OPERATIONS RESEARCH. Studiengang Wirtschaftsinformatik 4. Semester Teil 1. Prof. Dr. Heinrich Paessens SS EINFÜHRUNG 3 1.

Transkript

1 OPERATIONS RESEARCH Studiengang Wirtschaftsinformatik. Semester Teil Prof. Dr. Heinrich Paessens SS EINFÜHRUNG. GRAPHENTHEORIE. DEFINITIONEN/BEGRIFFE DER GRAPHENTHEORIE Grundlegende Definitionen Wegetypen Speicherung von Graphen Bäume Kapazitätendigraphen/Flussgraphen Netzplantechnik (CPM-Methode). ALGORITHMEN IN GRAPHEN... 6 Bestimmung der Nachfolger Kürzeste Wege - Dijkstra - Tripel - Bellmann Topologische Sortierung Minimalgerüst Maximaler Fluss. AUFGABEN ZUR GRAPHENTHEORIE... BEIBLÄTTER.. 6 Operations Research SS von 8

2 LITERATUR: DOMSCHKE, W.: Logistik: Transport. Oldenbourg Verlag. DOMSCHKE, W.: Logistik: Rundreisen und Touren. Oldenbourg Verlag. DOMSCHKE, W.; DREXL, A.: Einführung in Operations Research. Springer Verlag GRITZMANN, P.; BRANDENBURG, R.: Das Geheimnis des kürzesten Weges. Ein mathematisches Abenteuer. Springer Verlag GRÜNERT, T.; IRNICH, S.: Optimierung im Transport. Band : Grundlagen. Shaker Verlag GRÜNERT, T.; IRNICH, S.: Optimierung im Transport. Band : Wege und Touren. Shaker Verlag HERBST, P.; PAESSENS, H.: Tourenplanung mit TourMaster. Expert Verlag (erscheint April 00) HUSSMANN, S.; LUTZ-WESTPHAL, B.: Kombinatorische Optimierung erleben. Vieweg-Teubner Verlag KÖNIG, W. U.A.: Taschenbuch der Wirtschaftsinformatik und Wirtschaftsmathematik. Harry Deutsch Verlag NITZSCHE, M.: Graphen für Einsteiger. Rund um das Haus vom Nikolaus. Vieweg-Teubner Verlag VAHRENKAMP, R.: Quantitative Logistik für das Supply Chain Management. Oldenbourg Verlag SCHWARZE, J.: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band : Lineare Algebra, Lineare Optimierung und Graphentheorie. Verlag Neue Wirtschafts-Briefe Operations Research SS von 8

3 0. EINFÜHRUNG 0. GEBIETE DES OPERATIONS RESEARCH Lineare Optimierung Nichtlineare Optimierung Ganzzahlige Optimierung Graphentheorie Netzplantechnik Dynamische Optimierung Warteschlangentheorie Simulation Spieletheorie 0.. DURCHFÜHRUNG EINES PLANUNGSPROZESSES Ein Planungsprozess kann in 7 Schritten dargestellt werden (siehe auch DOMSCHKE, DREXL): S: Erkennen und Analysieren des Problems S: Darstellung des Problems -> Beschreibung durch ein Modell (vereinfachtes Abbild des realen Problems) S: Formulierung von Zielen und Handlungsmöglichkeiten S: Formulierung eines mathematischen Modells S: Datenbeschaffung S6: Lösungsfindung mit Hilfe von Algorithmen (manuell oder mit Software) S7: Bewertung der Lösung Operations Research SS von 8

4 . GRAPHENTHEORIE. DEFINITIONEN/BEGRIFFE DER GRAPHENTHEORIE DEFINITION : Ein ungerichteter Graph G = (V,E) besteht aus einer Menge von Knoten V={,,...,n} und Kanten E={e,e,...,e m }. Die Anzahl der Knoten wird mit n, die Anzahl der Kanten mit m bezeichnet. Die einer Kante e zugeordneten Knoten i, j werden Endknoten von e genannt. Man schreibt e = (i, j) oder e = (j, i) und sagt, dass die Kante e die Knoten i, j "verbindet". Knoten i heißt Nachbar des Knotens j und umgekehrt, falls e = (i, j) eine Kante in G ist. Ein gerichteter Graph G = [V,E] besteht aus einer Menge von Knoten V={,,...,n} und Pfeilen E={e,e,...,e m }. Die Anzahl der Knoten wird wiederum mit n, die Anzahl der Pfeile mit m bezeichnet. Ein gerichteter Graph G = [V,E] wird auch Digraph D = [V,E] genannt. Für einen Pfeil e wird e = [i, j] geschrieben; i heißt Anfangsknoten und j Endknoten des Pfeiles e. Man sagt auch, dass der Pfeil e "vom Knoten i ausgeht" und "in den Knoten j einmündet". Knoten j wird (unmittelbarer) Nachfolger von Knoten i, Knoten i (unmittelbarer) Vorgänger von Knoten j genannt. Die Menge aller Nachfolger eines Knotens i wird mit S i und die Menge aller Vorgänger eines Knotens i mit P i bezeichnet. Ein Graph G = (V,E), der sowohl Pfeile wie auch Kanten enthält, heißt gemischter Graph. DEFINITION : Ist jeder Kante e (jedem Pfeil e) eines Graphen G (Digraphen D) eine Bewertung c(e) zugeordnet, so wird G = (V,E,c) bewerteter Graph (D = [V,E,c] bewerteter Digraph) genannt. DEFINITION : Ein Weg w=(i,...,j) in einem ungerichteten Graphen G bzw. ein Weg w=[i,...,j] in einem Digraphen D ist eine Aufeinanderfolge von zusammenhängenden Kanten bzw. Pfeilen entsprechender Richtung mit Anfangsknoten i und Endknoten j. Operations Research SS von 8

5 Ein Knoten j heißt von einem Knoten i aus erreichbar,falls ein Weg von i nach j existiert. Ein Weg w mit unterschiedlichen Anfangsknoten i und Endknoten j (i j) wird als offener Weg bezeichnet. Ein Weg w, dessen Anfangs- und Endknoten identisch sind (i=j), wird als geschlossener Weg oder Rundreise oder Zyklus bezeichnet. Ein Weg w, der jede Kante bzw. jeden Pfeil eines Graphen G genau einmal enthält, wird Eulerlinie genannt. Ein Weg w, der jeden Knoten eines Graphen G genau einmal enthält, wird Hamiltonlinie genannt. (Ausnahme: bei einer geschlossenen Hamiltonlinie sind Anfangs- und Endknoten identisch). Weitere Typen von Wegen in Graphen sind von praktischer Bedeutung: () Ein Weg w, der jede Kante (bestimmte Kanten) bzw. jeden Pfeil (bestimmte Pfeile) eines Graphen G mindestens einmal enthält () Ein Weg w, der jeden (bestimmte) Knoten eines Graphen G mindestens einmal enthält DEFINITION : Die Länge eines Weges c(w) ergibt sich aus der Aufsummierung der Bewertungen der benutzten Kanten bzw. Pfeile des Weges w. Ein Weg w in einem Graphen G, der unter allen von Knoten i nach Knoten j führenden Wegen die geringste Länge besitzt, heißt kürzester Weg von i nach j. Entsprechend wird eine Rundreise mit geringster Länge kürzeste oder auch minimale Rundreise genannt. DEFINITION : Unter dem Grad eines Knotens i in einem ungerichteten Graphen G versteht man die Anzahl derjenigen Kanten, die diesen Knoten als Endknoten besitzen ("berühren"), in Zeichen δi. Unter dem positiven (negativen) Grad eines Knotens i in einem Digraphen D versteht man die Anzahl der Pfeile, die diesen Knoten als Anfangsknoten (Endknoten) besitzen, in Zeichen δ + i (δ - i). Operations Research SS von 8

6 WEG GESCHLOSSEN ZYKLUS RUNDREISE OFFEN KNOTEN KANTEN / PFEILE KNOTEN KANTEN / PFEILE JEDER KNOTEN GENAU X G. HAMIL- TON LINIE JEDER KNOTEN MIND. X BEST. KNOTEN JEDE KANTE/ PFEIL GENAU X G. EULER- LINIE JEDE KANTE/ PFEIL MIND. X BEST. KANTEN/ PFEILE JEDER KNOTEN GENAU X O. HAMIL- TON LINIE JEDER KNOTEN MIND. X BEST. KNOTEN JEDE KANTE/ PFEIL GENAU X O. EULER- LINIE JEDE KANTE/ PFEIL MIND. X BEST. KANTEN/ PFEILE TSP CPP BEI VORLIEGEN EINES BEWERTETEN GRAPHEN KÖNNEN MINIMALE / MAXIMALE WEGE (ZYKLEN, RUNDREISEN,...) BESTIMMT WERDEN. MÖGLICHE WEGE -TYPEN Operations Research SS von 8

7 ANMERKUNGEN ZU EULERLINIEN: Regeln in ungerichteten Graphen G: () Sind in einem Graphen G alle Knoten von geradem Grad, so existiert in G eine geschlossene Eulerlinie. () Sind in einem Graphen G genau Knoten i und j von ungeradem Grad und alle anderen Knoten von geradem Grad, so existiert in G eine offene Eulerlinie. i und j sind Anfangs- bzw. Endknoten der offenen Eulerlinie. Regeln in Digraphen D: () Gilt für jeden Knoten i in D δ+ i = δ- i, so existiert eine geschlossene Eulerlinie in D. () Gilt für genau Knoten i und j in D δ+ i - δ- i = und δ- j - δ+ j = sowie für alle anderen Knoten k δ+ k = δ- k, so existiert eine offene Eulerlinie in D. i ist der Anfangsknoten und j der Endknoten der offenen Eulerlinie. DEFINITION 6: () Ein Knoten i ohne Vorgänger, d.h. δ- i =0, mit δ+ i >0 wird Quelle, ein Knoten i ohne Nachfolger, d.h. δ+ i =0, mit δ- i >0 wird Senke genannt. () Ein Knoten i mit δi = 0 bzw. mit δ+ i = δ- i = 0 heißt isoliert. DEFINITION 7: () Existieren mehrere Kanten (Pfeile), die dieselben Endknoten (Anfangs- und Endknoten) besitzen, so nennt man diese Kanten (Pfeile) parallel. () Stimmen die beiden Endknoten einer Kante (Anfangs- und Endknoten eines Pfeiles) miteinander überein, dann bezeichnet man diese(n) Kante (Pfeil) als Schlinge. () Ungerichtete (gerichtete) Graphen, die sich in der Ebene ohne Überschneiden von Kanten (Pfeilen) zeichnen lassen, nennt man planar. Operations Research SS von 8

8 DEFINITION 8: Ein Graph G heißt vollständig, wenn je zwei verschiedene Knoten i und j des Graphen G durch mindestens eine Kante (i, j) bzw. durch mindestens einen Pfeil [i, j] sowie einen entgegengesetzt gerichteten Pfeil [j, i] miteinander verbunden sind. Es gilt für die Anzahl der Kanten bzw. Pfeile ungerichteter Graph : m := n*(n-)/ gerichteter Graph (Digraph) : m := n*(n-) DEFINITION 9: Ein gerichteter Graph D heißt symmetrisch, falls für alle Pfeile von D gilt [i, j] E [j, i] E. DEFINITION 0: Eine Nummerierung der Knoten eines zyklenfreien Digraphen D = [V,E] mit j Si i < j ( i,j n ) heißt Topologische Sortierung von D, d.h. die Knotennummer des Anfangsknotens eines jeden Pfeiles von D ist kleiner als die Knotennummer des Endknotens. Insbesondere ist in einem topologisch sortierten Digraphen Knoten eine Quelle und Knoten n eine Senke. DEFINITION : Die Adjazenzmatrix A(D) eines Digraphen D = [V,E] (ohne Schlingen und parallele Pfeile) mit V = {,..., n} ist eine n x n - Matrix mit den Elementen, falls [i,j] E aij := 0, sonst. Operations Research SS von 8

9 DEFINITION : Die einem bewerteten Digraphen D = [V,E,c] (ohne Schlingen und parallele Pfeile) zugeordnete n x n - Matrix C(D) mit den Elementen 0, falls i = j cij := c ([i,j]), falls e=[i,j] E, sonst heißt Bewertungsmatrix von D. DEFINITION : Sei D = [V,E,c] ein bewerteter Digraph mit E = {e,..., em}. Dann heißen die Vektoren anf anf :=... anfm end end :=... endm Anfangsknotennummernvektor bzw. Endknotennummernvektor, wobei anfi (endi) die Knotennummer des Anfangsknotens (Endknotens) des Pfeiles ei ist. Der Vektor c := c... cm wird Bewertungsvektor genannt, wobei c i die Bewertung des Pfeiles e i ist. DEFINITION : Eine Nummerierung der Pfeile eu = [anfu, endu] (anfu, endu V), u =,..., m eines Digraphen D = [V,E] mit E = {e,..., em}, für die u > w anfu anfw ( w < u m) gilt, heißt Pfeilsortierung von D, d.h. der Anfangsknotennummernvektor ist aufsteigend sortiert. Operations Research SS von 8

10 DEFINITION : Sei D = [V,E] ein pfeilsortierter Digraph mit V = {,..., n} und E = {e,..., em}. Dann wird der Vektor pn pn :=... pnn+ Pfeilnummernvektor von D genannt, wobei pni die Pfeilnummer desjenigen Pfeiles ist, der unter allen von Knoten i ausgehenden Pfeilen die kleinste Pfeilnummer hat (i =,..., n). Ist ein Knoten j eine Senke oder ein isolierter Knoten, so wird pnj := pnj+ gesetzt. Zweckmäßigerweise ist pnn+ := m + festgelegt. DEFINITION 6: Sei D = [V,E,c] ein bewerteter Digraph ohne Zyklen negativer Länge und c*(w) die Länge des kürzesten Weges w = [i,..., j] von i nach j, dann heißt die Größe 0, falls i = j kij := c*(w), w = [i,..., j], falls j von i aus nicht erreichbar Entfernung von i nach j und die n x n - Matrix K(D) mit den Elementen kij Entfernungsmatrix von D. DEFINITION 7: Sei D = [V,E] ein Digraph. Dann heißt die n x n - Matrix P(D) mit den Elementen i, falls i = j oder [i,j] E pij := 0, sonst Vorgängermatrix von D. Operations Research SS von 8

11 DEFINITION 8: Sei D=[V,E,c] ein bewerteter Digraph. Der Digraph D' = [V,E'] mit E' E heißt Wurzelbaum mit Wurzel r (r V), wenn r Quelle von D' und jeder andere von r aus erreichbare Knoten k in D durch genau einen von r nach k führenden kürzesten Weg in D von r aus in D' erreichbar ist, d.h. der Wurzelbaum D' gibt die Verläufe der kürzesten Wege von Knoten r zu allen anderen Knoten von D an. DEFINITION 9: Ein Graph G heißt zusammenhängend, wenn jeder Knoten in G von jedem anderen Knoten aus erreichbar ist. DEFINITION 0: Sei G = (V,E) ein zusammenhängender Graph. Der zusammenhängende Graph G' = (V,E') mit E' E heißt dann spannender Baum oder Gerüst von G, wenn G' keinen Zyklus enthält. Ein Gerüst enthält m = n- Kanten. DEFINITION : Sei G = (V,E,c) ein zusammenhängender, bewerteter Graph. Ein Gerüst G' = (V,E',c') mit c'(e) = c(e) für alle e E' heißt Minimalgerüst von G, wenn c'(e) MIN e E' gilt. Operations Research SS von 8

12 DEFINITION : Sei D = [V,E] ein Digraph und existiert für jeden Pfeil e E eine Minimalkapazität u(e) sowie eine Maximalkapazität o(e) mit () u(e) o(e), () u(e), o(e) 0, dann heißt D = [V,E,u,o] ein Kapazitätendigraph. Ist der Digraph bewertet, so heißt D = [V,E,u,o,c] bewerteter Kapazitätendigraph. DEFINITION : Seien D = [V,E,u,o] ein Kapazitätendigraph sowie fq und fs zwei verschiedene Knoten in D. ϕ heißt Fluss in D von fq nach fs, wenn gilt (a) ϕ fq,i - ϕ i,fq = ϕ i,fs - ϕ fs,i i S fq i P fq i P fs i S fs (b) ϕ i,j - ϕ j,i = 0 i V\{fq, fs}, j S i j P i erfüllt der Fluss ϕ zusätzlich die Bedingung (c) u(e) ϕ(e) o(e) e E, so heißt ϕ zulässig. fq wird als Flussquelle, fs als Flusssenke des Flusses ϕ bezeichnet. Die Größe des Flusses ϕ von fq nach fs wird mit (d) ω(ϕ) := ϕ fq,i - ϕ i,fq i S fq i P fq angegeben. DEFINITION : Ein zulässiger Fluss ϕ von fq nach fs mit maximaler Größe ω(ϕ*) wird maximaler Fluss genannt. Operations Research SS von 8

13 DEFINITION : Sei D = [V,E,u,o] ein Kapazitätendigraph. Ein Fluss ϕ Zirkulationsfluss in D, wenn (e) ϕ i,j - ϕ j,i = 0 i V j S i j P i heißt ist. ϕ heißt zulässiger Zirkulationsfluss, wenn außerdem Bedingung (c) aus Definition erfüllt ist. DEFINITION 6: Ein Zirkulationsfluss in einem bewerteten Kapazitätendigraph D = [V,E,u,o,c] heißt kostenminimaler Fluss, wenn gilt: (f) ϕ ist ein zulässiger Zirkulationsfluss, (g) ϕ ij * c ij ist minimal. [i,j] E ϕ ij * c ij sind dabei die Kosten des Flusses ϕ. [i,j] E Operations Research SS von 8

14 Anmerkungen zur Netzplantechnik-Methode CPM (Critical Path Method) Netzplantechnik (NPT) : beinhaltet Methoden zur optimalen Planung und Überwachung der Ausführung von (meist) umfangreichen Projekten. Das Projekt besteht aus vielen Teilarbeiten (Vorgänge), die in einer bestimmten Reihenfolge durchgeführt werden müssen. Netzwerk (Netzplan) : zyklenfreier Digraph ohne parallele Pfeile mit genau einer Quelle und genau einer Senke. Die Pfeile stellen die Vorgänge, die Bewertungen der Pfeile die entsprechenden Dauern der Vorgänge, die Knoten die Ereignisse (Zeitpunkt: Beginn/Ende eines Vorgangs) dar. Start-Ende-Beziehung Vorgang X - Vorgang Y: Vorgang Y kann erst begonnen werden, wenn Vorgang X beendet ist X Y Wichtige CPM-Größen: kürzeste Projektdauer : Länge des längsten Weges von der Quelle q zur Senke s ( = FZ s ). Projektendtermin: kürzeste Projektdauer FZ s oder Projektende T, falls T explizit vorgegeben kritische Wege : alle längsten Wege von q nach s. kritischer Vorgang : Vorgang auf dem kritischen Weg Operations Research SS von 8

15 ereignisbezogene Größen: FZ i : SZ i : frühest möglicher Zeitpunkt für den Eintritt des Ereignisses i (= Länge des längsten Weges (LW) von q nach i ). FZ q := 0. FZ s := kürzeste Projektdauer spätest möglicher Zeitpunkt für den Eintritt des Ereignisses i bei Einhaltung des Projektendtermines. SZ i := SZ s := SZ s - Länge LW von i nach s FZ s (oder SZ s :=T, falls das Projektende T explizit vorgegeben) vorgangsbezogene Größen: GP ij : gesamte Pufferzeit, d.h. maximale Zeitspanne, um die der Beginn des Vorgangs [i,j] verschoben werden kann, ohne den Projektendtermin zu gefährden. GP ij = SZ j - FZ i - c ij Operations Research SS von 8

16 . ALGORITHMEN IN GRAPHEN Bestimmung der Nachfolger eines Knotens i bei vektororientierter Speicherung eines pfeilsortierten Digraphen D Algorithmus NACHFOLGER - PN_GEN Aufbau des Pfeilnummernvektors PN: S: für k.. n führe aus: setze PN[k] 0 setze PN[n+] m+ S: für alle Pfeile e p in der Reihenfolge p.. m führe aus: falls ein neuer Anfangsknoten k auftritt, setze PN[k] p S: Überprüfung auf Senken und isolierte Knoten (alle Knoten k mit PN[k]=0 sind Senken oder isolierte Knoten): für alle PN[k] in der Reihenfolge k n,..., (-) führe aus: falls PN[k]=0, setze PN[k] PN[k+] Bestimmung der Nachfolger eines Knoten i: für p PN[i].. PN[i+] - führe aus : der Endknoten des Pfeiles mit Pfeilnummer p ist Nachfolger von i Operations Research SS von 8

17 Bestimmung eines kürzesten Weges (Länge und Verlauf) von einem Startknoten a zu allen anderen Knoten in einem bewerteten Digraphen D = [V,E,c] mit dem Algorithmus von DIJKSTRA Eingabe: a: Startknoten c[i,j]: Bewertung (Länge) des Pfeiles von i nach j Ausgabe: kw_dist[i]: pre[i]: kürzeste Wegelänge von Startknoten a nach i Vorgänger von i auf dem kürzesten Weg von Startknoten a nach i Voraussetzung: D darf keine negativen Bewertungen enthalten S: Initialisierung: Markiere Startknoten a: Setze für Knoten a: kw_dist[a] 0, pre[a] 0. Setze für alle anderen Knoten i ( i a): kw_dist[i], pre[i] 0. sei R die Menge der markierten Knoten, dann gilt a R (R={a}). S: Falls ein oder mehrere Knoten markiert sind (R ): wähle einen Knoten aus mit MIN kw_dist[j], j R dieser Knoten sei i; sonst (R = ): ENDE Dijkstra-Algorithmus. S: Für alle Nachfolger j S i, die noch nicht aus der Markierung entfernt worden sind, führe aus: falls kw_dist[i] + c[i,j] < kw_dist[j]: () setze kw_dist[j] kw_dist[i] + c[i,j], () setze pre[j] i, () markiere j (j R). Entferne die Markierung bei i (i R). Gehe zu S. Operations Research SS von 8

18 Bestimmung eines kürzesten Weges von jedem Knoten zu allen anderen Knoten eines bewerteten Digraphen D = [V,E,c], d,h. Erstellung der Entfernungsmatrix K(D) mit dem TRIPEL-Algorithmus Eingabe: C(D): Bewertungsmatrix P(D): Vorgängermatrix Ausgabe: K(D): Entfernungsmatrix (entstanden aus C(D)) P(D): pij: Vorgänger des Knotens j auf dem kürzesten Weg von i nach j Voraussetzung: D darf keine negativen Zyklen enthalten Schritte,...,n: Berechne im z-ten (z:=,..,n) Schritt für alle Elemente cij, die nicht Element der z-ten Zeile, der z-ten Spalte oder der Hauptdiagonalen sind: neu alt alt alt cij : = MIN (cij, ciz + czj ) sowie alt neu alt neu pzj, falls cij < cij pij := alt pij, sonst nach n Schritten: ENDE Tripel-Algorithmus Operations Research SS von 8

19 Bestimmung eines kürzesten Weges von einem Startknoten a zu allen anderen Knoten eines bewerteten Digraphen D = [V,E,c] mit dem Algorithmus von BELLMANN Eingabe: a : Startknoten c[i,j] : Bewertung des Pfeiles [i,j] Ausgabe: kw_dist[i] : Länge des kürzesten Weges von Startknoten a nach i pre[i] : Vorgänger des Knotens i auf dem kürzesten Weg von Startknoten a nach i VERSION a : D darf keine negativen Zyklen enthalten. Schritt 0: kw_dist[a] 0. kw_dist[i], i a. pre[i] 0, i. Schritt : Durchführung für i ε V\{a} : falls kw_dist[i] > kw_dist[j]+c[j,i], (j ε P(i)) setze kw_dist[i] kw_dist[j] + c[j,i], setze pre[i] j Schritt : Wiederholung von Schritt, bis kein kw_dist- Wert mehr verbessert werden kann. VERSION b : Schritt 0 : Schritt : D ist topologisch sortiert. siehe Version a für i a+,...,n führe aus: falls kw_dist[i] > kw_dist[j]+c[j,i], (j ε P(i)) setze kw_dist[i] kw_dist[j] + c[j,i], setze pre[i] j Operations Research SS von 8

20 Topologische Sortierung eines zyklenfreien Digraphen D = [V,E]. Algorithmus TOPSORT Eingabe: Ausgabe: D = [V,E] L(i): 'neue' Knotennummer des Knotens i Schritt 0: R {,...,n} = V k (zu vergebende aktuelle Knotennummer) Bestimme δ- j j R Schritt : Suche ein i R mit δ- i = 0 Existiert kein solches i -> L(i) k Falls k = n-> ENDE des Algorithmus: D ist topologisch sortiert Schritt : k k + R R \ { i } Bestimme für j Si: δ- j δ- j - Gehe zu Schritt ENDE des Algorithmus: D ist nicht zyklenfrei Operations Research SS von 8

21 Bestimmung eines Minimalgerüstes G' zu einem zusammenhängenden, bewerteten Graphen G = (V, E, c) Algorithmus MINGERÜST S: Der Graph G' besteht aus der Knotenmenge V und der Kantenmenge E' = S: Wähle die Kante in G mit der geringsten Bewertung aus und füge sie zu G' hinzu, wenn dadurch kein Zyklus in G' entsteht. Existiert keine Kante in G mehr -> ENDE S: Entferne die in S ausgewählte Kante aus G. S: Gehe zu S. Operations Research SS von 8

22 Bestimmung eines maximalen Flusses von einer Flussquelle fq zu einer Flusssenke fs in einem Kapazitätendigraphen D=[V,E,u,o] mit dem Algorithmus von FORD und FULKERSON (96) Eingabe: fq: Flussquelle fs: Flusssenke u[i,j]: Minimalkapazität des Pfeiles [i,j] o[i,j]: Maximalkapazität des Pfeiles [i,j] ϕ[i,j]: Fluss auf dem Pfeil [i,j] bei einem zulässigen Ausgangsfluss von fq nach fs Ausgabe: ϕ[i,j]: Fluss auf dem Pfeil [i,j] beim maximalen Fluss von fq nach fs S: Markiere die Flussquelle fq mit der Marke +fq / ε [fq]. Alle anderen Knoten i haben keine Marke. S: Finde einen Weg von der Flussquelle fq zur Flusssenke fs: Versuche alle nicht markierten Knoten zu markieren: ein Knoten j kann von einem Knoten i aus markiert werden, wenn i markiert und j nicht markiert ist: Fall A: Vorwärtsmarkierung, falls () j ist Nachfolger von i () ϕ[i,j] < o[i,j] gilt, markiere j mit der Marke +i /ε[j] MIN (ε[i], o[i,j]- ϕ[i,j]) Fall B: Rückwärtsmarkierung, falls () j ist Vorgänger von i () ϕ[j,i] > u[j,i] gilt, markiere j mit der Marke -i / ε[j] MIN (ε[i], ϕ[j,i]-u[j,i]) falls fs markiert wurde, gehe zu S falls fs nicht markiert werden konnte: der vorliegende Fluss ϕ ist ein maximaler Fluss: ENDE des Ford-Fulkerson-Algorithmus. Operations Research SS von 8

23 S: Flussveränderung: Setze j fs. Wiederhole falls Knoten j die Marke +i / ε[j] besitzt (Flussvergrößerung), setze ϕ[i,j] ϕ[i,j] + ε[fs], falls Knoten j die Marke i / ε[j] besitzt (Flussverkleinerung), setze ϕ[j,i] ϕ[j,i] - ε[fs]. Setze j i bis j = fq gilt. Gehe zu S. Operations Research SS von 8

24 . AUFGABEN ZUR GRAPHENTHEORIE Aufgabe : Gegeben ist folgender bewerteter Digraph D=[V,E,c] mit der Knotenmenge V={,,,,,6,7,8} und der Pfeilmenge E={e,..., e 0} mit e =[,], e =[,], e =[,], e =[,6], e =[,6], e 6=[,], e 7=[,], e 8=[,], e 9=[,], e 0=[6,] und c(e )=, c(e )=7, c(e )=7, c(e )=, c(e )=, c(e 6)=, c(e 7)=0, c(e 8)=, c(e 9)=6, c(e 0)=-. a) Geben Sie die Werte für n und m an. b) Stellen Sie den bewerteten Digraphen dar. c) Welche Knoten sind Vorgänger des Knotens? d) Welche Knoten sind von Knoten aus erreichbar? e) Geben Sie Länge und Verlauf des kürzesten Weges von Knoten nach Knoten an. f) wie e) jedoch unter der Annahme, dass c(e 0)=- gilt Aufgabe : Stellen Sie einen gemischten, bewerteten Graphen G = (V,E,c) als Digraphen D =[V,E,c] dar. Aufgabe : Sie starten und beenden ihre Tour in Depot A. Sie haben Aufträge zu erledigen in den Orten B, C, D, E und sollen ihre Tour mit minimaler km-anzahl durchführen. Die Entfernungen in km zwischen den benachbarten Orten sind wie folgt: A - B : 6 B - D : C - D : A - C : 8 B - E : C - E : A - E: D - E : Geben Sie den entsprechenden zugehörigen Graphen an. Was bestimmen Sie in graphentheoretischer Ausdrucksweise? Geben Sie die optimale Lösung an. Aufgabe : Gegeben ist ein Graph G = (V,E) mit der Knotenmenge V = {,,,,} und der Kantenmenge E = {e,e,e,e,e,e 6,e 7} mit e =(,), e =(,), e =(,), e =(,), e =(,), e 6=(,), e 7=(,). a) Stellen Sie den entsprechenden Graphen dar. b) Geben Sie durch die Folge der Knotennummern an (falls es nicht möglich ist, so begründen Sie es) b) eine offene Eulerlinie b) eine geschlossene Eulerlinie b) eine geschlossene Hamiltonlinie b) eine minimale Rundreise Aufgabe : Gegeben ist folgendes Straßennetz: Operations Research SS von 8

25 a) Geben Sie,falls möglich, eine offene Hamiltonlinie an. b) Geben Sie,falls möglich, eine geschlossene Hamiltonlinie an. c) Geben Sie, falls möglich, eine offene Eulerlinie an. d) Geben Sie, falls möglich, eine geschlossene Eulerlinie an. e) An jedem Straßenabschnitt des Straßennetzes ist Hausmüll zu entsorgen. Jeder Straßenabschnitt ist also zu durchfahren. Wie sieht eine Route minimaler Länge (Reihenfolge, Länge) aus, wenn das Depot (Start- und Endpunkt der Route) Knoten ist? Aufgabe 6: Gegeben ist folgender ungerichteter, bewerteter Graph Bestimmen Sie jeweils eine minimale Rundreise derart, a) dass jeder Knoten mindestens einmal besucht wird b) dass jede Kante mindestens einmal besucht wird Aufgabe 7: Königsberger Brückenproblem: c C g d A e D a b B f Problem: Existiert ein Rundweg - von einem beliebigen Startpunkt (A,B,C,D) ausgehend - derart, dass jede Brücke (a,b,c,d,e,f,g) genau einmal benutzt wird? Lösen Sie diese Problemstellungen graphentheoretisch. Stellen Sie dazu jeweils einen Graphen dar und führen Sie die Lösung des Problems auf eine graphentheoretische Problemstellung zurück. Welchen Wegetyp bestimmen Sie in dem jeweiligen Graphen? Operations Research SS von 8

26 Aufgabe 8: Gegeben sind n= Produktionsaufträge P,...,P. Für die einzelnen Produktionsaufträge P i müssen die benötigten Maschinen umgerüstet werden. Die Umrüstzeiten T ij (Umrüstzeit um vom Zustand i (für Produktionsauftrag P i) zum Zustand j (für Produktionsauftrag P j) der Maschinen zu gelangen) sind folgender Matrix T zu entnehmen: Gesucht ist die optimale Produktionsreihenfolge für die einzelnen Produktionsaufträge mit minimaler Umrüstzeit, wenn a) der Ausgangszustand der Maschinen für P ausgerichtet ist, b) der Ausgangszustand der Maschinen für P ausgerichtet ist, c) der Ausgangszustand der Maschinen für P und der Endzustand der Maschinen für P ausgerichtet sein soll. Lösen Sie diese Problemstellungen graphentheoretisch. Stellen Sie dazu jeweils einen Graphen dar und führen Sie die Lösung des Problems auf eine graphentheoretische Problemstellung zurück. Welchen Wegetyp bestimmen Sie in dem jeweiligen Graphen? Aufgabe 9: Geben Sie, falls möglich, zu folgendem Digraphen D a) eine offene Eulerlinie, b) eine geschlossene Eulerlinie, c) eine offene Hamiltonlinie, d) eine geschlossene Hamiltonlinie an. Aufgabe 0: Zeichnen Sie jeweils einen Graphen a) der parallele Kanten enthält b) der gemischt ist c) der eine Schlinge enthält d) mit n=, der vollständig ist e) mit m=, der symmetrisch ist f) der einen Zyklus der Länge enthält g) der eine Quelle und Senke enthält, h) mit n=, der einen isolierten Knoten enthält. Operations Research SS von 8

27 Aufgabe : Erzeugen Sie durch Weglassen von möglichst wenigen Kanten einen planaren Graphen: 6 7 Aufgabe : Geben Sie zum Digraphen D der Aufgabe a) die Adjazenzmatrix A(D), b) die Bewertungsmatrix C(D) an. Aufgabe : Gegeben ist ein Graph G = (V,E) von Aufgabe. a) Ist der Graph G planar? Falls ja, so stellen Sie G durch Hinzufügen möglichst weniger Kanten als nicht planaren Graphen dar. b) Wie viele Kanten hat ein vollständiger, ungerichteter Graph G, wenn n die Anzahl der Knoten von G ist? c) Wie viele Pfeile hat ein vollständiger Digraph D, wenn n die Anzahl der Knoten von D ist? Aufgabe : Die Gemeinde G hat die Möglichkeit den Hausmüll direkt zu den Deponien D und D oder über die Umladestationen U und U zu entsorgen. Die dabei entstehenden Transportkosten/Mengeneinheit (TK/ME) sind folgender Tabelle zu entnehmen: U U D D G 8 9 U 6 U 6 a) Die Entsorgungsstruktur mit minimalen Transportkosten ist zu ermitteln. Stellen Sie dazu dieses Problem als Graph dar und führen Sie die Lösung des Problems auf eine graphentheoretische Problemstellung zurück. b) Die Deponierungskosten/ME betragen: D: 0, D:. Die Entsorgungsstruktur mit minimalen Transport- und Deponierungskosten ist zu ermitteln c) Die Umladekosten/ME betragen: U: 6, U:. Die Entsorgungsstruktur mit minimalen Transport-, Deponierungs- und Umladekosten ist zu ermitteln Operations Research SS von 8

28 Aufgabe : Gegeben ist folgende Straßenkreuzung mit Längenangaben (z.b. km oder Fahrzeiten). Stellen Sie jeweils den entsprechenden bewerteten Digraphen dar, der die Fahrtrichtungsvorschriften bei der Bestimmung von kürzesten Wegen zwischen allen möglichen Knotenpaaren berücksichtigt. Folgende Fahrtrichtungsvorschriften sind zu beachten: a) von Süden aus kommend ist ein Linksabbiegen verboten ist. b) zusätzlich zu a): von Osten aus kommend ist ein Linksabbiegen verboten Aufgabe 6: Stellen Sie den Digraphen von Aufgabe in Vektorform, pfeilsortiert (Anfangs- und Endknotennummernvektor) dar und geben Sie den Pfeilnummernvektor PN an. Aufgabe 7: Gegeben ist der Pfeilnummernvektor PN mit den Werten [,,,,6,9], der Endknotennummernvektor END mit den Werten [,,,,,,,] und der Bewertungsvektor C mit den Werten [,,9,,6,,,7]. Stellen Sie den entsprechenden Digraphen dar. Aufgabe 8: Geben Sie zu folgendem Digraph den Pfeilnummernvektor an. Aufgabe 9: Gegeben ist der PN-Vektor [,,,,,7] und der Endknotennummernvektor END [,,,,,]. a) Wie viele Knoten und Pfeile besitzt der Digraph? b) Geben Sie für alle Knoten i (i=,..,n) des Digraphen die Nachfolger an. c) Erstellen Sie den entsprechenden Anfangsknotennummernvektor ANF. d) Sie wollen die Vorgänger eines Knotens i effizient bestimmen. Erstellen Sie dazu den Pfeilnummernvektor PN_V für den Endknotennummernvektor END_V und den entsprechenden Anfangsknotennummernvektor ANF_V. Operations Research SS von 8

29 Aufgabe 0: Gegeben sind folgende Pfeilnummern- und Anfangsknotennummernvektoren. Markieren Sie, falls eine Nichtübereinstimmung auftritt, das entsprechende Element des Anfangsknotennummernvektors a) PN: [,,,,,] ANF: [,,,] b) PN: [,,,,6] ANF: [,,,,,] c) PN: [,,,,6,6] ANF: [,,,,] Aufgabe : a) Gegeben ist der PN-Vektor [,,,,,7] und der Endknotennummernvektor END [,,,,,]. Geben Sie für alle Knoten i (i=,..,n) des Digraphen die Nachfolger an. b) Gegeben ist der PN_V-Vektor [,,,,7,7], der aus dem Endknotennummernvektor END_V entstanden ist, und der entsprechende Anfangsknotennummernvektor ANF_V [,,,,,]. Geben Sie für alle Knoten i (i=,..,n) des Digraphen die Vorgänger an. c) Erstellen Sie zum Digraphen in b) mit dem Algorithmus PN_GEN den Pfeilnummernvektor PN. Aufgabe : Geben Sie jeweils die Anzahl benötigter Speicherelemente bei Speicherung in der Bewertungsmatrix C(D) und bei Speicherung in pfeilorientierter Form mit dem Pfeilnummernvektor PN an für folgende bewertete Graphen a) vollständiger Digraph mit n=0 b) ungerichteter Graph mit n=0 und m= c) Straßennetz mit n=00 Aufgabe : Gegeben: n Personen und Informationen über ihre symmetrischen Sympathiebeziehungen zueinander. Sympathieniveaus sind möglich: - sehr sympathisch - sympathisch - weniger sympathisch - unsympathisch Gesucht: Sitzordnung an einem runden Tisch derart, dass das Sympathieniveau insgesamt maximal wird. Beispiel: n=: A, B, C, D, E die Sympathieniveaus der einzelnen Paare: A B: weniger sympathisch B C: sehr sympathisch A C: sehr sympathisch B D: sympathisch A D: sympathisch B E: weniger sympathisch A E: sympathisch C D: sehr sympathisch D E: weniger sympathisch C E: unsympathisch Operations Research SS von 8

30 Aufgabe : Gegeben: Gesucht: n Personen und Informationen über ihre nicht symmetrischen Sympathiebeziehungen zueinander Sitzordnung an einem runden Tisch derart, dass das Sympathieniveau insgesamt maximal wird. Beispiel: n=: A, B, C, D, E Es gelten folgende Niveaus für die einzelnen Sympathiebeziehungen mit 0: sehr sympathisch : sympathisch : weniger sympathisch 99: unsympathisch A B: B A: C A: D A: E A: 0 A C: 0 B C: C B: 0 D B: 0 E B: A D: B D: C D: 0 D C: 0 E C: A E: B E: C E: 99 D E: E D: Aufgabe : Bei Fertigungsmaschinen werden die jährlichen Betriebskosten mit wachsendem Alter in der Regel höher, bedingt durch höhere Kosten für Wartung und Instandhaltung. Diese Kosten können durch rechtzeitige Ersetzung der Maschine reduziert werden. Bei einer Ersetzung fallen andererseits Beschaffungskosten für eine neue Maschine an. Eine wichtige Aufgabe ist deshalb, den Zeitpunkt der Ersetzung so festzulegen, dass die Gesamtkosten minimal werden. Wir betrachten ein solches Erneuerungsproblem für eine Maschine und einen Planungszeitraum von Jahren. Seien C i die Betriebskosten der Maschine während des i-ten Jahres in Betrieb, B i die Beschaffungskosten für eine neue Maschine zu Beginn des Jahres i und S i der Verkaufswert einer Maschine nach i Jahren Betriebsdauer. Formulieren Sie das Problem, eine optimale Ersetzungspolitik für die Maschine zu bestimmen, als Aufgabe zur Ermittlung eines kürzesten Weges in einem Digraphen. Wie ist die optimale Lösung? Die Kosten für Betrieb und Beschaffung sowie die Erlöse bei Verkauf einer Maschine sind folgender Tabelle zu entnehmen: i-tes Jahr C i B i S i Operations Research SS von 8

31 Aufgabe 6: Gegeben sind Behälter ohne Maßstriche mit folgendem Fassungsvermögen und Ausgangszustand Größe Ausgangszustand großer Behälter: 7 l voll (7 l Wasser) mittlerer Behälter: l leer (0 l) kleiner Behälter: l leer (0 l) a) Ist es möglich, durch Umfüllen vom Ausgangszustand 700 in den Zielzustand (gr. B.:, mittl. B.:, kl. B.: ) zu gelangen? Es ist dabei zu berücksichtigen, dass die Behälter nicht mit Maßstrichen gekennzeichnet sind! b) Die Zustandsveränderung soll durch möglichst wenige Umschüttungen geschehen. c) Die Zustandsveränderung soll durch möglichst wenig Gewichthochheben erreicht werden. Die Gewichte betragen : großer Behälter: kg mittlere Behälter: kg kleiner Behälter: kg Stellen Sie obige Problemstellungen als Graph dar und lösen Sie eine entsprechend geeignete graphentheoretische Problemstellung in Graphen. Aufgabe 7: Die Objekte Fährmann (F), Wolf (W), Ziege (Z) und Kohlkopf (K) wollen einen Fluss überqueren. Das zur Verfügung stehende Boot kann jeweils nur Objekte gleichzeitig transportieren, wobei der Fährmann immer an Bord sein muss, um das Boot zu steuern. Es ist zu beachten, dass bei Abwesenheit vom Fährmann der Wolf die Ziege frisst und die Ziege den Kohlkopf. Dies soll jedoch nicht geschehen. Ist eine Flussüberquerung trotzdem möglich? Erstellen Sie dazu einen entsprechenden Graphen. Welche graphentheoretische Aufgabenstellung müssen Sie in dem Graphen lösen, um festzustellen, ob eine Überfahrt möglich ist? Aufgabe 8: Gegeben ist folgender bewerteter, gemischter Graph G=(V,E,c) Bestimmen Sie in G mit dem Algorithmus von DIJKSTRA a) den kürzesten Weg von Knoten zu allen anderen Knoten, b) den kürzesten Weg von Knoten nach Knoten Operations Research SS von 8

32 Aufgabe 9: Bestimmen Sie mit dem Algorithmus von DIJKSTRA den kürzesten Weg von Knoten zu allen anderen Knoten in folgendem Digraphen D=[V,E,c] 0 - Aufgabe 0: Gegeben sind folgende kw_dist und pre-vektoren für Startknoten a = : kw_dist = [,,,0,,8,,,7] pre = [,,,0,,,9,0,] a) Geben Sie Länge und Verlauf des kürzesten Weges von Knoten zu allen anderen an. b) Geben Sie einen Wurzelbaum mit Wurzel a= an. Aufgabe : Gegeben ist der bewertete, gemischte Graph G = (V,E,c) aus Aufgabe 8 Geben Sie zu G a) die Bewertungsmatrix C(G), b) die Vorgängermatrix P(G) an. Aufgabe : Stellen Sie zu folgender Bewertungsmatrix C(D) die entsprechende Vorgängermatrix P(D) auf Operations Research SS von 8

33 Aufgabe : Nach Durchführung des TRIPEL-Algorithmus erhalten Sie folgendes Ergebnis: Entfernungsmatrix K(D): Vorgängermatrix P(D): Geben Sie Länge und Verlauf des kürzesten Weges von a) -> 7, b) 7 ->, c) 6 -> 7, d) 6 ->, e) ->, f) -> an. Aufgabe : Der folgende Graph zeigt das vereinfachte Verkehrsnetz einer Kleinstadt. Die Knoten entsprechen Straßenkreuzungen, die Pfeile den in Pfeilrichtung zu durchfahrenden Einbahnstraßen und die Kanten den in beiden Richtungen durchfahrbaren Straßen. Die Pfeil- bzw. Kantenbewertungen bedeuten die Länge der betreffenden Straßenverbindungen. Der Graph stellt einen sogenannten (bewerteten) gemischten Graphen dar, der sowohl Pfeile als auch Kanten enthält. Eine Getränkefirma möchte nun an derjenigen Straßenkreuzung ein Auslieferungslager einrichten, von der aus die Summe der Entfernungen zu allen übrigen Kreuzungen minimal ist. Bestimmen Sie den optimalen Standort des Auslieferungslagers und geben Sie die optimalen Auslieferungsrouten zu den übrigen Kreuzungen an. Operations Research SS von 8

34 Aufgabe : Gegeben ist folgender Digraph D=[V,E,c] Bestimmen Sie mit dem Tripel-Algorithmus die kürzesten Wege zwischen allen Knotenpaaren. Aufgabe 6: Gegeben ist folgender Digraph D=[V,E,c] Bestimmen Sie mit dem Algorithmus von Bellmann (Version a) a) den kürzesten Weg von Knoten zu allen anderen Knoten, b) den kürzesten Weg von Knoten 6 zu allen anderen Knoten, c) dem längsten Weg von Knoten zu allen anderen Knoten Operations Research SS von 8

35 Aufgabe 7: Gegeben sind folgende Graphen: a) b) Führen Sie eine topologische Sortierung mit dem TOPSORT-Algorithmus durch. Aufgabe 8: Gegeben ist der Digraph D=[V,E,c] aus Aufgabe Bestimmen Sie mit dem Algorithmus von Bellmann (Version b) a) den kürzesten Weg von Knoten zu allen anderen Knoten, b) den kürzesten Weg von Knoten 6 zu allen anderen Knoten, c) dem längsten Weg von Knoten zu allen anderen Knoten Operations Research SS von 8

36 Aufgabe 9: Zwischen den 8 Orten Adorf, Bdorf,..., Hdorf soll ein Kommunikationsfestnetz aufgebaut werden, d.h. jeder Ort soll mit jedem anderen dieser Orte direkt oder indirekt über einen anderen dieser Orte durch eine Kommunikationsleitung verbunden sein. Die Kosten für den Bau der einzelnen Verbindungsleitungen sind dem folgendem Netz zu entnehmen. Geben Sie die Verbindungsstruktur mit den geringsten Baukosten an. 6 F A B 6 E 6 7 D 6 6 H C G Aufgabe 0: Das Eisenbahn-Streckennetz des Kleinstaates Duropa soll wegen zu hoher Verluste durch Streckenstilllegungen rationalisiert werden. Die Abbildung zeigt das Streckennetz mit der Hauptstadt H und den weiteren Städten A,...,F, wobei an jeder Strecke das Defizit in Tausend Duro pro transportierter (Personen- und Güter-) Mengeneinheit angegeben ist. Ein Wirtschaftsinformatiker wird beauftragt, diejenigen Strecken herauszufinden, die erforderlich sind, um kostenminimal Personen und Güter zwischen der Hauptstadt H und jeder der übrigen Städte A,...,F zu befördern. A E 7 B D H 6 C F Operations Research SS von 8

37 a) Welches reduzierte Streckennetz schlägt der Wirtschaftsinformatiker vor? b) Stellt das reduzierte Streckennetz ein Minimalgerüst in dem ursprünglichen Streckennetz dar? c) Nachträglich stellt sich heraus, dass auf der Strecke C-B nicht ein Verlust, sondern ein Gewinn von 000 Duro erwirtschaftet werden kann, wenn Sie nur eingleisig von C nach B befahren wird. Die erforderliche Alternativrechnung überträgt der Wirtschaftsinformatiker einer Hilfskraft, die mit dem geänderten Wert nochmals den Algorithmus von Dijkstra anwendet. Warum ist der Wirtschaftsinformatiker mit dieser Vorgehensweise nicht einverstanden, und welche Lösung schlägt er vor? Aufgabe : Eine Firma plant die Entwicklung und Herstellung der ersten Serie eines neuen Micro- Kasettengerätes. Die Vorgangsliste dieses Projektes lautet: Vorgangsnummer Vorgang unmittelbar vorangehende Vorgänge Vorgangsdauer (in Wochen) Entscheidung Geschäftsleitung - Entwurfsübersicht Patentuntersuchung Marktuntersuchung Detailkonstruktion, 6 Stücklistenerstellung 7 Kalkulation 6 8 Materialbeschaffung 6 9 Versuchsaufbau 0 Musteranfertigung 8 Versuchsdurchführung 9, 0 Arbeitsvorbereitung 6, Einzelteilfertigung 7, 8, Einzelteilmontage Endmontage 6 Kontrolle 7 Abnahme 6 8 Werbungsvorbereitung, 9 Werbekampagne 0, Versand 7 Erfahrungsauswertung 9, 0 Operations Research SS von 8

38 Das Projekt soll laut Vorgabe der Geschäftsleitung nach 6 Wochen beendet sein. a) Konstruieren Sie einen CPM-Netzplan. b) Bestimmen Sie die kürzeste Projektdauer und die frühest (spätest) möglichen Zeitpunkte für den Eintritt aller Ereignisse FZ i (SZ i) sowie alle kritischen Vorgänge und Gesamtpufferzeiten GP ij. Aufgabe : Für die Herstellung eines Motorprüfstandes sind folgende Teilprojekte mit ihren Vorgängen und Anordnungsbeziehungen vorgesehen: Zeichenerklärung: A: Administration; M: Mechanische Werkstatt, S: Schweißerei, V: Versuchsabteilung Teilprojekt Vorgang Vorgangsdauer (in Wochen) Planung A 0 Bestellung und Lieferzeit A Gestell M M 8 S M 6 Aufsatz S S S Messgehäuse G 7 G M M9 Schwungrad G 8 M8 Hydraulik M 6 M6 M7 8 Montage V 7 V V 9 unmittelbar vorangehende Vorgänge A M, M M, S M, S M, M S M,S A G G, S M, S G G A M M6, S, A M8, M9 M7 M, V, V a) Konstruieren Sie einen CPM-Netzplan. b) Bestimmen Sie die kürzeste Projektdauer und die frühest (spätest) möglichen Zeitpunkte für den Eintritt aller Ereignisse FZ i (SZ i) sowie alle kritischen Vorgänge und Gesamtpufferzeiten GP ij. Operations Research SS von 8

39 Aufgabe : Der I. Bauabschnitt eines Bauprojektes besteht aus folgenden Teilprojekten und Anordnungsbeziehungen: Teilprojekt Vorgang Vorgangsdauer unmittelbar vorangehende Vorgänge Fundamente errichten A --- Kanalisationsanschluß herstellen B Wände hochziehen C A Elektrischen Hauptanschluß herstellen D 0 A Fenster einsetzen E 7 B, C Dachdecke herstellen F B, C, D Türen einsetzen G 0 B, C Dach abdichten H F a) Konstruieren Sie einen CPM-Netzplan mit einer minimalen Anzahl von Scheinvorgängen b) Bestimmen Sie die kürzeste Projektdauer und die frühest (spätest) möglichen Zeitpunkte für den Eintritt aller Ereignisse FZ i (SZ i) sowie alle kritischen Vorgänge und Gesamtpufferzeiten GP ij. Aufgabe : Gegeben ist folgender Kapazitätendigraph D=[V,E,u,o]: 0/6 6 0/9 / / 0/ / / 0/ /6 a) Geben Sie mehrere Flüsse ϕ mit der Flussquelle und der Flusssenke an. b) Geben Sie mehrere zulässige Flüsse ϕ mit der Flussquelle und der Flusssenke c) Geben Sie mehrere zulässige Flüsse ϕ mit der Flussquelle und der Flusssenke an. d) Geben Sie alle maximalen Flüsse ϕ* mit der Flussquelle und der Flusssenke an. e) Geben Sie alle maximalen Flüsse ϕ* mit der Flussquelle und der Flusssenke an. Geben Sie, falls möglich, auch die entsprechenden Flussgrößen an. Operations Research SS von 8

40 Aufgabe : Bstadt (Knoten B) wird durch die beiden Wasserspeicher W und W mit Wasser versorgt. Das Wasser gelangt durch das in der folgenden Abbildung gegebene Netzwerk von den beiden Wasserspeichern nach Bstadt. P,...,P bezeichnen die Pumpstationen. Die an den Pfeilen angegebenen Größen geben die maximale Wassermenge pro Zeiteinheit an, die aufgrund des jeweiligen Rohrdurchmessers, des Gefälles und der installierten Pumpenkapazität gegeben ist. W 8 P P P P B 6 W 9 P a) Wie groß kann der Wasserverbrauch in Bstadt maximal sein? b) Durch ein Erdbeben werden die Leitungen zwischen den Pumpstationen P und P sowie zwischen P und P zerstört. Um wie viel verringert sich der maximal mögliche Wasserverbrauch in Bstadt? c) Welche der beiden zerstörten Wasserleitungen sollte zuerst repariert werden, wenn die größtmögliche Steigerung des Wasserangebots in Bstadt das Ziel ist? Stellen Sie dazu jeweils den entsprechenden Kapazitätendigraphen dar. Aufgabe 6: Gegeben ist folgender bewerteter Kapazitätendigraph D = [V,E,u,o,c]: 0/6/ 6 0/9/ // // 0// // //- 0//- /6/ a) Geben Sie mehrere Zirkulationsflüsse in D an. b) Geben Sie mehrere zulässige Zirkulationsflüsse in D an. c) Geben Sie den kostenminimalen Fluss in D an. Operations Research SS von 8

41 Aufgabe 7: Gegeben sind folgende Kapazitätendigraphen mit den Angaben der Minimal- und Maximalkapazitäten u/o und den zulässigen Ausgangsflüssen ϕ[i,j] an den Pfeilen. Bestimmen Sie in den Fällen a) und b) jeweils algorithmisch den maximalen Fluss von der Flussquelle fq= zur Flusssenke fs=6 mit dem Algorithmus von FORD und FULKERSON. Geben Sie dabei die Markierung an den Knoten an, falls Sie einen Knoten markiert haben. Die Entwicklung der Markierungen soll nachvollziehbar sein a) 0/6 0 0/ 0 0/6 0 0/ 0 0/7 0 0/ 0 0 0/8 0 0/ 6 b) 0/ 0 0/6 0/ 0/6 0/ 0 0/7 0 0/ 0 0/8 0 0/ 6 0/ Operations Research SS von 8

42 Aufgabe 8: Gegeben ist folgender bewerteter Kapazitätendigraph D = [V,E,u,o,c] (-- steht für unendlich): 0// // //- // // //- 0// 0/--/0 /6/- a) Geben Sie einen zulässigen Zirkulationsfluss in D an. b) Geben Sie den kostenminimalen Fluss in D an. Aufgabe 9: Eine AG besitzt Zementfabriken und Betonwerke an unterschiedlichen Standorten. In den Betonwerken X, Y, Z werden 8 bzw. 7 und Fahrzeugladungen Zement benötigt. In den Zementfabriken A, B, C, D und E stehen 0 bzw., 8, 7, 0 Fahrzeugladungen Zement zur Verfügung. Die Transportkosten pro Fahrzeugladung zwischen den Zementfabriken und den Betonwerken sind folgender Tabelle zu entnehmen: A B C D E X Y Z 6 0 a) Wie sieht der kostenminimale Transportplan aus? b) Wie verändert sich der kostenminimale Transportplan, wenn aufgrund von stoffspezifischen Gegebenheiten in Z von D kein Zement angenommen werden kann, und mindestens die Hälfte der in Betonwerk X benötigten Zementmenge aus demzementwerk C geliefert werden muss? c) Wie verändert sich der kostenminimale Transportplan, wenn in Zementwerk C Fahrzeugladungen zur Verfügung stehen? Stellen Sie zu diesen Problemen jeweils einen bewerteten Kapazitätendigraphen auf, in dem der kostenminimale Fluss die Lösung des Problems darstellt. Aufgabe 0: Für die Ausführung von Tätigkeiten stehen Maschinen zur Verfügung. Die Kosten, die bei der Bearbeitung der Tätigkeiten durch die Maschinen entstehen, sind folgender Tabelle zu entnehmen: M M M M M T 9 7 T T 6 T 7 T 9 Operations Research SS von 8

43 Jede Tätigkeit ist genau einer Maschine zuzuordnen und zwar derart, dass die Gesamtkosten minimal sind. Stellen Sie zu diesem Problem einen bewerteten Kapazitätendigraphen auf, in dem der kostenminimale Fluss die Lösung des Problems darstellt. Aufgabe : Eine Verkehrsgesellschaft unterhält einen regelmäßigen Verkehr zwischen Stuttgart und Hamburg mit folgendem Fahrplan: Abfahrt S Fahrt-Nr. Ankunft HH Abfahrt HH Fahrt-Nr. Ankunft S Die Gesellschaft verfügt über Mannschaften, und sie möchte wissen, wo sie diese unterbringen, und für welche Fahrten sie diese einsetzen soll, damit der Aufenthalt außerhalb ihres Wohnsitze (S oder HH) unter Einhaltung der Fahrplanzeiten minimal wird. Es ist zu berücksichtigen, dass von jeder Mannschaft nach einer Fahrt eine Pause von Stunden einzuhalten ist. Jedoch darf die Wartezeit bis zur nächsten Fahrt Stunden nicht überschreiten. Stellen Sie zu diesem Problem einen bewerteten Kapazitätendigraphen auf, in dem der kostenminimale Fluss die Lösung des Problems darstellt. Aufgabe : Eine Firma produziert in aufeinanderfolgenden Perioden ein Stückgut. Pro Zeitperiode müssen mindestens Produktionseinheiten (PE) hergestellt werden, um eine Mindestauslastung der Betriebsmittel zu sichern. Die Produktionskosten pro PE in der Periode t betragen a(t) Geldeinheiten (GE). Werden mehr als Einheiten produziert, so entstehen Zusatzkosten in Höhe von b(t) GE/PE. Es können maximal q(t) PE in der Periode t produziert werden. Eine produzierte jedoch nicht absetzbare Menge kann bis zur nächsten Periode gelagert werden, wobei Lagerkosten von l(t) GE anfallen. Die Lagerkapazität beträgt für alle Perioden PE. Die Nachfrage beträgt d(t) PE, die Verkaufserlöse betragen g(t) GE. Die einzelnen Angaben sind folgender Tabelle zu entnehmen: Periode a(t) b(t) q(t) l(t) d(t) g(t) a) Stellen Sie einen gewinnmaximalen Produktionsplan auf. b) Stellen Sie einen kostenminimalen Produktionsplan auf, der genau Einheiten produziert. Stellen Sie zu diesen Problemen jeweils einen bewerteten Kapazitätendigraphen auf, in dem der kostenminimale Fluss die Lösung des Problems darstellt. Operations Research SS von 8

44 Aufgabe : Auf Güterbahnhöfen (A,...,A) stehen insgesamt 9 Güterwagen des gleichen Typs, die für einen weiteren Einsatz auf anderen Güterbahnhöfen (B,...,B) benötigt werden. Es steht auf den Bahnhöfen A bis A folgende Anzahl an Güterwagen bereit, bzw. der Bedarf der anderen Güterbahnhöfe B bis B beträgt: A: B: A: 6 B: A: B: 7 A: B: A: B:. Die Entfernungen zwischen den betreffenden Bahnhöfen sind folgender Tabelle zu entnehmen: B B B B B A A 0 A A 8 7 A 6 6 Es ist der kostenminimale Transportplan aufzustellen. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Transportkosten zu den angegebenen Entfernungen proportional sind. a) Stellen Sie zu diesem Problem einen bewerteten Kapazitätendigraphen auf, in dem der kostenminimale Fluss die Lösung des Problems darstellt. b) Geben Sie eine möglichst gute Lösung an. Tragen Sie die Anzahl der zu transportierenden Güterwagen von Ai nach Bi in das entsprechende Element der folgenden Matrix ein (leer = kein Transport) und geben Sie die entsprechenden Gesamttransportkosten an. A A A A A B B B B B Aufgabe : Ein Unternehmen stellt nur ein Produkt her, das jedoch auf verschiedenen Maschinengruppen hergestellt werden kann. Es sind 6 Aufträge so auf Maschinengruppen zu verteilen, dass ein maximaler Ertrag erreicht wird. Die verfügbaren Kapazitäten für die Maschinengruppen I, II, III, IV sind 0, 80, 80 bzw. 0 Stunden. Die notwendigen Herstellungsstunden für die Aufträge,...,6 betragen 0, 0, 70, 60, 0 bzw. 00 Stunden. Der Ertrag je Stunde ist folgender Tabelle zu entnehmen: Operations Research SS von 8

45 Maschinen- Auftrag Gruppe 6 I 8 7 II 6 9 III 0 6 IV Stellen Sie zu diesem Problem einen bewerteten Kapazitätendigraphen auf, in dem der kostenminimale Fluss die Lösung des Problems darstellt. Aufgabe : Gegeben ist folgender Digraph D: Stellen Sie zu den folgenden Problemen jeweils einen bewerteten Kapazitätendigraphen auf, in dem der kostenminimale Fluss die Lösung des Problems darstellt. a) Bestimmen Sie Länge und Verlauf des kürzesten Weges in D ) von Knoten nach Knoten 6 ) von Knoten 6 nach Knoten b) Bestimmen Sie in D den maximalen Fluss von der Flussquelle zur Flusssenke 6. Die Bewertungen im Digraphen D geben jeweils die Maximalkapazität o(e) an. Die Minimalkapazität u(e) ist dabei jeweils 0 für alle Pfeile. c) Von der Flussquelle 6 sollen genau Einheiten zur Flusssenke kostenminimal fließen. Die Bewertungen von D geben jeweils die Kosten pro Flusseinheit an. Die Minimalkapazität u(e) soll jeweils 0 und die Maximalkapazität o(e) jeweils für alle Pfeile betragen. Operations Research SS von 8

46 . BEIBLÄTTER Digraph D 6 Digraph D -6 Graph G Graph G Operations Research SS von 8

47 Rundreise (knotenorientiert) Rundreise (kantenorientiert) Operations Research SS von 8

48 Das Haus vom Nikolaus Die Kirche vom Nikolaus Probleme: können diese Formen gezeichnet werden, ohne den Zeichenstift während der Zeichnung abzuheben und ohne eine Linie mehrfach zu zeichnen, wenn a) bei ein und demselben Punkt das Zeichnen begonnen und beendet wird? b) bei verschiedenen Punkten das Zeichnen begonnen und beendet wird? Graphentheoretisch: a) Existiert eine Rundreise derart, dass jede Kante genau einmal benutzt wird (Start- und Endpunkt des Weges sind identisch)? b) Existiert ein Weg derart, dass jede Kante genau einmal benutzt wird (Startund Endpunkt des Weges sind nicht identisch)? Operations Research SS von 8