anwendungsbereich wird mit mathematischen Mitteln projektartig erschlossen (lokal) B) Ein Anwendungsbereich/Themenfeld wird als vertikale Linie entwickelt und in verschiedenen Klassenstufen immer wieder aufgegriffen C) In einen stärker an der mathematischen Sachlogik orientierten Unterricht werden abschnittsweise Anwendungen eingestreut flankiert durch ein Modellierungstrainingslager zum Erwerb von Metakompetenz zum Modellieren (z.b. halbjährlich 2-4h)

33 Mathematische Fragen stellen Stellt Euch vor, Ihr werdet als Mathematikexperte bei einer Firma, die Schokowaffeln produziert, um Hilfe gebeten. Eure Aufgabe ist es, möglichst viele Ideen zu entwickeln, was alles an den Schokowaffeln verändert werden kann! Welche Vorschläge würdet ihr unterbreiten? Wie findet man möglichst viele Veränderungsvorschläge?

34 Schülerreaktionen aus dem Unterricht: Die Waffeln krümeln immer so, kann man das ändern? Wenn man Werbeblättchen bekommt, würden bestimmt mehr Leute die Waffeln kaufen. Ich möchte gerne wissen, wie lange ich joggen muss für so eine Waffel! Das sollte man dann drauf schreiben! Ich habe mal gelesen, dass Kakao teurer ist als Nüsse. Ob sich die Zusammensetzung der Schokowaffel in den letzten Jahren schon geändert hat? Wieso sind die Waffeln eigentlich quadratisch hat das einen besonderen Grund? Kann man die Waffeln noch anders einpacken und Papier sparen ohne gleich schmutzige Finger zu bekommen?

35 Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. - Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik (in Verpackungen) versteckt?

36 Die Lernenden erkennen mathematische Fragestellungen, auch in Alltagssituationen, und können solche Fragestellungen formulieren. - Rundgang mit der Mathematikbrille... Frage: Wo ist Mathematik in Verpackungen versteckt? Vergleichen verschiedener Verpackungen miteinander Verpackungen analysieren Kreation einer neuen Leckerei mit Verpackung Frage: Wie kann man solche Situationen/Zusammenhänge mathematisch beschreiben? Welche Vorteile, welchen Mehrwert kann eine mathematische Beschreibung bieten?

37 Gliederung 1. Drei Konzepte für anwendungsorientierten Mathematikunterricht und zum Erwerb von Modellierungskompetenz 2. Wie kann man mathematische Modellierungskompetenz langfristig aufbauen?

38 Hypothese: Stufen beim mathematischen Modellieren Unmittelbares Modellieren (Stufe I): Textaufgaben mit (sinnvollem) Anwendungsbezug Idealisierendes Modellieren (Stufe II) Normatives Modellieren (Stufe IIa): Schaffen von Realität; Typ: was ist gerecht? Deskriptives Modellieren (Stufe IIb): Abbildung der Realität, Anwendung Anzupassendes Modellieren (Stufe III) Arbeiten mit Daten und geeigneten Funktionsklassen Stufenkonzept von Ulrich Böhm, 2012

39 Hypothese: Wenn die im Curriculum angelegte Modellierungskompetenz einer Stufenform unterliegt, bedeutet dies, dass in Jahrgangsstufe 5 Stufe I überwiegt, die dann im Laufe der Schulzeit durch Stufe II und III ergänzt und auch ersetzt wird. Untersucht wurde: Neue Wege 5/7/9 (Schroedel-Verlag) von Rene Sauer, Darmstadt 2012.

40 Ergebnisse der LB-Analysen Klasse Anwendungs-/Modellierungsaufgaben insgesamt Normative Modelleriungsaufgaben 8 3% Neue Wege 5 Modellierungsaufgaben Aufgaben, die keiner Stufe eindeutig zugeordnet werden können 10 4% Unmittelbare Modelleriungsaufgaben %

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42 Klasse Anwendungs-/Modellierungsaufgaben Neue Wege 7 Modellierungsaufgaben Normative Modellierungsaufgaben 30 9% Aufgaben die keiner Stufe zuzuordnen sind 4 1% Deskriptive Modellierungsaufgaben % Unmittelbare Modellierungsaufgaben %

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44 Klasse Modellierungsaufgaben Graphische Darstellung der Ergebnisse Neue Wege 9 Normative Modellierungsaufgaben; 13; 6% Unmittelbare Modellierungsaufgaben; 13; 6% Deskriptive Modellierungsaufgaben; 116; 58% Anzupassende Modellierungsaufgaben; 60; 30%

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46 Beispiele für Aufgabeneinstufungen aus den einzelnen Klassen Unmittelbares Modellieren: Klasse 5: Klasse 7: Klasse 9 Ein Kellerraum soll gefliest werden. Das Fliesen des Fußbodens kostet 46 pro Quadratmeter, der Meter Fußleiste kostet 8. Wie teuer wird das Vorhaben? (Neue Wege , S. 221) Natascha hat in einem Mathe-Test 43 von 55 Punkten erzielt. Der Lehrer teilt den Schülerinnen und Schülern mit, dass er von 90 % bis 100 % eine Eins gibt, von 75 % bis 90 % eine Zwei, von 60 % bis 70 % eine Drei und von 45 % bis 60 % eine Vier. Natascha kann ihre Note ausrechnen. Licht legt im Vakuum in 1 Sekunde 3*10^8 m zurück. Ein Lichtjahr ist die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. Wie viele km sind ein Lichtjahr? (Neue Wege , S. 74) (Neue Wege 9, 2009, S.94)

47 Beispiele für Aufgabeneinstufungen aus den einzelnen Klassen Normative Modellierungsaufgaben Klasse 5: Klasse 7: Klasse 9 Inventur im Supermarkt. Herr Wagner zählt: 4, 8,,. Hilf Herrn Wagner und zähle weiter. Natürlich könnte Herr Wagner auch noch schneller zählen. Du auch? a) Erfinde zu dem Bild eine einfache und eine komplizierte Dreisatzaufgabe b) Erstelle Musterlösungen zu deiner Aufgabe c) Lass die Aufgabe von jemand anderen lösen. Vergleicht die Lösungen. d) Entscheidet gemeinsam, ob die Aufgabenstellung verbessert werden kann. Zwei Spieler A und B setzen je 32 Pistolen (Geldstücke) ein und vereinbaren, einen Münzwurf mehrmals durchzuführen: A gewinnt jeweils einen Punkt bei Zahl, B bei Wappen. Wer zuerst drei Punkte erreicht, erhält den Gesamteinsatz von 64 Pistolen. Aus irgendwelchen Gründen muss das Spiel beim Stand von 2:1 für den Spieler A abgebrochen werden. Wie ist der Einsatz gerecht aufzuteilen? (Neue Wege , S. 132) (Neue Wege , S. 50) (Neue Wege 9, 2009, S.182)

48 Beispiele für Aufgabeneinstufungen aus den einzelnen Klassen Deskriptive Modellierungsaufgaben Klasse 7: Der 60. südliche Breitenkreis verläuft vollständig durch die Ozeane, er kreuzt kein Festland. Sein Radius beträgt ungefähr 3190 km. Auf diesem Breitenkreis liegt auch die berüchtigte Drake Passage (Meerenge zwischen Südamerika und der Antarktis), die für ihre schwierigen Wasserströmungen starke Stürme bekannt ist. Wie lange bräuchte ein Schiff mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von ungefähr 40 km/h für eine (störungsfreie) vollständige Umrundung dieses Breitenkreises? Klasse 9 Wie groß sind das Volumen und der Oberflächeninhalt der Globe Arena in Stockholm ungefähr? Vergleiche mit den Maßen eurer Sporthalle. Wie groß ist die zur Verfügung stehende Grundfläche der Innenarena, wenn man sie etwa in der Höhe von einem Viertel Durchmesser anlegt? (Neue Wege 9, 2009, S.138) (Neue Wege , S. 213)

49 Beispiele für Aufgaben aus den einzelnen Klassenstufen Anzupassende Modellierungsaufgaben (ab Klasse 9)

50 Interpretation des Resultats Die Hypothese lässt sich am untersuchten LB bestätigen! Stufenkonzept für das Modellierenlernen auch als Hintergrund für Reflexionen mit den S. nutzen: Unmittelbares Modellieren (Stufe I): Idealisierendes Modellieren (Stufe II) Normatives Modellieren (Stufe IIa): Deskriptives Modellieren (Stufe IIb): Anzupassendes Modellieren (Stufe III) Vielen Dank für Ihr Interesse!